必修第二册7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．复数对应的点在复平面的第二象限
C．复数z的共轭复数 D．
4．若复数满足，其中为虚数单位，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
6．若且，则的最大和最小值分别为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
10．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．2
11．欧拉在年给出了著名的欧拉公式：是数学中最卓越的公式之一，其中底数，根据欧拉公式，任何一个复数，都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
13．复数的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A．且 B．且
C． D．
14．设，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
二、填空题
16．若是虚数单位，则复数= ____________.
17．设为虚数单位，则的虚部为______．
18．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.
三、解答题
19．已知复数（是虚数单位）．
（I）求复数z的模长；
（Ⅱ）若．求的值．
20．计算：
（1）；
（2）已知，，求，．
21．（1）已知，，，.问以上4个复数对应的点是否在同一个圆上？
（2）设.
（i）求，；
（ii）求.
22．已知复数，是实数.
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
2．B
根据共轭复数的定义判断．
【详解】
复数的共轭复数是．
故选：B．
3．B
由复数除法求出复数，然后可判断各选项．
【详解】
由已知得，所以复数z的虚部为，而不是，A错误；
在复平面内，复数z对应的点为，在第二象限，B正确.
，C错误；
，D错误；
故选：B．
本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．
4．A
先化简得，再求出得解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：A
5．D
根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.
【详解】
解：是纯虚数，
则，解得.
故选：D.
6．B
根据复数差的模的几何意义可得复数在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到，从而可得的值.
【详解】
因为，
故复数在复平面上对应的点到对应的点的距离小于或等于2，
所以在以为圆心，半径为2的圆面内或圆上，
又表示到复数对应的点的距离，
故该距离的最大值为，
最小值为，故.
故选：B.
本题考查复数中的几何意义，该几何意义为复平面上对应的两点之间的距离，注意也有明确的几何意义（可把化成），本题属于中档题.
7．B
设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
设，
由于对应点在第二象限，所以，
，，
，.
甲，
乙，
丙，
丁，
由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.
故选：B
8．D
根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】
因为，所以，
所以复数所对应的点的坐标为.
故选:D.
9．C
利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】
因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
10．C
先由条件有，求出复数，再求复数的模.
【详解】
由，则
所以
故选：C
本题考查复数的运算，复数的模，是基础题.
11．D
根据欧拉公式的定义求出，再根据复数的除法运算即可求解.
【详解】
∵，，
∴，
复数在复平面内对应的点为，点在第四象限.
故选：D.
12．C
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
13．D
利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】
因为为实数，
所以，
反之，当时，复数的平方是一个实数，
所以复数的平方是一个实数的充要条件是，
故选：D
14．C
由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】
由题意可得：.
故选：C.
15．A
根据虚数的运算性质，得到，得到，即可求解.
【详解】
根据虚数的性质知，
所以.
故选：A.
16．
根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】
解：
故答案为：
17．
根据复数除法运算化简复数，进而得结果
【详解】
故答案为：
易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为的形式，b就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算求解能力，属于易错题.
18．
先求出复数，计算出后可求的值.
【详解】
因为，故，所以，
故，故，
故答案为：.
知识点睛：
对任意的，
若，则，若，则，
若，则，若，则.
19．（I）（Ⅱ）
（I）首先根据复数代数形式的除法化简，再求复数的模即可；
（Ⅱ）根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件计算可得；
【详解】
解：（I），所以
（Ⅱ）因为，即，所以，所以解得
20．（1）（2）
（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；
（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.
【详解】
（1）；
（2），，
，
21．（1）四点不共圆； （2）（i），；（ii）.
（1）根据复数的几何意义，求得四个复数对应的点的坐标，结合圆的方程，即可求解；
（2）（i）根据复数的运算，准确运算，即可求解；（ii）根据的周期性，即可求解.
【详解】
（1）由题意，复数，，，，
根据复数的几何意义，可得复数对应的分别为，
设经过三点的圆的方程为，
可得，解得，
所以圆的方程为，即，
其中点不适合圆的方程，即点不在圆上，
所以四点不共圆.
（2）由，可得，
，
则，
又由，
可得，且是以为周期的循环，
所以.
22．(1)
(2)
（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，
（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果
(1)
因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
(2)
因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
答案第1页，共2页
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