必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．如图所示，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．设向量，，且，则=（ ）.
A． B． C． D．
4．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．如果平面向量，，那么下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．，的夹角为180°
D．向量在方向上的投影为
6．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A．＝(2，2)，＝(1，1) B．＝(1，－2)，＝(4，－8)
C．＝(1，0)，＝(0，－1) D．＝(1，－2)，＝
7．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，若，则（ ）
A． B．10 C． D．12
9．已知，，且，则锐角等于（ ）
A．45° B．30° C．60° D．30°或60°
10．设向量，，，且与平行，则实数的值是（ ）
A．4 B． C． D．不存在
11．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
13．已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
15．若向量与非零向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．如图，在中，，E是上一点，且，则的值等于________.
17．若向量，，则___________.
18．已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
三、解答题
19．在平行四边形ABCD中，，，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
20．已知向量．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
21．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
22．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
把，代入中化简即可.
【详解】
解：．
故选：C
2．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
3．A
由得，建立方程求解即可.
【详解】
，
，解得.
故选：A.
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
4．B
根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.
【详解】
是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，
，
于是得：，
当时，取得最小值，
所以的最小值是.
故选：B
5．D
直接利用向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，向量在另一个向量上的投影的应用判定选项的结论．
【详解】
解：因为，，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C正确；
对于D，在方向上的投影为：，，故D错误.
故选：D.
6．C
利用向量共线定理对各个选项判断即可.
【详解】
因为不共线的两个向量可以作为它们所在平面内所有向量的基底，
对于A，由于，即共线，故A不合题意；
对于B，由于，即共线，故B不合题意；
对于C，由于，即不共线，故C合题意；
对于D，由于，即共线，故D不合题意；
故选：C.
7．D
先根据已知条件确定三点的位置关系并得到，再设，根据坐标运算代入坐标求解即可.
【详解】
点在线段的延长线上，又，.
设,则,,
.选D.
8．B
根据即可得出进行数量积的坐标运算即可求出，从而得出的坐标，进而得出的值．
【详解】
∵向量，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
本题考查平面向量的坐标运算，利用向量垂直则数量积为0是解题的关键，也是常考点，属于基础题.
9．A
根据向量平行的坐标表示，结合三角函数，即可求得锐角.
【详解】
因为，所以，
得，即，因为为锐角，
所以，即.
故选：A
10．A
利用向量共线的条件即可求得.
【详解】
因为，，所以.
又，，且与平行，
所以，
解得：=4.
故选：A.
11．C
利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可.
【详解】
由可知，＝﹣
＝＝
=.
故选：C.
12．A
根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
【详解】
∵∥，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴＝(－2，－4)，
∴2＋3＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
13．C
本题首先可设点的坐标为，然后通过题意得出，再然后写出、，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.
【详解】
设点的坐标为，
因为、、三点共线，所以，
因为，，所以，，
则，整理得，
将、、、代入中，只有满足，
故选：C.
关键点点睛：本题考查通过三点共线求点坐标，主要考查向量平行的相关性质，若，，，则，考查计算能力，是中档题.
14．C
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
15．A
设，（），则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意设，（），则，所以.
故选：A.
16．
由图形得B，E，D三点共线，可得，再由已知得，求解可得答案.
【详解】
∵B，E，D三点共线，，且，由题可知：，∴，
故答案为：.
本题考查向量的线性表示，三点共线的向量定理的运用，属于基础题.
17．
由向量加减法坐标运算求解．
【详解】
．
故答案为：．
18．
由向量的减法法则及向量的坐标运算即得.
【详解】
∵点P在延长线上，且，
∴，
∴即，又，，
∴.
故答案为：.
19．（1），（2）.
（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；
（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.
【详解】
（1），
；
（2）.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；
【详解】
解：（Ⅰ）因为，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（Ⅱ）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
21．(1)，，，，
(2)证明见解析
（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
(1)
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
(2)
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
22．
由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.
【详解】
如图所示：
因为，
所以，
所以，
即，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设，
则，
，
因为，
所以，
则，解得，
所以t的值是.
答案第1页，共2页
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