必修第二册7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．设，其中，则下列命题中正确的是（ ）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
D．复数z在复平面上对应的点在第四象限
3．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
5．设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．若复数()是正实数，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
9．复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
11．若复数的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A． B． C．1 D．3
12．若复数满足，其中为虚数单位，则对应的点满足方程（ ）
A． B．
C． D．
13．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
14．已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
16．已知复数满足，则的最小值为_________ .
17．写出一个虚数z，使得为纯虚数，则___________.
18．已知复数（是虚数单位），则________．
三、解答题
19．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）．
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
20．已知为实数，设复数.
（1）当为虚数时，求的值；
（2）当对应的点在直线上，求的值.
21．实数x分别取什么值时，复数对应的点：
（1）第三象限；
（2）第四象限；
（3）直线上？
22．实数m分别为何值时，复数是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.
【详解】
对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；
对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；
对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；
对于④：设，由可得，所以，故④正确.
故选：B.
本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.
2．C
根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故ABD均错误，C正确.
故选：C.
3．A
设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答.
【详解】
设，，则，由得：，
即，于是得，解得，则有对应的点为，
所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.
故选：A
4．D
利用复数的除法运算，化简，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.
【详解】
，
的共扼复数为，的虚部为，
，在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：D.
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
5．B
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.
【详解】
因为，所以，解得，
所以.
故选：B.
6．B
因为为纯虚数，化简可得，则，设，用两点距离公式求解的最小值即可．
【详解】
由，
因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，所以得
所以，则
由于，故设且，
所以
故与之间的最小距离为1
故选：B．
7．D
根据复数的几何意义即可确定复数所在象限
【详解】
复数在复平面内对应的点为
则复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选：D
8．B
根据复数的分类标准列式求解即可.
【详解】
因为复数()是正实数，
所以，解得.
故选：B
9．A
设复数，由，利用其几何意义求解.
【详解】
解：设复数，
因为，
所以，
即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，
所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故选：A
10．A
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
11．D
对复数化简计算得，根据实部与虚部相等，解方程得解.
【详解】
由题：，实部与虚部相等，
所以，
解得：
故选：D
此题考查复数的基本运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则和对概念准确辨析.
12．B
设，代入中，再利用模的运算，即可得答案.
【详解】
设，代入得：.
故选：B.
本题考查复数模的运算、复数对应点的轨迹方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.
13．A
直接利用复数模的几何意义求出的轨迹．然后利用数形结合求解即可．
【详解】
解：
点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．
而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A
14．D
利用复数相等的知识列方程组，由此求得，进而求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：D
15．B
由题得，即得解.
【详解】
由题得，
它对应的点为，在第二象限.
故选：B
16．
首先求出复数的轨迹，再根据复数的几何意义计算可得；
【详解】
解：设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和；
显然当，即时，
故答案为：
17．（答案不唯一）．
设（，，），代入计算后由复数的定义求解．
【详解】
设（，，），则，因为为纯虚数，所以且.
任取不为零的实数，求出即可得，答案不确定，如，
故答案为：．
18．
利用复数模的概念求解即可.
【详解】
由，
得；
故答案为：.
19．（1）；（2）
(1)先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】
∵，∴.∴.
又∵为纯虚数，∴，解得．∴.
（1），∴；
（2）∵，∴，
又∵复数所对应的点在第一象限，
∴，解得：．
如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限;②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．
20．（1）且；（2）或.
（1）由已知条件可得出，即可解得的取值范围；
（2）求出复数对应的点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出关于实数的方程，即可解得的值.
【详解】
（1）当为虚数时，有，即，
解得且；
（2）复数对应的点在直线上，
所以，，即，
解得或，
所以，复数对应的点在直线上时，或.
21．（1）.（2）.（3）
写出复数对应点的坐标，
（1）由横纵坐标均小于0可得；
（2）横坐标为正，纵坐标为负可得；
（3）把点的坐标代入直线方程可得．
【详解】
因为x是实数，所以，也是实数.∴，
（1）当实数x满足
即时，点Z在第三象限.
（2）当实数x满足
即时，点Z在第四象限.
（3）当实数x满足，
即时，点Z在直线上.
本题考查复数的几何意义，写出复数对应点的坐标是解题关键．
22．（1）m=0或m=3；（2）且；（3）m=2.
（1）当复数的虚部等于零,复数为实数,由此求得m的值；
（2）当复数的虚部不等于零,复数为虚数,由此求得m的值；
（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时,列方程组,即由此求得m的值.
【详解】
复数.
（1）要使z为实数，只需，解得：m=0或m=3；
（2）要使z为虚数，只需，解得：且；
（3）要使z为纯虚数，只需，解得：m=2.
答案第1页，共2页
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