初中数学北师大版八年级上学期 第二章 2.4 估算
一、单选题
1．（2019·南京）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2019·资阳）设 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019七下·景县期末）下列在数轴上所表示的解集中，不包括 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019七下·玉州期中）如图，在数轴上的几点中与表示 的点最接近的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题
6．（2019·朝阳模拟）写出一个比5大且比6小的无理数 .
7．（2019·西安模拟）估算比较大小： 1．（填“＜“或“＞“或“＝“）
8．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]=2，[3.7]=3，现对72进行如下操作：
，
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行 次操作后变为1.
三、解答题
9．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是 的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
四、综合题
10．阅读下面的文字，解答问题
大家知道， 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如因为 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，所以行的整数部分为2，小数部分为 ﹣2．
请解答
（1） 的整数部分为 ；小数部分为 ；
（2）有人说，如果 的整数部分为x， 的小数部分记为y，则x+y= ，你认为对吗？为什么？
（3）如果 的整数部分为a， 的小数部分为b，求a﹣2b+2 的值．
11．某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000平方米．
（1）公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少米？
12．李大爷有一块长方形菜地，且菜地的长是宽的2倍。
（1）若菜地的面积为98m2，求菜地的长与宽；
（2）若菜地的面积为90m2，这块菜地的宽是多少？（用根号表示）你能告诉李大爷这块菜地的宽在哪两个整数之间吗？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜ 13 ＜16，
∴3＜ ＜4，
∴与 最接近的是4，
∴与10 最接近的是6.
故答案为：C.
【分析】的被开方数介于两个完全平方数9与16之间，根据被开方数越大，其算术平方根也就越大判断出3＜ ＜4，且与 最接近的是4，从而即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此判断即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
4．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
A、解集为x≤2，故符合题意；
B、解集为x＞2，故不符合题意；
C、解集为x＜3，故不符合题意；
D、解集为2＜x≤3，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先求出的范围，然后分别求出各选项的解集，然后判断即可.
5．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ =2，1.52=2.25，
∴12＜ ＜22.
∴1＜ ＜2.
∴与表示 的点最接近的点是D.
故答案为：D.
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，据此判断即可.
6．【答案】答案不唯一，例如：
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25<26<36，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
故答案为：
（本题答案不唯一）.
【分析】被开方数越大，算术平方根就越大，据此可得
，从而可估算出比5大且比6小的无理数（答案不唯一）.
7．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴ -1<2，
∴ ＜1.
故答案为：<.
【分析】因为（先找出与最接近的两个整数）,即2＜ ＜3，（然后再比较大小）所以1<-1<2，<1.
8．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 85→第一次[ ]=9→第二次[ ]=3→第三次[ ]=1
故对85只需进行3次操作后变为1
【分析】根据 [a]表示不超过a的最大整数 ，由102=100,112=121可知， 对109进行第一次操作等于10，由32=9，42=16可知第二次操作等于3，以此类推即可得出答案。
9．【答案】解：由题意得，2a﹣1=9，得a=5；3a+b﹣9=8，得b=2，
∵ ，
∴c=±7，
∴a+2b+c=16或2
16的算术平方根为4；2的算术平方根是 。
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【分析】根据平方根和立方根的定义求得a、b的值，确定的范围，然后确定c的值，代入a+2b+c，求其算术平方根即可.
10．【答案】（1）9； ﹣9
（2）解：正确；
理由：∵ 的整数部分为x， 的小数部分记为y，
∴x=9，y= ﹣9，
则x+y=
（3）解：∵ 的整数部分为a， 的小数部分为b，
∴a=5，b= ﹣5，
∴a﹣2b+2 =5﹣2（ ﹣5）+2 =15．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵9＜ ＜10，
∴ 的整数部分为9；
小数部分为： ﹣9；
故答案为：9； ﹣9
【分析】（1）根据题意，确定在哪两个整数之间，即可确定它的整数部分和小数部分。
（2）先求出的小数部分，再计算x+y，即可确定该说法的正误。
（3）求出的整数部分和小数部分，然后代入代数式化简即可。
11．【答案】（1）解：设公园的宽为x米，则x 2x=400000，
∴x=
∵4002=160000＜200000，5002=250000＞200000，
∴400＜x＜500，
所以公园的宽大约有400米，没有1000米宽。
（2）解：∵4402=193600，4502=202500，
∴193600＜200000＜202500
∴440＜x＜450，
∵误差可以小于10米，
∴公园的宽大约是440米或450米。
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）设公园的宽为x米，根据题意列出方程求解，再确定x的范围大小即可.
（2）用夹逼法确定x的范围即可.
12．【答案】（1）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=98
∴2x2=98
∴x2=49
∴x=±
∴x=±7
又∵x>0 ∴x=7 ∴2x=14
∴菜地的长为14m，宽为7m。
（2）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=90
∴2x2=90
∴x2=45
∴x=±
又∵x>0 ∴x=
∴菜地的宽为 m。∵ < < ∴6< <7∴李大爷的菜地的宽在6与7之间
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据菜地的长=宽×2；长方形菜地的面积=长×宽=98，设未知数，列方程求解即可。
（2）根据菜地的长=宽×2，长方形菜地的面积=长×宽=90，设未知数，列方程求解，再利用无理数的估算方法，可解答。
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一、单选题
1．（2019·南京）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜ 13 ＜16，
∴3＜ ＜4，
∴与 最接近的是4，
∴与10 最接近的是6.
故答案为：C.
【分析】的被开方数介于两个完全平方数9与16之间，根据被开方数越大，其算术平方根也就越大判断出3＜ ＜4，且与 最接近的是4，从而即可得出答案。
2．（2019·资阳）设 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此判断即可.
3．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
4．（2019七下·景县期末）下列在数轴上所表示的解集中，不包括 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
A、解集为x≤2，故符合题意；
B、解集为x＞2，故不符合题意；
C、解集为x＜3，故不符合题意；
D、解集为2＜x≤3，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先求出的范围，然后分别求出各选项的解集，然后判断即可.
5．（2019七下·玉州期中）如图，在数轴上的几点中与表示 的点最接近的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ =2，1.52=2.25，
∴12＜ ＜22.
∴1＜ ＜2.
∴与表示 的点最接近的点是D.
故答案为：D.
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，据此判断即可.
二、填空题
6．（2019·朝阳模拟）写出一个比5大且比6小的无理数 .
【答案】答案不唯一，例如：
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25<26<36，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
故答案为：
（本题答案不唯一）.
【分析】被开方数越大，算术平方根就越大，据此可得
，从而可估算出比5大且比6小的无理数（答案不唯一）.
7．（2019·西安模拟）估算比较大小： 1．（填“＜“或“＞“或“＝“）
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴ -1<2，
∴ ＜1.
故答案为：<.
【分析】因为（先找出与最接近的两个整数）,即2＜ ＜3，（然后再比较大小）所以1<-1<2，<1.
8．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]=2，[3.7]=3，现对72进行如下操作：
，
这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行 次操作后变为1.
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 85→第一次[ ]=9→第二次[ ]=3→第三次[ ]=1
故对85只需进行3次操作后变为1
【分析】根据 [a]表示不超过a的最大整数 ，由102=100,112=121可知， 对109进行第一次操作等于10，由32=9，42=16可知第二次操作等于3，以此类推即可得出答案。
三、解答题
9．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是 的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【答案】解：由题意得，2a﹣1=9，得a=5；3a+b﹣9=8，得b=2，
∵ ，
∴c=±7，
∴a+2b+c=16或2
16的算术平方根为4；2的算术平方根是 。
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【分析】根据平方根和立方根的定义求得a、b的值，确定的范围，然后确定c的值，代入a+2b+c，求其算术平方根即可.
四、综合题
10．阅读下面的文字，解答问题
大家知道， 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如因为 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，所以行的整数部分为2，小数部分为 ﹣2．
请解答
（1） 的整数部分为 ；小数部分为 ；
（2）有人说，如果 的整数部分为x， 的小数部分记为y，则x+y= ，你认为对吗？为什么？
（3）如果 的整数部分为a， 的小数部分为b，求a﹣2b+2 的值．
【答案】（1）9； ﹣9
（2）解：正确；
理由：∵ 的整数部分为x， 的小数部分记为y，
∴x=9，y= ﹣9，
则x+y=
（3）解：∵ 的整数部分为a， 的小数部分为b，
∴a=5，b= ﹣5，
∴a﹣2b+2 =5﹣2（ ﹣5）+2 =15．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵9＜ ＜10，
∴ 的整数部分为9；
小数部分为： ﹣9；
故答案为：9； ﹣9
【分析】（1）根据题意，确定在哪两个整数之间，即可确定它的整数部分和小数部分。
（2）先求出的小数部分，再计算x+y，即可确定该说法的正误。
（3）求出的整数部分和小数部分，然后代入代数式化简即可。
11．某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000平方米．
（1）公园的宽大约是多少？它有1000米吗？
（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少米？
【答案】（1）解：设公园的宽为x米，则x 2x=400000，
∴x=
∵4002=160000＜200000，5002=250000＞200000，
∴400＜x＜500，
所以公园的宽大约有400米，没有1000米宽。
（2）解：∵4402=193600，4502=202500，
∴193600＜200000＜202500
∴440＜x＜450，
∵误差可以小于10米，
∴公园的宽大约是440米或450米。
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）设公园的宽为x米，根据题意列出方程求解，再确定x的范围大小即可.
（2）用夹逼法确定x的范围即可.
12．李大爷有一块长方形菜地，且菜地的长是宽的2倍。
（1）若菜地的面积为98m2，求菜地的长与宽；
（2）若菜地的面积为90m2，这块菜地的宽是多少？（用根号表示）你能告诉李大爷这块菜地的宽在哪两个整数之间吗？
【答案】（1）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=98
∴2x2=98
∴x2=49
∴x=±
∴x=±7
又∵x>0 ∴x=7 ∴2x=14
∴菜地的长为14m，宽为7m。
（2）解：设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=90
∴2x2=90
∴x2=45
∴x=±
又∵x>0 ∴x=
∴菜地的宽为 m。∵ < < ∴6< <7∴李大爷的菜地的宽在6与7之间
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据菜地的长=宽×2；长方形菜地的面积=长×宽=98，设未知数，列方程求解即可。
（2）根据菜地的长=宽×2，长方形菜地的面积=长×宽=90，设未知数，列方程求解，再利用无理数的估算方法，可解答。
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