人教A版（2019）数学必修第二册 第七章复数
一、单选题
1．（2020·漳州模拟）复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】设 ， ，
因为 ，所以 ，
即 .
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法设 ， ，根据复数模长及相等的充要条件列出方程组，解出即可得结果.
2．（2020·随县模拟）设复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 ，
.
故选：A.
【分析】根据复数四则运算化简z，可求z的模.
3．（2020·海南模拟）已知 ，复数 ， 在复平面内对应的点重合，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】依题知 ，解得 .
故选：A
【分析】根据两个点重合得两个复数相等，建立方程组求解.
4．（2020·许昌模拟）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】由 ，
得
故答案为：C.
【分析】利用虚数单位 的运算性质化简 ，再由复数模的计算公式，即可求得答案.
5．（2019高三上·广州月考）已知复数 ，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由题： ，
其共轭复数 ，对应点
在第一象限.
故答案为：A
【分析】根据复数运算法则求出 ，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限
6．（2020·洛阳模拟）已知复数 在复平面中对应的点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由于复数 在复平面中对应的点 满足 ，即复数 对应点在圆心为 ，半径为 的圆上， 表示复数对应的点到 的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以 .
故答案为：B
【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.
7．（2018高三上·长春期中）已知 是虚数单位，复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵ = +（i4）504 i3 ，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限．
故答案为：C．
【分析】结合复数的运算性质，化简z，结合复数的意义，即可得出答案。
8．（2018高二下·石家庄期末） 为虚数单位，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】解：由复数的基本运算性质，可得 ，其中 为自然数，
设 ，
两边同乘 可得：
两式相减可得
所以 ，
故答案为：C.
【分析】利用错位相减求和及虚数单位i的方幂的性质即可.
9．（2018·荆州模拟）若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∴复数 是纯虚数，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】由复数z纯虚数，列出方程组，求解可得m的值，然后代入z求出z，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
10．（2017·山西模拟）已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵ = =﹣1．
∴复数 = = + i
在复平面内对应的点（ ， ）在第一象限．
故选：A．
【分析】 = =﹣1．代入利用周期性即可得出．
11．（2017高二下·西安期中）设a，b为实数，若复数 ，则（ ）
A． B．a=3，b=1 C． D．a=1，b=3
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：由 可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以 ，解得 ， ，
故选A．
【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．
12．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A．-7 B． C．7 D．-7 或
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.
即 .因为 且 ，
所以 .所以 .
因为 .故选A.
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质，解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
二、填空题
13．（2020高二上·天津期末） 是虚数单位,则 的值为 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用复数的运算法则计算出 ，再根据求模的法则计算即可得出
14．（2018高二下·阿拉善左旗期末）若复数z满足 |z－i|≤ (i为虚数单位)， 则z在复平面内所对应的图形的面积为 ．
【答案】2π
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，
在复平面内对应点的 的轨迹是以 为圆心，
为半径的实心圆，
该圆的面积为 ，故答案为 .
【分析】由复数的几何意义可知z在复平面内所对应的图形是 为半径的实心圆，可得其面积.
15．（2018高二下·如东月考）若复数 （ ）是纯虚数（ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第 象限．
【答案】四
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由题意有： ，
此复数为纯虚数，则： ，解得： .
则： ，
在复平面内对应的点位于第四象限．
【分析】先把复数通过计算整理为a+bi的形式，再由纯虚数的概念列式，得到复数z的代数表示，即可确定在复平面内对应的象限.
16．（2018高二下·中山月考）已知复数 ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由 . 得， ，设 ，则 ， ， 的取值范 ，故大案为 .
【分析】本题利用复数的模求出x与y的关系方程，再利用参数方程的转化求出x与y，从而求出的表达式，再利用三角函数有关的性质不等式求出的最大值。
三、解答题
17．（2019高二下·舒兰月考）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位， ， 为实数．
（1）若 ， 为纯虚数，求 ；
（2）若 ，求 ， 的值．
【答案】（1）解：因为 为纯虚数，所以 ．
又 ，所以 ， ，从而 ．
因此 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ．又 ， 为实数，
所以
解得
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】(1)利用纯虚数的定义结合n的值求出m的值，再利用复数的加法运算法则求出复数，再利用复数的实部和虚部求出复数的模。
（2）利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则和复数相等的充要条件求出m,n的值。
18．（2020高二上·黄陵期末）已知复数 ， .
（1）求 及 并比较大小；
（2）设 ，满足条件 的点 的轨迹是什么图形？
【答案】（1）解： ，
，
∴ .
（2）解：由 及（1）知 .
因为 的几何意义就是复数 对应的点到原点的距离，所以 表示 所表示的圆外部所有点组成的集合， 表示 所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出 、 即可解答.（2）根据 的几何意义及（1）中所求的模 、 可知 的轨迹.
19．（2018高二下·抚顺期末）已知 是复数， 与 均为实数.
（1）求复数 ；
（2）复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：设 （ ， ），
∴ ，由题意得 ，
∴ ，
由题意得 ，
∴
（2）解：∵ ，
根据条件得 ，
解得 ，∴实数 的取值范围为
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）首先设出复数，根据题意，虚部为0，代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析，复数的实部和虚部均大于0，代入数据计算，即可得出答案。
20．（高中数学人教版选修2-2（理科） 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算（包括3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算） 同步练习）设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i.
求：
（1）f(z1－z2)的值；
（2）f(z1＋z2)的值．
【答案】（1）解：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i，
z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i＝1＋3i.
∵f(z)＝z－2i，
∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝5＋5i－2i＝5＋3i
（2）解：f(z1＋z2)＝z1＋z2－2i＝1＋3i－2i＝1＋i.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1(2))先计算复数的差与和,再由f(z)的表达式求得结果.
21．（2015高二下·咸阳期中）已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3 ﹣4，求|ω|；
（2）若 ，求a，b的值．
【答案】（1）解：因为ω=z2+3 ﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|= = ；
（2）解：由条件 ，得 ，
即 ，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴ ，解得
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】 【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．
22．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）已知复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．
（1）z是纯虚数；
（2）z对应的点在复平面的第二象限．
【答案】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3
（2）根据题意得 ，
由此得 ，
即
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3(2)根据题意得 ，
由此得 ，
即
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质、复数的基本概念，解决问题的关键是(1)因为是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0；（2）因为对应的点在第二象限，所以实部小于0，虚部大于0，解出 的取值范围．
1 / 1人教A版（2019）数学必修第二册 第七章复数
一、单选题
1．（2020·漳州模拟）复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020·随县模拟）设复数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
3．（2020·海南模拟）已知 ，复数 ， 在复平面内对应的点重合，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2020·许昌模拟）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2019高三上·广州月考）已知复数 ，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2020·洛阳模拟）已知复数 在复平面中对应的点 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2018高三上·长春期中）已知 是虚数单位，复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2018高二下·石家庄期末） 为虚数单位，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2018·荆州模拟）若复数 是纯虚数，其中 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2017·山西模拟）已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2017高二下·西安期中）设a，b为实数，若复数 ，则（ ）
A． B．a=3，b=1 C． D．a=1，b=3
12．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）若复数 是纯虚数，则 的值为（ ）
A．-7 B． C．7 D．-7 或
二、填空题
13．（2020高二上·天津期末） 是虚数单位,则 的值为 .
14．（2018高二下·阿拉善左旗期末）若复数z满足 |z－i|≤ (i为虚数单位)， 则z在复平面内所对应的图形的面积为 ．
15．（2018高二下·如东月考）若复数 （ ）是纯虚数（ 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第 象限．
16．（2018高二下·中山月考）已知复数 ，且 ，则 的最大值为 ．
三、解答题
17．（2019高二下·舒兰月考）已知复数 ，复数 ，其中 是虚数单位， ， 为实数．
（1）若 ， 为纯虚数，求 ；
（2）若 ，求 ， 的值．
18．（2020高二上·黄陵期末）已知复数 ， .
（1）求 及 并比较大小；
（2）设 ，满足条件 的点 的轨迹是什么图形？
19．（2018高二下·抚顺期末）已知 是复数， 与 均为实数.
（1）求复数 ；
（2）复数 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
20．（高中数学人教版选修2-2（理科） 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算（包括3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义，3.2.2复数代数形式的乘除运算） 同步练习）设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i.
求：
（1）f(z1－z2)的值；
（2）f(z1＋z2)的值．
21．（2015高二下·咸阳期中）已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3 ﹣4，求|ω|；
（2）若 ，求a，b的值．
22．（人教新课标A版选修1-2数学3.1数系的扩充和复数的概念同步检测）已知复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．
（1）z是纯虚数；
（2）z对应的点在复平面的第二象限．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】设 ， ，
因为 ，所以 ，
即 .
所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法设 ， ，根据复数模长及相等的充要条件列出方程组，解出即可得结果.
2．【答案】A
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 ，
.
故选：A.
【分析】根据复数四则运算化简z，可求z的模.
3．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】依题知 ，解得 .
故选：A
【分析】根据两个点重合得两个复数相等，建立方程组求解.
4．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】由 ，
得
故答案为：C.
【分析】利用虚数单位 的运算性质化简 ，再由复数模的计算公式，即可求得答案.
5．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由题： ，
其共轭复数 ，对应点
在第一象限.
故答案为：A
【分析】根据复数运算法则求出 ，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限
6．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由于复数 在复平面中对应的点 满足 ，即复数 对应点在圆心为 ，半径为 的圆上， 表示复数对应的点到 的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以 .
故答案为：B
【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.
7．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵ = +（i4）504 i3 ，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，-1），位于第三象限．
故答案为：C．
【分析】结合复数的运算性质，化简z，结合复数的意义，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】解：由复数的基本运算性质，可得 ，其中 为自然数，
设 ，
两边同乘 可得：
两式相减可得
所以 ，
故答案为：C.
【分析】利用错位相减求和及虚数单位i的方幂的性质即可.
9．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∴复数 是纯虚数，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】由复数z纯虚数，列出方程组，求解可得m的值，然后代入z求出z，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
10．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵ = =﹣1．
∴复数 = = + i
在复平面内对应的点（ ， ）在第一象限．
故选：A．
【分析】 = =﹣1．代入利用周期性即可得出．
11．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：由 可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以 ，解得 ， ，
故选A．
【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．
12．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.
即 .因为 且 ，
所以 .所以 .
因为 .故选A.
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质，解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用复数的运算法则计算出 ，再根据求模的法则计算即可得出
14．【答案】2π
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，
在复平面内对应点的 的轨迹是以 为圆心，
为半径的实心圆，
该圆的面积为 ，故答案为 .
【分析】由复数的几何意义可知z在复平面内所对应的图形是 为半径的实心圆，可得其面积.
15．【答案】四
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由题意有： ，
此复数为纯虚数，则： ，解得： .
则： ，
在复平面内对应的点位于第四象限．
【分析】先把复数通过计算整理为a+bi的形式，再由纯虚数的概念列式，得到复数z的代数表示，即可确定在复平面内对应的象限.
16．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】由 . 得， ，设 ，则 ， ， 的取值范 ，故大案为 .
【分析】本题利用复数的模求出x与y的关系方程，再利用参数方程的转化求出x与y，从而求出的表达式，再利用三角函数有关的性质不等式求出的最大值。
17．【答案】（1）解：因为 为纯虚数，所以 ．
又 ，所以 ， ，从而 ．
因此 ．
（2）解：因为 ，所以 ，
即 ．又 ， 为实数，
所以
解得
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】(1)利用纯虚数的定义结合n的值求出m的值，再利用复数的加法运算法则求出复数，再利用复数的实部和虚部求出复数的模。
（2）利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则和复数相等的充要条件求出m,n的值。
18．【答案】（1）解： ，
，
∴ .
（2）解：由 及（1）知 .
因为 的几何意义就是复数 对应的点到原点的距离，所以 表示 所表示的圆外部所有点组成的集合， 表示 所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用复数的模的计算公式求出 、 即可解答.（2）根据 的几何意义及（1）中所求的模 、 可知 的轨迹.
19．【答案】（1）解：设 （ ， ），
∴ ，由题意得 ，
∴ ，
由题意得 ，
∴
（2）解：∵ ，
根据条件得 ，
解得 ，∴实数 的取值范围为
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）首先设出复数，根据题意，虚部为0，代入数据计算，即可得出答案。
（2）根据题意分析，复数的实部和虚部均大于0，代入数据计算，即可得出答案。
20．【答案】（1）解：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝(3＋2)＋(4＋1)i＝5＋5i，
z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2－i)＝(3－2)＋(4－1)i＝1＋3i.
∵f(z)＝z－2i，
∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝5＋5i－2i＝5＋3i
（2）解：f(z1＋z2)＝z1＋z2－2i＝1＋3i－2i＝1＋i.
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1(2))先计算复数的差与和,再由f(z)的表达式求得结果.
21．【答案】（1）解：因为ω=z2+3 ﹣4═（1+i）2+3（1﹣i）﹣4=﹣1﹣i，|ω|= = ；
（2）解：由条件 ，得 ，
即 ，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴ ，解得
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】 【分析】（1）把z代入表达式，直接展开化简，通过复数的模的计算解法即可．（2）把z代入表达式，利用多项式展开，化简左边的复数，然后通过复数相等，得到方程组求出a，b的值即可．
22．【答案】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3
（2）根据题意得 ，
由此得 ，
即
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】（1）由 是纯虚数得
即 所以m=3(2)根据题意得 ，
由此得 ，
即
【分析】本题主要考查了虚数单位i及其性质、复数的基本概念，解决问题的关键是(1)因为是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0；（2）因为对应的点在第二象限，所以实部小于0，虚部大于0，解出 的取值范围．
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