2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.1二次函数的图象和性质 同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第1章 二次函数 单元检测a卷）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣1）（x+2） B．y= （x+1）2
C．y=1﹣ x2 D．y=2（x+3）2﹣2x2
2．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.2.3 二次函数的图象与性质）二次函数y=﹣10（x+3）2﹣5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（3，﹣5）
B．开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣5）
C．开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（﹣3，5）
D．开口向上，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣5）
3．（初中数学北师大版九年级下册2.3确定二次函数的表达式练习题）对于抛物线y=4x﹣4x2+7，有下列说法：①抛物线的开口向上；②顶点坐标为（2，﹣3）；③对称轴为直线x= ；④点（﹣2，﹣17）在抛物线上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2016八上·鞍山期末）在函数 中， 随 增大而减小，则 的取值范围为（ ）
A． ＞－1 B． ＞3 C． ＜－1 D． ＜3
5．（函数(186)+—+二次函数(234)+—+二次函数的性质(237)1 ）已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（ ）
A．h≥﹣2 B．h≤﹣2 C．h＞﹣2 D．h＜﹣2
6．（2017九上·合肥开学考）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x2﹣1
C．y=（x+1）2﹣1 D．y=
7．（2016九上·滨州期中）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
8．（2017九下·萧山开学考）将抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位后再向上平移1个单位所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．在同一坐标系中，抛物线 ， ， 的共同点是（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点
B．对称轴是y轴，顶点是原点
C．开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点
D．有最小值为0
10．（2016九上·河西期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2017九上·怀柔期末）写出一个开口向下，经过点（0，3）的抛物线的表达式 ．
12．（2017·松江模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 ．
13．（2016九上·平凉期中）已知y= （x+1）2﹣2，图象的顶点坐标为 ，当x 时，函数值随x的增大而减小．
14．（2016九上·昆明期中）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（x+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．
15．（2016九上·老河口期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，将y1，y2，y3按从小到大的顺序用“＜”连接，结果是 ．
16．（二次函数图象与几何变换+++++2 ）将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x+1，则a、b、c分别等于 、 、 ．
三、解答题
17．（待定系数法求二次函数解析式++++++2 ）已知抛物线过（1，0）、（3，0）、（﹣1，1）三点，求它的函数关系式．
18．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.2 二次函数的图象（2） 同步练习）在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
19．（二次函数(234)+—+二次函数的三种形式（普通））把下列函数化为y=a（x+m）2+k形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：
（1）y=x2﹣2x+4；
（2）y=100﹣5x2．
20．（初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用练习题）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（2）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
21．（2018九上·瑞安期末）如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1， ），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
22．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第1章 二次函数 单元检测b卷）立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=﹣0.2（x﹣1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．
（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？
（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？
（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、整理为y=x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；
B、整理为y= x2+x+ ，是二次函数，不合题意；
C、整理为y=﹣ x2+1，是二次函数，不合题意；
D、整理为y=12x+18，是一次函数，符合题意，
故答案为：D．
【分析】将各选项中的函数解析式的右边整理化成函数解析式的一般形式，再利用二次函数的定义解答。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，a＜0，抛物线开口向下，
而y=﹣10（x+3）2﹣5的a=﹣10，
∴二次函数y=﹣10（x+3）2﹣5的图象的开口方向向下、对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣5）．
故答案为：B．
【分析】根据顶点式抛物线抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，a＜0，抛物线开口向下，否则开口向上进行判断即可。
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=﹣4x2+4x+7=﹣4（x﹣ ）2+8，
∴抛物线开口向下，所以①错误；
抛物线顶点坐标为（ ，8），所以②错误；
抛物线对称轴为直线x= ，所以③正确；
∵x=﹣2时，y=﹣4（x﹣ ）2+8=﹣1，
∴点（﹣2，﹣17）不在抛物线上，所以④错误．
故选B．
【分析】先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对①②③进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】 ，二次函数图象开口向上，对称轴为 ， 当 时， 随 增大而减小．
故答案为：C．
【分析】由解析式知二次函数图象开口向上，对称轴为 x = 1，根据二次函数的性质可得 x 的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵a=﹣3，
∴二次函数开口向下，
∴二次函数对称轴的右边y随x的增大而减小，
∴h≤﹣2．
故选：B．
【分析】先确定抛物线的开口，再判定它的增减性，即可求出答案．
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、y=﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，A不符合题意；
B、y=﹣x2﹣1，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小（x＞0）；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，B不符合题意．
C、y=（x+1）2﹣1，故当图象在对称轴右侧（x＞﹣1），y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜﹣1），y随着x的增大而减小，C符合题意；
D、y= ，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，排除A、D，再根据二次函数的增减性，排除C，即可得出正确选项。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与P2（3，y2）关于对称轴对称，
故y1=y2＞y3，
故选D．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与P2（3，y2）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2-2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2-2，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2-1，故答案为：B．
【分析】由“左加右减”“上加下减”的原则可求解。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线 的共同特点是对称轴是y轴，顶点是原点，其他特征由a的取值决定，故选B。
【分析】熟记二次函数 的共同特点，为解答更多复杂问题奠定基础．
10．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；②依题意得：y=x（x﹣1）=x2﹣x，属于二次函数关系，故正确；③依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；④依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故正确；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
11．【答案】y=﹣x2+x+3（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：a＜0，c=3，
符合题意的解析式可以为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．
【分析】根据a确定抛物线开口方向，图象过（0，3）可得c=3，进而得出答案．
12．【答案】x=2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，
∴对称轴为x= =2，
故答案为：x=2．
【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案．
13．【答案】（﹣1，﹣2）；＜﹣1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∵y= （x+1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），对称轴为x=﹣1，且开口向上，
∴当x＜﹣1时，函数值随x的增大而减小，
故答案为：（﹣1，﹣2）；＜﹣1．
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标，开口方向、对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．
14．【答案】（﹣5，﹣2）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线y=﹣（x+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（x+3+2）2+1﹣3．
即：y=﹣（x+5）2﹣2，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣5，﹣2）．
故答案为：（﹣5，﹣2）．
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
15．【答案】y2＜y1＜y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3），
∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．y2＜y1＜y3；
【分析】利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．
16．【答案】1；﹣6；6
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，
所以a=1，b=﹣6，c=6，
故答案是：1、﹣6，6．
【分析】把y=x2﹣2x+1配方得到y=（x﹣1）2，根据题意反向平移，即把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，则可确定a、b与c的值．
17．【答案】解：设二次函数的解析为y=ax2+bx+c，
∵图象经过点（1，0）、（3，0）、（﹣1，1），
∴代入可得 ，
∴ ，
∴二次函数的解析为y=﹣ x2+ x+
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设二次函数的解析为y=ax2+bx+c，把点的坐标代入可求出抛物线的关系式．
18．【答案】解：如图，y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】利用描点法画出三个函数图象，再根据函数图象之间的关系（平移），即可解答。
19．【答案】（1）解：y=x2﹣2x+4=x2﹣2x+1+3=（x﹣1）2+3．
顶点坐标是（1，﹣1），对称轴为x=1，最小值为﹣1
（2）解：y=100﹣5x2．
顶点坐标是（0，100），对称轴为x=0，最大值为100
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的对称轴及顶点坐标及最值．
20．【答案】（1）解：∵y=﹣x2+（m﹣1）x+m的顶点坐标为
把 代入y=（x+1）2得： ，
∴不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上
（2）解：设函数 ，
当m=﹣1时，z有最小值为0；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小，当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m=﹣2时，z= ；当m=3时，z=4，
∴当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（2）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
21．【答案】（1）解：设二次函数的表达式为 ，
∵图象过A（2，1），
∴ ，即
∴
（2）解：过点A，B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D.
易证得△AOC≌△DOB，
∴DO=AC=1，BD=OC=2，∴B（-1，2）
当x=-1时，
∴点B在这个函数图象上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题目中给了顶点坐标，和另一个交点坐标，用待定系数法，设顶点式，即可求得二次函数解析式。
（2）根据三角形为等腰直角三角形，利用全等的方法，得出B的坐标点，代入函数中，使函数两边相等即可得出，B在这个函数图象上。
22．【答案】（1）解：∵y=﹣0.2（x﹣1）2+0.7，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0.7），
∴重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；
（2）解：当x=0时，
y=﹣0.2（0﹣1）2+0.7=0.5米，
∴小明此跳在起跳时重心离地面有0.5高；
（3）解：当y=0.3时，
0.3=﹣0.2（x﹣1）2+0.7，
解得：x1=1﹣ （舍去），x2=1+ ，
小明的成绩为1+ 米．
∵1+ ＞2.4，
∴小明这一跳能得满分．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可以直接求出结论。
（2）由x=0求出对应的函数值，可解答。
（3）将y=0.3代入函数解析式求出x的值，即可得出结论。
1 / 12018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.1二次函数的图象和性质 同步练习
一、单选题
1．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第1章 二次函数 单元检测a卷）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣1）（x+2） B．y= （x+1）2
C．y=1﹣ x2 D．y=2（x+3）2﹣2x2
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】A、整理为y=x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；
B、整理为y= x2+x+ ，是二次函数，不合题意；
C、整理为y=﹣ x2+1，是二次函数，不合题意；
D、整理为y=12x+18，是一次函数，符合题意，
故答案为：D．
【分析】将各选项中的函数解析式的右边整理化成函数解析式的一般形式，再利用二次函数的定义解答。
2．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：2.2.3 二次函数的图象与性质）二次函数y=﹣10（x+3）2﹣5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（3，﹣5）
B．开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣5）
C．开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（﹣3，5）
D．开口向上，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣5）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，a＜0，抛物线开口向下，
而y=﹣10（x+3）2﹣5的a=﹣10，
∴二次函数y=﹣10（x+3）2﹣5的图象的开口方向向下、对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣5）．
故答案为：B．
【分析】根据顶点式抛物线抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，a＜0，抛物线开口向下，否则开口向上进行判断即可。
3．（初中数学北师大版九年级下册2.3确定二次函数的表达式练习题）对于抛物线y=4x﹣4x2+7，有下列说法：①抛物线的开口向上；②顶点坐标为（2，﹣3）；③对称轴为直线x= ；④点（﹣2，﹣17）在抛物线上．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=﹣4x2+4x+7=﹣4（x﹣ ）2+8，
∴抛物线开口向下，所以①错误；
抛物线顶点坐标为（ ，8），所以②错误；
抛物线对称轴为直线x= ，所以③正确；
∵x=﹣2时，y=﹣4（x﹣ ）2+8=﹣1，
∴点（﹣2，﹣17）不在抛物线上，所以④错误．
故选B．
【分析】先把抛物线解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对①②③进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．
4．（2016八上·鞍山期末）在函数 中， 随 增大而减小，则 的取值范围为（ ）
A． ＞－1 B． ＞3 C． ＜－1 D． ＜3
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】 ，二次函数图象开口向上，对称轴为 ， 当 时， 随 增大而减小．
故答案为：C．
【分析】由解析式知二次函数图象开口向上，对称轴为 x = 1，根据二次函数的性质可得 x 的取值范围。
5．（函数(186)+—+二次函数(234)+—+二次函数的性质(237)1 ）已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（ ）
A．h≥﹣2 B．h≤﹣2 C．h＞﹣2 D．h＜﹣2
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵a=﹣3，
∴二次函数开口向下，
∴二次函数对称轴的右边y随x的增大而减小，
∴h≤﹣2．
故选：B．
【分析】先确定抛物线的开口，再判定它的增减性，即可求出答案．
6．（2017九上·合肥开学考）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x2﹣1
C．y=（x+1）2﹣1 D．y=
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A、y=﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，A不符合题意；
B、y=﹣x2﹣1，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小（x＞0）；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，B不符合题意．
C、y=（x+1）2﹣1，故当图象在对称轴右侧（x＞﹣1），y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜﹣1），y随着x的增大而减小，C符合题意；
D、y= ，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，排除A、D，再根据二次函数的增减性，排除C，即可得出正确选项。
7．（2016九上·滨州期中）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与P2（3，y2）关于对称轴对称，
故y1=y2＞y3，
故选D．
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与P2（3，y2）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．
8．（2017九下·萧山开学考）将抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位后再向上平移1个单位所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2-2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2-2，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2-1，故答案为：B．
【分析】由“左加右减”“上加下减”的原则可求解。
9．在同一坐标系中，抛物线 ， ， 的共同点是（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点
B．对称轴是y轴，顶点是原点
C．开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点
D．有最小值为0
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线 的共同特点是对称轴是y轴，顶点是原点，其他特征由a的取值决定，故选B。
【分析】熟记二次函数 的共同特点，为解答更多复杂问题奠定基础．
10．（2016九上·河西期中）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；②依题意得：y=x（x﹣1）=x2﹣x，属于二次函数关系，故正确；③依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；④依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故正确；
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选：C．
【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．
二、填空题
11．（2017九上·怀柔期末）写出一个开口向下，经过点（0，3）的抛物线的表达式 ．
【答案】y=﹣x2+x+3（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：a＜0，c=3，
符合题意的解析式可以为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．
【分析】根据a确定抛物线开口方向，图象过（0，3）可得c=3，进而得出答案．
12．（2017·松江模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】x=2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，
∴对称轴为x= =2，
故答案为：x=2．
【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案．
13．（2016九上·平凉期中）已知y= （x+1）2﹣2，图象的顶点坐标为 ，当x 时，函数值随x的增大而减小．
【答案】（﹣1，﹣2）；＜﹣1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∵y= （x+1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），对称轴为x=﹣1，且开口向上，
∴当x＜﹣1时，函数值随x的增大而减小，
故答案为：（﹣1，﹣2）；＜﹣1．
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标，开口方向、对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．
14．（2016九上·昆明期中）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（x+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】（﹣5，﹣2）
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线y=﹣（x+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（x+3+2）2+1﹣3．
即：y=﹣（x+5）2﹣2，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣5，﹣2）．
故答案为：（﹣5，﹣2）．
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
15．（2016九上·老河口期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，将y1，y2，y3按从小到大的顺序用“＜”连接，结果是 ．
【答案】y2＜y1＜y3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3），
∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．y2＜y1＜y3；
【分析】利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．
16．（二次函数图象与几何变换+++++2 ）将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x+1，则a、b、c分别等于 、 、 ．
【答案】1；﹣6；6
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，
所以a=1，b=﹣6，c=6，
故答案是：1、﹣6，6．
【分析】把y=x2﹣2x+1配方得到y=（x﹣1）2，根据题意反向平移，即把y=（x﹣1）2沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣3=x2﹣6x+6，则可确定a、b与c的值．
三、解答题
17．（待定系数法求二次函数解析式++++++2 ）已知抛物线过（1，0）、（3，0）、（﹣1，1）三点，求它的函数关系式．
【答案】解：设二次函数的解析为y=ax2+bx+c，
∵图象经过点（1，0）、（3，0）、（﹣1，1），
∴代入可得 ，
∴ ，
∴二次函数的解析为y=﹣ x2+ x+
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】设二次函数的解析为y=ax2+bx+c，把点的坐标代入可求出抛物线的关系式．
18．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.2 二次函数的图象（2） 同步练习）在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
【答案】解：如图，y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】利用描点法画出三个函数图象，再根据函数图象之间的关系（平移），即可解答。
19．（二次函数(234)+—+二次函数的三种形式（普通））把下列函数化为y=a（x+m）2+k形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：
（1）y=x2﹣2x+4；
（2）y=100﹣5x2．
【答案】（1）解：y=x2﹣2x+4=x2﹣2x+1+3=（x﹣1）2+3．
顶点坐标是（1，﹣1），对称轴为x=1，最小值为﹣1
（2）解：y=100﹣5x2．
顶点坐标是（0，100），对称轴为x=0，最大值为100
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的对称轴及顶点坐标及最值．
20．（初中数学北师大版九年级下册2.4二次函数的应用练习题）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．
（2）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【答案】（1）解：∵y=﹣x2+（m﹣1）x+m的顶点坐标为
把 代入y=（x+1）2得： ，
∴不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上
（2）解：设函数 ，
当m=﹣1时，z有最小值为0；
当m＜﹣1时，z随m的增大而减小，当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，
当m=﹣2时，z= ；当m=3时，z=4，
∴当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；（2）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
21．（2018九上·瑞安期末）如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1， ），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由.
【答案】（1）解：设二次函数的表达式为 ，
∵图象过A（2，1），
∴ ，即
∴
（2）解：过点A，B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D.
易证得△AOC≌△DOB，
∴DO=AC=1，BD=OC=2，∴B（-1，2）
当x=-1时，
∴点B在这个函数图象上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题目中给了顶点坐标，和另一个交点坐标，用待定系数法，设顶点式，即可求得二次函数解析式。
（2）根据三角形为等腰直角三角形，利用全等的方法，得出B的坐标点，代入函数中，使函数两边相等即可得出，B在这个函数图象上。
22．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第1章 二次函数 单元检测b卷）立定跳远时，以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴（假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上），地平线为x轴，建立平面直角坐标系（如图），则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=﹣0.2（x﹣1）2+0.7的抛物线，在最后落地时重心离地面0.3m（假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上）．
（1）小明在这一跳中，重心离地面最高时距离地面多少米？此时他离起跳点的水平距离有多少米？
（2）小明此跳在起跳时重心离地面有多高？
（3）小明这一跳能得满分吗（2.40m为满分）？
【答案】（1）解：∵y=﹣0.2（x﹣1）2+0.7，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0.7），
∴重心离地面最高时距离地面0.7米，此时他离起跳点的水平距离有1米；
（2）解：当x=0时，
y=﹣0.2（0﹣1）2+0.7=0.5米，
∴小明此跳在起跳时重心离地面有0.5高；
（3）解：当y=0.3时，
0.3=﹣0.2（x﹣1）2+0.7，
解得：x1=1﹣ （舍去），x2=1+ ，
小明的成绩为1+ 米．
∵1+ ＞2.4，
∴小明这一跳能得满分．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可以直接求出结论。
（2）由x=0求出对应的函数值，可解答。
（3）将y=0.3代入函数解析式求出x的值，即可得出结论。
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