必修第二册6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
5．在中，若，，，则∠B=（ ）
A． B．
C． D．
6．若，且，则四边形ABCD的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
7．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心.已知，则角A的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
10．在△ABC中，，O为△ABC的重心，若，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A．(） B．(）
C．[) D．[，1)
二、填空题
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
14．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
15．在△ABC中，若则的最大值为___________
16．如图，在中，，，是边上的点，且，，则等于______.
三、解答题
17．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.
18．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求的面积.
20．小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的处，沿着与电视塔()垂直的水平马路驾驶机动车行驶，以南偏西60°的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点处望见电视塔的底端在东北方向上，设沿途处观察电视塔的仰角，的最大值为60°.
（1）小明开车从处出发到处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60°，约为多少分钟？(分钟保留两位小数)
（2）求东方明珠塔的高度约为多少米.(保留两位小数)
21．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽不计）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由余弦定理求解可得结果.
【详解】
由余弦定理可得：
又所以
故选：C
2．C
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
3．C
先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】
依题意，在中，，，
，可得，
则 ，
在中，，，则，
又中，，由余弦定理可得：
则.
故塔尖之间的距离为.
故选：C.
4．B
由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
5．C
利用正弦定理计算可得；
【详解】
解：在中，，，，由正弦定理可得，即，解得，因为，所以或，又，所以，所以；
故选：C
6．D
根据向量共线的性质及平面几何的性质可判断.
【详解】
解：∵
所以四边形是梯形
又
所以梯形是等腰梯形
故选：
本题考查向量共线的应用，属于基础题.
7．A
取的中点D，则可得，由余弦定理和基本不等式可得答案.
【详解】
取的中点D，则，
，所以，
又由，当且仅当时等号成立，
所以，
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．D
中由正弦定理求得后可得，从而得，角，得，用余弦定理可得．
【详解】
在中，根据正弦定理得，
由，
所以，
所以，
所以，则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以．
故选：D．
关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边．
9．C
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【详解】
A．因为，所以，
即
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以
，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：C
10．B
由所给条件变形可得，即三角形为正三角，由数量积的运算可求出三角形边长，再由正弦定理求外接圆半径即可.
【详解】
因为，
所以，即.
因为O为△ABC的重心，且，
所以△ABC为等边三角形.
因为，
所以.
因为，
所以△ABC外接圆的半径为.
故选：B
11．D
连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.
【详解】
解：连接，在正六边形中，，
∴，
∵正六边形的边长为2，∴，
因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，
所以当在上运动时，取得最大值，为，
当移动到点时，取得最小值，为0．
∴，，∴．
故选：D.
12．C
先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，再求函数值域的上限.
【详解】
由题意得，（当且仅当时取等号），
由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，
因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以
所以的取值范围是，
故选：C．
本题的难点在求函数的值域的上限，解答利用了函数的思想,以为自变量，先求自变量的取值范围，再利用余弦定理求得的解析式，最后换元求新函数的值域得解.
13．
利用余弦定理求得边c，再利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，
则，即，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
14．
由条件结合余弦定理可得出，然后利用二次函数的基本性质结合公式可求得面积的最大值.
【详解】
，则，
可得，
所以，.
当且仅当时，等号成立.
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
15．
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，可得sincos或，进而得出角的关系，再由正弦定理化边为角借助正弦函数的性质即可作答.
【详解】
△ABC中，由正弦定理得，即，
化简可得sincos或，因0于是得或A=B，而A=B时，a=b与矛盾，从而有A+B，即C，
因，由正弦定理，
则==，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
16．3
设AD=m，在中利用余弦定理建立三个关系式，联立即可作答.
【详解】
设AD=m，则有CD=m，BD=2m，BC=3m，
中，由余弦定理得：，
中，由余弦定理得：，
中，由余弦定理得：，
消去得：，从而得，解得，
所以等于3.
故答案为：3
关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.
17．B=30°，，，.
由三角函数值、三角形内角和性质确定、的大小，应用正弦定理求即可.
【详解】
由且，即，可知：.
∴，
由正弦定理，
∴，.
18．（1）；（2）.
（1）由，利用正弦定理，可得，化简整理即可得出．
（2）由余弦定理，可得，化简整理即可得出的值．
【详解】
解：（1）因为
由正弦定理，可得
又据为锐角知，
所以
又因为为锐角
所以
（2）据（1）求解知，
又，
所以
所以（舍）或
19．（1）；（2）；（3）.
（1）根据，利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到求解；
（2）根据，分别求得，再结合，利用两角和的正弦公式求解；
（3）结合，，利用余弦定理求得，代入面积公式求解；
【详解】
（1）因为，
所以，
，
因为，
所以，
所以；
（2）因为，所以，
所以，
，
所以，
.
（3）由余弦定理得，
，
又因为，，
所以，
所以三角形ABC的面积是.
方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
20．（1）分钟；（2）米.
（1）由题知，在中，千米，由正弦定理求出，且当时，最大，算出长，即可得时间；
（2）由（1）知当时，最大为，，计算即得结果.
【详解】
（1）由题知，在中，千米，
所以由正弦定理得，，所以，
在直角中，，因为不变，所以当时，最小，此时最大，故，所以分钟；
（2）由（1）知当时，最大为，此时，
所以千米，
故东方明珠塔的高度约为米.
关键点睛：本题的关键是能够推得当时，仰角最大.
21．(1)
(2)
（1）由已知可得，从而由余弦定理即可求出AC的长；
（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求出和，进而可得花卉种植区域总面积.
(1)
解：因为，，所以，
因为，，所以由余弦定理得，
因为，所以；
(2)
解：因为，
所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），
因为，所以，
所以，
因为，所以，
故，
所以花卉种植区域总面积为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页