初中数学湘教版九年级下册第四章 概率 章末检测（提高篇）
一、单选题
1．（2021八上·甘州期末）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．某彩票设“中奖概率为 ”，购买100张彩票就一定会中奖一次
C．某地会发生地震是必然事件
D．若甲组数据的方差S2甲＝0.1，乙组数据的方差S2乙＝0.2，则甲组数据比乙组稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：A、因为数量太大，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故A选项错误；
B、某彩票设“中奖概率为 ”，购买100张彩票中奖为随机事件，故B选项错误；
C、发生地震显然是随机事件，不是必然事件，故C选项错误；
D、因为甲组数据的方差为0.1，乙组数据方差为0.2，方差越小稳定性越好，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】 根据普查的特点：普查结果准确，精确度高，但普查工作量大，具有破坏性，费人力、物力和时间较多；抽样调查的特点：精确度、难度相对不大，实验无破坏性，调查结果比较近似，从而即可判断A；根据概率的意义，概率是描述随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，反之，概率越小，事件发生的可能性就越小，从而即可判断B；在一定条件下可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，一定会发生的事件就是必然事件，一定不会发生的事件就是不可能事件，从而即可判断C；根据方差的意义，方差越大，数据的波动性就越大，数据就越不稳定，反之方差越小数据的波动性就越小，稳定性越好，从而即可判断D.
2．（2020九上·合肥期末）下列说法正确的是（ ）
A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
D．“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件
【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】在一定条件下，不可能发生的事件叫不可能事件；一定会发生的事件叫必然事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
A、“概率为 的事件”是随机事件，此项不符合题意
B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，此项不符合题意
C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，此项不符合题意
D、“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件，此项符合题意
故答案为：D．
【分析】根据不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义（即根据事件发生的可能性大小）逐项判断即可．
3．（2020九上·颍州期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．如果 ，那么
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．抛出的篮球会下落
D．三角形的内角和是
【答案】C
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：A、如果 ，则有a=±b，故A不是必然事件；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B不是必然事件；
C、抛出的篮球会下落，是必然事件；
D、三角形的内角和是180°，故D是不可能事件.
故答案为：C．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.
4．（2019八下·邗江期中）下列叙述正确的是（ ）
A．“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件
B．“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件
C．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适
D．某种彩票的中奖概率为 ，是指买7张彩票一定有一张中奖
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A.是必然事件，故A不符合题意；
B.“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件，故B符合题意；
C.了解炮弹的杀伤力，数量较多，且具有破坏性，故适宜采用抽样调查的方法，故C不符合题意；
D.彩票的中奖概率为 ，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 不确定事件就是随机事件，可能发生，也可能不发生，事先无法判断；据此可判断选项A与B；对于数量较多，且破坏性较强的不适合做普查 ，据此可判断选项C，根据概率的意义可判断选项D。
5．（2020九上·六安期末）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为 、小明掷B立方体朝上的数字为 来确定点P（ ），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线 上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表法：
∴点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线 上的点共有：
（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，
∴其概率为： ．
故答案为：B．
【分析】利用列表法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
6．（2020九上·翁牛特旗期末）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S△OEH=S△OFG，
∴S阴影部分=S△AOB= S平行四边形ABCD，
∴飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率= ．
故答案为：C．
【分析】根据△OEH和△OFG关于点O中心对称，可得S△OEH=S△OFG，则阴影部分的面积为平行四边形面积的，再根据几何概率公式求解.
7．（2020·邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有： ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
8．（2020九上·绍兴月考）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普迺扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符合题意；
B、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是 ，符合题意；
C、抛一枚硬币，出现正面的概率为 ，不符合题意；
D、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是 ，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断.
9．（2018·玉林）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】D
【知识点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故不符合题意；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为 ，不符合这一结果，故不符合题意；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故不符合题意；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为： ，符合这一结果，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据统计图可知，实验结果在0.3附近波动，即其概率约为0.3，计算四个选项的概率，就可得出答案。
10．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
二、填空题
11．（初中数学苏科版八年级下册8.1-8.2 确定事件与随机事件，可能性的大小 同步练习）袋子里装有4个白球、8个红球、m个黑球，每个球除颜色以外均相同，从袋中任取一个球,若摸到红球的可能最大，摸到白球的可能最小，则m所有可能的取值为 (已知m≠4和8)
【答案】5或 6或7
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：从袋中任取一个球，因袋中球的总数一定，故要使摸到红球的可能最大，摸到白球的可能最小，只需使红球而数目最多且黑球数目尽可能最大（不超过红球数目8）即可. 而黑球的数目最大，必有4＜m＜8，且已知m≠4和8，即m=5或6或7或8. 所以m所有可能的取值为5或6或7.
故答案为：5或6或7.
【分析】此题考查可能性大小的比较与判断. 只要总情况数目相同，哪个事件包含的情况数目多，哪个事件的可能性就大，反之也成立. 若包含的情况相当，则它们的可能性就相等. 关键找准两点：①该事件的情况数目；②全部情况的总数. 二者的比值就是该事件发生的可能性大小.
12．（2019·台州模拟）写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值 .
【答案】m＞1的实数
【知识点】事件的分类；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
,当x>2时,y随x的増大
而增大”成为随机事件
故答案为:m＞1
【分析】由于该抛物线的对称轴为x=5m-3，要使"当x>2时,y随x的増大而增大”成为随机事件，可得5m-3＞2，可得m＞1，据此可得m的值只要比1大即可（答案不唯一）.
13．（2021九上·天门期末）六张正面分别标有数字 、 、 、 、 、 的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同.将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式 中的系数a，如果该不等式有正整数解的概率为 ，则实数b的取值范围是 .
【答案】3＜b≤4
【知识点】一元一次不等式的特殊解；概率公式
【解析】【解答】解： ，
不等式 的解集为 ，
该不等式有正整数解的概率为 ，
当 、 、 时，该不等式有正整数解，当 时，不等式没有正整数解，
，且 ，
，
故答案为：3＜b≤4.
【分析】根据a的正负性解不等式，结合其有正整数解的概率可得a的值，进而可得关于b的不等式，求解可得.
14．（2020·呼和浩特）公司以3元/ 的成本价购进 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率 （精确到0.001）
… … …
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
【答案】0.9；
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000，
解得x= ．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为 元，
故答案为：0.9， ．
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答．
15．（2018九上·柯桥期末）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同 从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球 个
【答案】18
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是 ，口袋中有12个红球，
设有x个白球，
则 ，
解得： ，
答：袋中大约有白球18个．
故答案为：18．
【分析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
16．（【j】初中数学苏科版八年级下册8.3 频率与概率 同步练习）在平面直角坐标系中,作OOAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A( , ),其中点A,O,B不在同一直线上且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2, , 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
三、解答题
17．（2020·吉安模拟）乒乓球是我国的国球，比赛采用单局11分制，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种在某站公开赛中，某直播平台同时直播4场男单四分之一比赛，四场比赛的球桌号分别为“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（假设4场比赛同时开始），小宁和父亲准备一同观看其中的某一场比赛，但两人的意见不统一，于是采用抽签的方式决定，抽签规则如下：将正面分别写有数字“1、“2”、“3”、“4”的四张卡片（除数字不同外，其余均相同，数字“1”、“2”、“3”、“4”分别对应球桌号（“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（背面朝上洗匀，父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，比较两人所抽卡片上的数字，观看较大的数字对应球桌的比赛
（1）下列事件中属于必然事件的是
A．抽到的是小宁最终想要看的一场比赛的球桌号
B．抽到的是父亲最终想要看的一场比赛的球桌号
C．小宁和父亲抽到同一个球桌号
D．小宁和父亲抽到的球桌号不一样
（2）用列表法或树状图法求小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率
【答案】（1）D
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数为4，所以小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率 ．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）因为父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，所以小宁和父亲抽到的球桌号不一样，它为必然事件．
故答案为：D；
【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断即可；
（2）利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数为4种，根据概率公式计算即可.
18．（2021九上·南宁期末）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数字不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平.
【答案】（1）解：画树状图如下：
由解图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，
所以，积为0的概率为
（2）解：不公平，
由解图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种.
所以，积为奇数的概率为 ，
积为偶数的概率为P2=
因为 ，所以，该游戏不公平.
这两个数的积小于等于2的概率为 ，这两个数的积大于2的概率为
∴游戏可修改为：
若这两个数的积小于等于2，则小亮赢；这两个数的积大于2，则小红赢.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）利用树状图列举出所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，利用概率公式计算即可；
（2）不公平，由（1）可知，所有等可能的结果有12种，且积为奇数的有4种，积为偶数的有8种，据此分别求出概率，概率等即公平，否则不公平；更改游戏规则使其公平，即是使双方赢的概率相等即可（答案不唯一）.
19．（2021九上·法库期末）在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为2， ， ， 卡片除了实数不同外，其余均相同
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是有理数的概率；
（2）将卡片揺匀后先随机抽出一张，再从剩下的卡片中随机抽出一张，然后将抽取的两张卡片上的实数相乘，请你用列表法或树状图 树形图 法，求抽取的两张卡片上的实数之积为整数的概率.
【答案】（1）解：四种卡片上有理数有1，2共2张，
则 卡片上的实数是有理数
（2）解：列表如下：
第一张 第二张 2 1
2 —— 2， 2， 2，1
，2 —— ， ，1
，2 ， —— ，1
1 1，2 1， 1， ——
由表格可知，共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中积为整数的结果有4种，
两张卡片上实数之积为整数
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）找出四种卡片中有理数卡片的个数即可求出所求的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的实数之积为整数的情况数，即可求出所求的概率.
20．（2021九上·漳州期末）新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习.为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）.
录播 5 18 14 13
直播 2 15 21 12
（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于 的概率；
（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为 ，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在 以下的共有多少人？
【答案】（1）解：估计该生的参与度不低于 的概率为 ；
故答案为：
（2）解：∵选择“录播”的学生数为 ，
选择“直播”的学生数为 .
选择“录播”参与度在 以下的学生数为 ，
选择“直播”参与度在 以下的学生数为 .
，
估计参与度均在 以下的学生共有75人.
故答案为75人
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】 （1）用表格中“录播”教学方式学生参与度在50%以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（2）先根据“录播”和“直播”的人数之比为3：5及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
21．（2019·渝中模拟）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 …
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近（结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）
【答案】（1）解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
（2）解：20÷50=0.4；
59÷150≈0.39；
123÷300≈0.41
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
（3）解：设封闭图形ABCD的面积为a，根据题意得： ，
解得：a=10π，
∴整个封闭图形ABCD的面积为10π平方米.
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
22．（2019九上·湖州月考）一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分.
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
【答案】（1）解：所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
补充表格如下：
折线图：
（2）解：如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是0.5
（3）解：根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5.
【知识点】频数与频率；折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，用实验次数乘以频率即可得出频数，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；描点连线，可得折线图；
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小；
（3）列举出抛掷两次可能会出现的情况，用概率公式求解即可．
23．（2019九上·鼓楼期中）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据。
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率mn 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（保留小数点后两位）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率.
【答案】（1）0.25
（2）解：设袋中白球为x个， =0.25
解得：x=3
答：估计袋中有3个白球．
（3）解：用B代表一个黑球，W1、W2、W3 代表白球，将摸球情况列表如下：
总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，所以摸到两个球都是白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）251÷1000=0.251
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25
故答案为：0.25
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
24．（2020九上·越城月考）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理？
【答案】（1）解：依题可得，
由表格可知构成点P的坐标共有16种等可能性的结果，其中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），这4种情况落在正方形ABCD面上，
∴ P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率P=.
答： P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率为.
（2）解：∵使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，
∴只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12，
∴存在这样的平移：先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知构成点P的坐标的所有等可能性的结果和满足条件的等可能性结果，再由古典概型公式求得答案.
（2）由题意可知使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，可得使点P落在正方形面上的数目为12，从而可得存在这样的平移.
1 / 1初中数学湘教版九年级下册第四章 概率 章末检测（提高篇）
一、单选题
1．（2021八上·甘州期末）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．某彩票设“中奖概率为 ”，购买100张彩票就一定会中奖一次
C．某地会发生地震是必然事件
D．若甲组数据的方差S2甲＝0.1，乙组数据的方差S2乙＝0.2，则甲组数据比乙组稳定
2．（2020九上·合肥期末）下列说法正确的是（ ）
A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
D．“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件
3．（2020九上·颍州期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．如果 ，那么
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．抛出的篮球会下落
D．三角形的内角和是
4．（2019八下·邗江期中）下列叙述正确的是（ ）
A．“如果a，b是实数，那么a+b=b+a”是不确定事件
B．“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件
C．为了了解一批炮弹的杀伤力，采用普查的调查方式比较合适
D．某种彩票的中奖概率为 ，是指买7张彩票一定有一张中奖
5．（2020九上·六安期末）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为 、小明掷B立方体朝上的数字为 来确定点P（ ），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线 上的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·翁牛特旗期末）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·绍兴月考）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普迺扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5
9．（2018·玉林）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
10．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题
11．（初中数学苏科版八年级下册8.1-8.2 确定事件与随机事件，可能性的大小 同步练习）袋子里装有4个白球、8个红球、m个黑球，每个球除颜色以外均相同，从袋中任取一个球,若摸到红球的可能最大，摸到白球的可能最小，则m所有可能的取值为 (已知m≠4和8)
12．（2019·台州模拟）写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值 .
13．（2021九上·天门期末）六张正面分别标有数字 、 、 、 、 、 的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同.将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式 中的系数a，如果该不等式有正整数解的概率为 ，则实数b的取值范围是 .
14．（2020·呼和浩特）公司以3元/ 的成本价购进 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为 （精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为 元时（精确到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率 （精确到0.001）
… … …
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
15．（2018九上·柯桥期末）在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同 从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，并搅均，不断重复上述的试验共5000次，其中2000次摸到红球，请估计袋中大约有白球 个
16．（【j】初中数学苏科版八年级下册8.3 频率与概率 同步练习）在平面直角坐标系中,作OOAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A( , ),其中点A,O,B不在同一直线上且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2, , 均为整数，则所作OOAB为直角三角形的概率是 .
三、解答题
17．（2020·吉安模拟）乒乓球是我国的国球，比赛采用单局11分制，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种在某站公开赛中，某直播平台同时直播4场男单四分之一比赛，四场比赛的球桌号分别为“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（假设4场比赛同时开始），小宁和父亲准备一同观看其中的某一场比赛，但两人的意见不统一，于是采用抽签的方式决定，抽签规则如下：将正面分别写有数字“1、“2”、“3”、“4”的四张卡片（除数字不同外，其余均相同，数字“1”、“2”、“3”、“4”分别对应球桌号（“T1”、“T2”、“T3”、“T4”（背面朝上洗匀，父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，比较两人所抽卡片上的数字，观看较大的数字对应球桌的比赛
（1）下列事件中属于必然事件的是
A．抽到的是小宁最终想要看的一场比赛的球桌号
B．抽到的是父亲最终想要看的一场比赛的球桌号
C．小宁和父亲抽到同一个球桌号
D．小宁和父亲抽到的球桌号不一样
（2）用列表法或树状图法求小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率
18．（2021九上·南宁期末）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数字不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积.
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢.你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平.
19．（2021九上·法库期末）在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为2， ， ， 卡片除了实数不同外，其余均相同
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是有理数的概率；
（2）将卡片揺匀后先随机抽出一张，再从剩下的卡片中随机抽出一张，然后将抽取的两张卡片上的实数相乘，请你用列表法或树状图 树形图 法，求抽取的两张卡片上的实数之积为整数的概率.
20．（2021九上·漳州期末）新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习.为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）.
录播 5 18 14 13
直播 2 15 21 12
（1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于 的概率；
（2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为 ，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在 以下的共有多少人？
21．（2019·渝中模拟）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 …
（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近（结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）
22．（2019九上·湖州月考）一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分.
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
23．（2019九上·鼓楼期中）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据。
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率mn 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（保留小数点后两位）
（2）估算袋中白球的个数；
（3）在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率.
24．（2020九上·越城月考）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：A、因为数量太大，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故A选项错误；
B、某彩票设“中奖概率为 ”，购买100张彩票中奖为随机事件，故B选项错误；
C、发生地震显然是随机事件，不是必然事件，故C选项错误；
D、因为甲组数据的方差为0.1，乙组数据方差为0.2，方差越小稳定性越好，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】 根据普查的特点：普查结果准确，精确度高，但普查工作量大，具有破坏性，费人力、物力和时间较多；抽样调查的特点：精确度、难度相对不大，实验无破坏性，调查结果比较近似，从而即可判断A；根据概率的意义，概率是描述随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，反之，概率越小，事件发生的可能性就越小，从而即可判断B；在一定条件下可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，一定会发生的事件就是必然事件，一定不会发生的事件就是不可能事件，从而即可判断C；根据方差的意义，方差越大，数据的波动性就越大，数据就越不稳定，反之方差越小数据的波动性就越小，稳定性越好，从而即可判断D.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】在一定条件下，不可能发生的事件叫不可能事件；一定会发生的事件叫必然事件；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件
A、“概率为 的事件”是随机事件，此项不符合题意
B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，此项不符合题意
C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，此项不符合题意
D、“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件，此项符合题意
故答案为：D．
【分析】根据不可能事件、随机事件、以及必然事件的定义（即根据事件发生的可能性大小）逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】事件的分类；可能性的大小
【解析】【解答】解：A、如果 ，则有a=±b，故A不是必然事件；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B不是必然事件；
C、抛出的篮球会下落，是必然事件；
D、三角形的内角和是180°，故D是不可能事件.
故答案为：C．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A.是必然事件，故A不符合题意；
B.“某班50位同学中恰有2位同学生日是同一天”是随机事件，故B符合题意；
C.了解炮弹的杀伤力，数量较多，且具有破坏性，故适宜采用抽样调查的方法，故C不符合题意；
D.彩票的中奖概率为 ，属于不确定事件，可能中奖，也可能不中奖，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 不确定事件就是随机事件，可能发生，也可能不发生，事先无法判断；据此可判断选项A与B；对于数量较多，且破坏性较强的不适合做普查 ，据此可判断选项C，根据概率的意义可判断选项D。
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表法：
∴点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线 上的点共有：
（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，
∴其概率为： ．
故答案为：B．
【分析】利用列表法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
6．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，
∴S△OEH=S△OFG，
∴S阴影部分=S△AOB= S平行四边形ABCD，
∴飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率= ．
故答案为：C．
【分析】根据△OEH和△OFG关于点O中心对称，可得S△OEH=S△OFG，则阴影部分的面积为平行四边形面积的，再根据几何概率公式求解.
7．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有： ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
8．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符合题意；
B、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是 ，符合题意；
C、抛一枚硬币，出现正面的概率为 ，不符合题意；
D、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是 ，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断.
9．【答案】D
【知识点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故不符合题意；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为 ，不符合这一结果，故不符合题意；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故不符合题意；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为： ，符合这一结果，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据统计图可知，实验结果在0.3附近波动，即其概率约为0.3，计算四个选项的概率，就可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
11．【答案】5或 6或7
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：从袋中任取一个球，因袋中球的总数一定，故要使摸到红球的可能最大，摸到白球的可能最小，只需使红球而数目最多且黑球数目尽可能最大（不超过红球数目8）即可. 而黑球的数目最大，必有4＜m＜8，且已知m≠4和8，即m=5或6或7或8. 所以m所有可能的取值为5或6或7.
故答案为：5或6或7.
【分析】此题考查可能性大小的比较与判断. 只要总情况数目相同，哪个事件包含的情况数目多，哪个事件的可能性就大，反之也成立. 若包含的情况相当，则它们的可能性就相等. 关键找准两点：①该事件的情况数目；②全部情况的总数. 二者的比值就是该事件发生的可能性大小.
12．【答案】m＞1的实数
【知识点】事件的分类；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
,当x>2时,y随x的増大
而增大”成为随机事件
故答案为:m＞1
【分析】由于该抛物线的对称轴为x=5m-3，要使"当x>2时,y随x的増大而增大”成为随机事件，可得5m-3＞2，可得m＞1，据此可得m的值只要比1大即可（答案不唯一）.
13．【答案】3＜b≤4
【知识点】一元一次不等式的特殊解；概率公式
【解析】【解答】解： ，
不等式 的解集为 ，
该不等式有正整数解的概率为 ，
当 、 、 时，该不等式有正整数解，当 时，不等式没有正整数解，
，且 ，
，
故答案为：3＜b≤4.
【分析】根据a的正负性解不等式，结合其有正整数解的概率可得a的值，进而可得关于b的不等式，求解可得.
14．【答案】0.9；
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9；
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000，
解得x= ．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为 元，
故答案为：0.9， ．
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答．
15．【答案】18
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是 ，口袋中有12个红球，
设有x个白球，
则 ，
解得： ，
答：袋中大约有白球18个．
故答案为：18．
【分析】根据口袋中有12个红球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵A（x，y）且-2≤ ≤2,-2≤ ≤2 ，
∴A的坐标可以为：（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，2），
（2，-2），（2，-1），（2，0），（2，1）.
则以O、A、B为顶点的三角形共有20个.
当点A的坐标为：（0，2），（0，1），（1，0），（2，0），（1，-1），（-1，1），（2，-2），（-2，2）时，△OAB为直角三角形，一共有8种情况，
∴△OAB为直角三角形的概率是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件列举出所有A点的坐标，然后求出△OAB为直角三角形时点A的个数，最后利用概率公式计算即可.
17．【答案】（1）D
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数为4，所以小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的概率 ．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）因为父亲先从中随机抽取一张，小宁再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，所以小宁和父亲抽到的球桌号不一样，它为必然事件．
故答案为：D；
【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断即可；
（2）利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中小宁和父亲最终观看“T4”球桌比赛的结果数为4种，根据概率公式计算即可.
18．【答案】（1）解：画树状图如下：
由解图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，
所以，积为0的概率为
（2）解：不公平，
由解图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种.
所以，积为奇数的概率为 ，
积为偶数的概率为P2=
因为 ，所以，该游戏不公平.
这两个数的积小于等于2的概率为 ，这两个数的积大于2的概率为
∴游戏可修改为：
若这两个数的积小于等于2，则小亮赢；这两个数的积大于2，则小红赢.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）利用树状图列举出所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，利用概率公式计算即可；
（2）不公平，由（1）可知，所有等可能的结果有12种，且积为奇数的有4种，积为偶数的有8种，据此分别求出概率，概率等即公平，否则不公平；更改游戏规则使其公平，即是使双方赢的概率相等即可（答案不唯一）.
19．【答案】（1）解：四种卡片上有理数有1，2共2张，
则 卡片上的实数是有理数
（2）解：列表如下：
第一张 第二张 2 1
2 —— 2， 2， 2，1
，2 —— ， ，1
，2 ， —— ，1
1 1，2 1， 1， ——
由表格可知，共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中积为整数的结果有4种，
两张卡片上实数之积为整数
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）找出四种卡片中有理数卡片的个数即可求出所求的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的实数之积为整数的情况数，即可求出所求的概率.
20．【答案】（1）解：估计该生的参与度不低于 的概率为 ；
故答案为：
（2）解：∵选择“录播”的学生数为 ，
选择“直播”的学生数为 .
选择“录播”参与度在 以下的学生数为 ，
选择“直播”参与度在 以下的学生数为 .
，
估计参与度均在 以下的学生共有75人.
故答案为75人
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】 （1）用表格中“录播”教学方式学生参与度在50%以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
（2）先根据“录播”和“直播”的人数之比为3：5及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
21．【答案】（1）解：20÷29≈0.69；
59÷91≈0.65；
123÷176≈0.70，
…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；
（2）解：20÷50=0.4；
59÷150≈0.39；
123÷300≈0.41
∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，
（3）解：设封闭图形ABCD的面积为a，根据题意得： ，
解得：a=10π，
∴整个封闭图形ABCD的面积为10π平方米.
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
22．【答案】（1）解：所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
补充表格如下：
折线图：
（2）解：如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是0.5
（3）解：根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5.
【知识点】频数与频率；折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，用实验次数乘以频率即可得出频数，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；描点连线，可得折线图；
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小；
（3）列举出抛掷两次可能会出现的情况，用概率公式求解即可．
23．【答案】（1）0.25
（2）解：设袋中白球为x个， =0.25
解得：x=3
答：估计袋中有3个白球．
（3）解：用B代表一个黑球，W1、W2、W3 代表白球，将摸球情况列表如下：
总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，所以摸到两个球都是白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）251÷1000=0.251
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25
故答案为：0.25
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
24．【答案】（1）解：依题可得，
由表格可知构成点P的坐标共有16种等可能性的结果，其中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），这4种情况落在正方形ABCD面上，
∴ P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率P=.
答： P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率为.
（2）解：∵使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，
∴只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12，
∴存在这样的平移：先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知构成点P的坐标的所有等可能性的结果和满足条件的等可能性结果，再由古典概型公式求得答案.
（2）由题意可知使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，可得使点P落在正方形面上的数目为12，从而可得存在这样的平移.
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