高中数学人教新课标A版 选修2-1 1.4全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2020高二下·江西期中）下列四个命题中的真命题为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2019高一上·三亚期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．所有菱形的 条边都相等
C．若 为偶数，则 D． 是无理数
3．（2019高二上·四川期中）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2018高二下·哈尔滨月考）命题“ ”的否定是（ ）
A． x0∈ RQ，x03∈Q B．
C． D．
5．（高中数学人教版选修1-1（文科） 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词，1.4.2存在量词）若“ ， ”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2017高二下·资阳期末）若对 x∈[0，+∞），不等式2ax≤ex﹣1恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2017高二下·临淄期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B．命题“ x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““ x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减
D．“φ= ”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件
8．（2020·广州模拟）已知命题 ： R， ；命题 ： R， ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2017·聊城模拟）已知函数f（x）在R上单调递增，若 x∈R，f（|x+1|）≤f（log2a﹣|x+2|），则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．[8，+∞） D．（0，2]
10．（2018高二下·柳州月考）若对任意 ，总存在唯一 使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（人教新课标A版选修1-1数学1.3简单的逻辑联结词同步检测）已知：命题p：“a=1是 的充分必要条件”；命题q：“ ，”则下列结论错误的是 ( )
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“（ ）∧q”是真命题
C．命题“p∧（）”是真命题
D．命题“（)∧（）”是真命题
12．（人教新课标A版选修1-1数学1.4全称量词与存在量词同步检测）已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
二、多选题
13．（2020高二上·徐州期末）给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．
B．
C． 使得
D． ，使得
三、填空题
14．（2018高二下·虎林期末）已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是 .
15．（2019高二上·洮北期中）命题“ x0∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
16．（2018高二上·湖北月考）若“ ， ”是真命题，则实数 的最小值为 .
17．（2019高二上·思明期中）若 为真命题，则实数 的最大值为 ．
四、解答题
18．（人教新课标A版选修1-1数学1.4全称量词与存在量词同步检测）判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；
（1）；
（2）.
19．（ 特称命题）判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p： x∈R，x2+2x+5＞0．
20．（ 全称命题）是否存在整数m，使得命题“ x∈R，m2﹣m＜x2+x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
21．（2017高二下·沈阳期末）已知命题 “ ， ”；命题 “ ， ”，若命题“ ”是真命题，求实数 的取值范围.
22．（2018高二上·梅河口期末）已知命题 方程 没有实数根；命题 .
（1）写出命题 的否定“ ”.
（2）如果“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围.
23．（2020·海南模拟）已知 ， ； ， .
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 与 的真假性相同，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】对A．当 时， ，A不符合题意；
对B．当 时， ，此时 ，故错误；
对C． ，正确；
对D．当 时， ，故错误．
故答案为：C．
【分析】利用全称命题和特称命题的真假性判断方法，从而选出真命题的选项。
2．【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】四个选项中 是全称量词命题
对于 ： 当 时，不成立，为假命题.
对于 ：根据菱形定义知：所有菱形的 条边都相等，为真命题.
故答案为：
【分析】先判断 是全称量词命题，再判断 为假命题， 为真命题得到答案.
3．【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ”的否定是“ ， ”.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】全称量词；存在量词；全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ x0∈ RQ，x03∈Q ”的否定是 x∈ RQ，x3 Q.
故答案为： .
【分析】本题根据全称命题和特称命题的互相否定的关系加以解决。注意该否定的地方一定要一一否定完，不要漏掉以免出错。
5．【答案】A
【知识点】存在量词
【解析】【解答】“ ， ”为真命题，
①当 时，显然满足题意；
②当 时，要满足题 意需满足 ，可得 .
综上，知实数a的取值范围是 .
【分析】根据题意，将a的值分两种情况讨论即可.
6．【答案】A
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：对 x∈[0，+∞），不等式2ax≤ex﹣1恒成立，
设y=2ax，y=ex﹣1，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y=2ax和y=ex﹣1的图象如图所示；
则y′=ex，令x=0，得k=e0=1；
∴曲线y=ex﹣1过点O（0，0）的切线斜率为k=1；
根据题意得2a≤1，解得a≤ ，
∴a的最大值为 ．
故选：A．
【分析】对 x∈[0，+∞），不等式2ax≤ex﹣1恒成立，
等价于函数y=2ax的图象始终在函数y=ex﹣1图象的下方，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y=2ax和y=ex﹣1的图象，结合图象求出a的最大值．
7．【答案】D
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；
对于B，命题“ x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““ x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；
对于C，a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上是减函数，命题正确；
对于D，φ= 时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，
y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+ ，k∈Z，必要性不成立；
∴是充分不必要条件，命题错误．
故选：D．
【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；
B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；
C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；
D说明充分性与必要性是否成立即可．
8．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对命题 ：
可知 ，
所以 R，
故命题 为假命题
命题 ：
取 ，可知
所以 R，
故命题 为真命题
所以 为真命题
故答案为：B
【分析】根据 ，可知命题 的真假，然后对x取值，可得命题 q的真假，最后根据真值表，可得结果.
9．【答案】A
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：∵函数f（x）在R上单调递增，
∴若 x∈R，f（|x+1|）≤f（log2a﹣|x+2|），
等价为若 x∈R，|x+1|≤log2a﹣|x+2|成立，
即|x+1|+|x+2|≤log2a成立，
∵|x+1|+|x+2|≥|x+2﹣x﹣1|=1，
∴log2a≥1，即a≥2即可，
故选：A．
【分析】根据函数单调性将不等式进行转化结合绝对值不等式的性质进行求最值即可．
10．【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：由m+x2ex﹣a=0成立，得x2ex=a﹣m，
∴对任意的m∈[0，1]，总存在唯一的x∈[﹣1，1]，使得m+x2ex﹣a=0成立，
∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，
解得1+ ≤a≤e，
其中a=1+ 时，x存在两个不同的实数，因此舍去，
a的取值范围是（1+ ，e]．
故答案为：B．
【分析】将恒成立问题转化为函数求最值问题，即可求出a的取值范围.
11．【答案】C
【知识点】逻辑联结词“或”；逻辑联结词“且”；逻辑联结词“非”
【解析】【解答】对于命题p，当a=1时，由均值不等式知，若 显然成立.但当 时，a未必取 1，所以a=1是 的充分不必要条件，故p为假命题， p为真命题.对于命题q，取x=2，显然成立，所以q为真命题， q为假命题.
故选C.
【分析】先判断命题p：“a=1是 的充分必要条件”的真假，及判断命题q：“ ，”的真假，再判断复合命题的真假性即可
12．【答案】A
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】“由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.故选A.
【分析】因为命题“p且q”是真命题，所以p和q同时为真命题；判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断即可。
13．【答案】A,B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】 ，即 ，所以A符合题意；
，即 ，所以B符合题意；
当 时， ，所以C符合题意；
当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ABCD
【分析】对每个命题逐一检验证明其成立或举出反例判定该选项错误.
14．【答案】
【知识点】全称量词
【解析】【解答】由题意得不等式 对 恒成立．
①当 时，不等式 在 上恒成立，符合题意．
②当 时，若不等式 对 恒成立，
则 ，解得 ．
综上可得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【分析】对a的取值分类讨论，先考虑a=0时，1>0恒成立， a ≠ 0 ，结合二次函数的图象，转化为二次项系数与判别式的不等式，解不等式组求出a的取值范围即可.
15．【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】由题得“ x0∈R, ”为真命题,
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】由题得“ x0∈R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于 的不等式，解不等式即得解.
16．【答案】0
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】由 ，可得 ,
所以“ ， ”是真命题可得
即m的最小值为0.
【分析】利用全称命题为真的条件分析得出m的取值范围，从而求出m的最小值。
17．【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】当 时，
又 ，设 ，
设
当 时，取得最大值 .
若 为真命题，
，
即 ,
的最大值是5.
故填:5.
【分析】根据题意转化为 ，利用 ，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.
18．【答案】（1）【解答】全称命题
由于 ，当 x=0 时， 不成立，故为假命题；
（2）【解答】特称命题 真命题
由于 ，当x=-1 时能使 x3<1 ，所以（2）为真命题.
【知识点】全称量词命题
【解析】【分析】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素 ，验证 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 ，使 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 ，使 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
19．【答案】（1）解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“ x∈R，使x2+x+1≠0成立”
（2）解：由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“ x∈R，x2+2x+5≤0”
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．
20．【答案】解：假设存在整数m，使得命题是真命题．
由于对于 x∈R，x2+x+1=（x+ ）2+ ≥ ＞0，
因此只需m2﹣m≤0，即0≤m≤1．
故存在整数m=0或m=1，使得命题是真命题
【知识点】全称量词命题
【解析】【分析】利用全称命题为真命题，建立关于参数的条件不等式，即可求出m的值．
21．【答案】解：P： ，∴ ， ，∴ ．
，则 ，
解得： 或 ．
若“ ”是真命题，则p是真命题且q是真命题，
即 ，∴
【知识点】逻辑联结词“且”；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，利用“p且q”是真命题，即可求a的取值范围.
22．【答案】（1）解：
（2）解：若方程 没有实数根，则 ，解得 ，即 .
若 ，则 ，解得 ，即 .
因为“ ”为真命题，“ ”为假命题，所以 两命题应一真一假，即 真 假或 假 真.
则 或
解得 或 .
【知识点】逻辑联结词“或”；逻辑联结词“且”；逻辑联结词“非”
【解析】【分析】（1）全称命题和特称命题的相互转化；
（2）命题真假转化为集合的交补运算。
23．【答案】（1）解：∵ ，∴ 且 ，
解得 .所以当 为真命题时，实数 的取值范围是 .
（2）解： ， .
又∵当 时， ，∴ .
∵ 与 的真假性相同.
当 假 假时，有 ，解得 ；
当 真 真时，有 ，解得 .
∴当 与 的真假性相同时，可得 或 .
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）即求 解集为 时， 的取值范围，对 分类讨论，结合根的判别式，即可求解；（2）先求出 为真时 的范围，转化为求 ，再由命题的真假，求出结论.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-1 1.4全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2020高二下·江西期中）下列四个命题中的真命题为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】对A．当 时， ，A不符合题意；
对B．当 时， ，此时 ，故错误；
对C． ，正确；
对D．当 时， ，故错误．
故答案为：C．
【分析】利用全称命题和特称命题的真假性判断方法，从而选出真命题的选项。
2．（2019高一上·三亚期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A． B．所有菱形的 条边都相等
C．若 为偶数，则 D． 是无理数
【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】四个选项中 是全称量词命题
对于 ： 当 时，不成立，为假命题.
对于 ：根据菱形定义知：所有菱形的 条边都相等，为真命题.
故答案为：
【分析】先判断 是全称量词命题，再判断 为假命题， 为真命题得到答案.
3．（2019高二上·四川期中）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ”的否定是“ ， ”.
故答案为：A.
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
4．（2018高二下·哈尔滨月考）命题“ ”的否定是（ ）
A． x0∈ RQ，x03∈Q B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全称量词；存在量词；全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ x0∈ RQ，x03∈Q ”的否定是 x∈ RQ，x3 Q.
故答案为： .
【分析】本题根据全称命题和特称命题的互相否定的关系加以解决。注意该否定的地方一定要一一否定完，不要漏掉以免出错。
5．（高中数学人教版选修1-1（文科） 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词，1.4.2存在量词）若“ ， ”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】存在量词
【解析】【解答】“ ， ”为真命题，
①当 时，显然满足题意；
②当 时，要满足题 意需满足 ，可得 .
综上，知实数a的取值范围是 .
【分析】根据题意，将a的值分两种情况讨论即可.
6．（2017高二下·资阳期末）若对 x∈[0，+∞），不等式2ax≤ex﹣1恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：对 x∈[0，+∞），不等式2ax≤ex﹣1恒成立，
设y=2ax，y=ex﹣1，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y=2ax和y=ex﹣1的图象如图所示；
则y′=ex，令x=0，得k=e0=1；
∴曲线y=ex﹣1过点O（0，0）的切线斜率为k=1；
根据题意得2a≤1，解得a≤ ，
∴a的最大值为 ．
故选：A．
【分析】对 x∈[0，+∞），不等式2ax≤ex﹣1恒成立，
等价于函数y=2ax的图象始终在函数y=ex﹣1图象的下方，其中x≥0；
在同一坐标系中画出函数y=2ax和y=ex﹣1的图象，结合图象求出a的最大值．
7．（2017高二下·临淄期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B．命题“ x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““ x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减
D．“φ= ”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件
【答案】D
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；
对于B，命题“ x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““ x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；
对于C，a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上是减函数，命题正确；
对于D，φ= 时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，
y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+ ，k∈Z，必要性不成立；
∴是充分不必要条件，命题错误．
故选：D．
【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；
B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；
C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；
D说明充分性与必要性是否成立即可．
8．（2020·广州模拟）已知命题 ： R， ；命题 ： R， ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对命题 ：
可知 ，
所以 R，
故命题 为假命题
命题 ：
取 ，可知
所以 R，
故命题 为真命题
所以 为真命题
故答案为：B
【分析】根据 ，可知命题 的真假，然后对x取值，可得命题 q的真假，最后根据真值表，可得结果.
9．（2017·聊城模拟）已知函数f（x）在R上单调递增，若 x∈R，f（|x+1|）≤f（log2a﹣|x+2|），则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．[4，+∞） C．[8，+∞） D．（0，2]
【答案】A
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】解：∵函数f（x）在R上单调递增，
∴若 x∈R，f（|x+1|）≤f（log2a﹣|x+2|），
等价为若 x∈R，|x+1|≤log2a﹣|x+2|成立，
即|x+1|+|x+2|≤log2a成立，
∵|x+1|+|x+2|≥|x+2﹣x﹣1|=1，
∴log2a≥1，即a≥2即可，
故选：A．
【分析】根据函数单调性将不等式进行转化结合绝对值不等式的性质进行求最值即可．
10．（2018高二下·柳州月考）若对任意 ，总存在唯一 使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】解：由m+x2ex﹣a=0成立，得x2ex=a﹣m，
∴对任意的m∈[0，1]，总存在唯一的x∈[﹣1，1]，使得m+x2ex﹣a=0成立，
∴a﹣1≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，
解得1+ ≤a≤e，
其中a=1+ 时，x存在两个不同的实数，因此舍去，
a的取值范围是（1+ ，e]．
故答案为：B．
【分析】将恒成立问题转化为函数求最值问题，即可求出a的取值范围.
11．（人教新课标A版选修1-1数学1.3简单的逻辑联结词同步检测）已知：命题p：“a=1是 的充分必要条件”；命题q：“ ，”则下列结论错误的是 ( )
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“（ ）∧q”是真命题
C．命题“p∧（）”是真命题
D．命题“（)∧（）”是真命题
【答案】C
【知识点】逻辑联结词“或”；逻辑联结词“且”；逻辑联结词“非”
【解析】【解答】对于命题p，当a=1时，由均值不等式知，若 显然成立.但当 时，a未必取 1，所以a=1是 的充分不必要条件，故p为假命题， p为真命题.对于命题q，取x=2，显然成立，所以q为真命题， q为假命题.
故选C.
【分析】先判断命题p：“a=1是 的充分必要条件”的真假，及判断命题q：“ ，”的真假，再判断复合命题的真假性即可
12．（人教新课标A版选修1-1数学1.4全称量词与存在量词同步检测）已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
【答案】A
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】“由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤1，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2或a＝1.故选A.
【分析】因为命题“p且q”是真命题，所以p和q同时为真命题；判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断即可。
二、多选题
13．（2020高二上·徐州期末）给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．
B．
C． 使得
D． ，使得
【答案】A,B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【解答】 ，即 ，所以A符合题意；
，即 ，所以B符合题意；
当 时， ，所以C符合题意；
当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ABCD
【分析】对每个命题逐一检验证明其成立或举出反例判定该选项错误.
三、填空题
14．（2018高二下·虎林期末）已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】全称量词
【解析】【解答】由题意得不等式 对 恒成立．
①当 时，不等式 在 上恒成立，符合题意．
②当 时，若不等式 对 恒成立，
则 ，解得 ．
综上可得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【分析】对a的取值分类讨论，先考虑a=0时，1>0恒成立， a ≠ 0 ，结合二次函数的图象，转化为二次项系数与判别式的不等式，解不等式组求出a的取值范围即可.
15．（2019高二上·洮北期中）命题“ x0∈R, ”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】由题得“ x0∈R, ”为真命题,
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】由题得“ x0∈R, ”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于 的不等式，解不等式即得解.
16．（2018高二上·湖北月考）若“ ， ”是真命题，则实数 的最小值为 .
【答案】0
【知识点】全称量词命题
【解析】【解答】由 ，可得 ,
所以“ ， ”是真命题可得
即m的最小值为0.
【分析】利用全称命题为真的条件分析得出m的取值范围，从而求出m的最小值。
17．（2019高二上·思明期中）若 为真命题，则实数 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】存在量词命题
【解析】【解答】当 时，
又 ，设 ，
设
当 时，取得最大值 .
若 为真命题，
，
即 ,
的最大值是5.
故填:5.
【分析】根据题意转化为 ，利用 ，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.
四、解答题
18．（人教新课标A版选修1-1数学1.4全称量词与存在量词同步检测）判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；
（1）；
（2）.
【答案】（1）【解答】全称命题
由于 ，当 x=0 时， 不成立，故为假命题；
（2）【解答】特称命题 真命题
由于 ，当x=-1 时能使 x3<1 ，所以（2）为真命题.
【知识点】全称量词命题
【解析】【分析】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素 ，验证 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 ，使 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 ，使 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
19．（ 特称命题）判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；
（2）p： x∈R，x2+2x+5＞0．
【答案】（1）解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，
因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“ x∈R，使x2+x+1≠0成立”
（2）解：由于“ x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，
因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“ x∈R，x2+2x+5≤0”
【知识点】全称量词命题；存在量词命题
【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．
20．（ 全称命题）是否存在整数m，使得命题“ x∈R，m2﹣m＜x2+x+1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：假设存在整数m，使得命题是真命题．
由于对于 x∈R，x2+x+1=（x+ ）2+ ≥ ＞0，
因此只需m2﹣m≤0，即0≤m≤1．
故存在整数m=0或m=1，使得命题是真命题
【知识点】全称量词命题
【解析】【分析】利用全称命题为真命题，建立关于参数的条件不等式，即可求出m的值．
21．（2017高二下·沈阳期末）已知命题 “ ， ”；命题 “ ， ”，若命题“ ”是真命题，求实数 的取值范围.
【答案】解：P： ，∴ ， ，∴ ．
，则 ，
解得： 或 ．
若“ ”是真命题，则p是真命题且q是真命题，
即 ，∴
【知识点】逻辑联结词“且”；命题的真假判断与应用
【解析】【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，利用“p且q”是真命题，即可求a的取值范围.
22．（2018高二上·梅河口期末）已知命题 方程 没有实数根；命题 .
（1）写出命题 的否定“ ”.
（2）如果“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：
（2）解：若方程 没有实数根，则 ，解得 ，即 .
若 ，则 ，解得 ，即 .
因为“ ”为真命题，“ ”为假命题，所以 两命题应一真一假，即 真 假或 假 真.
则 或
解得 或 .
【知识点】逻辑联结词“或”；逻辑联结词“且”；逻辑联结词“非”
【解析】【分析】（1）全称命题和特称命题的相互转化；
（2）命题真假转化为集合的交补运算。
23．（2020·海南模拟）已知 ， ； ， .
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 与 的真假性相同，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ，∴ 且 ，
解得 .所以当 为真命题时，实数 的取值范围是 .
（2）解： ， .
又∵当 时， ，∴ .
∵ 与 的真假性相同.
当 假 假时，有 ，解得 ；
当 真 真时，有 ，解得 .
∴当 与 的真假性相同时，可得 或 .
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】（1）即求 解集为 时， 的取值范围，对 分类讨论，结合根的判别式，即可求解；（2）先求出 为真时 的范围，转化为求 ，再由命题的真假，求出结论.
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