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【1.7.2】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第7章：实数
重难点知识
★☆★ 平方根
平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。a叫被开方数。
被开方数的取值范围：被开方数a≥0
平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
②0的平方根是它本身0。
③负数没有平方根。
平方根与算术平方根区别：
定义不同。
表示方法不同。
个数不同。
取值范围不同。
联系：
1、二者之间存在着从属关系。2、存在条件相同。3、0的算术平方根与平方根都是0
★☆★ 立方根
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较？
⑴做这两个数的立方 ⑵作差
⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)
任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.
★☆★ 实数
实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.
平方根、立方根与实数基础练习
1．下列说法正确的是( )
A．－81的平方根是±9
B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D．2是4的平方根
2．下列说法中错误的是（ ）
A．是0.25的一个平方根
B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是
D．当时，没有平方根
3．下列各式中,正确的是( )
A．±=± B．±=
C．±=± D．=±
4．的立方根是（ ）
A．±2 B．±4
C．4 D．2
5．下列对实数的说法其中错误的是（ ）
A．实数与数轴上的点一一对应
B．两个无理数的和不一定是无理数
C．负数没有平方根也没有立方根
D．算术平方根等于它本身的数只有0或1
6．下列说法正确的是（ ）
A．－3是－9的平方根 B．1的立方根是±1
C．是的算术平方根 D．4的负的平方根是－2
7．下列说法正确的是( )
A．的相反数是 B．2是4的平方根
C．是无理数 D．计算：
8．在实数范围内，下列判断正确的是（ ）
A．若，则m=n B．若，则a＞b
C．若，则a=b D．若，则a=b
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+
C．2﹣1 D．2+1
10．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ）
A．﹣0.4 B．﹣
C．1﹣ D．﹣1
11．在－2，，，3.14， ，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
12．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（ ）
A．点A B．点B
C．点C D．点D
13．在实数0.3，0，， ，0.123456…中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
14．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．25 B．
C． D．
15．如果的平方根是，则_________
16．x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
17．若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是______．
18．已知+＝0，则（a﹣b）2的平方根是_____．
19．一个正数的两个平方根分别为3﹣a和2a+1，则这个正数是_____．
20．已知|x-2|+=0， 则= ________.
21．已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
22．已知某正数的两个平方根分别是a+3和5﹣3a，
（1）求这个正数；
（2）若b的立方根是2，求b﹣a的算术平方根．
23．正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．
（1）求a的值；
（2）求44﹣x这个数的立方根．
24．观察下列算式：
……
（1）通过观察，你得到什么结论？用含n（n为正整数）的等式表示：________．
（2）利用你得出的结论，计算：
25．探索发现：
……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝ ，＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）利用规律解方程：
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【1.7.2】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第7章：实数
参考答案
1．D
【详解】
解：A、－81没有平方根，故本选项错误；
B、正数的平方根一个为正，一个为负，且互为相反数，故本选项错误；
C、的平方根是，而，故本选项错误；
D、2是4的平方根，正确，
故选D.
2．C
【解析】
A选项中，因为“”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；
C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
3．A
【解析】
±=± ，所以可知A选项正确；故选A.
4．D
【分析】
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．根据算术平方根的定义可知64的算术平方根是8，而8的立方根是2，由此就求出了这个数的立方根．
【详解】
∵64的算术平方根是8，8的立方根是2，
∴这个数的立方根是2.
故选D.
【点睛】
本题考查了立方根与算术平方根的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握立方根与算术平方根的定义.
5．C
【解析】
【分析】
直接利用实数的相关性质以及平方根、立方根的性质分别判断得出答案．
【详解】
解：A、实数与数轴上的点一一对应，正确不合题意；
B、两个无理数的和不一定是无理数，正确不合题意；
C、负数没有平方根，负数有立方根，故此选项错误，符合题意；
D、算术平方根等于它本身的数只有0或1，正确不合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质是解题关键．
6．D
【解析】
【分析】
各式利用平方根，立方根定义判断即可．
【详解】
A．﹣3是9的平方根，不符合题意；
B．1的立方根是1，不符合题意；
C．当a＞0时，是的算术平方根，不符合题意；
D．4的负的平方根是－2，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数；开方运算，可得答案．
【详解】
A. 只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B. 2是4的平方根，故B正确；
C.=3是有理数，故C错误；
D. =3≠-3，故D错误；
故选B.
【点睛】
本题考查了相反数，平方根，立方根的知识点，解题的关键是熟练掌握相反数，平方根，立方根的定义.
8．D
【分析】
根据实数的基本性质，逐个分析即可.
【详解】
A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；
B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；
C、两个数可能互为相反数，如a=-3，b=3，故选项错误；
D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．
故选:D．
【点睛】
考核知识点：实数的性质.理解算术平方根和立方根性质是关键.
9．D
【详解】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得.
故选D.
10．C
【分析】
利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=﹣1即可解决问题.
【详解】
在Rt△AOB中，AB=，
∴AB=AC=，
∴OC=AC﹣OA=﹣1，
∴点C表示的数为1﹣．
故选C．
【点睛】
本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．C
【解析】
－2，， 3.14， 是有理数；
，是无理数；
故选C.
点睛:本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个）.
12．B
【分析】
，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.
【详解】
，
，
，
，
因为0.268＜0.732＜1.268，
所以 表示的点与点B最接近，
故选B.
13．B
【解析】
因为无限不循环小数是无理数,其中 ,, 0.123456…,是无理数,故选B.
14．D
【解析】
【分析】
本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．
【详解】
由勾股定理可知，
∵OB=，
∴这个点表示的实数是．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB的长．
15．81
【分析】
根据平方根的定义即可求解.
【详解】
∵9的平方根为，
∴=9，
所以a=81
【点睛】
此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根的定义.
16．±10
【分析】
利用平方根，立方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
根据题意得：x－2＝4，2x＋y＋7＝27，
解得：x＝6，y＝8，
则x2＋y2＝100，100的平方根是±10，
故答案为±10.
【点睛】
本题考查了立方根和平方根两个知识点，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.
17．9
【解析】
试题分析：依题意得，2a-1+（-a+2）=0，
解得：a=-1．
则这个数是（2a-1）2=（-3）2=9．
故答案为9．
点睛：本题考查了平方根的性质．根据正数有两个平方根，它们互为相反数建立关于a的方程是解决此题的关键．
18．±4．
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可.
【详解】
根据题意得a-1=0，且b-5=0，
解得：a=1，b=5，
则（a-b）2=16，则平方根是：±4．
故答案是：±4．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
19．49
【分析】
根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数．
【详解】
根据题意得3﹣a+2a+1=0，
解得：a=﹣4，
∴这个正数为（3﹣a）2=72=49，
故答案为49．
【点睛】
本题考查了平方根的性质，熟知一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键.
20．
【解析】
【分析】
根据两个非负数相加为0，则这两个非负数分别为0，列出二元一次方程组，解得x、y的值，然后求x+y的立方根．
【详解】
解：∵|x-2|+=0，
∴
解得x=2，y=10，
故
故答案为：
【点睛】
本题主要考查立方根、非负数的性质：偶次方和算术平方根的知识点，此题比较基础，需要同学们熟练掌握．
21．±3
【分析】
先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】
本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
22．（1）49；（2）2．
【分析】
（1）由平方根的性质知a+3+5-3a=0，解之可得a=4，据此知这个数为（a+3）2，再代入计算可得；
（2）先得出b=8，再代入计算可得．
【详解】
解：（1）根据题意知a+3+5﹣3a＝0，
解得：a＝4，
所以这个数为（a+3）2＝72＝49；
（2）根据题意知b＝8，
则＝＝2．
【点睛】
本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
23．(1) a＝﹣10;(2) 4－x的立方根是﹣5
【分析】
（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；
根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根据立方根的定义即可解答.
【详解】
解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10,
（2）由（1）可知x＝169，则44－x＝﹣125，
∴44－x的立方根是-5.
【点睛】
此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
24．（1）
【解析】
【分析】
(1)观察已知算式，可总结出裂项原理.(2)利用裂项原理，可以计算给定算式.
【详解】
（1）观察算式，可以把分母上的数化为两个相邻自然数的积，再裂项，可总结结论有.
(2)
=
=
=.
【点睛】
列项法的使用
+=+=1-=.
注意：，1-.
推广：,.
25．（1）；（2）；（3）见解析．
【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到和
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】
解：（1）， ；
故答案为
（2）原式＝ ;
（3）已知等式整理得：
所以，原方程即： ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点
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