初中数学苏科版八年级下册 9.1 图形的旋转 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·扶风期末）在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：ACD、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD不符合题意；
B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的特征，逐项进行判断，即可求解.
2．（2017八下·路南期末）在图形旋转中，下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心到对应点的距离相等
B．图形上的每一点转动的角度相同
C．图形上可能存在不动点
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：A. 由旋转的性质可得，旋转中心到对应点的距离相等，故A正确；
B. 由旋转的性质可得，图形上的每一点转动的角度相同，故B正确；
C. 由旋转的性质可得，图形上可能存在不动点，故C正确；
D. 由旋转的性质可得，图形上对应两点的连线与其对应两点的连线相等，故D不正确；
故选D.
3．（2020八下·深圳期中）如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE=17，AD=7，则BC为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，
∴ ，E、C、B在同一直线上，
∴EC=AC，
∵BE=17，AD=7，
∴BC+7+BC=17，
∴BC=5．
故答案为：C
【分析】根据△ABC旋转得到△DCE，得到EC=AC，根据已知条件得到BC+7+BC=17，即可求出BC．
4．（2020八下·福田期中）如图， 是由 绕点 顺时针旋转 后得到的图形，若点 恰好落在 上，且 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得 ， ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°、OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
5．（2019八下·灌云月考）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得：则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴∠AOC为旋转角，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOC=135°，即旋转角为135°．
故答案为：D．
【分析】利用方格纸的特点可知∠AOB=45°，根据旋转的性质可知∠AOC为旋转角，然后利用平角的定义即可算出答案。
6．（2018八下·楚雄期末）如图，△AOB中，∠B=25°，将△AOB绕点O顺时针旋转 60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在 OB上），则∠A′CO的度数为（ ）
A．85° B．75° C．95° D．105°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵△AOB绕点O顺时针旋转 60°，得到△A′OB′，
∴∠B′=25°，∠BOB′=60°，
∵∠A′CO=∠B′+∠BOB′，
∴∠A′CO=25°+60°=85°，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，可得∠B′=25°，∠BOB′=60°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得∠A′CO=∠B′+∠BOB′的度数.
7．（2020八下·天桥期末）如图，把 绕点A逆时针旋转40°，得到 ，点 恰好落在边AB上，连接 ，则 的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： 把 绕点 逆时针旋转 ，得到 △ ，
， ，
中， ，
又 ，
△ 中， ．
故答案为：B．
【分析】先根据旋转的性质，求得 ， ，进而得到 中， ，再根据 ，在 △ 中，求得 即可．
8．（2020八下·太原期中）如图，在 中， 将 绕点 顺时针方向旋转得到 当点 的对应点 恰好落在 边上时，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转得AD=AB，
∵ ，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=3，
∴CD=BC-BD=5-3=2，
故答案为：C.
【分析】由旋转得到AD=AB，由此证明△ADB是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.
9．（2020八下·无锡期中）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=4，BD=3，CD=5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接DE，过点A作AN 垂直DE于点E，
由旋转知AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∵等边△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=4，
又BD=3，CD=5，
∴ ，
∴△CDE是直角三角形，
∵AD=4，∠ADE=60°，
∴∠DAN=30°，
∴DN=2，
由勾股定理得AN= ，
∵ = ，
，
，
∴ ，
即四边形ADCE的面积是 ，
故答案为：C.
【分析】此题连接DE，先利用旋转和等边三角形的性质证明△ADE是等边三角形，根据题意，由△ADE是等边三角形依据勾股定理判定△CDE是直角三角形即可求四边形的面积.
10．（2018八上·婺城期末）如图，O是正 内一点， ， ， ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列五个结论中，其中正确的结论是（ ）
可以由 绕点B逆时针旋转 得到； 点O与 的距离为4； ； ； ．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】 为等边三角形，
， ，
线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，
， ，
， ， ，
可以由 绕点B逆时针旋转 得到，所以 正确；
， ，
为等边三角形，
， ，所以 正确；
可以由 绕点B逆时针旋转 得到，
，
在 中， ， ， ，
，
为直角三角形，
，
，所以 正确；
，所以 错误；
作 于H，如图，
在RtAOH中， ，
， ，
，
，
，
即 ，
，所以 正确．
故选C．
【分析】利用等边三角形的性质得 ， ，利用性质得性质得 ， ，则根据旋转的定义可判断 可以由 绕点B逆时针旋转 得到，则可对 进行判断；再判断 为等边三角形得到 ， ，则可对 进行判断；接着根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形得到 ，所以 ，则可对 进行判断；利用 可对 进行判断；作 于H，如图，计算出 ， ，则 ， ，然后计算出 ，从而得到 ，最后利用 可对 进行判断．
二、填空题
11．（2020八下·江阴期中）一个正三角形至少绕其中心旋转 度，就能与其自身重合.
【答案】120
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度.
故答案为：120.
【分析】因为正三角形的中心角为120°，所以根据旋转的性质“旋转前后的图形完全重合”可知旋转角等于中心角.
12．（2020八下·渭滨期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于 .
【答案】50°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC'∥AB，
∴∠C'CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC'，
∴∠ACC'=∠AC'C=65°.
∴∠CAC'=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB'=50°.
故答案为：50°.
【分析】由平行线的性质可求得∠C'CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC'，然后依据三角形的性质可知∠AC'C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC'的度数，从而得到∠BAB'的度数.
13．（2019八下·宁德期末）如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，使D点落在AB上，若∠CAB＝66°，则∠BCE的大小是 °．
【答案】48
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC＝DC，
∴∠A＝∠CDA＝66°，
∴∠ACD＝48°，
∴∠BCE＝∠ACD＝48°，
故答案为：48．
【分析】要计算出∠BCE的大小，即是求△ABC旋转的度数，只要计算出∠ACD的度数即可，根据旋转的性质可得AC=CD，则∠CAD=∠CDA，在△ACD中，利用三角形内角和定理即可求得∠ACD的度数，问题得解.
14．（2020八下·房县期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是 .
【答案】65°
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.
∴∠DCE=∠ACB=20°，AC=CE，∠ACE＝90°，
∴∠E＝45°.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DCE+∠E＝20°+45°＝65°.
故答案为：65°.
【分析】根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质求出∠E和∠DCE度数，利用三角形外角的性质∠ADC=∠DCE+∠E即可.
15．（2020八下·宝安期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；旋转的性质
【解析】【解答】如图，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=2AC=6，∠B=30°，
∵点P为AB的中点，∴BP=3，
∵△ABC绕点P按逆时针方向旋转 得到Rt△A′B′C′，
∴P=BP=3，
在Rt△BPM中，∠B=30°，∠BPM=90°，∴BM=2PM，∴PM= ，BM=2 ，
∴B′M=B′P-PM=3- ，
在Rt△B′MN中，∠B′=30°，∴MN= B′M= ，∴BN=BM+MN= ，
在Rt△BNG中，BG=2NG，BG2=NG2+BN2，∴NG= ，
∴S阴影=S△BNG-S△BMP= ，
故答案为： ．
【分析】由点P是AB的中点，∠A=60°，AC=3cm可得BP的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM，MP的长，在Rt△B′MN和Rt△BNG中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S阴影部分= 进行计算即可．
16．（2020八下·木兰期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】如图，延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，
在△ABG和△ADF中， ，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中， ，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴GE＝EF，
设正方形边长为x，则BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3，
在Rt△CEF中， ，
解得， ，
∴正方形的边长为6，
故答案为：6．
【分析】延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，证明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，设正方形边长为x，在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解．
17．（广东省深圳市2018-2019学年八年级数学下学期 第三章图形的平移与旋转 单元卷）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 .
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵等边△ABC中，D是BC中点，
∴BD=3，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，
AD=
，
又△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴∠CAE=30°，∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=
。
故答案为：
。
【分析】由等边三角形的性质可求得AD长，再根据旋转可知AD=AE，∠DAE=60°，△ADE为等边三角形，即可求出DE长。
18．（2019八下·建宁期末）如图， 中， ， ， ， 是 内部的任意一点，连接 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将 绕着点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，
， ， ， ， ，
是等边三角形
当点 ，点 ，点 ，点 共线时， 有最小值
，
故答案为： ．
【分析】先由旋转的性质得出 ，则 ， ， ， ， ，再证明 ，然后在 中，由勾股定理求出 的长度，即为 的最小值；
三、解答题
19．（2020八下·彭州期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度后得到△A1B1C1，点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，点A2、B2、C2分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C2的坐标．
【答案】（1）如图△A1B1C1即为所求．并写出C1的坐标(﹣1，4)．
（2）如图△A2B2C2，即为所求并写出C2的坐标(4，﹣3)．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
20．（2020八下·舞钢期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点.
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数.
【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：如图所示， .
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】(1) 连接CC1. AA1，再分别作两线段的中垂线， 两中垂线的交点即为所求； .(2)连接 ，结合网格特点可得旋转角 .
21．（2020八上·无锡月考）已知AD⊥AB于A，BE⊥AB于B，点C在线段AB上，DC⊥EC，且DC=CE.
（1）求证：AD+BE=AB；
（2）将△BEC绕点C逆时针旋转，使点B落在AC上，如图（2），试问：AD，BE，AB又怎样的数量关系？说明理由.
【答案】（1）证明：∵BE⊥AB，
∴∠BCE+∠BEC=90°，
∵DC⊥EC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BEC，
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AD+BE=AC+BC=AB
（2）解：由（1）可得：△ACD≌△BEC，
∴AD=BC，AC=BE，
∴BE=AC=AB+BC=AB+AD.
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质得到∠ACD=∠BEC，从而证明△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到结论；（2）根据△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD.
22．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
【答案】解：（1）旋转△ADF可得△ABE，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DAF=90°，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE，
∴旋转△ADF可得△ABE；
（2）由旋转的定义可知：旋转中心为A，因为AD=AB，所以AD和AB之间的夹角为旋转角即90°；
（3）BE=DF且BE⊥BE．理由如下：
延长BE交F于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△ABE按逆时针方向旋转90°△ADF，
∴BE=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠DHB=∠BAE=90°，
∴BE⊥DF．
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】（1）旋转△ADF可得△ABE，通过证明△ADF≌△ABE即可说明问题；
（2）旋转的定义和旋转角的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质得BE=DF，∠1=∠2，再根据三角形内角定理得到∠DHB=∠BAE=90°，所以BE⊥DF．
23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠OAD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
24．（2020八上·官渡月考）如图，点O是等边三角形ABC内的一点， ，将三角形 绕点C按顺时针旋转得到 ，连接OD，OA
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求三角形ADO的面积.
【答案】（1）解：由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO.
∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，
∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；
（2）解：由旋转的性质得：AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°，
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3.
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，则△AOD为直角三角形，
∴S△AOD= .
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1） 根据旋转的性质，可得CD=CO，∠ACD=∠BCO，从而可证△OCD为等边三角形，继而可得∠ODC=60°；
（2）由旋转的性质得AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°， 根据等边三角形的性质，可得OD=OC=3，由于∠ADO=∠ADC-∠ODC=90° ，可得△AOD为直角三角形，利用S△AOD= 计算即得结论.
25．（2020八下·八步期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB.
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数.
【答案】（1）解：连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，
∵∠PAC+∠BAP＝∠BAC=60°，
∴∠PAP′＝∠P′AB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=60°.
∴△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）解：∵PP′=6，BP=8，BP′=10，
∴PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′=90°+60°＝150°.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案.
26．（2018八上·濮阳开学考）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少？
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？
（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，
∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，
∴最小旋转度数为90°
（2）解：△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC
（3）解：∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，
∴∠F=∠BEC=70°
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出CB=CA，∠BCA=90°，根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC；
（2）根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，故△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC；
（3）根据三角形的内角和得出∠BEC的度数，根据旋转的性质得出∠F=∠BEC=70°。
27．（2020八下·新城期末）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H.
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长.（可利用（2）得到的结论）
【答案】（1）AH＝AB
（2）解：数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE＝DN.
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中， ，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中， ，
∴△AEM≌△ANM.
∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH.
（3）解：如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD.
设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2
解得x1＝6，x2＝﹣1.（不符合题意，舍去）
∴AH＝6.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）AH=AB.
理由：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
在△ABM和△ADN中
∴△ABM≌△ADN（SAS）.
∴AM=AN
∵AH⊥NM
∴MH=NH.
【分析】（1）利用正方形的性质，可证得∠B=∠D=90°，AB=AD，利用SAS证明△ABM≌△ADN，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质，可证得结论，（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x.
28．（2021八上·长兴期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：
（1）（问题呈现）
如图1， 中分别以 为边向外作等腰 和等腰 ，使 ， ， ，连结 ，试猜想 与 的大小关系，并说明理由.
（2）（问题再探）
如图2， 中分别以 为边向外作等腰 和等腰 ， ，连结 ，若 ，求 的长.
（3）（问题拓展）
如图3，四边形 中，连结 ， ， ， ， ， ，请直接写出 的长.
【答案】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵等腰 和等腰 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴△BCD是等边三角形，
连接BD，把△ABD绕点D逆时针旋转60°得到△ECD，连接AE，
则EC=AB=15，△ADE是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△AEC中，
，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用已知条件易证∠EAC=∠BAD，再利用SAS可证得△AEC≌△ABD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用已知条件易证∠EAC=∠BAD，再利用SAS可证得△AEC≌△ABD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得到CE=BD；再证明∠EBC=90°，利用勾股定理求出EB的长和EC的长，然后可得到BD的长.
（3）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BCD是等边三角形；连接BD，把△ABD绕点D逆时针旋转60°得到△ECD，连接AE，可得到EC=AB=15，△ADE是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AE=AD，∠DEA=60°，由此可推出∠CEA=90°；然后再Rt△AEC中，利用勾股定理求出AE的长，从而可得到AD的长.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.1 图形的旋转 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·扶风期末）在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017八下·路南期末）在图形旋转中，下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心到对应点的距离相等
B．图形上的每一点转动的角度相同
C．图形上可能存在不动点
D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等
3．（2020八下·深圳期中）如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE=17，AD=7，则BC为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2020八下·福田期中）如图， 是由 绕点 顺时针旋转 后得到的图形，若点 恰好落在 上，且 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019八下·灌云月考）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得：则旋转的角度为（ ）
A．30° B．45° C．90° D．135°
6．（2018八下·楚雄期末）如图，△AOB中，∠B=25°，将△AOB绕点O顺时针旋转 60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在 OB上），则∠A′CO的度数为（ ）
A．85° B．75° C．95° D．105°
7．（2020八下·天桥期末）如图，把 绕点A逆时针旋转40°，得到 ，点 恰好落在边AB上，连接 ，则 的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2020八下·太原期中）如图，在 中， 将 绕点 顺时针方向旋转得到 当点 的对应点 恰好落在 边上时，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020八下·无锡期中）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=4，BD=3，CD=5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
10．（2018八上·婺城期末）如图，O是正 内一点， ， ， ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列五个结论中，其中正确的结论是（ ）
可以由 绕点B逆时针旋转 得到； 点O与 的距离为4； ； ； ．
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八下·江阴期中）一个正三角形至少绕其中心旋转 度，就能与其自身重合.
12．（2020八下·渭滨期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于 .
13．（2019八下·宁德期末）如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，使D点落在AB上，若∠CAB＝66°，则∠BCE的大小是 °．
14．（2020八下·房县期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是 .
15．（2020八下·宝安期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 ．
16．（2020八下·木兰期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF=45°，BE=3，CF=4，则正方形的边长为 ．
17．（广东省深圳市2018-2019学年八年级数学下学期 第三章图形的平移与旋转 单元卷）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 .
18．（2019八下·建宁期末）如图， 中， ， ， ， 是 内部的任意一点，连接 ， ， ，则 的最小值为 ．
三、解答题
19．（2020八下·彭州期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度后得到△A1B1C1，点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A2B2C2，点A2、B2、C2分别是A、B、C的对应点，请画出△A1B1C1，并写出C2的坐标．
20．（2020八下·舞钢期末）如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点.
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
（2）直接写出旋转角α的度数.
21．（2020八上·无锡月考）已知AD⊥AB于A，BE⊥AB于B，点C在线段AB上，DC⊥EC，且DC=CE.
（1）求证：AD+BE=AB；
（2）将△BEC绕点C逆时针旋转，使点B落在AC上，如图（2），试问：AD，BE，AB又怎样的数量关系？说明理由.
22．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
23．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
24．（2020八上·官渡月考）如图，点O是等边三角形ABC内的一点， ，将三角形 绕点C按顺时针旋转得到 ，连接OD，OA
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求三角形ADO的面积.
25．（2020八下·八步期末）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB.
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数.
26．（2018八上·濮阳开学考）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少？
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？
（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
27．（2020八下·新城期末）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H.
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长.（可利用（2）得到的结论）
28．（2021八上·长兴期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：
（1）（问题呈现）
如图1， 中分别以 为边向外作等腰 和等腰 ，使 ， ， ，连结 ，试猜想 与 的大小关系，并说明理由.
（2）（问题再探）
如图2， 中分别以 为边向外作等腰 和等腰 ， ，连结 ，若 ，求 的长.
（3）（问题拓展）
如图3，四边形 中，连结 ， ， ， ， ， ，请直接写出 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：ACD、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD不符合题意；
B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的特征，逐项进行判断，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：A. 由旋转的性质可得，旋转中心到对应点的距离相等，故A正确；
B. 由旋转的性质可得，图形上的每一点转动的角度相同，故B正确；
C. 由旋转的性质可得，图形上可能存在不动点，故C正确；
D. 由旋转的性质可得，图形上对应两点的连线与其对应两点的连线相等，故D不正确；
故选D.
3．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，
∴ ，E、C、B在同一直线上，
∴EC=AC，
∵BE=17，AD=7，
∴BC+7+BC=17，
∴BC=5．
故答案为：C
【分析】根据△ABC旋转得到△DCE，得到EC=AC，根据已知条件得到BC+7+BC=17，即可求出BC．
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得 ， ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°、OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
5．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴∠AOC为旋转角，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOC=135°，即旋转角为135°．
故答案为：D．
【分析】利用方格纸的特点可知∠AOB=45°，根据旋转的性质可知∠AOC为旋转角，然后利用平角的定义即可算出答案。
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵△AOB绕点O顺时针旋转 60°，得到△A′OB′，
∴∠B′=25°，∠BOB′=60°，
∵∠A′CO=∠B′+∠BOB′，
∴∠A′CO=25°+60°=85°，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，可得∠B′=25°，∠BOB′=60°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得∠A′CO=∠B′+∠BOB′的度数.
7．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解： 把 绕点 逆时针旋转 ，得到 △ ，
， ，
中， ，
又 ，
△ 中， ．
故答案为：B．
【分析】先根据旋转的性质，求得 ， ，进而得到 中， ，再根据 ，在 △ 中，求得 即可．
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转得AD=AB，
∵ ，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB=3，
∴CD=BC-BD=5-3=2，
故答案为：C.
【分析】由旋转得到AD=AB，由此证明△ADB是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接DE，过点A作AN 垂直DE于点E，
由旋转知AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∵等边△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=4，
又BD=3，CD=5，
∴ ，
∴△CDE是直角三角形，
∵AD=4，∠ADE=60°，
∴∠DAN=30°，
∴DN=2，
由勾股定理得AN= ，
∵ = ，
，
，
∴ ，
即四边形ADCE的面积是 ，
故答案为：C.
【分析】此题连接DE，先利用旋转和等边三角形的性质证明△ADE是等边三角形，根据题意，由△ADE是等边三角形依据勾股定理判定△CDE是直角三角形即可求四边形的面积.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】 为等边三角形，
， ，
线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，
， ，
， ， ，
可以由 绕点B逆时针旋转 得到，所以 正确；
， ，
为等边三角形，
， ，所以 正确；
可以由 绕点B逆时针旋转 得到，
，
在 中， ， ， ，
，
为直角三角形，
，
，所以 正确；
，所以 错误；
作 于H，如图，
在RtAOH中， ，
， ，
，
，
，
即 ，
，所以 正确．
故选C．
【分析】利用等边三角形的性质得 ， ，利用性质得性质得 ， ，则根据旋转的定义可判断 可以由 绕点B逆时针旋转 得到，则可对 进行判断；再判断 为等边三角形得到 ， ，则可对 进行判断；接着根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形得到 ，所以 ，则可对 进行判断；利用 可对 进行判断；作 于H，如图，计算出 ， ，则 ， ，然后计算出 ，从而得到 ，最后利用 可对 进行判断．
11．【答案】120
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度.
故答案为：120.
【分析】因为正三角形的中心角为120°，所以根据旋转的性质“旋转前后的图形完全重合”可知旋转角等于中心角.
12．【答案】50°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC'∥AB，
∴∠C'CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC'，
∴∠ACC'=∠AC'C=65°.
∴∠CAC'=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB'=50°.
故答案为：50°.
【分析】由平行线的性质可求得∠C'CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC'，然后依据三角形的性质可知∠AC'C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC'的度数，从而得到∠BAB'的度数.
13．【答案】48
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC＝DC，
∴∠A＝∠CDA＝66°，
∴∠ACD＝48°，
∴∠BCE＝∠ACD＝48°，
故答案为：48．
【分析】要计算出∠BCE的大小，即是求△ABC旋转的度数，只要计算出∠ACD的度数即可，根据旋转的性质可得AC=CD，则∠CAD=∠CDA，在△ACD中，利用三角形内角和定理即可求得∠ACD的度数，问题得解.
14．【答案】65°
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.
∴∠DCE=∠ACB=20°，AC=CE，∠ACE＝90°，
∴∠E＝45°.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DCE+∠E＝20°+45°＝65°.
故答案为：65°.
【分析】根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质求出∠E和∠DCE度数，利用三角形外角的性质∠ADC=∠DCE+∠E即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；旋转的性质
【解析】【解答】如图，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=2AC=6，∠B=30°，
∵点P为AB的中点，∴BP=3，
∵△ABC绕点P按逆时针方向旋转 得到Rt△A′B′C′，
∴P=BP=3，
在Rt△BPM中，∠B=30°，∠BPM=90°，∴BM=2PM，∴PM= ，BM=2 ，
∴B′M=B′P-PM=3- ，
在Rt△B′MN中，∠B′=30°，∴MN= B′M= ，∴BN=BM+MN= ，
在Rt△BNG中，BG=2NG，BG2=NG2+BN2，∴NG= ，
∴S阴影=S△BNG-S△BMP= ，
故答案为： ．
【分析】由点P是AB的中点，∠A=60°，AC=3cm可得BP的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM，MP的长，在Rt△B′MN和Rt△BNG中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S阴影部分= 进行计算即可．
16．【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】如图，延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，
在△ABG和△ADF中， ，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°，
∴∠EAF＝∠GAE，
在△AEG和△AEF中， ，
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴GE＝EF，
设正方形边长为x，则BG＝DF＝x－4，GE＝EF＝x－1，CE＝x－3，
在Rt△CEF中， ，
解得， ，
∴正方形的边长为6，
故答案为：6．
【分析】延长CB至点G，使BG＝DF，并连接AG，证明△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF，设正方形边长为x，在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解．
17．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵等边△ABC中，D是BC中点，
∴BD=3，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=30°，
AD=
，
又△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴∠CAE=30°，∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD=
。
故答案为：
。
【分析】由等边三角形的性质可求得AD长，再根据旋转可知AD=AE，∠DAE=60°，△ADE为等边三角形，即可求出DE长。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将 绕着点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，
， ， ， ， ，
是等边三角形
当点 ，点 ，点 ，点 共线时， 有最小值
，
故答案为： ．
【分析】先由旋转的性质得出 ，则 ， ， ， ， ，再证明 ，然后在 中，由勾股定理求出 的长度，即为 的最小值；
19．【答案】（1）如图△A1B1C1即为所求．并写出C1的坐标(﹣1，4)．
（2）如图△A2B2C2，即为所求并写出C2的坐标(4，﹣3)．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
20．【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：如图所示， .
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】(1) 连接CC1. AA1，再分别作两线段的中垂线， 两中垂线的交点即为所求； .(2)连接 ，结合网格特点可得旋转角 .
21．【答案】（1）证明：∵BE⊥AB，
∴∠BCE+∠BEC=90°，
∵DC⊥EC，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BEC，
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴AD=BC，AC=BE，
∴AD+BE=AC+BC=AB
（2）解：由（1）可得：△ACD≌△BEC，
∴AD=BC，AC=BE，
∴BE=AC=AB+BC=AB+AD.
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用余角的性质得到∠ACD=∠BEC，从而证明△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到结论；（2）根据△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD.
22．【答案】解：（1）旋转△ADF可得△ABE，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DAF=90°，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE，
∴旋转△ADF可得△ABE；
（2）由旋转的定义可知：旋转中心为A，因为AD=AB，所以AD和AB之间的夹角为旋转角即90°；
（3）BE=DF且BE⊥BE．理由如下：
延长BE交F于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△ABE按逆时针方向旋转90°△ADF，
∴BE=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠DHB=∠BAE=90°，
∴BE⊥DF．
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【分析】（1）旋转△ADF可得△ABE，通过证明△ADF≌△ABE即可说明问题；
（2）旋转的定义和旋转角的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质得BE=DF，∠1=∠2，再根据三角形内角定理得到∠DHB=∠BAE=90°，所以BE⊥DF．
23．【答案】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠OAD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
24．【答案】（1）解：由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO.
∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，
∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；
（2）解：由旋转的性质得：AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°，
∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3.
∵∠ADC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，则△AOD为直角三角形，
∴S△AOD= .
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1） 根据旋转的性质，可得CD=CO，∠ACD=∠BCO，从而可证△OCD为等边三角形，继而可得∠ODC=60°；
（2）由旋转的性质得AD=OB=2，∠ADC=∠BOC=150°， 根据等边三角形的性质，可得OD=OC=3，由于∠ADO=∠ADC-∠ODC=90° ，可得△AOD为直角三角形，利用S△AOD= 计算即得结论.
25．【答案】（1）解：连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，
∵∠PAC+∠BAP＝∠BAC=60°，
∴∠PAP′＝∠P′AB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=60°.
∴△APP′为等边三角形，
所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）解：∵PP′=6，BP=8，BP′=10，
∴PP′2+BP2＝BP′2，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′=90°+60°＝150°.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连结PP′，由旋转性质可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根据∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′为等边三角形，即可证明PP′=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案.
26．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，
∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，
∴最小旋转度数为90°
（2）解：△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC
（3）解：∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，
∴∠F=∠BEC=70°
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出CB=CA，∠BCA=90°，根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC；
（2）根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，故△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC；
（3）根据三角形的内角和得出∠BEC的度数，根据旋转的性质得出∠F=∠BEC=70°。
27．【答案】（1）AH＝AB
（2）解：数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE＝DN.
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中， ，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAB+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中， ，
∴△AEM≌△ANM.
∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH.
（3）解：如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD.
设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2
∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2
解得x1＝6，x2＝﹣1.（不符合题意，舍去）
∴AH＝6.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）AH=AB.
理由：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
在△ABM和△ADN中
∴△ABM≌△ADN（SAS）.
∴AM=AN
∵AH⊥NM
∴MH=NH.
【分析】（1）利用正方形的性质，可证得∠B=∠D=90°，AB=AD，利用SAS证明△ABM≌△ADN，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质，可证得结论，（2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x.
28．【答案】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵等腰 和等腰 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴△BCD是等边三角形，
连接BD，把△ABD绕点D逆时针旋转60°得到△ECD，连接AE，
则EC=AB=15，△ADE是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△AEC中，
，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用已知条件易证∠EAC=∠BAD，再利用SAS可证得△AEC≌△ABD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用已知条件易证∠EAC=∠BAD，再利用SAS可证得△AEC≌△ABD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得到CE=BD；再证明∠EBC=90°，利用勾股定理求出EB的长和EC的长，然后可得到BD的长.
（3）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△BCD是等边三角形；连接BD，把△ABD绕点D逆时针旋转60°得到△ECD，连接AE，可得到EC=AB=15，△ADE是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AE=AD，∠DEA=60°，由此可推出∠CEA=90°；然后再Rt△AEC中，利用勾股定理求出AE的长，从而可得到AD的长.
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