人教版初中数学九年级下册第二十七章《相似》单元测试卷（困难）（含答案）

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人教版初中数学九年级下册第二十七章《相似》单元测试卷
考试范围：第二十七章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是
A. B. C. D.
已知中，，用尺规过作一条直线，使其将分成两个相似的三角形，其作法不正确的是
A. B.
C. D.
将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是
A. 新三角形与原三角形相似
B. 新矩形与原矩形相似
C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似
如图，在中，，，，以为圆心、为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形的对角线上取一点使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：；；；则其中正确的结论有
A. B. C. D.
如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连按、，有以下结论：∽；是等腰直角三角形；当时，；；若点是的中点，则，其中正确的个数是
A. B. C. D.
如图，在平面直角标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，按此规律，经第次变换后，所得等边出角形的顶点的坐标为，则的值是
A. B. C. D.
如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的像是设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是
A.
B.
C.
D.
如图，，是平行四边形对角线上两点，连接，并延长，分别交、于点、，连接，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为，的面积为，则四边形的面积是
A.
B.
C.
D.
如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，点在上，将矩形沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点若抛物线且为常数的顶点落在的内部，则的取值范围是
A. B. C. D.
如图，在正方形中，点是上一动点不与、重合，对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、下列结论：
≌；
；
；
∽；
点在、两点的连线上．
其中正确的是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______．
如图，正方形中，，，点在上运动不与、重合，过点作，交于点，则的最大值为 ．
如图，已知平分，，，，，则_____．
如图，是的直径，点是上的一动点，当与相似时，等于______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
如图，是正方形对角线上一点，作，，垂足分别为点，求证：四边形与四边形相似．
阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形是矩形的“加倍”矩形．
解决问题：
当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
边长为的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
在图中，若，则的长为____
如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点的对应点为，得折痕．试说明：点是的黄金分割点．
在中，，，平分交于点
求证：；
如图，在中，弦与直径垂直，垂足为，的延长线上有一点，满足过点作，交的延长线于点，连接交于点．
求证：是的切线；
如果，，求的值；
如果，求证：．
如图，在正方形中，，是对角线上的一个动点，连接，过点作交于点．
如图，求证：；
如图，连接，为的中点，的延长线交边于点，当时，求和的长；
如图，过点作于，当时，求的面积．
如图，小明站在竖立的电线杆前处时的影子长为，他向电线杆走了到达处时的影子长为若小明的身高为．
求电线杆的长；
找出的位似图形，并指出位似中心．
如图所示的网格中，每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标为．
把格点绕点按逆时针方向旋转后得到，请画出，并写出点的坐标；
以点为位似中心放大，得到，使放大前后的面积之比为：，请在下面网格内画出．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
对折后所得的矩形与原矩形相似，
，，
：：，
大矩形与小矩形的相似比是：．
故选A．
设原矩形的长为，宽为，表示出对折后的矩形的宽为，然后根据相似多边形对应边成比例列出比例式，即可得出大矩形与小矩形的相似比．
本题考查的是相似多边形的性质、矩形的性质，掌握相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
D、无法判断∽，故本选项符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似图形的判断，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
【解答】
解：如图所示：
根据题意得：，，，
，，
∽；
如图：
设矩形的长和宽分别为，，由题图知，则扩大后的长和宽分别为，，列比例式后相减得不等于零．
新矩形与原矩形对应边的比不相等，
新矩形与原矩形不相似．
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，在上截取，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，在上截取，使得，连接，，．
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
的最小值为．
故选：．
5.【答案】
【解析】证明：四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，故正确；
在上取一点，使，连结，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，故正确；
过作交于，
根据勾股定理求出，
由面积公式得：，
，
，，
，，
，故正确；
在中，，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：．
由正方形的性质可以得出，，通过证明≌，就可以得出；
在上取一点，使，连结，再通过条件证明≌就可以得出；
过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得；
解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得∽，求得．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，四边形是正方形，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，故正确，
，
是等腰直角三角形，故正确，
在和中，
，
≌，
，
，
，
假设正方形边长为，设，则，
如图，连接，交于，
，，
是的垂直平分线，
，，
中，，
中，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，故不正确，
如图，
将绕点顺时针旋转得到，则，，
，
，
、、三点共线，
在和中，
，
≌，
，故正确，
如图中，设正方形的边长为，则，，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
如图，证明∽和∽，
利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断；
先证明，假设正方形边长为，设，则，表示的长为可作判断；
如图，将绕点顺时针旋转得到，证明≌，则，可作判断；
如图中，设正方形的边长为，则，，想办法求出，即可判断．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
7.【答案】
【解析】解：是等边三角形，边长为，
点的坐标为，
由位似变换的性质可知，点的坐标为，即，
点的坐标为，即，
由题意得，，
解得，，
故选：．
根据等边三角形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代入计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平行四边形性质和相似三角形的性质，关键是知道平行四边形的性质．
首先根据平行四边形的性质证得∽，∽，进一步得到∽，最后利用相似三角形的性质即可得到答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，，
，，，
∽，∽，
，
，
，，
∽，
，
．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．利用∽得到，所以，，则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形的面积．
【解答】
解：如图，
根据题意得∽，
设，则，
，解得，
，
四边形的面积．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题是二次函数的综合题，主要考查的是矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等有关知识，先判断出∽得出，，，再过点作于，分别与、交于点、，过点作于点，首先利用勾股定理求得线段的长，从而求得线段的长，再利用∽得到比例线段求得线段的长，最后求得的取值范围．
【解答】
解：如图，过点作轴于，交延长线于，
，，
∽，
，
设，，
，，
代入得，，
根据勾股定理得，，
由得，舍
，，
点的坐标为，点，
，
，，．
过点作于，分别与、交于点、，过点作于点，则，
，，
∽．
，
．
．
点的纵坐标为．
，
此抛物线的顶点必在直线上．
又抛物线的顶点落在的内部，
此抛物线的顶点必在上．
，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：四边形是正方形
．
在和中，
，
≌，故正确；
，
同理，．
正方形中，
又，，
，且中
四边形是矩形．
，
，
又，，，
，故正确；
四边形是矩形，
，
在直角中，，
，故正确．
是等腰直角三角形，而不一定是，故错误；
垂直平分线段，垂直平分线段，
，，
，
点是的外接圆的圆心，
，
是直径，
，，共线，故正确．
故选：．
依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断和以及、都是等腰直角三角形，四边形是矩形，从而作出判断．
本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识和以及、都是等腰直角三角形，四边形是矩形是关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设，交于，
四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．
先证明∽，得到与有关的比例式，设，，则，代入解析式，得到与的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】
解：，，
．
又，
∽，
，
设，，则，
，化简得，
整理得，
所以当时，有最大值为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
如图，首先证明，求出；证明∽，列出比例式，求出即可解决问题．该题主要考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握等腰三角形的判定、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．
【解答】
解：如图，
平分，，
，，
，
，；
，
∽，
，而，，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：如图，是的直径，
．
当∽时，，，此时，
由垂径定理知，垂直平分，此时是等腰直角三角形，
．
当∽时，需要，很明显，不成立，舍去．
故答案是：．
需要分类讨论：∽和∽利用相似三角形的对应角相等和圆周角定理解答．
考查了相似三角形的判定，圆周角定理，利用圆周角定理推知是解题的关键．
17.【答案】证明；，
四边形为矩形．
四边形为正方形，
平分．
又，，
．
四边形为正方形．
四边形与四边形相似．
【解析】由正方形的性质可知；平分，然后由角平分线的性质可知，从而可证明四边形为正方形，故此四边形与四边形相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形为正方形是解题的关键．
18.【答案】解：存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为．
设“加倍”矩形的一边长为，则它的另一边长为．
由题意，得，解得，．
所以，．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为，宽为．
不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，则它们的面积比必定是．
所以不存在“加倍”正方形．
【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
19.【答案】解：；
证明：延长，交于点，如图所示：
四边形为正方形，
，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
即，
，
，
是的黄金分割点．
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，黄金分割点的定义，锐角三角函数定义等知识，熟练掌握翻折变换的性质和黄金分割的定义是解题的关键．
由黄金分割点的定义可得出答案；
延长，交于点，先由折叠的性质可知，，得出，则，根据勾股定理求出的长，再由锐角三角函数的定义可出，即，即可得出结论．
【解答】
解：点为线段的黄金分割点，，
．
故答案为：；
见答案．
20.【答案】证明：，，
，
平分，
，，
，
，，
∽，
，
即．
【解析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，，，则可得到，然后根据相似三角形的判定方法易得∽，利用相似比得到，于是有．
21.【答案】证明：如图，连接，．
是直径，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切线．
解：，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
证明：，
，
，，
又，，
，
，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
．
【解析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
连接，，证明即可．
解直角三角形求出，利用相似三角形的性质求出，再利用平行线分线段成比例定理求出即可．
证明∽，推出，证明∽，推出，推出可得结论．
22.【答案】证明：过点作于，作于，如图所示：
，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
解：在中，由知：，
，
，
，
∽，
，
在中，，
，
，
解得：，
在中，，
在中，，是的中点，
，，
，
，
，
∽，
，即：，
解得：，
；
解：过点作于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在等腰直角中，，
，
，
，
，
，
，
的面积为．
【解析】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
过点作于，作于，由正方形的性质得出，由角平分线的性质得出，证得四边形是正方形，得出，证出，证明≌，即可得出结论；
证明∽，得出，求出，由勾股定理得出，由直角三角形的性质得出，，证明∽，得出，求出，即可得出结果；
过点作于，证明≌得出，求出，得出，，由勾股定理得出，由三角形面积公式即可得出结果．
23.【答案】解：在和中．
，，
则∽，
，
即，
在和中，，，
则∽，
，
即，
而，
由、、可得，
解得．
把代入中，
得；
的位似图形是位似中心是点．
【解析】根据在处时和相似，在处时和相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，再根据小明的身高与相等，然后两比例式联立求解即可；
根据位似变换的定义即可找出位似图形与位似中心．
本题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键，本题中线段与是小明的身高，相等是联系两比例式的纽带．
24.【答案】解：如图所示：，即为所求
点的坐标为：；
如上图所示，为所求．
【解析】直接利用旋转的性质分别得出各对应点位置，进而得出答案；
直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
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