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【1.8.1】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第8章：一元一次不等式
重难点知识
★☆★ 不等式的基本性质
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等式的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变。
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
★☆★ 一元一次不等式
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母
去括号
移项
合并同类项
（5）将x项的系数化为1
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.
这个不等式必须同时满足3个条件：
只含有一个未知数；
含未知数的式子是整式；
未知数的次数是1.
这3个条件缺一不可.
不等式的基本性质与一元一次不等式基础练习
1．若a＞b＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣a＞﹣b B．＞
C．a3＜0 D．a2＞b2
2．如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． a＋c＞b＋c B． c－a＞c－b
C． ac＞bc D．
3．若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．
C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n
4．下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个
B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4
D．－40是不等式2x＜－8的一个解
5．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
6．已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是
A．a-7＞b-7 B．6+a＞b+6
C． D．-3a＞-3b
7．在△ABC中，BC=8cm，AC=5cm，若△ABC的周长为xcm，则x应满足（ ）
A． B．
C． D．
8．下列结论中正确的是（ ）
A．若a＜b，则1﹣a＜1﹣b
B．若a+b＞2b+1，则a＞b
C．若a＜b＜0，则（b﹣a）＜0
D．若a＜b，则（m2+1）a＞（m2+1）b
9．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知关于不等式2＜（1-a）x的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．不等式＞﹣1的正整数解的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜﹣1
C．a＞1 D．a＞﹣1
13．若，则_______（填不等号）.
14．不等号填空：若a＜b＜0，则﹣________ ﹣；________ ；2a﹣1________ 2b﹣1．
15．当a满足条件________时，由ax＞8可得x＜．
16．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．
17．已知如图是关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集，则a的值为_____．
18．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是___________.
19．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2 5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3 x＜13的解集为 ________.
20．两个实数，，规定，则不等式的解集为__________.
21．对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，．当时，；如：，=2，若关于的函数为，则该函数的最小值为__________．
22．解不等式：≥，并把它的解集在数轴上表示出来．
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【1.8.1】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第8章：一元一次不等式
参考答案
1．D
【解析】
A、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，错误；
B、3＞2＞0，但＜，错误；
C、正数的奇次幂是正数，a3＞0，错误；
D、两个正数，较大的数的平方也大，正确；
故选D.
2．A
【解析】
根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一个个筛选即可得到答案．
解答：解：A，∵a＞b，∴a+c＞b+c，故此选项正确；
B，∵a＞b，
∴-a＜-b，
∴-a+c＜-b+c，
故此选项错误；
C，∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，
故此选项错误；
D，∵a＞b，c＜0，
∴，
故此选项错误；
故选A．
3．B
【分析】
将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【详解】
A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得： ，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．C
【解析】
【分析】
对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误；
对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误.
【详解】
A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；
B. 不等式x> 5的负整数解集有 4， 3， 2， 1.故正确,不符合题意；
C. 不等式 2x<8的解集是x> 4,故错误.
D. 不等式2x< 8的解集是x< 4包括 40，故正确,不符合题意；
故选:C.
【点睛】
本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解；
5．B
【分析】
根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．
【详解】
解：A、由a＞b，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；
B、由a＞b，不等式两边同时乘以-2可得-2a＜-2b，故此选项正确；
C、当a＞b＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故此选项错误；
D、由a＞b，得a2＞b2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．D
【解析】
A.∵a＞b，∴a-7＞b-7，∴选项A正确；
B.∵a＞b，∴6+a＞b+6，∴选项B正确；
C.∵a＞b，∴，∴选项C正确；
D.∵a＞b，∴-3a＜-3b，∴选项D错误.
故选D.
7．D
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系定理求出边AB的范围，再根据不等式的性质进行变形，即可得出选项．
【详解】
解：设AB长度为acm，
∵根据三角形的三边关系定理得：8-5＜a＜8+5，
∴3＜a＜13，
∴8+5+3＜a+8+5＜13+8+5，
即16＜a+8+5＜26，
∵△ABC的周长为xcm，
∴16＜x＜26，
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理，能求出边AB的范围是解此题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，可得答案．
【详解】
A、若a＜b，则1﹣a＞1﹣b，错误；
B、若a+b＞2b+1，则a＞b，正确；
C、若a＜b＜0，则（b﹣a）＞0，错误；
D、若a＜b，则（m2+1）a＜（m2+1）b，错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．A
【分析】
根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可.
【详解】
根据x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2
综合上述可得
故选A.
【点睛】
本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.
10．A
【解析】
由题意可得1 a<0，
移项得 a< 1，
化系数为1得a>1，
故选A．
11．D
【解析】
，去分母得3（x+1）>2(2x+2)-6，去括号得3x+3>4x+4-6，移项，合并同类项得-x>-5，系数化为1得x<5，所以满足不等式的正整数的个数有4个，故选D.
12．B
【分析】
根据不等式的性质，两边同时除以a+1，a+1是正数还是负数不确定，所以要分两种情况，再根据解集为x＜1，发现不等号的符号发生了变化，所以确定a+1＜0，从而得到答案．
【详解】
解：（a+1）x＞a+1，
当a+1＞0时，x＞1，
当a+1＜0时，x＜1，
∵解集为x＜1，
∴a+1＜0，
a＜-1．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解不等式，当不等式两边除以同一个数时，这个数的正负性直接影响不等号．
13．<
【解析】
试题分析：根据不等式的基本性质3，直接求解得a＜b.
故答案为＜
14．＞ ＞ ＜
【解析】
∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b；
根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
即不等式﹣a＞﹣b两边同时除以5，不等号方向不变，所以﹣＞﹣；
∵a＜b＜0，
∴ab>0，
不等式a＜b两边同时队以ab，不等号方向不变，即，
∴＞ ；；
再根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变和不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变可得：2a﹣1＜2b﹣1,
故答案为＞ ，＞， ＜.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质， （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
15．a＜0.
【解析】
试题分析：在不等式的左右两边同时除以一个负数，则不等符号需要改变，本题中不等式的符号改变，则a＜0.
考点：不等式的性质
16．．
【解析】
∵(a 3)x>1的解集为x<，
∴不等式两边同时除以(a 3)时不等号的方向改变，
∴a 3<0，
∴a<3.
故答案为a<3.
点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.
17．1
【分析】
先解出不等式2x﹣a＞﹣3，得x＞再根据数轴上的解集为x＞-1
从而得到一个一元一次方程=-1，再解出a的值即可
【详解】
解不等式2x﹣a＞﹣3，
得x＞；
数轴上的解集为x＞-1
∴=-1
解得a=1
【点睛】
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
18．a<1
【解析】
【分析】
首先对不等式组进行化简，根据不等式的解集的确定方法，就可以得出a的范围．
【详解】
由于不等式(a 1)x>a 1的解集为x<1，
可知不等号的方向发生了改变：x< ，
可判断出a 1<0，
所以a<1.
故答案为a<1
【点睛】
此题考查不等式的解集，解题关键在于掌握运算法则
19．x＞﹣1
【详解】
解：3 x＜13，
3（3-x）+1＜13，
解得：x＞-1．
故答案为：x＞﹣1
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键．
20．
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，再根据一元一次不等式进行解答即可.
【详解】
由规定，可得.
所以，，就是，解得，.
故答案为：
【点睛】
此题考查解一元一次不等式，解题关键在于理解题意.
21．2
【分析】
联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a，b}的意义即可得出函数的最小值．
【详解】
解：联立两函数解析式成方程组，得： ，
解得： ．
∴当x＜-1时，y=max{x+3，-x+1}=-x+1＞2；当x≥-1时，y=max{x+3，-x+1}=x+3≥2．
∴函数y=max{x+3，-x+1}最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键．
22．x≤2，解集在数轴上表示见解析.
【解析】
分析：
按照解一元一次不等式的一般步骤解答，并把解集规范的表示在数轴上即可.
详解：
移项得：2x-3x≥-1-1.
合并同类项得：-x≥-2
系数化为1得：x≤2.
将解集在数轴上表示如下：
点睛：熟练掌握“解一元一次不等式的一般步骤和把解集表示在数轴上的方法”是解答本题的关键
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