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【1.9.1】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第9章：二次根式
重难点知识
★☆★ 二次根式
1、二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
2、最简二次根式：必须同时满足下列条件：
被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
被开方数中不含分母；
(3)分母中不含根式。
3、同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4、二次根式的性质：
5、二次根式的运算：
(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面：如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。
(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式
(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结台律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算
★☆★ 一元一次不等式组
①几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
③求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
④当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
二次根式及性质基础练习
1．已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b
C．b D．2a-b
3．若式子有意义，则实数m的取值范围是
A． B．且
C． D．且
4．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．计算的结果是
A．﹣3 B．3
C．﹣9 D．9
6．下列各式中计算正确的是（ ）
A．＝（﹣2）×（﹣4）＝8
B．＝4a（a＞0）
C．＝3+4＝7
D．
7．使代数式有意义的x的取值范围（ ）
A．x＞2 B．x≥2
C．x＞3 D．x≥2且x≠3
8．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
9．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（ ）
A．﹣2 B．0
C．1 D．2
10．已知，则化简的结果是（ ）
A．4 B．
C． D．
11．若式子有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＞﹣2且m≠1
C．m≥﹣2 D．m≥﹣2且m≠1
12．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）
A． B．
C． D．
13．化简二次根式的结果为( )
A．﹣2a B．2a
C．2a D．﹣2a
14．如果，那么（ ）
A． B．
C． D．
15．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．下列四个等式：①＝4；②(－)2＝16；③()2＝4；④＝－4．正确的是( )
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
17．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
18．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
19．若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
20．已知为实数，且，则______.
21．若是整数，则满足条件的最小正整数为________．
22．若有意义，则a的取值范围为_____
23．若代数式有意义，则实数的取值范围是_________．
24．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 ．
25．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+﹣|a﹣b|．
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【1.9.1】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第9章：二次根式
参考答案
1．A
【解析】
试题解析：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选A．
2．C
【解析】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
3．D
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
由题意可知：
∴m≥﹣2且m≠1
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件．
4．B
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】
由题意可知： ,
解得：,
故选．
【点睛】
考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
5．B
【分析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
=|﹣3|=3.
故选B.
6．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．
【详解】
A．、没有意义，此选项错误；
B．a（a＞0），此选项错误；
C．5，此选项错误；
D．，此选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义和性质．
7．D
【解析】
试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．
根据题意，得解得，x≥2且x≠3．
考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件
8．D
【解析】
【分析】
寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.
【详解】
解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即：
，故选择D.
【点睛】
本题考查了二次根式的相关定义.
9．D
【解析】
试题分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选D．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
10．A
【解析】
由可得 ，∴3≤x≤5，∴=x-1+5-x=4，故选A.
11．D
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
由题意可知：，
∴m≥﹣2且m≠1，
故选D．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.
12．D
【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.
【详解】
A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；
B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；
C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误；
D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
13．A
【解析】
【分析】
利用根式化简即可解答.
【详解】
解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
【点睛】
本题考查二次根式性质与化简，熟悉掌握运算法则是解题关键.
14．B
【详解】
根据二次根式的性质，由此可知2-a≥0，解得a≤2.
故选B
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质可求解.
15．D
【解析】
解：A．（2）2=12，故A错误；
B．=，故B错误；
C．=5，故C错误；
D．=，故D正确．
故选D．
16．D
【详解】
试题分析：本题考查的是二次根式的意义：①，正确；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；③符合二次根式的意义，正确；④=4≠﹣4，不正确．①③正确．故选D．
考点： 二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
17．B
【解析】
【分析】
根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
【详解】
∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了三角形三边的关系．
18．2．
【分析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜2，
则a+=a+=a+（2﹣a）=2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
19．x≥-3且x≠2
【分析】
直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴x+3≥0，且x-2≠0，
∴实数x的取值范围是：x≥-3且x≠2．
故答案为x≥-3且x≠2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
20．或.
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可求出x、y的值，代入即可得出结论．
【详解】
∵且，∴，∴，∴或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x、y的值．
21．7
【分析】
把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】
解:∵28=4×7，4是平方数，
∴若是整数，则n的最小正整数值为7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
22．且
【解析】
【分析】
根据平方根和分数有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】
要使有意义，4-a，且a+2，即且.
【点睛】
本题主要考察学生对平方根和分数有意义的条件的掌握，同时能够正确地解不等式也是关键.
23．且
【分析】
根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得，x+2≥0，x≠0，
解得，x≥-2且x≠0，
故答案为：x≥-2且x≠0．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
24．
【解析】
【分析】
二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=（x-3）2-9+m≥0，所以（x-3）2≥9-m．通过偶次方（x-3）2是非负数可求得9-m≤0，则易求m的取值范围．
【详解】
由题意，得
x2-6x+m≥0，即（x-3）2-9+m≥0，
∵（x-3）2≥0，要使得（x-3）2-9+m恒大于等于0，
∴m-9≥0，
∴m≥9，
故答案为m≥9．
25．-2
【解析】
【分析】
本题运用实数与数轴的对应关系确定-2＜a＜-1，1＜b＜2，且b＞a，然后根据开方运算的性质和绝对值的意义化简即可求解．
【详解】
由数轴上点的位置关系，得-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1<0，b-1>0，a-b<0，
∴
=|a+1|+|b-1|-|a-b|，
=-a-1+b-1+a-b，
=-2
【点睛】
本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和二次根式的化简，解答本题的关键是掌握绝对值的性质
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