人教版2019 必修一 5.7 三角函数的应用同步练习
一、单选题
1．（2020高一下·山西月考）电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数 的图像如图所示，则当 秒时，电流强度是（ ）
A．10安 B．5安 C． 安 D．-5安
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】根据函数图象可知，
，所以解得
由周期公式 代入可得
所以函数
将 代入可得
则
由 可知当 时解得
所以函数
当 时，代入可得
故选：D
【分析】根据所给函数图象，即可求得函数 的解析式，再代入 即可求解.
2．（2018高一下·宜昌期末）如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 得：A=10，B=20℃；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。
3．（2017高一上·龙海期末）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：依题意， ，解得 ，
又T= ，
∴ω= ．
又f（3）=15，
∴3sin（ +φ）+12=15，
∴sin（ +φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin t+12．
故选：A．
【分析】高潮时水深为A+K，低潮时水深为﹣A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．
4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
5．某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）
A．17 B．16 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=13﹣10=3，b=10，所以；
由该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（m），∴+10≥11.5，
即（k∈Z），
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），在同一天内，取k=0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时．
【分析】寻求变量之间的关系是解题的关键．引进角，利用三角函数的定义，易得变量之间的关系，其模型是三角函数．
6．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
7．设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．
C． D．y=12+3sin
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，C满足．
故选C
【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根据周期和函数值排除，即可求出答案．
8．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数 和 描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：∵ +
=sint+sint cos +cost sin +sint cos +cost sin
=sint﹣ sint+ cost﹣ sint﹣ cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
分析：由题目中如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，则在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，水面波动由三个函数的和表达，我们计算出 + 值，然后结合实际问题即可得到答案．
9．函数的部分图象如图，则( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】观察图象可知，A=1，T=4（3－1)=8，所以。将（1，1)代入得所以，故选C。
10．函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象( )
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】观察图象知A=1，T=4（)=π，=2，即，将（，0)代入上式，得，结合得=。因此。只需将g(x)=sin2x的图象向左平移个长度单位即得。选B。
二、填空题
11．（2020高一下·海淀期中）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示.已知 月份的平均气温最高，为 ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.
【答案】20.5
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
【分析】根据题意列出方程组，求出A,B，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将 代入求出10月份的平均气温值．
12．某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为 小时．
【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，10sin（）+20≥20
∴sin（）≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2，
∵x∈[6，20]，
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为：8
【分析】利用温度不低于20，建立不等式，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．
13．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
14．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
三、解答题
15．（2019高一上·南通月考）受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间 （ ，单位：小时， 表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 ．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米．
（1）试求函数 的表达式；
（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
【答案】（1）解：依题意， ，∴ ， ，又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（2）解：令 得 ，∴ ，∴
∵ ，∴ 或 ，∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）最高水位为A+K，最低水位为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，可知周期为12，由此求得ω值，再结合每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米，把点（13，10.5）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求；（2）直接由（1）中求得的函数表达式大于等于7+3.5求解t的范围，则答案可求．
16．（2020高一上·青岛期末）如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 .
（1）求 的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻 (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 分钟后，盛水筒W是否在水中？
【答案】（1）解：由题意知， ，即 ，所以 ，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得： ，
当 时， ，代入 得， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知： ，
盛水筒达到最高点时， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以，当 时， ，
所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点
（3）解：由题知： ，即 ，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以，再经过 分钟后 ，
所以再经过 分钟后盛水筒不在水中
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值， 由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米， 进而求出A，K的值，再利用特殊点代入法，进而结合的取值范围，进而求出的值。
（2） 由（1）知： ，盛水筒达到最高点时， ，当 时，结合代入法，从而得出 ，因为 ，所以，当 时， ，所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点。
（3） 由题知： ，即 ，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出 的值，再利用两角和的正弦公式，进而求出 的值， 所以再经过 分钟后盛水筒不在水中。
17．（2019高一下·上饶月考）某企业一天中不同时刻的用电量 （万千瓦时）关于时间 （单位：小时，其中 对应凌晨0点）的函数 近似满足 ，如图是函数 的部分图象．
（1）求 的解析式；
（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）的关系可用线性函数模型 模拟，当供电量 小于企业用电量 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 在中午11点到12点之间，用二分法估算 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．
【答案】（1）解：由图象可知A= = ，B= =2，T=12= ，ω= ， 代入点（0，2.5）得sinφ=1， ∵0＜φ＜π，∴φ= ；
综上，A= ，B=2，ω= ，φ= ，
即f（t）= sin（ t+ ）+2.
（2）解：由（1）知f（t）= sin（ t+ ）+2= cos t+2，
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；
易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；
由h（11）=f（11）-g（11）= cos +2+2×11-25= -1＜0，
h（12）=f（12）-g（12）= cos +2+2×12-25= ＞0，
又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）= cos +2+2×11.5-25= cos（- ）= cos = ＞0，
则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）= cos +2+2×11.25-25＜ ×1-0.5=0，
则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．
所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）由已知利用函数 的部分图象，得到A，B，T，ω 的值，即可求出 的解析式；
（2） 由已知和（1）知，函数f（t）= cos t+2， 令h（t）=f（t）-g（t）， 利用函数的单调性，即可求出企业开始停产的临界时间t0所在的区间.
18．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0
（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？
【答案】解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω==
（2）由（1）知y=3sin（t）+5（0≤t≤24）；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），
∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（t）+5≥6.5，
∴sin（t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π
∴≤t≤，或≤t≤，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式；
（2）寻求变量之间的关系，建立不等式，从而可求该船何时能进入港口．
19．（2018高一下·鹤壁期末）某实验室白天的温度 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系： ， .
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】（1）解：已知 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为
（2）解：依题意当 时，实验室需要降温，即 ，
，∴ ， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，即在10时到18时实验室需要降温
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）求出f(t) 在 t∈[6，18] 上取得的最大值最大值和最小值，即可求出温差；
（2）依据题意求出 f(t)>11 时，t的范围，从而得出需要降温的时间段.
20．（2019高一下·岳阳月考）在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|< ）
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系.
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m？
【答案】（1）解：依题意知T= =12，
故ω= ，h= =12.2，A=16-12.2=3.8，
所以d=3.8sin（ t+φ）+12.2
又因为t=4时，d=16，所以sin（ t+φ）=1,
所以φ=- ，所以d=3.8sin（ t- ）+12.2
（2）解：t=17时，d=3.8sin( - )+12.2=3.8sin +12.2≈15.5（m）
（3）解：令3.8sin（ t- ）+12.2<10.3，即sin（ t- ）<- ，
因此2kπ+ < t- <2kπ+ ，k∈Z
所以12k+8令k=0，t（8，12），令k=1，t∈（20，24）
故这一天共有8h水深低于10.3m.
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1） 依题意可分别求出 ω 、A、h、 φ 的值，即可得到该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2） 令3.8sin（ t- ）+12.2<10.3 ，解不等式可得 12k+81 / 1人教版2019 必修一 5.7 三角函数的应用同步练习
一、单选题
1．（2020高一下·山西月考）电流强度 （安）随时间 （秒）变化的函数 的图像如图所示，则当 秒时，电流强度是（ ）
A．10安 B．5安 C． 安 D．-5安
2．（2018高一下·宜昌期末）如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017高一上·龙海期末）在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．某港口的水深（米）是时间t（0≤t≤24）（单位：时）的函数，记作y=f（t）下面是该港口某季节每天水深的数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0
经过长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看作y=Asinωt+b的图象，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不小于5m是安全的（船舶停靠岸时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面距离）为6.5m，如果该船想在同一天内安全出港，问它至多能在港内停留的时间是（忽略进出港所用时间）（ ）
A．17 B．16 C．5 D．4
6．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
7．设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．
C． D．y=12+3sin
8．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数 和 描述，如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A．仍保持平静 B．不断波动
C．周期性保持平静 D．周期性保持波动
9．函数的部分图象如图，则( )
A． B．
C． D．
10．函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象( )
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
二、填空题
11．（2020高一下·海淀期中）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 来表示.已知 月份的平均气温最高，为 ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.
12．某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为 小时．
13．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
14．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系 ，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是 ．
三、解答题
15．（2019高一上·南通月考）受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间 （ ，单位：小时， 表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 ．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米．
（1）试求函数 的表达式；
（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
16．（2020高一上·青岛期末）如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每 分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为 .
（1）求 的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻 (单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过 分钟后，盛水筒W是否在水中？
17．（2019高一下·上饶月考）某企业一天中不同时刻的用电量 （万千瓦时）关于时间 （单位：小时，其中 对应凌晨0点）的函数 近似满足 ，如图是函数 的部分图象．
（1）求 的解析式；
（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）的关系可用线性函数模型 模拟，当供电量 小于企业用电量 时，企业必须停产．初步预计开始停产的临界时间 在中午11点到12点之间，用二分法估算 所在的一个区间（区间长度精确到15分钟）．
18．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0
（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？
19．（2018高一下·鹤壁期末）某实验室白天的温度 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系： ， .
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
20．（2019高一下·岳阳月考）在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00，每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h（A>0，ω>0，|φ|< ）
（1）若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系.
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）
（3）10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】根据函数图象可知，
，所以解得
由周期公式 代入可得
所以函数
将 代入可得
则
由 可知当 时解得
所以函数
当 时，代入可得
故选：D
【分析】根据所给函数图象，即可求得函数 的解析式，再代入 即可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 得：A=10，B=20℃；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。
3．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：依题意， ，解得 ，
又T= ，
∴ω= ．
又f（3）=15，
∴3sin（ +φ）+12=15，
∴sin（ +φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin t+12．
故选：A．
【分析】高潮时水深为A+K，低潮时水深为﹣A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．
4．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
5．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=13﹣10=3，b=10，所以；
由该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（m），∴+10≥11.5，
即（k∈Z），
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），在同一天内，取k=0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时．
【分析】寻求变量之间的关系是解题的关键．引进角，利用三角函数的定义，易得变量之间的关系，其模型是三角函数．
6．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
7．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，C满足．
故选C
【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根据周期和函数值排除，即可求出答案．
8．【答案】A
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：∵ +
=sint+sint cos +cost sin +sint cos +cost sin
=sint﹣ sint+ cost﹣ sint﹣ cost
=sint﹣sint=0
即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静
故选A
分析：由题目中如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，则在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，水面波动由三个函数的和表达，我们计算出 + 值，然后结合实际问题即可得到答案．
9．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】观察图象可知，A=1，T=4（3－1)=8，所以。将（1，1)代入得所以，故选C。
10．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】观察图象知A=1，T=4（)=π，=2，即，将（，0)代入上式，得，结合得=。因此。只需将g(x)=sin2x的图象向左平移个长度单位即得。选B。
11．【答案】20.5
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
【分析】根据题意列出方程组，求出A,B，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将 代入求出10月份的平均气温值．
12．【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，10sin（）+20≥20
∴sin（）≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2，
∵x∈[6，20]，
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为：8
【分析】利用温度不低于20，建立不等式，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．
13．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
14．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
15．【答案】（1）解：依题意， ，∴ ， ，又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴
（2）解：令 得 ，∴ ，∴
∵ ，∴ 或 ，∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）最高水位为A+K，最低水位为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，可知周期为12，由此求得ω值，再结合每天13：00时港口水位的深度恰为10.5米，把点（13，10.5）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求；（2）直接由（1）中求得的函数表达式大于等于7+3.5求解t的范围，则答案可求．
16．【答案】（1）解：由题意知， ，即 ，所以 ，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得： ，
当 时， ，代入 得， ，
因为 ，所以
（2）解：由（1）知： ，
盛水筒达到最高点时， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以，当 时， ，
所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点
（3）解：由题知： ，即 ，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，
所以 ，
所以 ，
所以，再经过 分钟后 ，
所以再经过 分钟后盛水筒不在水中
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值， 由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米， 进而求出A，K的值，再利用特殊点代入法，进而结合的取值范围，进而求出的值。
（2） 由（1）知： ，盛水筒达到最高点时， ，当 时，结合代入法，从而得出 ，因为 ，所以，当 时， ，所以盛水筒出水后至少经过 分钟就可达到最高点。
（3） 由题知： ，即 ，由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知 ，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出 的值，再利用两角和的正弦公式，进而求出 的值， 所以再经过 分钟后盛水筒不在水中。
17．【答案】（1）解：由图象可知A= = ，B= =2，T=12= ，ω= ， 代入点（0，2.5）得sinφ=1， ∵0＜φ＜π，∴φ= ；
综上，A= ，B=2，ω= ，φ= ，
即f（t）= sin（ t+ ）+2.
（2）解：由（1）知f（t）= sin（ t+ ）+2= cos t+2，
令h（t）=f（t）-g（t），
设h（t0）=0，则t0为该企业的开始停产的临界时间；
易知h（t）在（11，12）上是单调递增函数；
由h（11）=f（11）-g（11）= cos +2+2×11-25= -1＜0，
h（12）=f（12）-g（12）= cos +2+2×12-25= ＞0，
又h（11.5）=f（11.5）-g（11.5）= cos +2+2×11.5-25= cos（- ）= cos = ＞0，
则t0∈（11，11.5），即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又h（11.25）=f（11.25）-g（11.25）= cos +2+2×11.25-25＜ ×1-0.5=0，
则t0∈（11.25，11.5），即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）．
所以，企业开始停产的临界时间t0所在的区间为（11.25，11.5）.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）由已知利用函数 的部分图象，得到A，B，T，ω 的值，即可求出 的解析式；
（2） 由已知和（1）知，函数f（t）= cos t+2， 令h（t）=f（t）-g（t）， 利用函数的单调性，即可求出企业开始停产的临界时间t0所在的区间.
18．【答案】解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω==
（2）由（1）知y=3sin（t）+5（0≤t≤24）；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），
∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（t）+5≥6.5，
∴sin（t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π
∴≤t≤，或≤t≤，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式；
（2）寻求变量之间的关系，建立不等式，从而可求该船何时能进入港口．
19．【答案】（1）解：已知 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为
（2）解：依题意当 时，实验室需要降温，即 ，
，∴ ， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，即在10时到18时实验室需要降温
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）求出f(t) 在 t∈[6，18] 上取得的最大值最大值和最小值，即可求出温差；
（2）依据题意求出 f(t)>11 时，t的范围，从而得出需要降温的时间段.
20．【答案】（1）解：依题意知T= =12，
故ω= ，h= =12.2，A=16-12.2=3.8，
所以d=3.8sin（ t+φ）+12.2
又因为t=4时，d=16，所以sin（ t+φ）=1,
所以φ=- ，所以d=3.8sin（ t- ）+12.2
（2）解：t=17时，d=3.8sin( - )+12.2=3.8sin +12.2≈15.5（m）
（3）解：令3.8sin（ t- ）+12.2<10.3，即sin（ t- ）<- ，
因此2kπ+ < t- <2kπ+ ，k∈Z
所以12k+8令k=0，t（8，12），令k=1，t∈（20，24）
故这一天共有8h水深低于10.3m.
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1） 依题意可分别求出 ω 、A、h、 φ 的值，即可得到该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2） 令3.8sin（ t- ）+12.2<10.3 ，解不等式可得 12k+81 / 1
