2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·鄞州期末）由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2，下列平移方法可行的是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：依题可得：
将 抛物线y=x2向左平移2个单位.
故答案为：C.
【分析】根据平移的规律：“左加右减”即可得出答案.
2．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:如图，
当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】由题意可画出大致的图像。当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解方程可求得h的值；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0与 对应的函数值y的最大值为﹣1 矛盾；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解方程可求得h的值。
3．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，
∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故答案为：D．
【分析】由二次函数的图象开口向下可得a＜0，对称轴在y轴的左侧可得 ，则b＜0，由 点P的横坐标为﹣1 可得y=a﹣b＜0，则根据一次函数的图象的性质可得 一次函数y=（a﹣b）x+b的图象过二、三、四象限。
4．（2018九上·绍兴月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故①正确；
②根据图示知，该函数图象的开口向上，
∴a＞0；
故②正确；
③又对称轴x=- =1，
∴ ＜0，
∴b＜0；
不符合题意；
④该函数图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0；
不符合题意；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确．
所以①②⑤三不符合题意．
故答案为：B．
【分析】该函数图象的开口向上，a＞0；该函数图象交于y轴的负半轴，c＜0；抛物线的对称轴直线在y轴的右侧，故a，b异号；抛物线与x轴有两个交点，故=b2-4ac＞0，根据抛物线的对称性及与x轴的一个交点的坐标，即可判断出其与x轴的另一个交点的坐标，从而得出答案。
5．（2018九上·绍兴月考）描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数 ，下列说法：①图象经过 ；②当 时， 有最小值 ；③ 随 的增大而增大；④该函数图象关于直线 对称；正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】描点法画出函数 的图象如图：
①当x=1时，y=(x 2)4=(1 2)4=1，则图象经过(1，1)，所以①符合题意；
②当x=2时，y=(x 2)4=(2 2)4=0，所以②符合题意；
③当x>2时，y随x的增大而增大，所以③不符合题意；
④由图象可知该函数图象关于直线x=2对称，所以④符合题意，
故答案为：B.
【分析】用描点法画出该函数的图象，由该函数顶点的坐标为（2，0），开口方向向上，故对称轴直线是直线x=2，在对称轴右边的图像上，即x>2时，y随x的增大而增大；根据函数图象上点的坐标特点，再将点 ( 1 ， 1 ) 代入函数解析式，发现该点的坐标能使解析式的左右两边相等，从而得出答案。
6．（2018九上·金华月考）已知抛物线 过 、 、 、 四点，则 与 的大小关系是（ ）
A． > B． = C． < D．不能确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线与x轴交于A（-3，0）、D（1，0）两点，
∴抛物线对称轴为x= =-1，
∵B（-5，y1）、C（5，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
故答案为：A.
【分析】利用抛物线与x轴的两交点坐标，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性，有点B、C的横坐标，就可确定出y1与y2的大小。
7．（2018九上·金华月考）把抛物线 向下平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，所得抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得y=(x+2-1)2-2=(x+1)2-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
8．若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．至少有3个
D．有无穷多个
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解: ∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax
2+ax﹣2a总不经过点P（x
0﹣3，x
02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0=﹣4或x0=1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故答案为：B．
【分析】由题意知，把点P（x0﹣3，x02﹣16）代入解析式 y=ax2+ax﹣2a时，不能使解析式左右两边相等，即x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a，整理分解因式可求得x0=﹣4或x0=1，即这样的点有2个。
9．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为二次函数y=kx
2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣
＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故答案为：C．
【分析】由题意可得抛物线的对称轴为直线x=
=
，而 k＜0 ，所以
，即对称轴在y轴右侧，又因为c=1
，所以抛物线交于y轴的负半轴，所以选项C符合题意。
10．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，c＜0．
故答案为：C．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；当抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，交于负半轴时，则c＜0，抛物线过原点，则c=0,；对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，对称轴在y轴的左侧时，a、b同号，对称轴为y轴时，则b=0，据此可得出正确的选项。
11．（2019九上·宁河期中）函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确；
当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误。
故答案为：B．
【分析】根据抛物线与一次函数的性质和图像，可找出符合题意的选项。
12．（2019九上·河西期中）下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴y=x2+2x的对称轴是直线x=-1，故选项A不符合题意；
∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
∴y=x2-2x的对称轴是直线x=1，故选项B符合题意；
y=x2-2的对称轴是直线x=0，故选项C不符合题意，
∵y=x2-4x=（x-2）2-4，
∴y=x2-4x的对称轴是直线x=2，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称轴公式x=-分别计算出各个图象的对称轴，就可选出正确选项。
13．（2018九上·武昌期中）当 时，二次函数 有最大值 ，则实数 的值为（ ）
A． B．
C． D．2或 或
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得：m=﹣ ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得：m=﹣ ，m= （舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得：m=2．
综上所述：m的值为2或﹣ ．
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式可得出对称轴为直线x=m，再分情况讨论：①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，利用函数解析式分别求出符合题意的m的值。
14．（2018九上·天台月考）对于代数式 ，下列说法正确的是（ ）
①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则 ②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c
A．① B．③ C．②④ D．①③
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设y=ax2+bx+c（a≠0），
①当x=p或q时，ap2+bp+c与aq2+bq+c不一定等于0，故错误；
②根据二次函数的对称性，最多存在两个实数m≠n，使得am2+bm+c=an2+bn+c，故错误；
③∵ac＜0，
∴△=b2-4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故正确；
④∵ac＞0，
∴△=b2-4ac不一定大于0，
∴抛物线可能与x轴没有交点，
∴不一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故错误.
故答案为：B.
【分析】设y=ax2+bx+c（a≠0），
①当x=p或q时，不一定是二次函数与x轴的交点，故错误；
②根据二次函数的对称性即可判断错误；
③根据ac＜0可得△＞0，从而可得抛物线与x轴有两个不同的交点，故正确；
④根据ac＞0判断不出△的符号，故错误.
15．（2018九上·丽水期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x －1 0 1 3
y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题可得：
函数对称轴为：x==，
故②错误；
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确；
∵函数有最大值，且在对称轴取得最大值，
∴抛物线开口向下，
故①正确；
由表可知：方程ax2+bx+c=0的一个根在-1＜x＜0，对称轴为，
∴方程ax2+bx+c=0的另一个根在3＜x＜4，
故④错误；
∴正确的结论有：①③.
故答案为：B.
【分析】由表中数据和二次函数图象的性质可知其对称轴为：x==，再由图中数据可得函数有最大值，从而可得函数开口向下以及当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减；再由表中数据可知方程ax2+bx+c=0的一个根在-1＜x＜0，结合函数对称性可知方程ax2+bx+c=0的另一个根在3＜x＜4，从而可判断结论的对错.
二、填空题
16．（2018九上·金华月考）二次函数 的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为 .
【分析】根据函数解析式直接写出顶点坐标。
17．（2018九上·绍兴月考）将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数的图象的表达式是 ．
【答案】 或
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵y=2x2 4x+3=2(x 1)2+1，
∴抛物线y=2x2 4x+3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
平移后的函数关系式是：y=2(x+2)2或y=2x2+8x+8.
故答案为：y=2(x+2)2或y=2x2+8x+8.
【分析】根据二次函数图象的几何变换规律，左加右减，上加下减，将原解析式配成顶点式，再在顶点式上按规律加减即可。
18．（2018九上·绍兴月考）已知抛物线y=x2+（m-4）x-4m的顶点在y轴上，则m= ；
【答案】4.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+（m-4)x+m的顶点在y轴上，
∴m-4=0解得m=4．
【分析】抛物线的顶点在y轴上可知，由抛物线的对称性可知：其对称轴一定是y轴，从而得出一次项的系数应该为0，从而列出方程，求解即可。
19．（2018九上·金华月考）已知二次函数 有最大值 ，则 ， 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵函数有最大值， ∴a＜0， ∵函数的最值为 ， ∴b= ， 则a＜b．
【分析】利用二次函数的性质，可知a＜0及函数的最大值为b＞0，因此可得出a与b的大小关系。
20．（2019九上·杭州月考）若二次函数 的图象关于 轴对称，则 的值为： ．此函数图象的顶点和它与 轴的两个交点所确定的三角形的面积为： .
【答案】1；1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵图象关于 轴对称，
∴对称轴为x=0，
∴
解得m=1，代入原方程得：
当y=0时， ，x=±1，
当x=0时，y=1，
则S△= .
【分析】根据抛物线关于y轴对称可得对称轴为x=0，即解方程即可求得m的值；把求得的m的值代入解析式并令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程即可求解。
21．（2019九上·杭州月考）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ， ，试比较 和 的大小： ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
设 关于对称轴的对称点为（x3，y3），
，解得x3=5，则其点坐标为（5，y3），
∵抛物线开口向上，且对称轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵5＞2，
∴y1= y3＞y2
故答案为：＞.
【分析】根据a＞0可得，抛物线开口向上，根据对称轴直线x=2=（和分别为两对称点的横坐标）可求得点 ( 1， y1)的对称点的横坐标，根据当x＞2（即在对称轴右侧）时，y随x的增大而增大可得.
三、解答题
22．若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．
（1）平移的规律是：先向 （填“左”或“右”）平移 个单位，再向 平移 个单位．
（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．
【答案】（1）右；2；上；4
（2）解：抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：（1）原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（2，4），说明新抛物线向右移动了2个单位，向上移动了4个单位．
【分析】（1）先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据平移规律解答即可。（2）画抛物线应找出顶点、与x、y轴的交点等关键点来画。
23．（2018九上·丽水期中）已知抛物线y=－x2＋2x＋3．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标．
（2）在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象
（3）将该抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位得到抛物线y1，此时点P的对应点为P′，试求直线PP′与y轴的交点坐标
【答案】（1）解：∵抛物线y=－x2＋2x＋3，
∴y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线 x=1，顶点 P(1，4).
（2）解：列表得：
图像如图：
（3）解：依题可得：平移后抛物线为 y1=－(x+2)2+2，
∴P′(－2，2)，设直线PP′的函数解析式为：y=kx+b，依题可得：，解得：，∴直线 PP′的函数表达式为 y=x+
∴直线 PP′与 y 轴的交点为 (0，).
【知识点】二次函数图象的几何变换；描点法画函数图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）将函数一般式配方成顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标.
（2）根据画图像的步骤：列表——描点——连线即可得出答案.
（3）根据函数平移规律“左加油减，上加下减”可得平移之后的解析式，从而得出顶点P′坐标，再由待定系数法求得直线PP′的函数解析式，令x=0即可求得直线PP′y 轴的交点.
24．（2018九上·东台期中）已知二次函数y=x2+2x﹣3．
（1）写出它的顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；
（3）求出图象与x轴的交点坐标．
（4）当x取何值时y的值大于0．
【答案】（1）解: y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣4）
（2）解: ∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
（3）解: 令y=x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．
（4）解: 其大致图象如图： 由图象可知：当x＞1或 x＜-3时，y的值大于0
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）用配方法将二次函数配成顶点式即可求解；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=-1，因为抛物线的开口向上，所以在对称轴左侧， y随x的增大而减小；在对称轴右侧， y随x的增大而增大；由此可得当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 ；
（3）由题意令y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程即可求解；
（4）由题意可知，图像在x轴的上方，结合（3）中的结论可求解。
25．（2018九上·杭州月考）二次函数 的图象如图所示，根据图象回答：
（1）当 时，写出自变量 的值．
（2）当 时，写出自变量 的取值范围．
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围（用含 、 、 的代数式表示）．
【答案】（1）解：当 时， 或
（2）解：当 时， ；
（3）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为 ．
∴当 时， 随 的增大而减小
（4）解：方程 变形为 ，∴方程 有两个不相等的实数根可看作二次函数 与直线 有两个交点，如图，
∴ ，
即
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）观察图象，y=0时，x的值即为抛物线与x轴的交点的横坐标；（2）观察图象，y>0时，x的取值范围即为抛物线在x轴的上方时x的取值范围；（3）由抛物线的开口向下，则在对称轴右侧部分，y随x的增大而减小；（4）由二次方程 变形为 ，则可看成是求二次函数 与直线 的交点横坐标，要使有两个解即要有两个交点.观察图象可得.
26．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？
（3）若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.
【答案】（1）解：∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同，
∴这条抛物线的解析式为：y=3(x+2)2
（2）解：将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y=3(x 2)2
（3）解：若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，
则符合此条件的抛物线解析式为：y= 3(x 2)2
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图像与系数的关系，由抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同得出所求函数的二次项系数为3，再根据顶点与抛物线y=(x+2)2相同，而抛物线y=(x+2)2的顶点坐标是（-2，0），利用顶点式，用待定系数法即可得出答案；
（2）根据抛物线的几何变换规律“左加右减，上加下减”由顶点式直接得出答案；
（3）根据抛物线的图像与系数的关系，若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，即可得出所求的抛物线的二次项系数为-3，从而得出答案。
27．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1
（2）解：当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2
（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴ 或 ，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）因为x1＜x2≤﹣2，于是将x=﹣2代入题目中的解析式，即可将用含m的代数式表示，并将其配顶点式，根据二次函数的性质可求得yP有最小值时m的值，再将此时的m的值代入抛物线F的解析式，并配成顶点式，根据二次函数的性质即可判断与的大小；
（3）因为抛物线F与线段AB有公共点，则可得抛物线在直线y=2的上方或下方，于是可得不等式组求解。
28．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数 的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜ ．则k的最大整数值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，即可证明；
（2）由a>0知抛物线开口向上，二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又△>0，可知抛物线的顶点在x轴的下方，图像经过一、二、四象限，所以两根的和与积都大于0，由此可得关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）<0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
29．（2018九上·宜昌期中）如图 ，若抛物线 的顶点 在抛物线 上，抛物线 的顶点 也在抛物线 上（点 与点 不重合），我们定义：这样的两条抛物 ， 互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
（1）如图 ，已知抛物线 与 轴交于点 ，试求出点 关于该抛物线对称轴对称的点 的坐标；
（2）请求出以点 为顶点的 的友好抛物线 的解析式，并指出 与 中 同时随 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 的任意一条友好抛物线的解析式为 ，请写出 与 的关系式，并说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）解：∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；
（3）解：a1与a2的关系式为a1+a2=0．
理由如下：
∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，∴y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），即
k=a1（h﹣m）2+n…①
n=a2（m﹣h）2+k…②
由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．
又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入抛物线抛物线L3的解析式，算出对应的函数值，即可得出C点的坐标，然后将抛物线L3配成顶点式得出其对称轴直线是x=2，根据抛物线的对称性即可得出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）根据友好抛物线的定义以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），利用待定系数法即可求出L4的解析式，利用图象法求 L 3 与 L 4 中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围，就是找出两函数的图象同时从左向上上升段的自变量的取值范围，根据图像即可直接得出；
（3）a1与a2的关系式为a1+a2=0．根据友好抛物线的定义y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），将这两点的坐标分别代入两解析式，再将两方程相加即可得出结论。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·鄞州期末）由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2，下列平移方法可行的是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
2．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
3．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018九上·绍兴月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2018九上·绍兴月考）描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数 ，下列说法：①图象经过 ；②当 时， 有最小值 ；③ 随 的增大而增大；④该函数图象关于直线 对称；正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．②③④
6．（2018九上·金华月考）已知抛物线 过 、 、 、 四点，则 与 的大小关系是（ ）
A． > B． = C． < D．不能确定
7．（2018九上·金华月考）把抛物线 向下平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，所得抛物线是（ ）
A． B． C． D．
8．若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．至少有3个
D．有无穷多个
9．二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0
11．（2019九上·宁河期中）函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019九上·河西期中）下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（ ）
A． B． C． D．
13．（2018九上·武昌期中）当 时，二次函数 有最大值 ，则实数 的值为（ ）
A． B．
C． D．2或 或
14．（2018九上·天台月考）对于代数式 ，下列说法正确的是（ ）
①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则 ②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c
A．① B．③ C．②④ D．①③
15．（2018九上·丽水期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x －1 0 1 3
y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．（2018九上·金华月考）二次函数 的顶点坐标是 ．
17．（2018九上·绍兴月考）将二次函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数的图象的表达式是 ．
18．（2018九上·绍兴月考）已知抛物线y=x2+（m-4）x-4m的顶点在y轴上，则m= ；
19．（2018九上·金华月考）已知二次函数 有最大值 ，则 ， 的大小关系为 ．
20．（2019九上·杭州月考）若二次函数 的图象关于 轴对称，则 的值为： ．此函数图象的顶点和它与 轴的两个交点所确定的三角形的面积为： .
21．（2019九上·杭州月考）已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过点 ， ，试比较 和 的大小： ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
三、解答题
22．若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．
（1）平移的规律是：先向 （填“左”或“右”）平移 个单位，再向 平移 个单位．
（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．
23．（2018九上·丽水期中）已知抛物线y=－x2＋2x＋3．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标．
（2）在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象
（3）将该抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位得到抛物线y1，此时点P的对应点为P′，试求直线PP′与y轴的交点坐标
24．（2018九上·东台期中）已知二次函数y=x2+2x﹣3．
（1）写出它的顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；
（3）求出图象与x轴的交点坐标．
（4）当x取何值时y的值大于0．
25．（2018九上·杭州月考）二次函数 的图象如图所示，根据图象回答：
（1）当 时，写出自变量 的值．
（2）当 时，写出自变量 的取值范围．
（3）写出 随 的增大而减小的自变量 的取值范围．
（4）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围（用含 、 、 的代数式表示）．
26．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？
（3）若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.
27．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
28．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.
（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.
29．（2018九上·宜昌期中）如图 ，若抛物线 的顶点 在抛物线 上，抛物线 的顶点 也在抛物线 上（点 与点 不重合），我们定义：这样的两条抛物 ， 互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
（1）如图 ，已知抛物线 与 轴交于点 ，试求出点 关于该抛物线对称轴对称的点 的坐标；
（2）请求出以点 为顶点的 的友好抛物线 的解析式，并指出 与 中 同时随 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 的任意一条友好抛物线的解析式为 ，请写出 与 的关系式，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：依题可得：
将 抛物线y=x2向左平移2个单位.
故答案为：C.
【分析】根据平移的规律：“左加右减”即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:如图，
当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】由题意可画出大致的图像。当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解方程可求得h的值；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0与 对应的函数值y的最大值为﹣1 矛盾；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解方程可求得h的值。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，
∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故答案为：D．
【分析】由二次函数的图象开口向下可得a＜0，对称轴在y轴的左侧可得 ，则b＜0，由 点P的横坐标为﹣1 可得y=a﹣b＜0，则根据一次函数的图象的性质可得 一次函数y=（a﹣b）x+b的图象过二、三、四象限。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故①正确；
②根据图示知，该函数图象的开口向上，
∴a＞0；
故②正确；
③又对称轴x=- =1，
∴ ＜0，
∴b＜0；
不符合题意；
④该函数图象交于y轴的负半轴，
∴c＜0；
不符合题意；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确．
所以①②⑤三不符合题意．
故答案为：B．
【分析】该函数图象的开口向上，a＞0；该函数图象交于y轴的负半轴，c＜0；抛物线的对称轴直线在y轴的右侧，故a，b异号；抛物线与x轴有两个交点，故=b2-4ac＞0，根据抛物线的对称性及与x轴的一个交点的坐标，即可判断出其与x轴的另一个交点的坐标，从而得出答案。
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】描点法画出函数 的图象如图：
①当x=1时，y=(x 2)4=(1 2)4=1，则图象经过(1，1)，所以①符合题意；
②当x=2时，y=(x 2)4=(2 2)4=0，所以②符合题意；
③当x>2时，y随x的增大而增大，所以③不符合题意；
④由图象可知该函数图象关于直线x=2对称，所以④符合题意，
故答案为：B.
【分析】用描点法画出该函数的图象，由该函数顶点的坐标为（2，0），开口方向向上，故对称轴直线是直线x=2，在对称轴右边的图像上，即x>2时，y随x的增大而增大；根据函数图象上点的坐标特点，再将点 ( 1 ， 1 ) 代入函数解析式，发现该点的坐标能使解析式的左右两边相等，从而得出答案。
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线与x轴交于A（-3，0）、D（1，0）两点，
∴抛物线对称轴为x= =-1，
∵B（-5，y1）、C（5，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下，
∴y1＞y2．
故答案为：A.
【分析】利用抛物线与x轴的两交点坐标，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性，有点B、C的横坐标，就可确定出y1与y2的大小。
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得y=(x+2-1)2-2=(x+1)2-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解: ∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax
2+ax﹣2a总不经过点P（x
0﹣3，x
02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0=﹣4或x0=1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故答案为：B．
【分析】由题意知，把点P（x0﹣3，x02﹣16）代入解析式 y=ax2+ax﹣2a时，不能使解析式左右两边相等，即x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a，整理分解因式可求得x0=﹣4或x0=1，即这样的点有2个。
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：因为二次函数y=kx
2+2x+1（k＜0）的图象开口向下，过点（0，1），对称轴x=﹣
＞0，
观察图象可知，符合上述条件的只有C．故答案为：C．
【分析】由题意可得抛物线的对称轴为直线x=
=
，而 k＜0 ，所以
，即对称轴在y轴右侧，又因为c=1
，所以抛物线交于y轴的负半轴，所以选项C符合题意。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，c＜0．
故答案为：C．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；当抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，交于负半轴时，则c＜0，抛物线过原点，则c=0,；对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，对称轴在y轴的左侧时，a、b同号，对称轴为y轴时，则b=0，据此可得出正确的选项。
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确；
当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误。
故答案为：B．
【分析】根据抛物线与一次函数的性质和图像，可找出符合题意的选项。
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴y=x2+2x的对称轴是直线x=-1，故选项A不符合题意；
∵y=x2-2x=（x-1）2-1，
∴y=x2-2x的对称轴是直线x=1，故选项B符合题意；
y=x2-2的对称轴是直线x=0，故选项C不符合题意，
∵y=x2-4x=（x-2）2-4，
∴y=x2-4x的对称轴是直线x=2，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称轴公式x=-分别计算出各个图象的对称轴，就可选出正确选项。
13．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得：m=﹣ ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得：m=﹣ ，m= （舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得：m=2．
综上所述：m的值为2或﹣ ．
故答案为：C．
【分析】根据函数解析式可得出对称轴为直线x=m，再分情况讨论：①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，利用函数解析式分别求出符合题意的m的值。
14．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设y=ax2+bx+c（a≠0），
①当x=p或q时，ap2+bp+c与aq2+bq+c不一定等于0，故错误；
②根据二次函数的对称性，最多存在两个实数m≠n，使得am2+bm+c=an2+bn+c，故错误；
③∵ac＜0，
∴△=b2-4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故正确；
④∵ac＞0，
∴△=b2-4ac不一定大于0，
∴抛物线可能与x轴没有交点，
∴不一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故错误.
故答案为：B.
【分析】设y=ax2+bx+c（a≠0），
①当x=p或q时，不一定是二次函数与x轴的交点，故错误；
②根据二次函数的对称性即可判断错误；
③根据ac＜0可得△＞0，从而可得抛物线与x轴有两个不同的交点，故正确；
④根据ac＞0判断不出△的符号，故错误.
15．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题可得：
函数对称轴为：x==，
故②错误；
当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确；
∵函数有最大值，且在对称轴取得最大值，
∴抛物线开口向下，
故①正确；
由表可知：方程ax2+bx+c=0的一个根在-1＜x＜0，对称轴为，
∴方程ax2+bx+c=0的另一个根在3＜x＜4，
故④错误；
∴正确的结论有：①③.
故答案为：B.
【分析】由表中数据和二次函数图象的性质可知其对称轴为：x==，再由图中数据可得函数有最大值，从而可得函数开口向下以及当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减；再由表中数据可知方程ax2+bx+c=0的一个根在-1＜x＜0，结合函数对称性可知方程ax2+bx+c=0的另一个根在3＜x＜4，从而可判断结论的对错.
16．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为 .
【分析】根据函数解析式直接写出顶点坐标。
17．【答案】 或
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】∵y=2x2 4x+3=2(x 1)2+1，
∴抛物线y=2x2 4x+3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
平移后的函数关系式是：y=2(x+2)2或y=2x2+8x+8.
故答案为：y=2(x+2)2或y=2x2+8x+8.
【分析】根据二次函数图象的几何变换规律，左加右减，上加下减，将原解析式配成顶点式，再在顶点式上按规律加减即可。
18．【答案】4.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+（m-4)x+m的顶点在y轴上，
∴m-4=0解得m=4．
【分析】抛物线的顶点在y轴上可知，由抛物线的对称性可知：其对称轴一定是y轴，从而得出一次项的系数应该为0，从而列出方程，求解即可。
19．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵函数有最大值， ∴a＜0， ∵函数的最值为 ， ∴b= ， 则a＜b．
【分析】利用二次函数的性质，可知a＜0及函数的最大值为b＞0，因此可得出a与b的大小关系。
20．【答案】1；1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵图象关于 轴对称，
∴对称轴为x=0，
∴
解得m=1，代入原方程得：
当y=0时， ，x=±1，
当x=0时，y=1，
则S△= .
【分析】根据抛物线关于y轴对称可得对称轴为x=0，即解方程即可求得m的值；把求得的m的值代入解析式并令y=0可得关于x的一元二次方程，解方程即可求解。
21．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
设 关于对称轴的对称点为（x3，y3），
，解得x3=5，则其点坐标为（5，y3），
∵抛物线开口向上，且对称轴为x=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵5＞2，
∴y1= y3＞y2
故答案为：＞.
【分析】根据a＞0可得，抛物线开口向上，根据对称轴直线x=2=（和分别为两对称点的横坐标）可求得点 ( 1， y1)的对称点的横坐标，根据当x＞2（即在对称轴右侧）时，y随x的增大而增大可得.
22．【答案】（1）右；2；上；4
（2）解：抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：（1）原抛物线的顶点坐标为（0，0），新抛物线的顶点坐标为（2，4），说明新抛物线向右移动了2个单位，向上移动了4个单位．
【分析】（1）先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据平移规律解答即可。（2）画抛物线应找出顶点、与x、y轴的交点等关键点来画。
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=－x2＋2x＋3，
∴y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线 x=1，顶点 P(1，4).
（2）解：列表得：
图像如图：
（3）解：依题可得：平移后抛物线为 y1=－(x+2)2+2，
∴P′(－2，2)，设直线PP′的函数解析式为：y=kx+b，依题可得：，解得：，∴直线 PP′的函数表达式为 y=x+
∴直线 PP′与 y 轴的交点为 (0，).
【知识点】二次函数图象的几何变换；描点法画函数图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）将函数一般式配方成顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标.
（2）根据画图像的步骤：列表——描点——连线即可得出答案.
（3）根据函数平移规律“左加油减，上加下减”可得平移之后的解析式，从而得出顶点P′坐标，再由待定系数法求得直线PP′的函数解析式，令x=0即可求得直线PP′y 轴的交点.
24．【答案】（1）解: y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣4）
（2）解: ∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大
（3）解: 令y=x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．
（4）解: 其大致图象如图： 由图象可知：当x＞1或 x＜-3时，y的值大于0
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）用配方法将二次函数配成顶点式即可求解；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=-1，因为抛物线的开口向上，所以在对称轴左侧， y随x的增大而减小；在对称轴右侧， y随x的增大而增大；由此可得当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 ；
（3）由题意令y=0可得关于x的一元二次方程，解这个方程即可求解；
（4）由题意可知，图像在x轴的上方，结合（3）中的结论可求解。
25．【答案】（1）解：当 时， 或
（2）解：当 时， ；
（3）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为 ．
∴当 时， 随 的增大而减小
（4）解：方程 变形为 ，∴方程 有两个不相等的实数根可看作二次函数 与直线 有两个交点，如图，
∴ ，
即
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）观察图象，y=0时，x的值即为抛物线与x轴的交点的横坐标；（2）观察图象，y>0时，x的取值范围即为抛物线在x轴的上方时x的取值范围；（3）由抛物线的开口向下，则在对称轴右侧部分，y随x的增大而减小；（4）由二次方程 变形为 ，则可看成是求二次函数 与直线 的交点横坐标，要使有两个解即要有两个交点.观察图象可得.
26．【答案】（1）解：∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同，
∴这条抛物线的解析式为：y=3(x+2)2
（2）解：将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y=3(x 2)2
（3）解：若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，
则符合此条件的抛物线解析式为：y= 3(x 2)2
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图像与系数的关系，由抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同得出所求函数的二次项系数为3，再根据顶点与抛物线y=(x+2)2相同，而抛物线y=(x+2)2的顶点坐标是（-2，0），利用顶点式，用待定系数法即可得出答案；
（2）根据抛物线的几何变换规律“左加右减，上加下减”由顶点式直接得出答案；
（3）根据抛物线的图像与系数的关系，若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，即可得出所求的抛物线的二次项系数为-3，从而得出答案。
27．【答案】（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1
（2）解：当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2
（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴ 或 ，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）因为x1＜x2≤﹣2，于是将x=﹣2代入题目中的解析式，即可将用含m的代数式表示，并将其配顶点式，根据二次函数的性质可求得yP有最小值时m的值，再将此时的m的值代入抛物线F的解析式，并配成顶点式，根据二次函数的性质即可判断与的大小；
（3）因为抛物线F与线段AB有公共点，则可得抛物线在直线y=2的上方或下方，于是可得不等式组求解。
28．【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数 的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜ ．则k的最大整数值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，即可证明；
（2）由a>0知抛物线开口向上，二次函数y=x2+（k-5）x+1-k的图象不经过第三象限，又△>0，可知抛物线的顶点在x轴的下方，图像经过一、二、四象限，所以两根的和与积都大于0，由此可得关于k的不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x1-3）（x2-3）<0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值．
29．【答案】（1）解：∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）解：∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；
（3）解：a1与a2的关系式为a1+a2=0．
理由如下：
∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，∴y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），即
k=a1（h﹣m）2+n…①
n=a2（m﹣h）2+k…②
由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．
又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入抛物线抛物线L3的解析式，算出对应的函数值，即可得出C点的坐标，然后将抛物线L3配成顶点式得出其对称轴直线是x=2，根据抛物线的对称性即可得出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）根据友好抛物线的定义以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），利用待定系数法即可求出L4的解析式，利用图象法求 L 3 与 L 4 中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围，就是找出两函数的图象同时从左向上上升段的自变量的取值范围，根据图像即可直接得出；
（3）a1与a2的关系式为a1+a2=0．根据友好抛物线的定义y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），将这两点的坐标分别代入两解析式，再将两方程相加即可得出结论。
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