中考总复习之分类讨论问题
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中考总复习专题之分类讨论思想
【知识梳理】
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。对于因存在一些不确定因素、无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．
【课前预习】
1、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
2、矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 cm2.
3、若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是 .
4、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．
5、如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
【例题精讲】
例1、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
例2、如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后 秒两圆相切．
例3、如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
例4、已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k
(a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值
例5、如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.
【课后作业】 班级 姓名
一、必做题：
1．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是 ( )
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
2．一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知⊙O的直径AB＝40，弦CD⊥AB于点E，且CD＝32，则AE的长为 ( )
A．12 B．8 C．12或28 D．8或32
4．如图，⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的半径为3，
当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是( )
A．2 B．7
C．2或5 D．2或8
5．已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为_______cm2．
6．在平面直角坐标系中，若点M(－1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是________．
7．已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为_______．
8．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2．则⊙O上有且只有_______个点到直线AB的距离为3．
9．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______．
10．一次函数y＝的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C(a，0)(a<0)使△ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数解析式．
11．如图，直线l1的函数解析式为y＝3x＋6，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为(8，0)．又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动的时间为t(1 (1)求直线l2的函数解析式；
(2)设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
(3)试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
二、选做题：
12、已知实数a、b满足试求代数式的值．
13、已知关于x的方程的两根满足，求x 的值．
【知识梳理】
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。对于因存在一些不确定因素、无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．
【课前预习】
1、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
2、矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为 cm2.
3、若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是 .
4、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．
5、如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
【例题精讲】
例1、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计)，请你计算这块等腰三角形菜地的面积．
例2、如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后 秒两圆相切．
例3、如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
例4、已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k
(a＞0)，经过其中三个点．
(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值
例5、如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2. 过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F.
（1）求tan∠ADE的值；
（2）点G是线段AD上的一个动点，GH⊥DE，垂足为H. 设DG为x，四边形AEHG的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式；
（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切. 问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径.
【课后作业】 班级 姓名
一、必做题：
1．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则这个三角形的周长是 ( )
A．11 B．13 C．11或13 D．11和13
2．一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．已知⊙O的直径AB＝40，弦CD⊥AB于点E，且CD＝32，则AE的长为 ( )
A．12 B．8 C．12或28 D．8或32
4．如图，⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC＝4，⊙B的半径为3，
当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是( )
A．2 B．7
C．2或5 D．2或8
5．已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为_______cm2．
6．在平面直角坐标系中，若点M(－1，3)与点N(x，3)之间的距离是5，则x的值是________．
7．已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为_______．
8．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2．则⊙O上有且只有_______个点到直线AB的距离为3．
9．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_______．
10．一次函数y＝的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C(a，0)(a<0)使△ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数解析式．
11．如图，直线l1的函数解析式为y＝3x＋6，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为(8，0)．又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动的时间为t(1
(2)设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
(3)试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
二、选做题：
12、已知实数a、b满足试求代数式的值．
13、已知关于x的方程的两根满足，求x 的值．
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