2020年暑期衔接训练人教版数学七年级下册：第19讲 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答：在方程组 中，①＋②＋③得 ，由④－①得 ，由④－②
得 ，由④－③得 ，所以方程组的解为 ，所以选择D．
分析：也可以用消元法把“三元”化为“二元”解方程组．
3．若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
故选B．
【分析】求出已知方程组的解得到x，y，z的值，代入方程计算即可求出a的值．
4．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答： 的系数为1或1，故先消去 ．
分析：解三元一次方程组时要根据方程组的特点，先确定消元对象．
5．若方程组 的解 和 的值互为相反数，则 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】将 代入方程组中得 ，解得 ．
【分析】根据题意得 ，解关于 的方程即可．
6．在方程 中，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答：将 代入方程中得 ，解得 ．
分析：将所给的两个未知数的值代入三元一次方程中就得到一个一元一次方程，解该一元一次方程就求得另一个未知数的值．
7．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故答案为：C．
【分析】先把z看做已知数，求得y=3z，x=2z，再把它们代入到x：y：z中，求出比值.
8．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7=0的一个解，那么a值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
由①+②，可得2x=4a，
∴x=2a，
将x=2a代入①，得y=2a﹣a=a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将 代入方程3x﹣5y﹣7=0，
可得6a﹣5a﹣7=0，
∴a=7 故答案为：C．
【分析】先解得方程组的值x=2a，y=a，然后把它们代入到3x﹣5y﹣7=0中，求出a的值.
9．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
二、填空题
10．（2020七下·蓬溪期中）方程组 的解为 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
③×3得3x+15y-3z=-12④
②+④得3x+17y=-11⑤
⑤-①得19y=-19
解得y=-1
把y=-1代入①得3x+2=8
解得x=2
把y=-1代入②得-2+3z=1
解得z=1
故原方程组的解为
故答案为： ．
【分析】根据加减消元法即可求解．
11．在方程5 中，若 ，则 ．
【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x=1，y=2代入方程得，5-4+z=3，解得z=2.
故答案为：2.
【分析】将两个未知数的值代入三元一次方程中即可求得另一个未知数的值．
12．（2019九上·瑞安开学考）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1~9这九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m所表示的数是 。
8
m
5
7
【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第三行、第三列的数字为x, 由题意得：m+7+x=8+5+x,
解得： m=6.
【分析】设第三行、第三列的数字为x, 根据第三列和对角线的三数之和相等列式，求出m值即可.
13．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。
【答案】20
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设x道难题，y道中档题，z道容易题。
x+y+z=100①
x+2y+3z=180②
①×2 ②，得x z=20，
∴难题比容易题多20道。
故填20.
【分析】设有x道难题，y道中档题，z道容易题，由题意列出三元一次方程，由x-z的值求出答案即可。
14．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝ ．
【答案】75°
【知识点】三元一次方程组解法及应用；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得 ，解出∠B＝75°．
故答案为：75°.
【分析】根据三角形的内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，再和已知的两个方程联立，解此方程组可求出∠B的度数.
三、计算题
15．
【答案】解：原方程组变形为：
，
由（2）得：
x=9-4z（4），
由（3）得：
y=12+3z（5），
将（4）和（5）代入（1）得：
9-4z+2×（12+3z）+3z=15，
解得：z=-，
将z=-代入（4）、（5）得：
x=，y=，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由（2）变形得：x=9-4z（4），由（3）变形得：y=12+3z（5），将将（4）、（5）代入（1）可求得z值，再将z值分别代入：（4）、（5）可求得x、y得值，从而得出原方程组的解.
16．
【答案】解：依题可设x=m，y=3m，z=5m，
∴x+y+z=m+3m+5m=18，
∴m=2，
∴x=2，y=6，z=10.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据x：y：z=1：3：5可设x=m，y=3m，z=5m，再由x+y+z=18得出m值，将m值代入可求得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
四、解答题
17．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
18．现有A,B,C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B,C两箱共106个，求每箱各有多少个？
【答案】解：设A、B、C三箱橘子数分别是x,y,z,由题意得，
，
解得 .
答：A、B、C三箱各有48、52、54个.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设A、B、C三箱橘子数分别是x，y，z，根据题意即可得到三元一次方程组，求出答案即可。
19．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
【答案】解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
解得
答：这三个数依次是20，30，5．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，根据题意，即可得到三元一次方程组，求出三个数即可。
20．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，这对夫妇两年前的年龄和是其子女两年前年龄和的10倍，6年后，这对夫妇的年龄和是其子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
【答案】解：设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则
解得
答：这对夫妇共有3个子女．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，根据题意，即可得到三元一次方程组，解出答案即可。
21． 是关于x、y、z的方程 的一个解．试求a、b、c的值．
【答案】由题意，将x=-1，y=1，z=2代入原方程，得
由于，..
因此必有
即
解得a=3，b=1，c=-1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由平方、绝对值的非负性可得关于方程组：ax+by+2=0，ay+cz 1=0，bz+cx 3=0；再将x、y、z的值代入方程组中可得关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可求得a、b、c的值。
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学七年级下册：第19讲 三元一次方程组的解法
一、单选题
1．（2020七下·越秀期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．若三元一次方程组 的解使ax+2y+z=0，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
4．解方程组 ，若要使计算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
5．若方程组 的解 和 的值互为相反数，则 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在方程 中，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
8．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7=0的一个解，那么a值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
9．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（ ）。
A．25 B．24 C．33 D．34
二、填空题
10．（2020七下·蓬溪期中）方程组 的解为 ．
11．在方程5 中，若 ，则 ．
12．（2019九上·瑞安开学考）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1~9这九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m所表示的数是 。
8
m
5
7
13．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。
14．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝ ．
三、计算题
15．
16．
四、解答题
17．（2020八下·大庆期中）甲、乙两人同解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错C解得 ，求A、B、C的值．
18．现有A,B,C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B,C两箱共106个，求每箱各有多少个？
19．有三个数，第一个数的3倍比第二个数的5倍小90，而第一个数的4倍与第二个数的6倍之差等于第三个数的20倍的相反数，同时，第三个数比4大1．求这三个数．
20．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，这对夫妇两年前的年龄和是其子女两年前年龄和的10倍，6年后，这对夫妇的年龄和是其子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
21． 是关于x、y、z的方程 的一个解．试求a、b、c的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： A.4个未知数，不符合题意；
B.2个未知数，不符合题意；
C.有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，符合题意；
D.方程的次数为2，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答：在方程组 中，①＋②＋③得 ，由④－①得 ，由④－②
得 ，由④－③得 ，所以方程组的解为 ，所以选择D．
分析：也可以用消元法把“三元”化为“二元”解方程组．
3．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+②+③得：x+y+z=1④，
把①代入④得：z=﹣4，
把②代入④得：y=2，
把③代入④得：x=3，
把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，
解得：a=0．
故选B．
【分析】求出已知方程组的解得到x，y，z的值，代入方程计算即可求出a的值．
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答： 的系数为1或1，故先消去 ．
分析：解三元一次方程组时要根据方程组的特点，先确定消元对象．
5．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】将 代入方程组中得 ，解得 ．
【分析】根据题意得 ，解关于 的方程即可．
6．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解答：将 代入方程中得 ，解得 ．
分析：将所给的两个未知数的值代入三元一次方程中就得到一个一元一次方程，解该一元一次方程就求得另一个未知数的值．
7．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故答案为：C．
【分析】先把z看做已知数，求得y=3z，x=2z，再把它们代入到x：y：z中，求出比值.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
由①+②，可得2x=4a，
∴x=2a，
将x=2a代入①，得y=2a﹣a=a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将 代入方程3x﹣5y﹣7=0，
可得6a﹣5a﹣7=0，
∴a=7 故答案为：C．
【分析】先解得方程组的值x=2a，y=a，然后把它们代入到3x﹣5y﹣7=0中，求出a的值.
9．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba=10769；
则b+c=16；又据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，
则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，
可得：d=8，
又∵a+d=8+1+a=10，
∴a=1，
综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9，
所以该四位数的数字之和为25．
故选A．
【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c=16；据题意可知，c=d﹣1，b=d+1，则b+c=（d﹣1）+（d+1）=16，则d=8，又a+d=8+1+a=10，则a=1；综上可知，a=1，d=8，c=8﹣1=7，b=8+1=9．
10．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
③×3得3x+15y-3z=-12④
②+④得3x+17y=-11⑤
⑤-①得19y=-19
解得y=-1
把y=-1代入①得3x+2=8
解得x=2
把y=-1代入②得-2+3z=1
解得z=1
故原方程组的解为
故答案为： ．
【分析】根据加减消元法即可求解．
11．【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x=1，y=2代入方程得，5-4+z=3，解得z=2.
故答案为：2.
【分析】将两个未知数的值代入三元一次方程中即可求得另一个未知数的值．
12．【答案】6
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设第三行、第三列的数字为x, 由题意得：m+7+x=8+5+x,
解得： m=6.
【分析】设第三行、第三列的数字为x, 根据第三列和对角线的三数之和相等列式，求出m值即可.
13．【答案】20
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设x道难题，y道中档题，z道容易题。
x+y+z=100①
x+2y+3z=180②
①×2 ②，得x z=20，
∴难题比容易题多20道。
故填20.
【分析】设有x道难题，y道中档题，z道容易题，由题意列出三元一次方程，由x-z的值求出答案即可。
14．【答案】75°
【知识点】三元一次方程组解法及应用；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得 ，解出∠B＝75°．
故答案为：75°.
【分析】根据三角形的内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，再和已知的两个方程联立，解此方程组可求出∠B的度数.
15．【答案】解：原方程组变形为：
，
由（2）得：
x=9-4z（4），
由（3）得：
y=12+3z（5），
将（4）和（5）代入（1）得：
9-4z+2×（12+3z）+3z=15，
解得：z=-，
将z=-代入（4）、（5）得：
x=，y=，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由（2）变形得：x=9-4z（4），由（3）变形得：y=12+3z（5），将将（4）、（5）代入（1）可求得z值，再将z值分别代入：（4）、（5）可求得x、y得值，从而得出原方程组的解.
16．【答案】解：依题可设x=m，y=3m，z=5m，
∴x+y+z=m+3m+5m=18，
∴m=2，
∴x=2，y=6，z=10.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据x：y：z=1：3：5可设x=m，y=3m，z=5m，再由x+y+z=18得出m值，将m值代入可求得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
17．【答案】把 代入原方程组，得 ，
把 代入Ax+By=2，得：2A﹣6B=2．
可组成方程组 ，
解得 ．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据方程组的解的定义得到关于A、B、C的方程组，再进一步运用加减消元法求解．
18．【答案】解：设A、B、C三箱橘子数分别是x,y,z,由题意得，
，
解得 .
答：A、B、C三箱各有48、52、54个.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设A、B、C三箱橘子数分别是x，y，z，根据题意即可得到三元一次方程组，求出答案即可。
19．【答案】解：设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，由题意得：
解得
答：这三个数依次是20，30，5．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设第一个数为x，第二个数为y，第三个数为z，根据题意，即可得到三元一次方程组，求出三个数即可。
20．【答案】解：设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则
解得
答：这对夫妇共有3个子女．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，根据题意，即可得到三元一次方程组，解出答案即可。
21．【答案】由题意，将x=-1，y=1，z=2代入原方程，得
由于，..
因此必有
即
解得a=3，b=1，c=-1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由平方、绝对值的非负性可得关于方程组：ax+by+2=0，ay+cz 1=0，bz+cx 3=0；再将x、y、z的值代入方程组中可得关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可求得a、b、c的值。
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