初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.1 二次函数
一、单选题
1．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）下列函数中， y 关于 x 的二次函数是（ ）
A． B．y＝2x（x＋1）
C． D．y＝（x 2）2 x2
2．（2020九上·营口期中）若 是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
3．（2020九上·南通月考）已知函数y=（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（ ）
A．m=2 B．m=﹣2 C．m=±2 D．m≠0
4．（2020九上·麻城月考）已知函数y＝（m＋3）x2＋4是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m＞－3 B．m＜－3 C．m≠－3 D．任意实数
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（ ）.
A． B． C．S=a2-16a D．S=a2-16a
6．函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ．
8．在函数式①y=，②y=，③y=x2﹣，④y=（x﹣1）（x﹣3）中，二次函数是 （填序号）．
9．如果函数是关于x的二次函数， 则k= 。
10．如图，一边靠墙，其它三边用12米的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃，则这个花圃的面积S（平方米）与AB的长x（米）之间的函数关系式为 ．
三、解答题
11．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
12．如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
13．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
14．若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y＝2x＋1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝2x（x＋1）是二次函数，故B符合题意；
C、 不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝（x 2）2 x2是一次函数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
2．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意的得：
解得：
∴m=-2，
故答案为：B.
【分析】形如“y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，a≠0）”的函数就是二次函数，根据定义列出方程与不等式解答即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： ，且m-2≠0，
解得：m=-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的一般形式可知：二次函数的最高次项是2，且二次项系数不为0；于是可得关于m的方程和不等式，解之即可求解.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得： ，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的一般形式“y=ax2+bx+c(a≠0)”可得关于m的不等式，解这个不等式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵a+b=16，
∴AC=b=16-a（0＜a＜16），
又∵BC=a
∴Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为
S=
=
，
故答案为：B.
【分析】因为△ABC是直角三角形，利用面积公式可表示，S= ，又通过a+b=16，得AC=b=16-a，将BC=a、AC =16-a代入，即可得到，△ABC的面积S与边长a的函数关系式。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0即可。
7．【答案】全体实数；y≥0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：函数y=2x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是y≥0，
故答案为：全体实数，y≥0
【分析】由于该二次函数的解析式是一个整式，故自变量的取值是全体实数，再根据偶次方的非负性，得出其对应的函数值一定是非负数。
8．【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①y=，右边不是整式，不是二次函数；
②y=，是二次函数；
③y=x2﹣，右边不是整式，不是二次函数；
④y=（x﹣1）（x﹣3），是二次函数．
故答案为：②④．
【分析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
9．【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数y=(k-1)xk -k+2+kx-1是关于x的二次函数，
∴k-1≠0且k2-k+2=2，解得k=0或k=1，
∴k=0．
故答案为0．
【分析】根据二次函数的定义得到k-1≠0且k2-k+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．
10．【答案】S=﹣2x2+12x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵AB=x，AB+BC+CD=12，
∴BC=12﹣2x，
则S=（12﹣2x）×x=﹣2x2+12x．
故答案为：S=﹣2x2+12x．
【分析】设AB=x，则BC=12﹣2x，根据矩形面积=长×宽，即可得出S与x的函数关系式．
11．【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m，
根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
12．【答案】解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），
根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案．
13．【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
14．【答案】解：①b+1=2，解得b=1，a-1+1≠0，解得a≠0；②b+1≠2，则b≠1，∴b=0或-1，a取全体实数．③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】分情况讨论：①b+1=2；②b+1≠2；③当a=1，b为全体实数时。分别求解。
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一、单选题
1．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）下列函数中， y 关于 x 的二次函数是（ ）
A． B．y＝2x（x＋1）
C． D．y＝（x 2）2 x2
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y＝2x＋1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝2x（x＋1）是二次函数，故B符合题意；
C、 不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝（x 2）2 x2是一次函数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
2．（2020九上·营口期中）若 是二次函数，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据题意的得：
解得：
∴m=-2，
故答案为：B.
【分析】形如“y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，a≠0）”的函数就是二次函数，根据定义列出方程与不等式解答即可.
3．（2020九上·南通月考）已知函数y=（m﹣2）x|m|+mx﹣1，其图象是抛物线，则m的取值是（ ）
A．m=2 B．m=﹣2 C．m=±2 D．m≠0
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： ，且m-2≠0，
解得：m=-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的一般形式可知：二次函数的最高次项是2，且二次项系数不为0；于是可得关于m的方程和不等式，解之即可求解.
4．（2020九上·麻城月考）已知函数y＝（m＋3）x2＋4是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A．m＞－3 B．m＜－3 C．m≠－3 D．任意实数
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知， ，解得： ，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的一般形式“y=ax2+bx+c(a≠0)”可得关于m的不等式，解这个不等式即可求解.
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（ ）.
A． B． C．S=a2-16a D．S=a2-16a
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵a+b=16，
∴AC=b=16-a（0＜a＜16），
又∵BC=a
∴Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为
S=
=
，
故答案为：B.
【分析】因为△ABC是直角三角形，利用面积公式可表示，S= ，又通过a+b=16，得AC=b=16-a，将BC=a、AC =16-a代入，即可得到，△ABC的面积S与边长a的函数关系式。
6．函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0即可。
二、填空题
7．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ．
【答案】全体实数；y≥0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：函数y=2x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是y≥0，
故答案为：全体实数，y≥0
【分析】由于该二次函数的解析式是一个整式，故自变量的取值是全体实数，再根据偶次方的非负性，得出其对应的函数值一定是非负数。
8．在函数式①y=，②y=，③y=x2﹣，④y=（x﹣1）（x﹣3）中，二次函数是 （填序号）．
【答案】②④
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①y=，右边不是整式，不是二次函数；
②y=，是二次函数；
③y=x2﹣，右边不是整式，不是二次函数；
④y=（x﹣1）（x﹣3），是二次函数．
故答案为：②④．
【分析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
9．如果函数是关于x的二次函数， 则k= 。
【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数y=(k-1)xk -k+2+kx-1是关于x的二次函数，
∴k-1≠0且k2-k+2=2，解得k=0或k=1，
∴k=0．
故答案为0．
【分析】根据二次函数的定义得到k-1≠0且k2-k+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．
10．如图，一边靠墙，其它三边用12米的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃，则这个花圃的面积S（平方米）与AB的长x（米）之间的函数关系式为 ．
【答案】S=﹣2x2+12x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵AB=x，AB+BC+CD=12，
∴BC=12﹣2x，
则S=（12﹣2x）×x=﹣2x2+12x．
故答案为：S=﹣2x2+12x．
【分析】设AB=x，则BC=12﹣2x，根据矩形面积=长×宽，即可得出S与x的函数关系式．
三、解答题
11．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．
【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m，
根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
12．如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
【答案】解：设中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，草坪的面积为y（m2），
根据题意得出：y=100﹣80﹣80x﹣100x+x2=x2﹣180x+8000（0＜x＜80）
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案．
13．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
14．若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围。
【答案】解：①b+1=2，解得b=1，a-1+1≠0，解得a≠0；②b+1≠2，则b≠1，∴b=0或-1，a取全体实数．③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】分情况讨论：①b+1=2；②b+1≠2；③当a=1，b为全体实数时。分别求解。
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