初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.1 二次函数
一、基础巩固
1．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0即可。
2．（2018九上·绍兴月考）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵原二次函数可化为
∴其一次项系数是 2.
故答案为：D.
【分析】将原函数整理成一般形式，即可得出其一次项的系数。
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．xy+x2=2 B．x2﹣2y+2=0 C．y= D．y2﹣x=0
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、整理为y= + ，不是二次函数，故不符合题意；
B、x2﹣2y+2=0变形，得y= x2+1，是二次函数，故符合题意；
C、分母中含自变量，不是二次函数，故不符合题意；
D、y的指数是2，不是函数，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将A中的关系式转化为y是x的函数，即可判断；将B变形，转化为y是x的函数，利用二次函数的定义可作出判断；C中含自变量的式子是分式，不是二次函数；D中y的次数是2次，y不是x的函数，即可得出答案。
4．（2019·南平模拟）某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）2
C．y＝
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
【答案】B
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】根据题意，由“2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2”得：y关于x的函数关系式为y=100（1+x）2.
故答案为：B．
【分析】根据“2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2”列出等量即可.
5．（2019·曲靖模拟）若 是关于自变量x的二次函数，则 .
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据二次函数的定义，得：m2﹣2=2，解得：m=2或m=﹣2.
又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴当m=2时，这个函数是二次函数.
故答案为：2.
【分析】根据二次函数的定义：自变量的最高指数为2，且二次项的系数不能为0，从而列出混合组，求解即可。
6．（2018九上·肥西期中）已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数，则m= .
【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数，
∴ ，
解得m=1.
故答案为：1.
【分析】由于二次函数中自变量的最高指数只能为2，二次项的系数不能为0，从而列出混合组，求解即可。
二、强化提升
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（
A．y= B． y= C． y= D．y=
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
10．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
【答案】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，设BC=a，则AC=4a，∵∠BAD=90°，∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，而∠ACB=90°，AB=AD，∴△ABC≌△DAE，∴AE=BC=a，DE=AC=4a，∴EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，DC=5a，∴x=5a，即a= ，又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，∴ ，即y与x之间的函数关系式是 .
【知识点】列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式。
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【答案】（1）解：由（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m= ，
当m= 时，y是x的一次函数；
（2）解：y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去），
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=﹣8时，﹣8=﹣4x2，
解得x= ，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（ ，0）．
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知y是x的一次函数，可得出x的次数=1，且x的系数≠0，就可求出m的值。
（2）根据y是x的二次函数，可知x的次数=2且x的系数≠0，求出m的值，从而可得出函数解析式，再将y=-8代入函数解析式，解关于x的方程，求出x的值，就可得出纵坐标为-8的点的坐标。
12．（2017九上·鸡西月考）某城区近几年通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加。
（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2008年绿地面积为 公顷。
在2006、2007、2008年这三年中，绿地面积增加最多的是 年。
（2）为了满足城市发展的需要，计划到2010年使绿地总面积达到72.6公顷，试求这两年（2008——2010）绿地面积的年平均增长率。
【答案】（1）60；2007
（2）解：设这两年（2008-2010）绿地面积的年平均增长率为x．
60（1+x）2=72.6，
x=0.1或x=-2.1（舍去）．
答：绿地面积的年平均增长率为10%．
【知识点】一次函数的实际应用；列二次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）从图上可看出2008年对应的绿地面积数据是60；2006年增加面积是51-48=3，2007年为56-51=5，2008年为60-56=4，故增加最多的是2007年．
故答案为60；2007．
【分析】（1）根据图中所给的信息，可得到2008年绿地的面积和增加最多的年份。
（2）根据年增长率与绿地面积的关系，可求得x的取值。
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一、基础巩固
1．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018九上·绍兴月考）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．xy+x2=2 B．x2﹣2y+2=0 C．y= D．y2﹣x=0
4．（2019·南平模拟）某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）2
C．y＝
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
5．（2019·曲靖模拟）若 是关于自变量x的二次函数，则 .
6．（2018九上·肥西期中）已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数，则m= .
二、强化提升
7．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（
A．y= B． y= C． y= D．y=
8．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.3.4二次函数综合题 同步练习）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
10．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.1.1二次函数的定义 同步练习）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
12．（2017九上·鸡西月考）某城区近几年通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加。
（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2008年绿地面积为 公顷。
在2006、2007、2008年这三年中，绿地面积增加最多的是 年。
（2）为了满足城市发展的需要，计划到2010年使绿地总面积达到72.6公顷，试求这两年（2008——2010）绿地面积的年平均增长率。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵原二次函数可化为
∴其一次项系数是 2.
故答案为：D.
【分析】将原函数整理成一般形式，即可得出其一次项的系数。
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、整理为y= + ，不是二次函数，故不符合题意；
B、x2﹣2y+2=0变形，得y= x2+1，是二次函数，故符合题意；
C、分母中含自变量，不是二次函数，故不符合题意；
D、y的指数是2，不是函数，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】将A中的关系式转化为y是x的函数，即可判断；将B变形，转化为y是x的函数，利用二次函数的定义可作出判断；C中含自变量的式子是分式，不是二次函数；D中y的次数是2次，y不是x的函数，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】根据题意，由“2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2”得：y关于x的函数关系式为y=100（1+x）2.
故答案为：B．
【分析】根据“2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2”列出等量即可.
5．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据二次函数的定义，得：m2﹣2=2，解得：m=2或m=﹣2.
又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴当m=2时，这个函数是二次函数.
故答案为：2.
【分析】根据二次函数的定义：自变量的最高指数为2，且二次项的系数不能为0，从而列出混合组，求解即可。
6．【答案】1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数，
∴ ，
解得m=1.
故答案为：1.
【分析】由于二次函数中自变量的最高指数只能为2，二次项的系数不能为0，从而列出混合组，求解即可。
7．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC，求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
8．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
9．【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
10．【答案】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，设BC=a，则AC=4a，∵∠BAD=90°，∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，而∠ACB=90°，AB=AD，∴△ABC≌△DAE，∴AE=BC=a，DE=AC=4a，∴EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，DC=5a，∴x=5a，即a= ，又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，∴ ，即y与x之间的函数关系式是 .
【知识点】列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式。
11．【答案】（1）解：由（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m= ，
当m= 时，y是x的一次函数；
（2）解：y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去），
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=﹣8时，﹣8=﹣4x2，
解得x= ，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（ ，0）．
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）由已知y是x的一次函数，可得出x的次数=1，且x的系数≠0，就可求出m的值。
（2）根据y是x的二次函数，可知x的次数=2且x的系数≠0，求出m的值，从而可得出函数解析式，再将y=-8代入函数解析式，解关于x的方程，求出x的值，就可得出纵坐标为-8的点的坐标。
12．【答案】（1）60；2007
（2）解：设这两年（2008-2010）绿地面积的年平均增长率为x．
60（1+x）2=72.6，
x=0.1或x=-2.1（舍去）．
答：绿地面积的年平均增长率为10%．
【知识点】一次函数的实际应用；列二次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）从图上可看出2008年对应的绿地面积数据是60；2006年增加面积是51-48=3，2007年为56-51=5，2008年为60-56=4，故增加最多的是2007年．
故答案为60；2007．
【分析】（1）根据图中所给的信息，可得到2008年绿地的面积和增加最多的年份。
（2）根据年增长率与绿地面积的关系，可求得x的取值。
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