人教A版（2019）数学必修第一册2.2基本不等式
一、单选题
1．（2019高二上·吉林期中）已知 ，函数 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
2．（2019高一上·北京期中）已知 ，那么 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2019·泸州模拟）若正实数 满足 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
4．（2019高三上·东莞期末）若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．25 B． C． D．
5．（2018高二上·玉溪期中）已知m，n R，且m﹣2n+6=0，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
6．（2019高一上·丹东月考）已知函数 ，当 时， 取得最小值 ，则 等于（）
A．-3 B．2 C．3 D．8
7．（2019高三上·郑州期中）若 ，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019高二上·会宁期中）无字证明是指禁用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2019高一下·湖北期中）若正实数 满足 ，则 的最大值为 .
10．（2019高二上·洛阳期中）设 ，则四个数 ， ， ， 中最小的是 ．
11．（2018高一上·上海期中）已知 ，则 的最小值为
12．（2019高二上·会宁期中）函数 的最小值为 .
13．（2018高一下·六安期末）已知点 在直线 上，则 的最小值为 ．
14．（基本不等式在最值问题中的应用+++++++++ ）使不等式a2+b2+2＞λ（a+b）对任意的正数a，b恒成立的实数λ的取值范围是 ．
15．（基本不等式在最值问题中的应用+++++++++ ）用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为 ．
三、解答题
16．（2017高一下·包头期末）已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
（1）xy的最小值;
（2）x+ y的最小值.
17．（2017高二下·邢台期末）已知 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
18．（2018高二下·滦南期末）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意可得， 满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以 （当且仅当x=2时，等号成立），
故答案为：A
【分析】根据基本不等式的性质求出相应的最小值即可.
2．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据题意， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值是2；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由基本不等式的性质即可得答案。
3．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，，，，
当且仅当 ， 取等号 ，
故答案为：D．
【分析】利用乘1法，再利用基本不等式即可得出最小值。
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】依题意 ，当且仅当 时等号成立，
故答案为：D.
【分析】根据基本不等式得出ab的最大值。
5．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：A.
【分析】根据基本不等式，结合同底数幂指数式的运算，再利用m-2n=-6，即可求出该式子的最小值.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
当且仅当 即 时取等号，
即
故答案为：C
【分析】配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
由题意可得 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】将代数式 与 相乘，展开式利用基本不等式求出 的最小值 ，将问题转化为解不等式 ，解出即可.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等，因此 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用几何方法结合已知条件证出与均值不等式有关的不等式。
9．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 都是正数，由基本不等式有 ，
所以 即 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
【分析】根据基本不等式，即可求出相应的最大值.
10．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
综上， 最小.
故答案为：
【分析】根据基本不等式，先得到 ， ，再由作商法，比较 与 ，即可得出结果.
11．【答案】5
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵x＞0
=x+ =4 =5
当且仅当x= 即x=2时取等号
故函数 的最小值为5
故答案为：5．
【分析】首先根据题意,利用基本不等式求函数的最小值。
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，取等号时 ，即 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】将 变形为 ，然后根据基本不等式求解 的最小值，注意说明取等号的条件.
13．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =2，
由2a+b=（2a+b）× （ + ）=1+ + +1=2+ + ≥2+2 =4，
当且仅当 = ，即a= ，b=2时，取等号，
∴2a+b的最小值为4，
故答案为：4．
【分析】把点（1，2）代入直线方程，并将所求式子乘以“1”，即，利用均值不等式的基本性质，当且仅当两式相等时，等号成立，即可得出答案。
14．【答案】（﹣∞，2）
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：若a2+b2+2＞λ（a+b），且a，b＞0，则有λ＜ ，
则原问题可以转化为λ＜ 恒成立，（a，b＞0）
令t= ，
则t= ≥ = + ≥2，
即t= 有最小值2，
若λ＜ 恒成立，则必有λ＜2，即实数λ的取值范围是（﹣∞，2）；
故答案为：（﹣∞，2）．
【分析】根据题意，由于a2+b2+2＞λ（a+b）（a，b＞0） λ＜ ，则原问题可以转化为λ＜ 恒成立，（a，b＞0），令t= ，利用基本不等式的性质分析可得t有最小值2，进而分析可得λ＜ 恒成立，则必有λ＜2，即可得实数λ的取值范围．
15．【答案】128000cm3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设水箱底长为xcm，则高为 cm（0＜x＜120）．
设容器的容积为ycm3，则有y=﹣ ．
求导数，有y′=﹣ +120x．
令y′=0，解得x=80（x=0舍去）．
当x∈（0，80）时，y'＞0；当x∈（80，120）时，y'＜0，
因此，x=80是函数y=﹣ 的极大值点，也是最大值点，此时y=128000cm3．
故答案为：128000cm3．
【分析】设水箱底长为xcm，则高为 cm，求出容器的容积，利用导数求最值，即可得出结论．
16．【答案】（1）解：由2x+8y-xy=0,因为x>0,y>0,,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,
所以xy的最小值为64
（2）解：由2x+8y-xy=0,则x+y=( )(x+y)=10+ ≥10+2 =18,
当且仅当x=12,y=6时,等号成立,
所以x+y的最小值为18
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用已知根据基本不等式即可求出最小值。(2)整理已知的函数式借助已知的代数式，转化成基本不等式的形式进而求出最小值。
17．【答案】（1）证明： , , ,即 .(另外，作差法亦可，左—右= 不等式成立)
（2）证明：要证 ，只需证 ，只需证 ，
，即 ， 原不等式成立.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】(1)根据题意把已知的代数式利用基本不等式分别求出最小值再利用相减法即可得证。(2)根据条件构造出基本不等式的形式再结合基本不等式的性质求出即可。
18．【答案】解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800．蔬菜的种植面积 所以 当 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】理解题意，列出等量关系式是本题的关键， 又ab=800为定值，故可以用基本不等式求s最大值。并注意到等号成立的条件。
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一、单选题
1．（2019高二上·吉林期中）已知 ，函数 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由题意可得， 满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以 （当且仅当x=2时，等号成立），
故答案为：A
【分析】根据基本不等式的性质求出相应的最小值即可.
2．（2019高一上·北京期中）已知 ，那么 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据题意， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值是2；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由基本不等式的性质即可得答案。
3．（2019·泸州模拟）若正实数 满足 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，，，，
当且仅当 ， 取等号 ，
故答案为：D．
【分析】利用乘1法，再利用基本不等式即可得出最小值。
4．（2019高三上·东莞期末）若 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．25 B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】依题意 ，当且仅当 时等号成立，
故答案为：D.
【分析】根据基本不等式得出ab的最大值。
5．（2018高二上·玉溪期中）已知m，n R，且m﹣2n+6=0，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：A.
【分析】根据基本不等式，结合同底数幂指数式的运算，再利用m-2n=-6，即可求出该式子的最小值.
6．（2019高一上·丹东月考）已知函数 ，当 时， 取得最小值 ，则 等于（）
A．-3 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
当且仅当 即 时取等号，
即
故答案为：C
【分析】配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。
7．（2019高三上·郑州期中）若 ，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
由题意可得 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 ，
故答案为：A.
【分析】将代数式 与 相乘，展开式利用基本不等式求出 的最小值 ，将问题转化为解不等式 ，解出即可.
8．（2019高二上·会宁期中）无字证明是指禁用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等，因此 ，所以 。
故答案为：D.
【分析】利用几何方法结合已知条件证出与均值不等式有关的不等式。
二、填空题
9．（2019高一下·湖北期中）若正实数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 都是正数，由基本不等式有 ，
所以 即 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
【分析】根据基本不等式，即可求出相应的最大值.
10．（2019高二上·洛阳期中）设 ，则四个数 ， ， ， 中最小的是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
综上， 最小.
故答案为：
【分析】根据基本不等式，先得到 ， ，再由作商法，比较 与 ，即可得出结果.
11．（2018高一上·上海期中）已知 ，则 的最小值为
【答案】5
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵x＞0
=x+ =4 =5
当且仅当x= 即x=2时取等号
故函数 的最小值为5
故答案为：5．
【分析】首先根据题意,利用基本不等式求函数的最小值。
12．（2019高二上·会宁期中）函数 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，取等号时 ，即 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】将 变形为 ，然后根据基本不等式求解 的最小值，注意说明取等号的条件.
13．（2018高一下·六安期末）已知点 在直线 上，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =2，
由2a+b=（2a+b）× （ + ）=1+ + +1=2+ + ≥2+2 =4，
当且仅当 = ，即a= ，b=2时，取等号，
∴2a+b的最小值为4，
故答案为：4．
【分析】把点（1，2）代入直线方程，并将所求式子乘以“1”，即，利用均值不等式的基本性质，当且仅当两式相等时，等号成立，即可得出答案。
14．（基本不等式在最值问题中的应用+++++++++ ）使不等式a2+b2+2＞λ（a+b）对任意的正数a，b恒成立的实数λ的取值范围是 ．
【答案】（﹣∞，2）
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：若a2+b2+2＞λ（a+b），且a，b＞0，则有λ＜ ，
则原问题可以转化为λ＜ 恒成立，（a，b＞0）
令t= ，
则t= ≥ = + ≥2，
即t= 有最小值2，
若λ＜ 恒成立，则必有λ＜2，即实数λ的取值范围是（﹣∞，2）；
故答案为：（﹣∞，2）．
【分析】根据题意，由于a2+b2+2＞λ（a+b）（a，b＞0） λ＜ ，则原问题可以转化为λ＜ 恒成立，（a，b＞0），令t= ，利用基本不等式的性质分析可得t有最小值2，进而分析可得λ＜ 恒成立，则必有λ＜2，即可得实数λ的取值范围．
15．（基本不等式在最值问题中的应用+++++++++ ）用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为 ．
【答案】128000cm3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设水箱底长为xcm，则高为 cm（0＜x＜120）．
设容器的容积为ycm3，则有y=﹣ ．
求导数，有y′=﹣ +120x．
令y′=0，解得x=80（x=0舍去）．
当x∈（0，80）时，y'＞0；当x∈（80，120）时，y'＜0，
因此，x=80是函数y=﹣ 的极大值点，也是最大值点，此时y=128000cm3．
故答案为：128000cm3．
【分析】设水箱底长为xcm，则高为 cm，求出容器的容积，利用导数求最值，即可得出结论．
三、解答题
16．（2017高一下·包头期末）已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
（1）xy的最小值;
（2）x+ y的最小值.
【答案】（1）解：由2x+8y-xy=0,因为x>0,y>0,,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,
所以xy的最小值为64
（2）解：由2x+8y-xy=0,则x+y=( )(x+y)=10+ ≥10+2 =18,
当且仅当x=12,y=6时,等号成立,
所以x+y的最小值为18
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)利用已知根据基本不等式即可求出最小值。(2)整理已知的函数式借助已知的代数式，转化成基本不等式的形式进而求出最小值。
17．（2017高二下·邢台期末）已知 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明： , , ,即 .(另外，作差法亦可，左—右= 不等式成立)
（2）证明：要证 ，只需证 ，只需证 ，
，即 ， 原不等式成立.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】(1)根据题意把已知的代数式利用基本不等式分别求出最小值再利用相减法即可得证。(2)根据条件构造出基本不等式的形式再结合基本不等式的性质求出即可。
18．（2018高二下·滦南期末）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
【答案】解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800．蔬菜的种植面积 所以 当 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】理解题意，列出等量关系式是本题的关键， 又ab=800为定值，故可以用基本不等式求s最大值。并注意到等号成立的条件。
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