初中数学湘教版九年级下册1.2二次函数的图象与性质（1）同步练习
一、单选题
1．（2020九上·南丹期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
2．（2020九上·泰兴期中）二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
3．（2020九上·鹿城月考）已知一个二次函数y = ax2（a≠0）的图象经过（－2，8），则下列点中在该函数的图象上的是（ ）
A．（2，8） B．（1，3） C．（ －1，3） D．（2，6）
4．（2020九下·南召月考）如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九下·西安月考）对于 的图象下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越大，开口越大 B． 的值越小，开口越小
C． 的绝对值越小，开口越大 D． 的绝对值越小，开口越小
6．（2020九上·长春月考）二次函数 图像的开口方向是（ ）．
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
7．（2020九上·长春月考）已知a<-1，点（a-1， ），（a， ），（a+1， ）都在函数y=x 的图象上，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
8．（2020九上·麻城月考）关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020九上·昌平期末）关于 ， ， 的图像，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．图像形状相同 D．最低点相同
10．（2019九上·南昌月考）对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线各自关于y轴对称 D．两条抛物线没有公共点
二、填空题
11．（2020九上·江苏期中）请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： .
12．（2020九上·乾安期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
13．（2020九上·宜春期中）若点 ， 在抛物线 上，那么 与 的大小关系是： （填“ ”“ ”）
14．（2020九上·海淀期中）对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
-1
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
15．（2020九上·乐陵月考）下列说法中正确的序号是
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
三、解答题
16．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
17．（2018·惠州模拟）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由抛物线 可得：对称轴为直线 .
故答案为：C.
【分析】直接利用对称轴公式直线 进行计算即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故答案为：D.
【分析】根据y=ax2的顶点坐标为（0，0）可求解.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由题意得：8=a(-2)2,
∴a=2,
∴y=2x2,
A、当x=2时，y=2(2)2=8, 符合题意；
B、当x=1时，y=2(1)2=2, 不符合题意；
C、当x=-1时，y=2(-1)2=2, 不符合题意；
D、当x=2时，y=2(2)2=8, 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先用待定系数法求出二次函数解析式，然后分别检验即可.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式 ，解不等式即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数的性质可知, 的绝对值越小，开口越大, 的绝对值越小，开口越大,
故答案为：C.
【分析】根据 的绝对值越小，开口越大, 的绝对值越小，开口越大即可解题.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵ 的二次项系数为
∴二次函数 图像的开口向下
故答案为：B．
【分析】根据二次函数中二次项系数的符号判断，即可完成求解．
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
由函数 的图象知：当 时 随着 的增大而减小，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据函数y=x2的图象的特点：函数y=x2的图象的开口向上，对称轴是y轴；在y轴的左侧y随x的增大而减小；在y轴的右侧y随x的增大而增大．
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵y＝－x2
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x>0时，y随x的增大而减少，故该项正确；
③当-1④若(m，p)、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的解析式可判断开口方向、顶点坐标、对称轴；由对称轴和a的符号和解析式可确定函数图象的增减性.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】关于 ， ， 的图象，它们的顶点相同，都是原点；对称轴相同，都是y轴；最低点相同，都是原点；由于二次项系数不相同，所以图象形状不同．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象性质解答即可．
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．
故答案为：D．
【分析】把抛物线y=x2沿x轴对称得到抛物线y=-x2；或把抛物线y=x2沿原点旋转180°得到抛物线y=-x2，则可对A、C进行判断；利用二次函数的性质对B、D进行判断．
11．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解： 图象的对称轴是y轴，
函数表达式 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】根据抛物线的对称轴x=可知，当抛物线的对称轴是y轴时，x=0，而a≠0，所以只有b=0，即当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，于是只需满足b=0即可（答案不唯一）.
12．【答案】＞
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由y=x2可知，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，
∴2＜-x1＜4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据函数的表达式，画出函数的草图，再根据函数的草图即性质判断大小即可。
13．【答案】>
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线 上，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
14．【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：根据x=-1和x=m时， 的值都为c，且 的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3
综上：m=-1；d-c=3
【分析】根据题干给的信息及二次函数的性质，列出等式求解即可。
15．【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①符合题意；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②符合题意；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且 越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③不符合题意；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④符合题意．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据二次函数y＝ax2的图象与性质逐一判断即得答案
16．【答案】（1）解：
把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入直线y=2x-3即可求出b的值，从而得出其交点坐标，再将交点坐标代入函数y=ax2（a≠0），即可求出a的值；
（2）根据（1）求出的抛物线的解析式，可知a=-1<0，b=0，c=0，从而得出抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）利用描点法，围绕抛物线的顶点坐标对称的取值，再在坐标平面内描点，并用平滑的线按自变量从小到大顺次连接即可得出抛物线的图像。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2
（2）解：由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
（3）解：把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上
（4）解：把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=± ，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（ ，﹣6）或（﹣ ，﹣6）
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式中求得a的值，即可求得具体的解析式；（2）的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；（3）把x=-1代入抛物线的解析式中，得到的y值与点B的纵坐标相等，那么点B在抛物线上，若不相等，那么点B不在抛物线上；（4）令抛物线解析式的纵坐标为-6，求得的x的值，即可求得满足条件的点的坐标.
1 / 1初中数学湘教版九年级下册1.2二次函数的图象与性质（1）同步练习
一、单选题
1．（2020九上·南丹期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由抛物线 可得：对称轴为直线 .
故答案为：C.
【分析】直接利用对称轴公式直线 进行计算即可.
2．（2020九上·泰兴期中）二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故答案为：D.
【分析】根据y=ax2的顶点坐标为（0，0）可求解.
3．（2020九上·鹿城月考）已知一个二次函数y = ax2（a≠0）的图象经过（－2，8），则下列点中在该函数的图象上的是（ ）
A．（2，8） B．（1，3） C．（ －1，3） D．（2，6）
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由题意得：8=a(-2)2,
∴a=2,
∴y=2x2,
A、当x=2时，y=2(2)2=8, 符合题意；
B、当x=1时，y=2(1)2=2, 不符合题意；
C、当x=-1时，y=2(-1)2=2, 不符合题意；
D、当x=2时，y=2(2)2=8, 不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先用待定系数法求出二次函数解析式，然后分别检验即可.
4．（2020九下·南召月考）如果抛物线 开口向下，那么 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线 开口向下，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口向下可得不等式 ，解不等式即可得出结论.
5．（2020九下·西安月考）对于 的图象下列叙述正确的是（ ）
A． 的值越大，开口越大 B． 的值越小，开口越小
C． 的绝对值越小，开口越大 D． 的绝对值越小，开口越小
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数的性质可知, 的绝对值越小，开口越大, 的绝对值越小，开口越大,
故答案为：C.
【分析】根据 的绝对值越小，开口越大, 的绝对值越小，开口越大即可解题.
6．（2020九上·长春月考）二次函数 图像的开口方向是（ ）．
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵ 的二次项系数为
∴二次函数 图像的开口向下
故答案为：B．
【分析】根据二次函数中二次项系数的符号判断，即可完成求解．
7．（2020九上·长春月考）已知a<-1，点（a-1， ），（a， ），（a+1， ）都在函数y=x 的图象上，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
由函数 的图象知：当 时 随着 的增大而减小，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据函数y=x2的图象的特点：函数y=x2的图象的开口向上，对称轴是y轴；在y轴的左侧y随x的增大而减小；在y轴的右侧y随x的增大而增大．
8．（2020九上·麻城月考）关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵y＝－x2
∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；
②对称轴为x=0，当x>0时，y随x的增大而减少，故该项正确；
③当-1④若(m，p)、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确.
故答案为：C.
【分析】由抛物线的解析式可判断开口方向、顶点坐标、对称轴；由对称轴和a的符号和解析式可确定函数图象的增减性.
9．（2020九上·昌平期末）关于 ， ， 的图像，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．图像形状相同 D．最低点相同
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】关于 ， ， 的图象，它们的顶点相同，都是原点；对称轴相同，都是y轴；最低点相同，都是原点；由于二次项系数不相同，所以图象形状不同．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象性质解答即可．
10．（2019九上·南昌月考）对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线各自关于y轴对称 D．两条抛物线没有公共点
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．
故答案为：D．
【分析】把抛物线y=x2沿x轴对称得到抛物线y=-x2；或把抛物线y=x2沿原点旋转180°得到抛物线y=-x2，则可对A、C进行判断；利用二次函数的性质对B、D进行判断．
二、填空题
11．（2020九上·江苏期中）请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： .
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解： 图象的对称轴是y轴，
函数表达式 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】根据抛物线的对称轴x=可知，当抛物线的对称轴是y轴时，x=0，而a≠0，所以只有b=0，即当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，于是只需满足b=0即可（答案不唯一）.
12．（2020九上·乾安期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
【答案】＞
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由y=x2可知，
∵a=1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，
∴2＜-x1＜4，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据函数的表达式，画出函数的草图，再根据函数的草图即性质判断大小即可。
13．（2020九上·宜春期中）若点 ， 在抛物线 上，那么 与 的大小关系是： （填“ ”“ ”）
【答案】>
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线 上，
∴y1＞y2．
故答案为：＞
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
14．（2020九上·海淀期中）对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
-1
根据二次函数图象的相关性质可知： ， ．
【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：根据x=-1和x=m时， 的值都为c，且 的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3
综上：m=-1；d-c=3
【分析】根据题干给的信息及二次函数的性质，列出等式求解即可。
15．（2020九上·乐陵月考）下列说法中正确的序号是
①在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；
②在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
③抛物线y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 中，抛物线y=2x2的开口最小，抛物线y=﹣x2的开口最大
④不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点都是坐标原点
【答案】①②④
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由函数的解析式y＝－x2，可知a=﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，故①符合题意；
由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故②符合题意；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且 越大开口越小，可知抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而y 开口最大，故③不符合题意；
不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，故④符合题意．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据二次函数y＝ax2的图象与性质逐一判断即得答案
三、解答题
16．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）解：
把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入直线y=2x-3即可求出b的值，从而得出其交点坐标，再将交点坐标代入函数y=ax2（a≠0），即可求出a的值；
（2）根据（1）求出的抛物线的解析式，可知a=-1<0，b=0，c=0，从而得出抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）利用描点法，围绕抛物线的顶点坐标对称的取值，再在坐标平面内描点，并用平滑的线按自变量从小到大顺次连接即可得出抛物线的图像。
17．（2018·惠州模拟）已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a （﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2
（2）解：由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
（3）解：把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上
（4）解：把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=± ，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（ ，﹣6）或（﹣ ，﹣6）
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式中求得a的值，即可求得具体的解析式；（2）的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；（3）把x=-1代入抛物线的解析式中，得到的y值与点B的纵坐标相等，那么点B在抛物线上，若不相等，那么点B不在抛物线上；（4）令抛物线解析式的纵坐标为-6，求得的x的值，即可求得满足条件的点的坐标.
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