必修第二册6.2平面向量的运算（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．已知，，，则（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．若，，与的夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
4．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线 B．方向相反
C．方向相同 D．
6．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
8．点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
9．如图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　)
A． B．
C． D．
10．在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，设，则（ ）．
A． B． C． D．
12．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（ ）
A． B．
C． D．
13．已知是边长为2的正六边形边上一动点，则 （ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是
14．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
15．化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．已知向量，，，_______．
17．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k＝________.
18．在直角坐标系中，为原点,O、A、B不共线，，则________
三、解答题
19．在△ABC中，重心为G，垂心为H，外心为I．
（1）若△ABC三个顶点的坐标为，，，证明：G，H，I三点共线；
（2）对于任斜三角形ABC，G，H，I三点是否都共线，并说明理由．
20．在△ABC中，已知，，，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
21．已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求.
22．已知向量，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
利用数量积公式求模.
【详解】
，解得：或（舍）
故选：A
2．B
利用平面向量数量积的定义可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的定义可得.
故选：B.
3．C
根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
4．C
根据平行四边形中的对边平行且相等结合向量的概念求解.
【详解】
，，所以A正确；
，所以B正确；
所以C错误；
，，，所以D正确.
故选：C
5．B
根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.
【详解】
因为，，所以，
故向量与向量共线反向.
故选：B.
6．B
先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
【详解】
甲：，则，故P为△ABC的重心；
乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.
故选：B．
7．A
直接利用向量加法法则和相等向量即可求出答案.
【详解】
画出图形，如图所示：
.
故选：A.
8．C
由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.
【详解】
∴点P在线段AB反向延长线上
故选：C.
9．A
直接利用平面向量运算的三角形法则以及相反向量的定义求解即可.
【详解】
因为＝，所以，
所以＋---＝ ,故选A.
本题主要考查平面向量的运算法则以及相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
10．A
根据向量的线性运算直接运算.
【详解】
如图所示：
，
故选：A.
11．D
根据向量的数乘定义求解．
【详解】
由得是线段上的点，且，如图，
因此，，．
故选：D．
12．B
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且，，，
则
，解得，所以.
故选：B
13．C
根据正六边形的特征以及向量数量积的几何意义，逐项分析判断即可得解.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
当和重合时，投影最大，作的延长线于，
可以得到在方向上的投影最大值长是3，
同理当和重合时，可以得到在方向上的投影最小值是-1，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的最大值是6，最小值是-2.
故选：C
14．C
根据向量的加减运算法则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意，即，
故选：C.
本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题.
15．B
根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
对于①：，
对于②：，
对于③：，
对于④：，
所以结果为的个数是，
故选：B
16．
由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得，
因此，.
故答案为：.
17．
根据共线向量定理可得，解方程即可得到答案；
【详解】
由题意知，．
，又不共线，
∴.
故答案为：
18．0
根据向量的线性运算求出，根据对应关系求出的值即可．
【详解】
，
，
，
，，.
故答案为：0．
19．（1）证明见解析；（2）共线，证明见解析.
（1）分别求出G，H，I三点的坐标，利用斜率相等，即可证明结论；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，利用共线向量基本定理，即可得证；
【详解】
（1）易得：，，，
，，
，G，H，I三点共线；
（2）以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设
，，的坐标分别为，，，，，则
设外心，垂心的坐标为，，的中点为，
，，的坐标分别为，，，，，
，，的坐标为，，
，，，，
由，
则，
即，
外心的坐标为，垂心的坐标为，
，，，，得，
，，三点共线.
本题考查向量在几何中的应用，关键是掌握坐标的运算法则和向量的数量积的运算，属于中档题．
20．(1)
(2)
（1）首先根据向量的线性运算得到和，从而得到，，即可得到.
（2）首先根据题意得到，根据，，得到，从而得到，再求解最小值即可.
(1)
因为C，O，E三点共线，所以有，
即，得，
同理可设，
所以得，，解得.
所以，即.
(2)
解：
，
由（1）可知，，所以，
所以，
令，则，
等号当且仅当，即时，的最小值为.
21．（1）；（2）或.
（1）本小题先求出，再求即可；
（2）本小题先求出，再求解.
【详解】
解：（1）∵，
∴，∴，
∴.
（2）∵，
∴，
整理得：，
解得：或.
本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.
22．(1)
(2)
（1）由，结合，即可求解；
（2）由，即可求解.
(1)
解：由题意，向量，，与的夹角为，
可得，
又由.
(2)
解：因为向量，，且，
所以.
答案第1页，共2页
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