初中数学冀教版八年级上册16.3角的平分线 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·柳州期末）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ， ， ，
∴PA=PB，
∵ ，
∴PB=3，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等即可作答.
2．（2020八下·灵璧月考）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D,若AC=5cm,则AE+DE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴EC=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=5cm，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质得到EC=ED，计算即可．
3．（2020八下·龙岗期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC=PD=3，即点P到OB的距离等于3．
故答案为：A．
【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，从而得解．
4．（2020八下·邵阳期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OD是∠AOB的角平分线，
由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，
D到OB边的距离等于DE长，即为4，
又由点到直线的距离垂线段最短可知，
DF≥4，
故答案为：A．
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，D到OB边的距离等于DE的长，再由点到直线的距离垂线段最短即可求解．
5．（2020八上·金山期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（ ）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
6．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD得出OP平分∠AOB，根据角平分线的定义即可得出结论。
7．（2019八上·河西期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地 上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A． 三边中线的交点 B． 三个角的平分线的交点
C． 三边高线的交点 D． 三边垂直平分线的交点
【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处．
8．如图是尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF是△ABC的内角平分线 B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．点O到△ABC三边的距离相等 D．AO=BO=CO
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：A、AE、BF是△ABC的内角平分线，此选项正确，故A不合题意；
B、CG也是△ABC的一条内角平分线，此选项正确，故B不合题意；
C、点O到△ABC三边的距离相等，此选项正确，故C不合题意；
D、无法得到AO=BO=CO，此选项错误，故D符合题意．
故应选：D．
【分析】根据图示可知，此题中AE、BF是△ABC的内角平分线，根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出第三个内角的平分线一定过AE，BF的交点，从而得出CG也是△ABC的一条内角平分线，根据三角形的内心到三边的距离相等得出点O到△ABC三边的距离相等，从而得出答案。
9．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1=∠2
C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解 ；∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于O ，
∴ AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2 。
故答案为 ：B .
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出AO是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得出∠1=∠2 。
二、填空题
10．角平分线的判定： ，到角的两边的距离 的点在角的平分线上．
【答案】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；相等
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
故答案为：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，相等．
【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．
11．（2017九上·重庆开学考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 ．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为 ×3×10=15．
【分析】作DE⊥AB于E．根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=3．根据三角形的面积计算公式即可得出答案。
12．（2020八上·安陆期末）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积为 .
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC EF= ×5×2=5.
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
13．（2019八上·永定月考）三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有 个．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线，
内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，
根据角平分线的性质可得，这4个点到三条直线的距离相等．
故答案为：4.
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
14．（2020八下·舞钢期末）已知： 平分 ， 平分 ， 于点 ， 的周长是12，面积是6，则 的长是： .
【答案】1
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接 过D作 垂足分别为 ，
分别平分
，
的周长是12，面积是6，
故答案为：1
【分析】如图，连接 过D作 垂足分别为 ，利用角平分线的性质证明： 再利用 列方程求解即可.
15．（2020八下·醴陵期末）如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是 ．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=7．
故答案是：7．
【分析】过点C作CF⊥AB于F，由角平分线的性质得CD=CF，CE=CF，于是可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
三、解答题
16．（2019八上·柳江期中）已知，如图， ， 是 上一点， 、 分别平分 、 .求证： 是 的中点.
【答案】解：过点 作 于点
∵
∴
又∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ 是 的中点
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】通过作 ，利用角平分线的性质可知 ， ，则 ，则可证 是 的中点
17．如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,且相交于点P.求证:点P在∠BAC的平分线上.
【答案】证明:过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；
.∵BP,CP分别是△ABC的外角平分线,
∴PE=PG,PG=PF,
则PE=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PE=PG,PG=PF,进而得到PE=PF.根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠BAC的平分线上.
1 / 1初中数学冀教版八年级上册16.3角的平分线 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·柳州期末）如图， 平分 ， ， ，垂足分别为 、 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020八下·灵璧月考）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D,若AC=5cm,则AE+DE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．（2020八下·龙岗期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2020八下·邵阳期末）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2020八上·金山期末）已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（ ）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
6．如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
7．（2019八上·河西期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地 上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A． 三边中线的交点 B． 三个角的平分线的交点
C． 三边高线的交点 D． 三边垂直平分线的交点
8．如图是尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是（ ）
A．AE，BF是△ABC的内角平分线 B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．点O到△ABC三边的距离相等 D．AO=BO=CO
9．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是（ ）
A．∠1>∠2 B．∠1=∠2
C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
二、填空题
10．角平分线的判定： ，到角的两边的距离 的点在角的平分线上．
11．（2017九上·重庆开学考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 ．
12．（2020八上·安陆期末）如图，在 中， 是边 上的高， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积为 .
13．（2019八上·永定月考）三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有 个．
14．（2020八下·舞钢期末）已知： 平分 ， 平分 ， 于点 ， 的周长是12，面积是6，则 的长是： .
15．（2020八下·醴陵期末）如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是 ．
三、解答题
16．（2019八上·柳江期中）已知，如图， ， 是 上一点， 、 分别平分 、 .求证： 是 的中点.
17．如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,且相交于点P.求证:点P在∠BAC的平分线上.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵ 平分 ， ， ，
∴PA=PB，
∵ ，
∴PB=3，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等即可作答.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴EC=ED，
∴AE+DE=AE+CE=AC=5cm，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质得到EC=ED，计算即可．
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC=PD=3，即点P到OB的距离等于3．
故答案为：A．
【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，从而得解．
4．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OD是∠AOB的角平分线，
由“角平分线上的点到角两边的距离相等”可知，
D到OB边的距离等于DE长，即为4，
又由点到直线的距离垂线段最短可知，
DF≥4，
故答案为：A．
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可知，D到OB边的距离等于DE的长，再由点到直线的距离垂线段最短即可求解．
5．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，
∴点M应在∠ABC的平分线上．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC＝PD得出OP平分∠AOB，根据角平分线的定义即可得出结论。
7．【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处．
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：A、AE、BF是△ABC的内角平分线，此选项正确，故A不合题意；
B、CG也是△ABC的一条内角平分线，此选项正确，故B不合题意；
C、点O到△ABC三边的距离相等，此选项正确，故C不合题意；
D、无法得到AO=BO=CO，此选项错误，故D符合题意．
故应选：D．
【分析】根据图示可知，此题中AE、BF是△ABC的内角平分线，根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出第三个内角的平分线一定过AE，BF的交点，从而得出CG也是△ABC的一条内角平分线，根据三角形的内心到三边的距离相等得出点O到△ABC三边的距离相等，从而得出答案。
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解 ；∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于O ，
∴ AO是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2 。
故答案为 ：B .
【分析】根据三角形的三内角平分线相交于一点，得出AO是∠BAC的角平分线，根据角平分线的定义得出∠1=∠2 。
10．【答案】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；相等
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
故答案为：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，相等．
【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．
11．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3．
∴△ABD的面积为 ×3×10=15．
【分析】作DE⊥AB于E．根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=3．根据三角形的面积计算公式即可得出答案。
12．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC EF= ×5×2=5.
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
13．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线，
内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，
根据角平分线的性质可得，这4个点到三条直线的距离相等．
故答案为：4.
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
14．【答案】1
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接 过D作 垂足分别为 ，
分别平分
，
的周长是12，面积是6，
故答案为：1
【分析】如图，连接 过D作 垂足分别为 ，利用角平分线的性质证明： 再利用 列方程求解即可.
15．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=7．
故答案是：7．
【分析】过点C作CF⊥AB于F，由角平分线的性质得CD=CF，CE=CF，于是可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
16．【答案】解：过点 作 于点
∵
∴
又∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ 是 的中点
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】通过作 ，利用角平分线的性质可知 ， ，则 ，则可证 是 的中点
17．【答案】证明:过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；
.∵BP,CP分别是△ABC的外角平分线,
∴PE=PG,PG=PF,
则PE=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点P分别作PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G；根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PE=PG,PG=PF,进而得到PE=PF.根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出点P在∠BAC的平分线上.
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