初中数学北师大版七年级上学期 第一章 1.3 截一个几何体
一、单选题
1．（2020七下·西安期中）如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截面的形状应为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019七上·宁德期中）用一个平面去截一个正方体，则截面不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019七上·河源月考）用平面去截一个几何体，如截面为长方形，则几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．正方体
4．（2019七上·宝鸡月考）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体
5．（2019七上·贵阳期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则原来的几何体可能是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．球
二、填空题
6．（2019七上·郑州月考）用一个平面去截三棱柱，所得到的截面形状可能是 (写出一个即可).
7．（2019七上·河源月考）用一个平面截一个正方体，截面最多是 边形
8．（2018七上·太原月考）用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是 ．
9．（2018七上·顺德月考）下图中的截面分别是 （1） （2）
10．用一个平面去截下列几何体，截面可能是圆的是 （填写序号）．
①三棱柱②圆锥③圆柱④长方体⑤球体
11．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如A（1、5、6）；则B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）．
12．如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为 cm2．
13．（2016七上·高台期中）用一个平面去截长方体，截面 是平行四边形（填“可能”或“不可能”）．
三、解答题
14．分别指出图中几何体的截面形状的标号：
（1）中截面形状的标号： ；
（2）中截面形状的标号： ；
（3）中截面形状的标号： ．
15．如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）
16．如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．
四、作图题
17．用一平面去截一个正方体，能截出梯形，请在如图的正方体中画出．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面倾斜去截一个圆柱，得到的是一个椭圆.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知是用一个平面倾斜去截一个圆柱，因此可以排除A，C，D，即可得出正确的选项。
2．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】用平面去截正方体得到的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，因此ABC均符合题意，因为正方体的每个面都是平面，故截面不可能为曲线，
故答案为：D.
【分析】用平面去截正方体得到的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】A. 圆柱的轴截面为长方形，不符合题意；
B. 长方体的轴截面为长方形，不符合题意；
C.圆锥的轴截面为三角形，其它截面为圆、椭圆，不可能是长方形，符合题意；
D. 正方体的轴截面可以是长方形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据选项中的各个几何体截面的可能性逐一分析即可.
4．【答案】A
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】A、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；
B、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；
C、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；
D、正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的特点， 当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同，但无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
5．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】棱柱与棱锥无论如何截，所得的截面都不可能有弧度，
所以若截面形状是圆，则原几何体一定不是棱柱或棱锥，
故A、B、C选项均不符合题意，
只有D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】主要考察用一个平面截几何体，应熟知棱柱与棱锥无论如何截，所得的截面都不可能有弧度。由于截面的形状是圆，所以原几何体一定不是棱柱或棱锥，经排除可知只有D符合题意。
6．【答案】三角形（答案不唯一）
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形；
当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是长方形；
当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形.
故答案为三角形（答案不唯一）.
【分析】根据平面截三棱柱的不同角度与位置判断相应截面形状即可.
7．【答案】六
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形．
【分析】由于正方体有6个面，截面最多经过六个面，从而可得结论.
8．【答案】圆柱
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：长方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形；
五棱柱沿顶点截几何体可以截得三角形；
圆柱不能截出三角形；
圆锥沿顶点可以截出三角形．
故不能截出三角形的几何体是圆柱．
故答案为：圆柱．
【分析】几何体的截面问题。截长方体，可能图形有三角形、梯形、矩形、四边形、五边形，六边形。截五棱柱可能图形:三角形、四边形、五边形、六边形、七边形。截圆柱截面可能为圆形，长方形或正方形、椭圆形。截圆锥，截面可能为三角形、圆形、椭圆形。
9．【答案】圆；长方形
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】截面分别是圆、长方形.
故答案为（1）圆；（2）长方形.
【分析】（1）圆柱的截面（2）正方体的截面
10．【答案】②③⑤
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截球，截面是圆，用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故答案为：②③⑤
【分析】根据棱柱，圆柱，圆锥，球体的概念，用一个平面去截几何体，截面可能是圆的画，该几何体一定要有一个面试曲面，根据棱柱，圆柱，圆锥，球体的概念，可知只有圆锥，圆柱，球体的表面有曲面，从而得出答案。
11．【答案】1、3、4；1、2、3、4；5；3、5、6
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形
C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形
D球体，截面只可能是圆
E圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形，
因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象能力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断。
12．【答案】24
【知识点】几何体的表面积；截一个几何体
【解析】【解答】解：过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为2×2×6=24cm2．
故答案为：24．
【分析】由于是在正方体的顶点上截取一个小正方体，去掉小正方形的三个面的面积，同时又多出小正方形的三个面的面积，表面积没变，由此求得答案即可．
13．【答案】可能
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：当截面不垂直于长方体，又经过长方体的4个面时，得到截面为四边形，对边平行且相等，为平行四边形．
【分析】让截面不垂直于长方体，又经过长方体的4个面，动手操作可得到答案．
14．【答案】（1）①
（2）③
（3）③
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：⑴中截面形状的标号：①；
⑵中截面形状的标号：③；
⑶中截面形状的标号：③．
故答案为：①；③；③
【分析】（1）中的长方体沿其底面的对角线进行截取，所以截面是一个长方形；（2）中的三棱锥沿平行于底面的平面进行截取，所以截面是一个三角形；（3）中的圆柱沿其垂直于底面的面进行截取而又没有经过底面的圆心，所以截面是一个长方形。
15．【答案】解：如图所示：
根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，
三棱柱的体积= =5．
【知识点】截一个几何体；棱柱及其特点
【解析】【分析】根据题意可知正方体被截取的一部分为一个直三棱柱，由正方体的棱长相等求出三棱柱各个边的长，求出 三棱柱的体积.
16．【答案】三角形截面，等腰三角形截面，长方形截面，圆形截面
解答：（1）切了三个面，可以得到三角形截面；（2）沿圆锥的高线切割，可得到等腰三角形截面；（3）沿正方体的对角线切割，可得到长方形截面；（4）截面与底平行，可以得到圆形截面．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
17．【答案】解：如图所示：
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，依此即可求解．
1 / 1初中数学北师大版七年级上学期 第一章 1.3 截一个几何体
一、单选题
1．（2020七下·西安期中）如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截面的形状应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面倾斜去截一个圆柱，得到的是一个椭圆.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知是用一个平面倾斜去截一个圆柱，因此可以排除A，C，D，即可得出正确的选项。
2．（2019七上·宁德期中）用一个平面去截一个正方体，则截面不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】用平面去截正方体得到的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，因此ABC均符合题意，因为正方体的每个面都是平面，故截面不可能为曲线，
故答案为：D.
【分析】用平面去截正方体得到的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可得出答案.
3．（2019七上·河源月考）用平面去截一个几何体，如截面为长方形，则几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．正方体
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】A. 圆柱的轴截面为长方形，不符合题意；
B. 长方体的轴截面为长方形，不符合题意；
C.圆锥的轴截面为三角形，其它截面为圆、椭圆，不可能是长方形，符合题意；
D. 正方体的轴截面可以是长方形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据选项中的各个几何体截面的可能性逐一分析即可.
4．（2019七上·宝鸡月考）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体
【答案】A
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】A、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；
B、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；
C、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；
D、正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的特点， 当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同，但无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
5．（2019七上·贵阳期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则原来的几何体可能是（ ）
A．正方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．球
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】棱柱与棱锥无论如何截，所得的截面都不可能有弧度，
所以若截面形状是圆，则原几何体一定不是棱柱或棱锥，
故A、B、C选项均不符合题意，
只有D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】主要考察用一个平面截几何体，应熟知棱柱与棱锥无论如何截，所得的截面都不可能有弧度。由于截面的形状是圆，所以原几何体一定不是棱柱或棱锥，经排除可知只有D符合题意。
二、填空题
6．（2019七上·郑州月考）用一个平面去截三棱柱，所得到的截面形状可能是 (写出一个即可).
【答案】三角形（答案不唯一）
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形；
当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是长方形；
当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形.
故答案为三角形（答案不唯一）.
【分析】根据平面截三棱柱的不同角度与位置判断相应截面形状即可.
7．（2019七上·河源月考）用一个平面截一个正方体，截面最多是 边形
【答案】六
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形．
【分析】由于正方体有6个面，截面最多经过六个面，从而可得结论.
8．（2018七上·太原月考）用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是 ．
【答案】圆柱
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：长方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形；
五棱柱沿顶点截几何体可以截得三角形；
圆柱不能截出三角形；
圆锥沿顶点可以截出三角形．
故不能截出三角形的几何体是圆柱．
故答案为：圆柱．
【分析】几何体的截面问题。截长方体，可能图形有三角形、梯形、矩形、四边形、五边形，六边形。截五棱柱可能图形:三角形、四边形、五边形、六边形、七边形。截圆柱截面可能为圆形，长方形或正方形、椭圆形。截圆锥，截面可能为三角形、圆形、椭圆形。
9．（2018七上·顺德月考）下图中的截面分别是 （1） （2）
【答案】圆；长方形
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】截面分别是圆、长方形.
故答案为（1）圆；（2）长方形.
【分析】（1）圆柱的截面（2）正方体的截面
10．用一个平面去截下列几何体，截面可能是圆的是 （填写序号）．
①三棱柱②圆锥③圆柱④长方体⑤球体
【答案】②③⑤
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截球，截面是圆，用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故答案为：②③⑤
【分析】根据棱柱，圆柱，圆锥，球体的概念，用一个平面去截几何体，截面可能是圆的画，该几何体一定要有一个面试曲面，根据棱柱，圆柱，圆锥，球体的概念，可知只有圆锥，圆柱，球体的表面有曲面，从而得出答案。
11．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如A（1、5、6）；则B（ ）；C（ ）；D（ ）；E（ ）．
【答案】1、3、4；1、2、3、4；5；3、5、6
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形
C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形
D球体，截面只可能是圆
E圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形，
因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象能力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断。
12．如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为 cm2．
【答案】24
【知识点】几何体的表面积；截一个几何体
【解析】【解答】解：过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为2×2×6=24cm2．
故答案为：24．
【分析】由于是在正方体的顶点上截取一个小正方体，去掉小正方形的三个面的面积，同时又多出小正方形的三个面的面积，表面积没变，由此求得答案即可．
13．（2016七上·高台期中）用一个平面去截长方体，截面 是平行四边形（填“可能”或“不可能”）．
【答案】可能
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：当截面不垂直于长方体，又经过长方体的4个面时，得到截面为四边形，对边平行且相等，为平行四边形．
【分析】让截面不垂直于长方体，又经过长方体的4个面，动手操作可得到答案．
三、解答题
14．分别指出图中几何体的截面形状的标号：
（1）中截面形状的标号： ；
（2）中截面形状的标号： ；
（3）中截面形状的标号： ．
【答案】（1）①
（2）③
（3）③
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：⑴中截面形状的标号：①；
⑵中截面形状的标号：③；
⑶中截面形状的标号：③．
故答案为：①；③；③
【分析】（1）中的长方体沿其底面的对角线进行截取，所以截面是一个长方形；（2）中的三棱锥沿平行于底面的平面进行截取，所以截面是一个三角形；（3）中的圆柱沿其垂直于底面的面进行截取而又没有经过底面的圆心，所以截面是一个长方形。
15．如图所示的正方体被竖直截取了一部分，求被截取的那一部分的体积．（棱柱的体积等于底面积乘高）
【答案】解：如图所示：
根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，
三棱柱的体积= =5．
【知识点】截一个几何体；棱柱及其特点
【解析】【分析】根据题意可知正方体被截取的一部分为一个直三棱柱，由正方体的棱长相等求出三棱柱各个边的长，求出 三棱柱的体积.
16．如图所示，说出下列几何体截面（阴影部分）的形状．
【答案】三角形截面，等腰三角形截面，长方形截面，圆形截面
解答：（1）切了三个面，可以得到三角形截面；（2）沿圆锥的高线切割，可得到等腰三角形截面；（3）沿正方体的对角线切割，可得到长方形截面；（4）截面与底平行，可以得到圆形截面．
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
四、作图题
17．用一平面去截一个正方体，能截出梯形，请在如图的正方体中画出．
【答案】解：如图所示：
【知识点】截一个几何体
【解析】【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，依此即可求解．
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