2013年中考数学专题攻略(共20个专题)

【2013年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨
一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。
因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式。
根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：
典型例题：
例1：（2012广西河池3分）一元二次方程的根的情况是【 】
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵中，a=1，b=2，c=2，
∴△。
∴无实数根。故选D。
例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是【 】
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；
C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D、整理得：，当时， ，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确
故选D。
练习题：
1（2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根。
2. （2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是 【 】
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
3. （2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是 【 】
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是【 】
A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定
　二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：
典型例题：
例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：
∵一元二次方程有实数解，
∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。
∴m的取值范围是m≤1。故选B。
例4：（2012江西南昌3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【 】
　 A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得a=﹣1。故选B。
例5：（2012上海市4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ▲ 。
【答案】c＞9。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，c＞9。
例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。
【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1 x2=m+1。
∵|x1－x2|＝2， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。
∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。
解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。
当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1 x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1 x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。
例7：（2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是【 】.
A．为任何实数，方程都没有实数根
B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实
数根三种
【答案】B。
【考点】一元二次方程根的判别式。
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：
∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，
∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。
例8：（2012四川成都4分）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数的图象不经过点（1，0）的概率是 ▲ 。
【答案】。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。
【分析】∵有两个不相等的实数根，∴△＞0。
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＞0，∴a＞﹣1。
将（1，0）代入得，a2+a﹣2=0，解得a1=1，a2=﹣2。
可见，符合要求的点为0，2，3。
∴P（符合要求）=。
练习题：
1（2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【 】
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2
2. （2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】
(A) k>且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2
3. （2012四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是【 】
A、k≥2 B、k≤2 C、k＞-2 D、k＜-2
4. （2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【 】．
A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1
5. （2012北京市4分）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ▲ 。
6. （2012四川资阳3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ▲ 。
7. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。
8. （2011湖南郴州6分）当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？
9. （2009黑龙江佳木斯3分）若关于x的一元二次方程nx2－2x－1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x－n的图象不经过【 】
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用：
典型例题：
例1：（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　。
例2：（2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由。
【答案】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，
∴令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m。
∴，化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1。
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。
∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。
（2）存在。理由如下：
假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。
如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点。
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2）。
∴OB=1，OC=2。
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC，∠APD=∠OCB ，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。
∴PD=OC=2，即yP=2。
∵直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。
∴在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）。
【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。
练习题：
1. （2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根。
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值。
2. （2007湖北襄阳7分）已知关于x的方程x2－2（m－2）x＋m2=0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数：
典型例题：
例1：（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】
A．64 B．48 C．32 D．16
【答案】A。
【考点】完全平方式。
【分析】∵x2＋16x＋k是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2＋16x＋k=0根的判别式△=0。
∴△=162－4×1×k=0，解得k=64。故选A。
例2：（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　 ▲ 　。
【答案】±6。
【考点】完全平方式。
【分析】∵x2﹣kx+9是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2﹣kx+9=0根的判别式△=0。
∴△=k2－4×1×9=0，解得k=±6。
例3：（2012湖北荆州3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为　 ▲ 　。
【答案】或。
【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。
【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2﹣kx+1=0根的判别式△=0。
∴△=k2－4×1×1=0，解得k=±2。
把k=±2分别代入反比例函数的解析式得：或。
练习题：
1. （2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【 】
A．9 B．－9 C．±9 D．±3
2. （2010广西南宁3分）下列二次三项式是完全平方式的是【 】
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16 C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
五. 判断双曲线与直线的公共点个数：
典型例题：
例1：（2012江苏南京2分）若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【 】
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。
【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：
∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，
∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，
∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。
四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。
例2：（2012广东河源3分）在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为【 】
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】A。
【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。
【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y＝x＋1和y＝得，x＋1＝，整理，得
x 2＋x－1＝0。
∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x－1＝0有两不相等的实数根。
∴直线y＝x＋1与双曲线y＝有两个交点。故选A。
例4：（2012四川资阳8分）已知：一次函数y=3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。
（1）(3分)求该反比例函数的解析式；
（2）(3分)将一次函数y=3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。
【答案】解：（1）把x=1代入y=3x－2，得y=1。
设反比例函数的解析式为，把（1，1）代入得，k=1。
∴该反比例函数的解析式为
（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x－2+4，即y=3x＋2，
联立y=3x＋2和，得，
，解得或。
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(－1, －1) 。
（3）y=－2x－2（答案不唯一）。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数图象与平移、旋转变换。
【分析】（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。
（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，从而求得交点坐标。
（3）∵函数的图象由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到，
∴可设所求函数解析式为y=mx－2，则由
得。
∵函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，
∴△=4－4·m（－1）＜0，解得m＜－1。
∴只要常数项为－2，一次项系数小于－1的一次函数均可。
例5：（2011湖北宜昌3分）如图，直线=+2与双曲线= QUOTE EMBED Equation.3 在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为【 】
【答案】B。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】因为直线=+2与双曲线= QUOTE 在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围：
由+2=得2+2+3﹣m=0，
∵=+2与= QUOTE 有两个交点，∴方程2+2+3﹣m=0有两不相等的实数根。
即△=4﹣4×（3﹣m）＞0，解得m＞2。
又∵双曲线在二、四象限，∴m﹣3＜0。∴m＜3。
∴m的取值范围为：2＜m＜3。
故在数轴上表示为B。故选B。
练习题：
1.（2011湖北黄石3分）若一次函数的图像与反比例函数的图像没有公共点，则实数的
取值范围是 ▲ 。
2. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 ▲ （只写出符合条件的一个即可）。
3. （2006湖北黄石8分8）已知一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数的图象有唯一的公共点。
（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；
（2）证明：k取任何正实数时，直线y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标。
4. （2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为【 】。
六. 判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数：
典型例题：
例2：（2012山东泰安3分）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为【 】
　　A．　　B．3　　C．　　D．9
【答案】B。
【考点】抛物线与轴的交点。
【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴＞0，，即。
∵一元二次方程有实数根，
∴△=，即，即，解得。
∴的最大值为3。故选B。
例3：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点。
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值。
【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
综上所述，k的取值范围是k≤2。
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。
又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k =4 ，
解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。
②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。
∴y的最大值为，最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。
【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。
（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。
例4：（2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标；
(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB
的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应) 。
【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴，解得：。
∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。
(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1。
∴直线OB的解析式为y＝x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。
∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。
又点D在直线y＝x－m上，∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。
∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。
此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。
(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，
∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。
∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。
∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。
∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴ n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。
∴ 点N的坐标为(－，)。
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1(－，－)，B1(4，－4)。
∴O、D、B1都在直线y＝－x上。
∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。
∴ ＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
(2) 根据已知可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
(3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折。（或用旋转）求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。
练习题：
1（2011江苏南京7分）已知函数（是常数）。
⑴求证：不论为何值，该函数的图象都经过轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与轴只有一个交点，求的值。
2. （2011甘肃兰州4分）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有【 】
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
3. （2011四川雅安3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是【 】
A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤
4.（2011四川泸州2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是【 】
A、1 B、2 C、3 D、4
5. （2008湖北武汉3分）下列命题：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
② 若 b>a+c， 则 一 元 二 次 方 程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；
③若 b=2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根；
④若b2－4ac>0，则二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3。
其中正确的【 】
A、只有①②③ B、只有①③④ C、只有①④ D、只有②③④
6. （2009北京市7分）已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个
单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保
持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围。
一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，
判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例1：当m为何值时，关于x的二次三项式mx2－2（m＋2）x＋（m＋5）能在实数范围内因式分解。
例2：如果关于x二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是 ▲ 。
与平面几何相联系的问题。
例1：已知：关于x的方程有两个相等的实数根，试判断以a，b，c为三边的三角形的形状。
例2：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
例3：已知a，b，c是△ABC的三边，是关于x的一元二次方程，
（1）若△ABC是直角三角形，且∠C=90°，试判断方程实根的个数；
（2）若方程有两个相等的实数根，试求∠C的度数。【2013年中考攻略】专题12：数学思想方法之归纳探讨
数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题。
归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳。
一、根据数的排列或运算规律归纳：
典型例题：例1. （2012广东肇庆3分）观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：
分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，
∴第k个数分子是2k，分母是2k+1。∴这一组数的第k个数是。
例2. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是
▲ ．
【答案】900。
【考点】分类归纳（数字变化类）。
【分析】寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…；左下是1，4=22，9=32，16=42，…；
右下是：左下数字减上面数字差的平方：
（1－1）2，（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…
∴a=（36－6）2=900。
例3. （2012湖北恩施4分）观察数表
根据表中数的排列规律，则B+D=　 ▲ 　．
【答案】23。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，
∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
例4. （2012四川巴中3分）观察下面一列数：1，－2，3，－4，5，－6，……，根据你发现的规律，第
2012个数是 ▲
【答案】－2012。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵1，－2，3，－4，5，－6，…规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数
是负数，
∴第2012个数是：－2012。
例5. （2012辽宁丹东3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形
有 ▲ 个五角星.
【答案】120。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：不难发现，
第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n个图形有（n＋1）2－1个小五角星。
∴第10个图形有112－1=120个小五角星。
例6. （2012贵州遵义4分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，…2n。
分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3。
∴第n个数是。
例7. （2012黑龙江大庆3分）已知l=1，l1=121，l11=12321，…，则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12个数字是 ▲ .
【答案】4。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。119281
【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从1开始的连续的自然数再逐渐减小至1，且中间的自然数与底数的1的个数相同，根据此规律写出即可得解：
12=1，112=121，1112=12321，…=123456787654321，所以的第12个数字是4。
例8. （2012湖南益阳10分）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1，
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
【答案】解：（1）填表如下：
图① 图② 图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=17
积与和的商 ﹣2÷2=﹣1 （﹣60）÷（﹣12）=5 170÷10=17
（2）图④：∵5×（﹣8）×（﹣9）=360，5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1，
∴y=360÷（﹣12）=﹣30。
图⑤：由（1·x·3）÷（1＋x＋3）=﹣3，解得x=﹣2。．
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】（1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值。
例9. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】
　　A．2010　　B．2012　　C．2014　　D．2016
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：
∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，
∴2016既是三角形数又是正方形数。故选D。
例10. （2012贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 ▲ 个小正方形。
【答案】100。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：
第1个图案中共有1=12个小正方形；第2个图案中共有4=22个小正方形；
第3个图案中共有9=32个小正方形；第4个图案中共有16=42个小正方形；
……
∴第10个图案中共有102=100个小正方形。
练习题：
1. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n－1)= ▲ .(用n表示，n是正整数)
2. （2011江苏南京2分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同
学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为
▲ ．
3. （2011辽宁沈阳4分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表
输入数据 1 2 3 4 5 ……
输出数据 a ……
根据表格中的数据的对应关系，可得的值是 ▲
4. （2011辽宁本溪3分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字 ▲ 。
5. （2011江苏扬州3分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为 ▲ ．
6. （2011山东菏泽3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是
　 ▲ 　．
7. （2011四川广元5分）已知一组数为：1，，，，，…，按此规律用代数式表示第n个数为
▲
8. （2011云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧3分）下面是按一定规律排列的一列数：，，，，那么第个数是 ▲ .
9. （2011贵州六盘水4分）有一列数：，，，……，则它的第7个数是 ▲ ;第n个数
是 ▲ 。
10. （2011浙江省3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”【 】
A.28 B.56 C.60 D. 124
二、根据式的排列或运算规律归纳：
典型例题：例1. （2012江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：,,,
,…,依次类推，则的值为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（数字的变化类）
【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分是奇数和偶数讨论：：
∵， ，
，，
，，
，，
…，
∴当是奇数时，，是偶数时， 。
∴。故选B。
例2. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a b”，使得下列算式成立：
1 2=2 1=3，（﹣3） （﹣4）=（﹣4） （﹣3）=﹣，（﹣3） 5=5 （﹣3）=﹣，…
你规定的新运算a b= ▲ （用a，b的一个代数式表示）．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。
【分析】寻找规律：
∵，
，···
∴。
例3. （2012江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：，，， ▲ ，，…．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，···，是奇数排列；代数式字母的指数为1，2，3，4，5，···，是自然数排列。所以在横线上的代数式是。
例4. （2012湖南株洲3分）一组数据为：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为
　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律：（1）单项式的系数为1，－2，3，－4···，即n为奇数时，系数为正数，n为偶数时，系数为负数，系数的绝对值为，即系数为；
（2）单项式的指数为n。
∴第n个数据应为。
例5. （2012湖南衡阳3分）观察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ▲ ．
【答案】1。
【考点】分类归纳（数字的变化类），互余两角三角函数的关系。
【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案
由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1。　
例6. （2012四川凉山5分）对于正数，规定 ，例如：，，则 ▲ 。
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。
【分析】寻找规律：
当x=1时，f（1）=；
当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）= ，f（2）＋f（）=1；
当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（3）＋f（）=1；
······
当x= n时，f（3）=，当x=时，f（）= ，f（）＋f（）=1。
∴。
∴当x= 2012时，。
例7. （2012四川资阳3分）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是： ▲ ．
【答案】x=n+3或x=n+4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。
【分析】求得分式方程①②③的解，寻找得规律：
∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，
由②得，方程的根为：x=2或x=3，
由③得，方程的根为：x=3或x=4，
∴方程的根为：x=a或x=b，
∴可化为。
∴此方程的根为：x－3=n或x－3=n+1，即x=n+3或x=n+4。
例8. （2012辽宁沈阳4分）有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ▲ .
【答案】a10－b20。
【考点】分类归纳（数字的变化类），多项式。
【分析】∵第1个多项式为：a1＋b2×1，第2个多项式为：a2－b2×2，第3个多项式为：a3＋b2×3，第4个多项式为：a4－b2×4，…
∴第n个多项式为：an＋（－1）n+1b2n。
∴第10个多项式为：a10－b20。
例9. （2012黑龙江牡丹江3分）观察下列数：，…，按此规律排列，第十个数为
▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】寻找规律：观察可知，这个代数式的第n个数的符号是，分子是1，分母x的指数是项数加1，所以，这个代数式为，当n=10时，这个代数式为。
例10. （2012贵州六盘水4分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数。
例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；
再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。
请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= ▲ ．
【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1。如图：
∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。
例11.（2012广东珠海9分）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×　 　=　 　×25；
②　　×396=693×　　．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
例12.（2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
　　　　初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
　　　　请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
　(1)写出奇数a用整数n表示的式子；
　(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
　(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi 0 1 2 3 4 5 ...
yi 0 1 4 9 16 25 ...
yi+1－yi 1 3 5 7 9 11 ...
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5...
请回答：
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。
（2）有理数b=（n≠0）。
（3）①当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi 0 1 2 ...
yi 0 1 4 ...
yi+1－yi ...
故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
②当x的取值从0开始每增加个单位时，列表如下：
xi 0 ...
yi 0 ...
yi+1－yi ...
故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、 、 …。
【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。
【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
练习题：
1. （2011黑龙江大庆3分）已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，…．
根据以上等式，猜想：
对于正整数n(n≥4)，1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝ ▲ ．
2. （2011广西贵港2分）若记y＝f(x)＝，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝＝；f()
表示当x＝时y的值，即f()＝＝；…；
则f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2011)＋f()＝_ ▲ ．
3. （2011广东湛江4分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算A73=　▲　（直接写出计算结果），并比较A103　▲　A104（填“＞”或“＜”或“=”）
4. （2011四川雅安3分）在一列数中，，，则 ▲ ．
5. （2011四川成都4分）设,,,…,
设，则S=　 ▲ （用含的代数式表示，其中为正整数）．
6. （2011辽宁营口3分）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律第n个数据是 ▲ _(用含n的式子表示)．
7. （2011云南曲靖3分）将一列整式按某种规律排成x,－2x2,4x3,－8x4,16x5…则排在第六个位置的整式为
▲ ；
8. （2011贵州铜仁4分）．观察一列单项式：，，，，… 根据你发现的规律，第7个单项式为 ▲ ；第个单项式为 ▲ ．
9. （2011福建莆田4分）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，则= ▲ 。
10. （2011湖南益阳8分）观察下列算式：
① 1 ×3 － 22 = 3 － 4 = －1
② 2 × 4 － 32 = 8 －9 = －1
③ 3 × 5 － 42 = 15 －16 = －1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
三、根据图的变化规律归纳：
典型例题：例1. （2012四川自贡3分）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为【 】
　A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。
【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=。
同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，
同理跳动n次后，即跳到了离原点的处。故选D。
例2. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】．
A．32 B．126 C．135 D．144
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。
∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。
例3. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。
∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。
又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为32。故选C。
例4. （2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【 】
A． B．C．D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。
【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
由，解得，∴n=14。
当n=14时，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树。
∴从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选B。
例5. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】
　 A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=。
∴当n=14时，AP6=。故选A。
例6. （2012湖北荆门3分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】
A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：
第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。
例7. （2012山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【 】
　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为5：
故选C。
例8. （2012山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【 】
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】 B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。
【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为7，相接触的两个面上的数字的积为6，结合左视图知，几何体下面5个小立方体的左边的数字是1，右边的数字是6；结合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是3，反面的数字是4；根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是2（如图）。
根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右上方的小立方体下面的数字是3；根据任意两对面上所写的两个数字之和为7，几何体右上方的小立方体上面的数字是4。
∴俯视图上“※”所代表的数是4。故选B。
例9. （2012浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 ▲ （用含n的代数式表示）
【答案】或。
【考点】分类归纳（图形的变化类），反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数解析式为，则
①与BC，AB平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6和反比例函数关于对称的性质，得
与AB平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），代入，得，解得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：。
②与OC，AB平移后的对应边相交时，由得。
∴反比例函数解析式为。
则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：。
综上所述，第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为或。
例10. （2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是 ▲
【答案】（16，）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标：
如图，作BC的中垂线交BC于点D，则
∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），
∴BD=1，。∴A（—2，）。
根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，），当n为偶数时为（2n－2， ）。
∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，）。
例11.（2012江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点　 ▲ 　．
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。
【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。
∴正六边形滚动一周等于6。如图所示。
当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、F的纵坐标为2。
位置1时，点A的横坐标也为2。
又∵（45－2）÷6=7…1，
∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。
∴会过点（45，2）的是点B。
练习题：
1. （2012湖北随州4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为 ▲ .
2. （2012四川达州3分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如
图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ .
3. （2012四川内江6分）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则= ▲
4. （2012四川乐山3分）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：
（1）∠A1= ▲ 　；（2）∠An= ▲ 　．
5. （2012四川泸州3分）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1,M2,M3,……Mn分别为边B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…
△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= ▲ 。(用含n的式子表示)
6. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于 ▲ ．
7. （2012辽宁阜新3分）如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为 ▲ ．
8. （2012辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面
积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到
的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 ▲ _。
（n≥2，且n是正整数）
9. （2012辽宁锦州3分）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,…,AnBnBn+1Cn，按如图
所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°，
OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2，S3，…，Sn,则Sn= ▲ .
10. （2012辽宁铁岭3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、
C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形
AnBnCnDn的面积为 ▲ .
四、根据寻找的循环规律归纳：
典型例题：例1. （2012四川自贡4分）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，则= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），倒数。
【分析】∵，
∴x2=，x3=，x4=。∴差倒数为3个循环的数。
∵2012=670×3+2，∴x2012=x2=。
例2. （2012内蒙古赤峰3分）将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】观察，得出规律：6个数为一循环，若余数为1，则末位数字为8；若余数为2，则末位数字为5；若余数为3，则末位数安为7；若余数为4，则末位数字为1；若余数为5，则末位数字为4；若余数为0，则末位数字为2。
∵化为小数是，∴2012÷6=335…2。
∴小数点后面第2012位上的数字是：5。
例3. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，∠B＝30 ，AC＝1，AC在直线l上．将
△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到
位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，
此时AP3＝3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012＝【 】
A．2011＋671 B．2012＋671 C．2013＋671 D．2014＋671
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2， ，1，且三次一循环，按此规律即可求解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=。
根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）
的长度依次增加2， ，1，且三次一循环。
∵2012÷3==670…2，
∴AP2012=670（3+ ）+2+ =2012+671 。故选B。
例4. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－
2)．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C
－D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】
A．(1，－1) 　　B．(－1，1) C．(－1，－2) 　D．(1，－2)
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案：
∵A（1，1），B（－1，1），C（－1，－2），D（1，－2），
∴AB=1－（－1）=2，BC=1－（－2）=3，CD=1－（－1）=2，DA=1－（-2）=3。
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2＋3＋2＋3=10，
∵2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置。
∴所求点的坐标为（－1，1）。故选B。
例5. （2012湖南永州3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】
A．0 B．1 C．2 D．3
例6. （2012山东济南3分）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是【 】
A．（2，0）　B．（－1，1）　C．（－2，1）　D．（－1，－1）
例7. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=﹣x分别交于A1，A2，A3，A4…，则点A30的坐标是【 】
　　A．（30，30）　　B．（﹣8，8）　　C．（﹣4，4）　　D．（4，﹣4）
【答案】C。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。
【分析】∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而30÷4=7余2，
∴A30在直线y=﹣x上，且在第二象限。
即射线OA30与x轴的夹角是45°，如图OA=8，∠AOB=45°，
∵在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，
∴OA30=8。
∵A30的横坐标是﹣8sin45°=﹣4，纵坐标是4，即A30的坐标是（﹣4，4）。
故选C。
例8. （2012广东梅州3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了　 ▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在　 ▲ 点．
【答案】7；E。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。
例9. （2012广东河源4分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A
开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了
▲ cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 ▲ 点．
【答案】7；E。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。
例10. （2012湖北鄂州3分）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，……，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则m= ▲ 。点C2012的坐标是 ▲ 。
【答案】2；（22011，－22011）。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形的旋转变化，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】在△OBC中，∵OB=1，BC=，∴tan∠COB=。∴∠COB=60°，OC=2。
∵OB1=mOB，OB1=OC，∴mOB=OC，即m=2。
∵每一次的旋转角是60°，∴旋转6次一个周期（如图）。
∵2012÷6=335…2，
∴点C2012的坐标跟C2的坐标在一条射线OC6n+2上。
∵第1次旋转后，OC1=2；第2次旋转后，OC1=22；第3次旋转后，OC3=23；···第2012次旋转后，OC2012=22012。
∵∠C2012OB2012=60°，∴OB2012=22011。B2012C2012==22011。
∴点C2012的坐标为（22011，－22011）。
练习题：
1. （2012湖南娄底4分）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2012个图案中“”，共　 ▲ 　个．
2. （2012山东莱芜4分）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标
记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在射线 ▲ 上．
3. （2012山东德州4分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为　 ▲ 　．
4. （2012山东泰安3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为 ▲ ．
5. （2012山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为300。线段A1A2=1，A1A2⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A2A3⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A3A4⊥A2A3，垂足为A3；···按此规律，点A2012的坐标为 ▲ .
6. （2012云南省3分）观察下列图形的排列规律（其中、、分别表示三角形、正方形、五角星），若第一个图形是三角形，则第18个图形是 ▲ .（填图形名称）
7. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为 ▲
8. （2011重庆綦江4分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为【 】
3 ﹣1 2 …
A、3 B、2 C、0 D、﹣1
9. （2011山东日照4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在【 】
A、第502个正方形的左下角 B、第502个正方形的右下角
C、第503个正方形的左上角 D、第503个正方形的右下角
10. （2011贵州黔南4分）观察下列算式：，，，，…．根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是【 】
A、2 B、4 C、8 D、6
五、根据代数式拆分规律归纳：
典型例题：例1. （2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【 】
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：
∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m(m－1)＋1，共有m个奇数。
∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m＝45。故选C。
例2. （2012山东菏泽4分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；；……；
若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ▲ ．
【答案】41。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
由33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
由43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
由53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
由63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，
∴63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）=41。
例3. （2012贵州安顺4分）已知2+=22×，3+=32×，4+=42×…，若8+=82×（a，b为正整数），则a+b=　 ▲ 　．
【答案】71。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据规律：可知a=8，b=82﹣1=63，∴a+b=71。
例4. （2012山东临沂3分）读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算= ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。
【分析】∵，
∴。
例5. （2012河北省3分）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（+1），第二位同学报（+1），第三位同学报（+1），…这样得到的20个数的积为 ▲ 。
【答案】21。
【考点】分类归纳（数字的变化类），有理数的运算。
【分析】∵第一同学报（+1）=2，第二位同学报（+1）=，第三位同学报（+1）=，……第20位同学报（+1）=，
∴这20个数的积为。
例6. （2012广东省7分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　　=　　（n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
【答案】解：（1）。
（2）。
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100
。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。
（3）运用变化规律计算。
练习题：
1. （2011广西玉林、防城港3分）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是【 】
A、升 B、升 C、升 D、升
2. （2011四川内江12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道
时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
=（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3）
=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+ ___________
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ___________
=（1+2+3+4）+（___________）
…
（2）归纳结论：
=（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n
=（___________）+[ ___________]
= ___________+ ___________
=×___________
（3 ）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是_________。
3.（2011四川成都4分）设,,,…,
设，则S=　 ▲ （用含的代数式表示，其中为正整数）．
六、根据一阶递推规律归纳：
典型例题：例1. （2012湖北黄石3分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速
的计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
①＋②：有 解得：
请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，，则 ▲ .
【答案】12。
【考点】分类归纳（数学的变化类），有理数的混合运算，解一元二次方程。
【分析】根据题目提供的信息，找出规律，列出方程求解即可：
设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2＋2n－168=0，解得n1=12，n2=－14（舍去）。
∴n=12。
例2. （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦
举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
届数 1 2 3 … n
表中n的值等于 ▲ ．
【答案】30。
【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。
将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。
∴。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为。
当y=2012时，，解得x=30。
∴n=30。
例3. （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．
【答案】4n﹣2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形2+4=6个，第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，···那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个。
例4. （2012青海省2分）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．
【答案】3n+1。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。190187
【分析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1。　
例5. （2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
【答案】解：（1）寻找规律：
第一个图需棋子6=3×2，
第二个图需棋子9=3×3，
第三个图需棋子12=3×4，
第四个图需棋子15=3×5，
∴第五个图需棋子3×6=18。
答：第5个图形有18颗黑色棋子。
（2）由（1）可得，第n个图需棋子3（n+1）枚
设第n个图形有2013颗黑色棋子，
则3（n+1）=2013 ，解得n=670。
答：第670个图形有2013颗黑色棋子。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一元一次方程的应用。
【分析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案。
（2）根据（1）所找出的规律，列出方程，即可求出答案。
例6. （2012山东济宁6分）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
【答案】解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：（1，4）、（2，7）、（3，10）、（4，13）依次连接以上各点，所有各点在一条直线上，
设直线解析式为y=kx+b，把（1，4）、（2，7）两点坐标代入得
，解得。∴y=3x+1。
验证：当x=3时，y=10；当x=4时，y=13，∴（3，10）、（4，13）也在这条直线上。
当x=2012时，y=3×2012+1=6037。
答：第2012个图有6037枚棋子。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数的应用。
【分析】画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进而把x=2012代入可得相应的棋子数目。
练习题：
1. （2011辽宁丹东3分）按一定规律排列的一列数，依次为l，4，7，…．则第n个数是 ▲ _．
2. （2011湖南岳阳3分）将边长分别为，2，3，4…的正方形的面积记作S1，S2，S3，S4…，计算S2﹣S1，S3﹣S2，S4﹣S3…．若边长为n（n为正整数）的正方形面积记作Sn，根据你的计算结果，猜想Sn+1﹣Sn=　 ▲ 　．
3. （2011山东聊城3分）如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数为【 】
A．5n B．5n－1
C．6n－1 D．2n2＋1
4. （2011湖北黄石3分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上
不同的个点最多可确定21条直线，则的值为 【 】
A. B. C. D.
5. （2011吉林省2分）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用表示第n个图案中菱形的个数，则n=____ ▲_____（用含n的式子表示）
6. （2011黑龙江哈尔滨3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 ▲ 个★
7. （2011黑龙江牡丹江3分）用大小相同的实心圆摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n个图案中，共有实心圆的个数为 ▲
8. （2011福建漳州4分）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_ ▲ 枚．（用含n的代数式表示）
9. （2011青海省2分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖 ▲ 块。
第1个 第2个 第3个
10. （2011内蒙古呼伦贝尔3分）用火柴棒按下列方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需
▲ 根火柴棒。
七、根据二阶递推规律归纳：
典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为【 】
　　A．50　　B．64　　C．68　　D．72
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，
第①个图形一共有2＝2×1个五角星，
第②个图形一共有8＝2×（1+3）＝2×22个五角星，
第③个图形一共有18＝2×（1+3+5）＝2×32个五角星，
…，
则第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72。故选D。
例2.（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是　 ▲ 　．
【答案】21。
【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。
设二阶等差数列与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。
∴。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为。
∴当x= 5时，。
∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。
例3. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】
　　A．54　　B．110　　C．19　　D．109
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图知，图中平行四边形的个数与次序之间形成数对（1，1），（2，5），（3，11），…。
设平行四边形的个数与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，5），（3，11）代入，得，解得。
∴平行四边形的个数与次序之间的关系为。
∴当x= 10时，。
∴第⑩个图形中平行四边形的个数是109。故选D。
例4. （2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .
【答案】365。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。寻找规律，
【分析】画树状图：记第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是an，则
∴an－an－1=4（n－1）（n=2，3，4，···），
∴（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋···＋（an－an－1）=4＋8＋···＋4（n－1），
即an－a1=4[1＋2＋3＋···＋（n－1）]=
∴an=＋a1=。
当n=14时，a14 =。
例5. （2012湖南岳阳3分）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=　 ▲ 　（用含n的代数式表示）．
【答案】。
【考点】分类归纳（图形和数字的变化类）。
【分析】寻找圆中下方数的规律：
第一个圆中，8=2×4=（3×1－1）（3×1＋1）；
第二个圆中，35=5×7=（3×2－1）（3×2＋1）；
第三个圆中，80=8×10=（3×3－1）（3×3＋1）；
······
第n个圆中，。
例6. （2012贵州黔东南4分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有　 ▲ 　个相同的小正方形．
【答案】n（n+1）。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：
第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，
第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，
第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，
第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5，
…，
按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形。
例7. （2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影
部分小正方形的个数是 ▲ ．
【答案】n2＋n＋2。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一排的部分和最右一排的部分：
除最右一排的小正方形个数 最右一排的小正方形个数 合计小正方形个数
第1个图 1=12 3 4=12＋3
第2个图 4=22 4=3＋1 8=22＋3＋1
第3个图 9=32 5=3＋2 14=32＋3＋2
··· ··· ··· ···
第n个图 n2 3＋n－1= n＋2 n2＋n＋2
练习题：
1. （2011广东河源4分）凸n边形的对角线的条数记作例如：，那么：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ （，用含的代数式表示）。　
2. （2011湖北荆门3分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方
形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近
似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的
菱形共181个时，n的值为【 】
A.7 B.8 C.9 D.10
3. （2011福建南平4分）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第11个图形中小正方形的个数
为【 】
A．78 B．66 C．55 D．50
4. （2011江苏徐州3分）如图，每个图案都是由若干个棋子摆成，依照此规律，第个图案中棋子的总个数可用含的代数式表示为 ▲ .
5. （2011辽宁朝阳3分） 观察下列图形：
它们是用●按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中共有 ▲ 个●.
6. （2011内蒙古乌兰察布4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图
形有 ▲ 个小圆 · （用含 n 的代数式表示）
第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形
7. （2011四川达州3分）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆 ▲ 个（用含n的代数式表示）．
8. （2011四川泸州2分）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要　 ▲ 　个三角形，…，摆第n层图需要　 ▲ 　个三角形．
9. （2011四川遂宁8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点。
当n=1时，如图⑴，一条直线将一个平面分成两个部分；
当n=2时，如图⑵，两条直线将一个平面分成四个部分；
则：当n=3时，三条直线将一个平面分成 部分；
当n=4时，四条直线将一个平面分成 部分；
若n条直线将一个平面分成个部分，n+1条直线将一个平面分成个部分。
试探索、、n之间的关系。
八、根据乘方规律归纳：
典型例题：例1. （2012山东滨州3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【 】
　　A．52012﹣1　　B．52013﹣1　　C．　　D．
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。
【分析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，
∴5S﹣S=52013﹣1，∴S=。故选C。
例2. （2012江苏盐城3分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.
第一个月他们就募集到资金1万元,随着影响的扩大,第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增
加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的n的值为 ▲ .
(参考数据:,,)
【答案】13。
【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法
【分析】第一个月募集到资金1万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资
金（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得：
（1+20%）n－1＞10，即1.2 n－1＞10.
∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10，
∴n－1=5+7=12，解得，n=13。
例3. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。
根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。
∴AG=AH=。
又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。
∴GH=AG=AH=。EF= GH－GE－FH=。
∴第2个等边三角形的边长为。
同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。
又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，
∴第6个正六边形的边长是。故选A。
例4. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA。
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°。∴∠ADO=∠BAA1。
∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1。∴。
∵AB=AD=，∴BA1=。
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，面积是。
同理第3个正方形的边长是，面积是： 。
第4个正方形的边长是，面积是
…
第2012个正方形的边长是 ，面积是。故选D。
例5. （2012湖南常德3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为【 】
A. 2 B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。
【分析】寻找规律，从两方面考虑：
（1）每个图形中每一条短线段的长：图2中每一条短线段的长为，图3中每一条短线段的长为，图4中每一条短线段的长为。
（2）每个图形中短线段的根数：图2中有4根，图3中有16根，图4中有64根。
∴图4中的折线的总长度为。故选D。
【推广到一般，图n中的折线的总长度为】
例6. （2012山东日照4分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】
（A） （B） （C） （D）
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。
【分析】寻找规律：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，
∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。
又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。
又∵AB=1，∴C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。
同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，……正方形AnBnCnDn的边长为。故选B。
例7. （2012广东广州3分）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，
以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；
以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；
以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；
以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的　 ▲ 　倍，第n个半圆的面积为
　 ▲ 　（结果保留π）
【答案】4；。
【考点】分类归纳（图形的变化类），半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法。
【分析】由已知，第3个半圆面积为：，第4个半圆的面积为：，
∴第4个半圆的面积是第3个半圆面积的=4倍。
由已知，第1个半圆的半径为，第2个半圆的半径为，第3个半圆的半径为，
······第n个半圆的半径为。
∴第n个半圆的面积是。
例8. （2012广东湛江4分）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=　 ▲ ．
【答案】。
【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。
【分析】分析规律：
∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴。
同理
∴。
例9. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 ▲ (n为正整数)。
【答案】。
【考点】分类归纳（图形变化类），一次函数综合题，等腰直角三角形的性质。
【分析】寻找规律： 由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，…，Bn是直线y=x上的点，
∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且
A2B2=OA2=OB1=OA1；
A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；
A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；
……
。
又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1。∴，即点Bn的纵坐标为。
练习题：
1. （2011山东德州3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第n个图形的周长是【 】
A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2
2. （2011山东青岛3分）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，
再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn＝ ▲ ．
3. （2011广东台山3分）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为【 】
A、（ B、（ C、（ D、
4. （2011黑龙江龙东五市3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边
中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边
中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，……，依此类推，
这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为 ▲ 。
5. （2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西3分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011= ▲ ．
6. （2011湖北恩施3分）2002年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为30°，顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、C2、C3、…、Cn分别在直线和x轴上，则第n个阴影正方形的面积为　 ▲ ．
7. （201甘肃兰州4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ▲ ．
8. （2011福建三明4分）如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2+1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3+2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5+4）个圆点；…第n次操作后，这时直线l上有 ▲ 个圆点．
9. （2011浙江衢州10分）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去…，则第10次剪取时，s10= ；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
图⑵
图⑴【2013年中考攻略】专题14：数学思想方法之化归探讨
化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。“化归”是转化和归结的简称。数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。
例如，当时，求的值。该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法应为先化简再求值，此时原式。这就是由复杂——简单的化归。
又如，解一元二次方程。我们可以将左边分解因式，应用降次化为两个一元一次方程求解，这就是由高维——低维的化归；也可以将方程配方成为一个整式的平方等于一个数的形式，应用平方根的性质求解，这就是由未知——已知的化归。
再如，如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，求PE+PB的最小值。
连接DE，交BD于点P，连接BD。因为点B与点D关于AC对称，所以DE的长即为PE+PB的最小值。从而将求PE+PB的最小值变为求DE的长。这就是应用轴对称的性质的从困难——容易的化归。
化归的基本思想是：将待解决的问题A，在一定条件下转化为问题B，再把问题B转化为已经解决或较易解决的问题C，而通过对C的解决，达到原问题的解决，可用框图表示如下：
化归应遵循的原则：（1）化归目标的简单化原则，即化归的方面是由复杂到简单，对复杂总是采用分
解或变更的方法，使目标简单化。（2）化归的熟悉化原则，即化归的方向是由不熟悉到熟悉，把要解决的（不熟悉）问题转化为自己熟悉会解的问题，使所要解决的问题熟悉化。（3）化归的具体化原则，即化归的方向一般是由抽象到具体。在分析问题时，尽力将问题具体化。（4）化归的和谐化原则，即化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（5）化归的正难则反原则，即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面四方面探讨化归思想的应用：（1）代数问题之间的化归；（2）代数问题与函数问题之间的化归；（3）几何问题之间的化归；（4）代数问题与几何问题之间的化归。
一、代数问题之间的化归：
典型例题：例1. （2012江苏宿迁8分）求代数式的值，其中a = 1，b =.
【答案】解：原式=，
当a = 1，b =时，原式=2。
【考点】代数式求值，完全平方公式和平方差公式。
【分析】应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，最后代入求值。
【点评】先化简后求值体现了由复杂——简单的化归。
例2. （2012四川凉山4分）已知，则的值是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】比例的性质。
【分析】∵，∴设出b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入，得，
。故选D。
【点评】应用待定系数法求值体现了由复杂——简单的化归。
例3. （2012广西柳州3分）你认为方程x2＋2x－3=0的解应该是【 】
A．1 　　　　　　B．-3 　　　　　　C．3 　　　　　　D．1或-3
【答案】D。
【考点】因式分解法解一元二次方程。
【分析】利用因式分解法，原方程可变为（x+3）（x-1）=0，即可得x+3=0或x-1=0，解得：x1=-3，x2=1。
故选D。
【点评】应用因式分解法解一元二次方程体现了由高维——低维的化归。
例4. （2012福建宁德4分）二元一次方程组的解是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】解二元一次方程组。
【分析】。故选D。
【点评】应用加减消元法（代入消元法）解二元一次方程组体现了由多元——一元的化归。
例5. （2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
【点评】应用一元二次方程定义和根的判别式，二次根式的概念将求k的取值范围的问题转化为求不等式组的解体现了由抽象——具体的化归。
例6. （2012湖北荆州3分）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为【 】
A． 3 B． 9 C． 12 D． 27
【答案】D。
【考点】相反数，非负数的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质。
【分析】∵与|x﹣y﹣3|互为相反数，∴+|x﹣y﹣3|=0，
∴，解得。∴x+y=12+15=27。故选D。
【点评】应用二次根式和绝对值的非负数性质将求x+y的问题转化为求不等式组的解体现了由抽象——具体的化归。
练习题：
1. （2012河北省3分）已知y=x－1，则（x－y）2＋（y－x）＋1的值为 ▲ 。
2. （2012北京市5分）已知，求代数式的值。
3. （2012贵州铜仁4分）一元二次方程的解是 ▲ ．
4. （2012福建漳州4分）二元一次方程组的解是【 】
A． B． C． D．
5. （2012湖南常德3分）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】
A. B. C. D.
6. （2012四川攀枝花3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】
　 A． 20或16 B． 20 C．16 D．以上答案均不对
7. （2012广西河池6分）解分式方程　.
二、代数问题与函数问题之间的化归：
典型例题：例1. （2012浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
。故在数轴上表示为：。故选D。
【点评】根据二次根式有意义的条件，把函数自变量的取值范围问题转化为不等式求解体现了由抽象——具体的化归。
例2. （2012山西省2分）如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A．B，则m的取值范围是【 】
　 A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0
【答案】B。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，∵函数图象经过二、三、四象限，∴m﹣1＜0，解得m＜1。故选B。
【点评】根据一次函数图象与系数的关系，把m的取值范围问题转化为不等式求解体现了由抽象——具体的化归。
例3. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数与图象交于点M，则点M的坐标为【 】
A．（－1，4） B．（－1，2） C．（2，－1） D．（2，1）
【答案】D。
【考点】两条直线的交点问题，解二元一次方程组
【分析】联立 ，解得 。∴点M的坐标为（2，1）。故选D。
【点评】根据直线上点的坐标与方程的关系，把求点M的坐标问题转化为二元一次方程组求解体现了由抽象——具体的化归。
例4. （2012浙江台州4分）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是【 】
　 A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【答案】D。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。
【分析】由点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，得y1=－6，y2=3，y3=2。根据有理数的大小关系，－6＜2＜3，从而y1＜y3＜y2。故选D。
【点评】根据曲线上点的坐标与方程的关系，把求坐标值的大小问题转化为有理数的大小比较求解体现了由未知——已知的化归。
例5. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
　　A．（﹣3，0）　　B．（﹣2，0）　　C．x=﹣3　　D．x=﹣2
【答案】A。
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故选A。
【点评】根据曲线上点的坐标与方程的关系，把求抛物线与x轴的交点坐标问题转化为解方程问题求解体现了由抽象——具体的化归。
例6. （2012四川内江3分）函数的图像在【 】
A第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
【答案】A。
【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。
【分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。
【点评】根据二次根式和分式有意义的条件，把函数图象所在象限问题转化求函数的定义域和值域问题求解体现了由抽象——具体的化归。
练习题：
1. （2012湖北荆门3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】
A． B． C． D．
2. （2012江苏苏州3分）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【 】
A.2 B.-2 C.1 D. -1
3. （2012江西南昌3分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过【 】
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4. （2012江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是【 】
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．m＜－
5. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
6. （2012山东滨州3分）抛物线 与坐标轴的交点个数是【 】
　　A．3　　B． 2　　C．1　　D．0
三、几何问题之间的化归：
典型例题：例1. （2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM
等于【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。
【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。
由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。
∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。
【点评】经过等量代换，把未知角化为已知角的和求解体现了由未知——已知的化归。
例2. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】
　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。
∴DE=HE，DC=AH。
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。
【点评】作辅助线：连接DE并延长交AB于H，把EF变换成△DHB的中位线，使问题易于解决体现了由未知——已知、综合——单一的化归。
例3. （2012重庆市6分）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC。
在△EAD和△BAC中，∠B=∠E，AB=AE，∠BAC =∠EAD，
∴△ABC≌△AED（ASA）。∴BC=ED。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再由条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED。
【点评】经过等量代换，把∠1=∠2变换∠EAD=∠BAC，结合已知的∠B=∠E，AB=AE，构成两三角形全等，使问题得到解决体现了由困难——容易的化归。
例4. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】
A．2 B．3 C． D．
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC（SAS）。∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。故选A。
【点评】作辅助线：延长BC至F点，使得CF=BD，构成全等三角形，使问题易于解决体现了由综合——单一的化归。
例5. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.
【答案】4。
【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。
【分析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2，,这时三角形△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF=EC=FC,
∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。
∴AC2=2AF2=48 AC=4。
【点评】作旋转变换，构成等腰直角三角形，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例6. （2012广西南宁3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是【 】
A．2cm＜OA＜5cm 　　B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm 　　D．3cm＜OA＜8cm
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质，三角形三边关系。
【分析】∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∴OA=OC=AC（平行四边形对角线互相平分），
BC－AB＜AC＜BC＋AB（三角形三边关系），即2cm＜AC＜8cm。
∴1cm＜OA＜4cm。
故选C。
【点评】将已知条件转换到一个三角形内，应用三角形三边关系，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例7. （2012江苏徐州2分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。是以点A为圆心、AB长为半径的弧，是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为 ▲ cm2。
【答案】。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，连接BD。
∵菱形ABCD中∠A=600，
∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。
∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。
∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。
由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600=。
∴△BCD的面积等于（cm2），即阴影部分的面积等于cm2。
【点评】作辅助线：连接BD，进行等面积代换，将求阴影部分的面积变为求△BCD的面积，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例8. （2012海南省3分）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则的值是【 】
A．1 B． C． D．
【答案】A。
【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】如图，连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1。设网格的边长为a。
则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。
根据勾股定理，得AB=BP1=。
根据正切函数定义，得。
根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴。故选A。
【点评】作辅助线：连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1，应用圆周角定理将转换为直角三角形内的角，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
例9. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）8．
例10. （2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
，解这个方程组，得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。
∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，，
因此OM+AM最小值为。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。
（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。
对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：
O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，
即OM+AM为最小值。
【点评】作轴对称变换，根据三角形两边之和大于第三边的性质，使问题易于解决体现了由复杂——简单的化归。
练习题：
1. （2012重庆市4分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为【 】
　　A．60°　　B．50°　　C．40°　　D．30°
2. （2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
3. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：∠DBC=∠DCB。
4. （2012贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】
　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9
5. （2012四川绵阳4分）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 ▲ （结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）。
6. （2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】
A.40° B.50° C.60° D.70°
7. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为【 】
A. B. C. D.
8. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．
9. （2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．
10. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
　　▲　　。
四、代数问题与几何问题之间的化归：
典型例题：例1. 例5. （2012广东广州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】A。
【考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示。
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：。
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
则由S△ABC=AC BC=AB CD，得。
∴点C到AB的距离是。故选A。
【点评】应用勾股定理和三角形面积公式，将几何问题转换为代数计算问题使问题易于解决体现了由综合——单一的化归。
例2. （2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
【答案】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。
又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=。
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，
∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。
∴ 。
【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。
【点评】应用三角形面积公式，将几何问题转换为代数计算问题使问题易于解决体现了由综合——单一的化归。
例3. （2012浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程 ，
解方程得x1= ，x2= ，
∴点B将向外移动 米。
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题。
例4. （2012四川广元3分） 若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则
第四个顶点不可能在【 】
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C。
【考点】平行四边形的判定，坐标与图形性质。
【分析】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，
此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限。
则第四个顶点不可能落在第三象限。故选C。
【点评】作出图形，使问题易于解决体现了由抽象——具体的化归。
例5. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】
A． B． C．3 D．4
【答案】A。
【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。
∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2。
由勾股定理得：DE=。
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。
∴，即，解得：。
∴BF+CM=。故选A。
【点评】作出辅助线，构成相似，将几何问题转换为代数问题使问题易于解决体现了由抽象——具体的化归。
练习题：
1. （2012贵州毕节3分）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是【 】
A.2 SKIPIF 1 < 0 B.2 C.4 SKIPIF 1 < 0 D.4
2. （2012新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2π，则S3是　 ▲ 　．
3. （2012浙江嘉兴、舟山4分）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于【 】
　 A． 40° B． 60° C． 80° D． 90°
4. （2012广东佛山3分）如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ▲【2013年中考攻略】专题1：客观性试题解法探讨
客观性试题――选择题的题型构思精巧，形式灵活，知识容量大，覆盖面广，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，还能考查学生的思维敏捷性，是中考中广泛采用的一种题型。在全国各地中考数学试卷中，选择题约占总分的20％—30％，因此掌握选择题的解法，快速、准确地解答好选择题是夺取高分的关键之一。
选择题由题干和选项两部分组成，题干可以是由一个问句或一个半陈述句构成，选项中有四个答案，至少有一个正确的答案，这个正确的答案可叫优支，而不正确的答案可叫干扰支或惑支。目前在中考数学试卷中，如果没有特别说明，都是“四选一”的选择题，即单项选择题。
选择题要求解题者从若干个选项中选出正确答案，并按题目的要求，把正确答案的字母代号填入指定位置。笔者将选择题的解法归纳为应用概念法、由因导果法、执果索因法、代入检验法、特殊元素法、筛选排除法、图象解析法、待定系数法、分类讨论法、探索规律法十种，下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨这十种方法。
一、应用概念法：应用概念法是解选择题的一种常用方法，也是一种基本方法。根据选择题的题设条件，通过应用定义、公理、定理等概念直接得出正确的结论。使用应用概念法解题，要求学生熟记相关定义、公理、定理等基本概念，准确应用。
典型例题：
例1：（2012湖北随州4分）－2012的相反数是【 】
A. B. C.－2012 D.2012
【答案】D。
【考点】相反数。
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－2012的相反数是2012。故选D。
例2：（2012上海市4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是【 】
　 A． xy2 B． x3+y3 C． x3y D． 3xy
【答案】A。
【考点】单项式的次数。
【分析】根据单项式的次数定义可知：A、xy2的次数为3，符合题意；B、x3+y3不是单项式，不符合题意；C、x3y的次数为4，不符合题意；D、3xy的次数为2，不符合题意。故选A。
例3：（2012江苏盐城3分）4的平方根是【 】
A．2 B．16 C． D．
【答案】C。
【考点】平方根。
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根：
∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2。故选C。
例4：（2012湖南怀化3分）在平面直角坐标系中，点所在象限是【 】
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
【答案】B。
【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征。
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。故点位于第二象限。故选B。
例5：（2012四川成都3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(，5)关于y轴的对称点的坐标为【 】
A．( ，) B．(3，5) C．(3．) D．(5，)
【答案】B。
【考点】关于y轴对称的点的坐标特征。
【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P(－3，5)关于y轴对称的点的坐标是(3，5)。故选B。
例6：（2012山东德州3分）不一定在三角形内部的线段是【 】
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线
【答案】C。
【考点】三角形的角平分线、中线、高和中位线。
【分析】因为在三角形中，它的中线、角平分线和中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部。故选C。
例7：（2012江苏无锡3分）sin45°的值等于【 】
　 A． B． C． D． 1
【答案】B。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45°=。故选B。
例8：（2012浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【 】
　 A． 50° B．60° C．65° D．70°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC=∠AOC=65°。故选C。
例9；（2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】
【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。故选B。
例10：（2012江苏苏州3分）一组数据2，4，5，5，6的众数是【 】
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C。
【考点】众数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是5，故这组数据的众数为5。故选C。
练习题：
1.（2012湖北孝感3分）－5的绝对值是【 】
A．5 B．－5 C． D．－
2. （2012山东临沂3分）的倒数是【 】
　　A．6　　B．﹣6　　C．　　D．
3. （2012山东泰安3分）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为【 】
A．千克　　B．千克　　C．千克　　D．千克
4.（2012广西柳州3分）如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有【 】
A．P1、P2、P3 　　　　B．P1、P2 C．P1、P3 　　　　D．P1
5. （2012四川绵阳3分）点M（1，－2）关于原点对称的点的坐标是【 】。
A．（－1，－2） B．（1，2） C．（－1，2） D．（－2，1）
6.（2012辽宁沈阳3分）在平面直角坐标系中，点P （－1，2 ） 关于x轴的对称点的坐标为【 】
A.（－1，－2 ） B.（1，－2 ） C.（2，－1 ） D.（－2，1 ）
7. （2012广西桂林3分）如图，与∠1是内错角的是【 】
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
8. （2012黑龙江大庆3分）等于【 】　
A. B． C. D.
9. （2012云南省3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD=600，则∠BCD的度数为【 】
A. B. C. D.
10. （2012广东佛山3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】
二、由因导果法：由因导果法，又称综合法，直接推演法，是解选择题的一种常用方法，也是一种基本方法。它的解题方法是根据选择题的题设条件，通过应用定义、公理、公式、定理等经过计算、推理或判断，得出正确的结论，再从四个选项中选出与已得结论一致的正确答案。由因导果法解题自然，不受选项的影响，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案。
典型例题：
例1：（2012浙江杭州3分）计算（2﹣3）+（﹣1）的结果是【 】
　　A．﹣2　　B．0　　C．1　　D．2
【答案】A。
【考点】有理数的加减混合运算。
【分析】根据有理数的加减混合运算的法则进行计算即可得解：
（2﹣3）+（﹣1）=﹣1+（﹣1）=﹣2。故选A。
例2：（2012广东珠海3分）计算﹣2a2+a2的结果为【 】
A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2
【答案】D。
【考点】合并同类项。
【分析】根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案：﹣2a2+a2=﹣a2。。故选D。
例3：（2012江苏无锡3分）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是【 】
　 A． （x﹣1）（x﹣2） B． x2 C． （x+1）2 D． （x﹣2）2
【答案】D。
【考点】运用公式法因式分解。
【分析】把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可：
（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。故选D。
例4：（2012广东佛山3分）用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是【 】　　　　
A．（x－1）2=2 B．（x－1）2=4 C．（x－1）2=1 D．（x－1）2=7
【答案】B。
【考点】用配方法解一元二次方程。
【分析】由x2－2x－3=0移项得：x2－2x=3，两边都加上1得：x2－2x＋1=3＋1，即（x－1）2=4。
则用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是（x－1）2=4。故选B。
例5：（2012山西省2分）如图，一次函数y=（m﹣1）x﹣3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A．B，则m的取值范围是【 】
　 A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0
【答案】B。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，∵函数图象经过二、三、四象限，∴m﹣1＜0，解得m＜1。故选B。
例6：（2012北京市4分） 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是【 】
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【答案】A。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是180，故这组数据的众数为180。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180，180，180，180，180，180，200，200，∴中位数是第10和11个平均数，它们都是160，故这组数据的中位数为160。
故选A。
例7：（2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM
等于【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。
【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。
由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。
∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。
例8：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】
A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【答案】 C。
【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接OD，则。
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3。
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。
又∵，∴∠DOC=60°。
∴（米2）。故选C。
例9：（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】
　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
【分析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。
故选A。
例10：（2012浙江义乌3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为【 】
　　A．6　　B．8　　C．10　　D．12
【答案】C。
【考点】平移的性质。
【分析】根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选C。
练习题：
1. （2012山东聊城3分）计算|﹣|﹣的结果是【 】
　　A．﹣　　B．　　C．﹣1　　D．1
2. （2012江苏南京2分）计算的结果是【 】
A. B. C. D.
3. （2012浙江温州4分）把多项式a －4a分解因式，结果正确的是【 】
A.a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 ) －4
4. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
5. （2012浙江台州4分）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是【 】
　 A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
6. （2012海南省3分）要从小强、小红和小华三人跟随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是【 】
A． B． C． D．
7. （2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】方程的解，因式分解法解一元二次方程。
【分析】将0，－3，3分别代入方程，使等式成立的是0，3。根据方程解的定义知方程的解为。故选D。
例3：（2012浙江义乌3分）在x=﹣4，﹣1，0，3中，满足不等式组的x值是【 】
　　A．﹣4和0　　B．﹣4和﹣1　　C．0和3　　D．﹣1和0
【答案】D。
【考点】解一元一次不等式组，不等式的解集。
【分析】解出不等式组，再检验所给四个数是否在不等式的解集的解集即可：
由2（x＋1）＞－2得x＞﹣2。∴此不等式组的解集为：﹣2＜x＜2。
x=﹣4，﹣1，0，3中只有﹣1，0在﹣2＜x＜2内。故选D。
例4：（2012山东菏泽3分）在算式的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是【 】
　　A．加号　　B．减号　　C．乘号　　D．除号
【答案】D。
【考点】实数的运算，实数大小比较。
【分析】分别填上运算符号计算后比较大小：
当填入加号时：，当填入减号时：；
当填入乘号时：；当填入除号时：。
∵，∴这个运算符号是除号。故选D。
例5：（2012福建厦门3分）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示.
x －1 0 1
y －1 1 3
则y 与x之间的函数关系式可能是【 】
A．y＝x B．y＝2x＋1 C．y＝x2＋x＋1 D．y＝
【答案】B。
【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：
A．根据表格对应数据代入不能全得出y=x，故此选项错误；
B．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确；
C．根据表格对应数据代入不能全得出y＝x2＋x＋1，故此选项错误；
D．根据表格对应数据代入不能全得出y＝ ，故此选项错误。
故选B。
例6：（2012四川巴中3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件
是【 】
A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=AC D. ∠B=45°
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。
而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。故选A。
例7：（2012山东聊城3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是【 】
　　A．DF=BE　　B．AF=CE　　C．CF=AE　　D．CF∥AE
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可：
A、当DF=BE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
B、当AF=CE时，由平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
C、当CF=AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；
D、当CF∥AE时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE。
故选C。
例8：（2012海南省3分）如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是【 】
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
【答案】C。
【考点】相似三角形的判定。
【分析】由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；由，加上∠A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB与△ABC相似。故选C。
例9：（2012北京市4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点
B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t
（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个
固定位置可能是图1中的【 】
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】分别在点M、N、P、Q的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案：
A、在点M位置，则从A至B这段时间内，弧上每一点与点M的距离相等，即y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
B、在点N位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，且最大，与函数图象不符，故本选项错误；
C、在点P位置，则PC最短，与函数图象不符，故本选项错误；
D、在点Q位置，如图所示，①以Q为圆心，QA为半径画圆交于点E，其中y最大的点是AE的中垂线与弧的交点H；②在弧上，从点E到点C上，y逐渐减小；③QB=QC，即，且BC的中垂线QN与BC的交点F是y的最小值点。经判断点Q符合函数图象，故本选项正确。
故选D。
练习题：
1. （2011湖南邵阳3分）如果□×3b＝32b，则□内应填的代数式是【 】
A．b B．3b C． D．3
2.（2012广西桂林3分）二元一次方程组的解是【 】
A． B． C． D．
3. （2012福建莆田4分）方程的两根分别为【 】
A．＝－1，＝2 B．＝1，＝2 C．＝―l，＝－2 D．＝1，＝－2
4. （2012福建三明4分）分式方程的解是【 】
A．x=2 B．x=1 C．x= D．x=－2
5. （2012福建泉州3分）若的函数值随着x的增大而增大，则的值可能是下列的【 】.
A . B. C.0 D.3
6. （2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】
　 A． B． C． D．
7. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是【 】
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
8. （2012湖北黄石3分）有一根长的金属棒，欲将其截成根长的小段和根长的小
段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数，应分别为【 】
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.（2012山东威海3分）如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是【 】
A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC是∠EAF的平分线
五、特殊元素法：特殊元素法的解题方法是在有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解决这类解答题，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定答案。
典型例题：
例1：（2012四川宜宾3分）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为【 】
　 A． （x﹣3）2+11 B． （x+3）2﹣7 C． （x+3）2﹣11 D． （x+2）2+4
【答案】B。
【考点】配方法的应用。
【分析】除用配方法求解外，可取值x=0，分别代入：
x2+6x+2=2；（x﹣3）2+11=20；（x+3）2﹣7=2；（x+3）2﹣11=﹣2；（x+2）2+4=8。
∴x2+6x+2=（x+3）2﹣7。故选B。
例2：（2012山东青岛3分）点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数的图象上，且
x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是【 】
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】A。
【考点】反比例函数的图象和性质。
【分析】取满足x1＜x2＜0＜x3的x1=－3，x2=－1，x3=1，则y1=1，y2=3，y3=－3。
∵-3＜1＜3，∴y2＜y1＜y3。故选A。
例3：（2011黑龙江龙东五市3分）当1＜a＜2时，代数式︱a－2︱+︱1－a︱的值是【 】
A、－1 B、1 C、3 D、－3
【答案】B。
【考点】代数式求值，绝对值。
【分析】根据a的取值范围，取a=1.5，则︱a－2︱+︱1－a︱=︱1.5－2︱+︱1－1.5︱=0.5+0.5=1。故选B。
例4：（2011四川泸州2分）设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是【 】
A、－2a＋b B、2a＋b C、－b D、b
【答案】D。
【考点】实数与数轴，二次根式的性质，绝对值。
【分析】根据数轴上a，b的值取a=－1，b=3，
∴；－2a＋b=5；2a＋b=1；－b=－3。故选D。
例5：（2011山东淄博3分）由方程组，可得出与的关系式是【 】
A．+=9 B．+=3
C．+=－3 D．+=－9
【答案】A。
【考点】方程组的解。
【分析】取m=0，则，∴+=9。故选A。
练习题：
1. （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】
　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　C．y2＞y3＞y1　　D．y2＜y3＜y1
2. （2011山东菏泽3分）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为【 】
A、7 B、﹣7 C、2a﹣15 D、无法确定
3. （2011黑龙江大庆3分）若＋＞0，且＜0，则、、―、―的大小关系为【 】
A．―＜―＜＜ B．―＜＜＜―
C．―＜＜―＜ D．＜―＜―＜
4. (2011江苏无锡3分) 若＞，则【 】
A．＞－ B．＜― C．－2＞－2 D．―2＜―2
5. （2011山东淄博3分）若＞，则下列不等式成立的是【 】
A．－3＜－3 B．－2＞－2 C． D．＞－1
六、筛选排除法：筛选排除法是解选择题的一种常用方法，它的解题方法是根据题设条件，结合选项，通过观察、比较、猜想推理和计算，进行排查，从四个选项中把不正确的答案一一淘汰，最后得出正确答案的方法。筛选排除法可通过观察、比较、分析和判断，进行简单的推理和计算选出正确的答案，特别对用由因导果法解之较困难而答案又模棱两可者更有用。
典型例题：
例1：（2012山西省2分）下列运算正确的是【 】
　 A． B． C． a2a4=a8 D． （﹣a3）2=a6
【答案】D。
【考点】算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方。
【分析】根据算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的概念应用排它法作出判断：
A．=2，故本选项错误；B．2+不能合并，故本选项错误；
C．a2a4=a6，故本选项错误；D．（﹣a3）2=a6，故本选项正确。故选D。
例2：（2012安徽省4分）下面的多项式中，能因式分解的是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】因式分解的条件。
【分析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止。因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解：
A、不能分解因式，故本选项错误；
B、不能分解因式，故本选项错误；
C、不能分解因式，故本选项错误；
D、是完全平方式，故本选项正确。
故选D。
例3： （2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例4：（2012重庆市4分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是【 】
A．调查市场上老酸奶的质量情况　　 B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命　　
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品　　D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率
【答案】C。
【考点】调查方法的选择。
【分析】A、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；
B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；
C、事关重大的调查往往选用普查；
D、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查。
故选C。
例5：（2012天津市3分）某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是【 】
（A）汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h
（B）乡村公路总长为90km
（C）汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
（D）该记者在出发后4.5h到达采访地
【答案】C。
【考点】函数的图象的分析。
【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案：
A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2=90（km/h），故本选项错误；
B、乡村公路总长为360－180=180（km），故本选项错误；
C、汽车在乡村公路上的行驶速度为180÷3=60（km/h），故本选项正确；
D、该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误。
故选C。
例6：（2012安徽省4分）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】判断立体图形的三视图。
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。因此，根据这几个常见几何题的视图可知：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个相连的矩形。故选C。
例7：（2012山东淄博4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【 】
(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
(B)两个角是β，它们的夹边为4
(C)三条边长分别是4，5，5
(D)两条边长是5，一个角是β
【答案】D。
【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。
【分析】(A)由SAS知两三角形全等：(B)由ASA知两三角形全等：(C) 由SSS知两三角形全等：(D) 当顶角为β时，两三角形不一定全等。故选D。
例8：（2012四川巴中3分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【 】
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等
C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等
【答案】B。
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四
边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边
形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判
定是平行四边形。故选B。
例9：（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】
　A． B．
C． D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。
当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。
当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。
当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。
当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。
练习题：
1，（2012宁夏区3分）下列运算正确的是【 】
A． B． C． D．
2. （2012青海西宁3分）下列分解因式正确的是【 】
A．3x2－6x＝x(3x－6) B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a)
C．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y) D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)2
3. （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
　　A．x2+2x﹣4=0　　B．x2﹣4x+4=0　　C．x2+4x+10=0　　D．x2+4x﹣5=0
4. （2012广东肇庆3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是【 】
A．扇形甲的圆心角是72°
B．学生的总人数是900人
C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人
D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人
5. （2012湖北武汉3分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点
的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系
如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是【 】
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
6. （2012浙江义乌3分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
7. （2012广西来宾3分）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】
A．② B．①② C．①③ D．②③
8. （2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60 ，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF
相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】
①∠BGD＝120 ；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. （2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是【 】
　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
七、图象解析法：图象解析法的解题方法解选择题的一种常用方法，它是根据数形结合的原理,先画出示意图,再观察图象的特征作出选择的方法。
典型例题：
例1：（2012重庆市4分）在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是【 】
　　A．﹣3　　B．﹣1　　C．0　　D．2
【答案】A。
【考点】有理数大小比较。
【分析】画数轴，这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3。故选A。
例2：（2012青海西宁3分）如图，将矩形沿图中虚线(其中x＞y)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一
个正方形．若y＝2，则x的值等于【 】
A．3 B．2－1 C．1＋ D．1＋
【答案】C。
【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。
【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，
根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。
∵y=2，∴2（x+2）=x2，整理得，x2－2x－4=0，解得x1=1＋，x2=1－（舍去）。故选C。
例3：（2012江苏南通3分）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，
则点M的对应的点M1的坐标为【 】
A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
【答案】D。
【考点】平面坐标系与坐标，关于y轴对称的点的坐标特征。
【分析】作出线段M1N1与MN关于y轴对称的图形，关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点M(－4，－2)关于y轴对称的点M1的坐标是(4，－2)。故选D。
例4：（2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】 B。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由二次函数知，
它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。
根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。
由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，。故选B。
例5：（2012浙江嘉兴、舟山4分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】列表法或树状图法，概率。
【分析】画树状图得：
∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，
其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个，
∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是：。故选C。
例6：（2012山东德州3分）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】几何体的展开。
【分析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：
A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；
C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；
D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误。
故选B。
例7：（2012江苏泰州3分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既
是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。
【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：
①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，
连接BD，则
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD（等量减等量，差相等）。
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）。
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）。因此命题①正确。
②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。
③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
连接AC，BD。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=AC，HG=AC，EF=BD，FG=BD（三角形中位线定理）。
又∵矩形ABCD，∴AC=BD（矩形的对角线相等）。
∴EF=HG=EF=FG（等量代换）。
∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）。因此命题③正确。
④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命题④错误。
综上所述，正确的命题即真命题有①③。故选B。
例8：（2012四川广元3分）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两
个拐弯的角度可能为【 】
A. 先向左转130°，再向左转50° B. 先向左转50°，再向右转50°
C. 先向左转50°，再向右转40° D. 先向左转50°，再向左转40°
【答案】B。
【考点】平行线的性质。
【分析】根据题意画出图形，然后利用同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行，即可判定：如图：
A、∵∠1=130°，∴∠3=50°=∠2。∴a∥b，且方向相反；
B、∵∠1=∠2=50°，∴a∥b；
C、∵∠1=50°，∠2=40°，∴∠1≠∠2，∴a不平行于b；
D、∵∠2=40°，∴∠3=140°≠∠1，∴a不平行于b。
故选B。
例9：（2012山东烟台3分）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【 】
　　A．h2=2h1　　B．h2=1.5h1　　C．h2=h1　　D．h2=h1
【答案】C。
【考点】三角形中位线定理。
【分析】直接根据三角形中位线定理进行解答即可：
如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，
∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线。∴h1=2OC。
同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2=2OC。
∴h1=h2。故选C。
练习题：
1. （2012浙江衢州3分）下列四个数中，最小的数是【 】
　　A．2　　B．﹣2　　C．0　　D．﹣
2. （2012湖北孝感3分）如图，△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点A的坐标是(－2，3)，
先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点
A2的坐标是【 】
A．(－3，2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)
3. （2012四川巴中3分） 对于二次函数，下列说法正确的是【 】
A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小
C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1
4. （2012浙江义乌3分）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两
种语言的概率是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
5. （2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【 】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)
C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)
6. （2012江西南昌3分）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是【 】
　 A． 南偏西60° B． 南偏西30° C． 北偏东60° D． 北偏东30°
7. （2012广东广州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
8. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。
2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。
对于甲、乙两人的作法，可判断【 】
　 A． 甲、乙均正确 B． 甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
9. （2012湖南张家界3分）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【 】
　 A． 正方形 B． 矩形 C． 菱形 D． 等腰梯形
10. （2012四川宜宾3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【 】
　 A． B． C． D．
八、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数。对于待定系数法方法的使用，笔者将另文详细解析。
典型例题：
例1：（2012湖南永州3分）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在【 】
A．朝阳岩 B．柳子庙 C．迥龙塔 D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置
【答案】B。
【考点】数轴。144
【分析】设朝阳岩距离柳子庙的路程为a，柳子庙距离迥龙塔的路程为b（由图知b＞a），则朝阳岩距离柳子庙的路程为a＋b，然后对四个答案进行比较即可：
A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为a＋a＋b=2a＋b；
B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为a＋b；
C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为b＋a＋b=a＋2b；
D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程为
。
故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短。故选B。　
例2：（2012四川凉山4分）已知，则的值是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】比例的性质。
【分析】∵，∴设出b=5k，得出a=13k，把a，b的值代入，得，
。故选D。
例3：（2012湖北荆州3分）如图，点A是反比例函数（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数的图象于点B，以AB为边作 ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为【 】
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】D。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。
【分析】设A的纵坐标是a，则B的纵坐标也是a．
把y=a代入得，，则，即A的横坐标是；同理可得：B的横坐标是：。
∴AB=。∴S□ABCD=×a=5。故选D。
例4：（2012山东聊城3分）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是【 】
　　A．1+　　B．2+　　C．2﹣1　　D．2+1
【答案】D。
【考点】实数与数轴，一元一次方程的应用。
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得。故选D。
例5：（2012湖北恩施3分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【 】
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【答案】B。
【考点】一元一次不等式的应用。
【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式：
[0.9a（1+x）b－ab]÷ab·100%≥20%，解得x≥。
∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%。
故选B。
例6：（2012江西南昌3分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过【 】
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
【答案】C。
【考点】待定系数法求一次函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数的性质。
【分析】将（2，﹣1）、（﹣3，4）代入一次函数y=kx+b中得，
，解得，。
∴一次函数解析式为y=﹣x+1。
对于一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
故选C。
练习题：
1. （2012甘肃白银3分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是【 】
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
2. （2012青海省3分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是【 】
A．元 B．元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元
3. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】
A．29人 B．30人 C．31人 D．32人
4. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）为庆祝“六·一”国际儿童节，龙沙区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有【 】
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5. （2012黑龙江龙东地区3分）某校团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派20名学生
分三组到120个店铺发传单，若第一、二、三小组每人分别负责8、6、5个店铺，且每组至少有两人，则
学生分组方案有【 】
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D.　3种
6.（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】
　 A． B． C． D．
8. （2012湖南长沙3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【 】
A． B． C． D．
九、分类讨论法：在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论。对于分类讨论法方法的使用，笔者将另文详细解析。
典型例题：
例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
例2：（2012重庆市4分）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是【 】
A．　B．　C．　　D．
【答案】B。
【考点】函数的图象。
【分析】根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段：
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0。
纵观各选项，只有B选项的图象符合。故选B。
例3：（2012福建福州4分）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B
两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是【 】
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。
【分析】∵ 点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，
∴ 当x＝1时，y＝－1＋6＝5；当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4。
∴ 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)。
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小。
设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，
则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9。
∵ 1≤x≤4，∴ 当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)。
因此，k的取值范围是2≤k≤9。故选A。
例4：（2012湖南衡阳3分）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】列表法或树状图法，概率。
【分析】根据题意列表或画树状图，然后根据图表求得所有等可能的情况与所得点数之和为11的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案：
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，所得点数之和为11的有2种情况，
∴所得点数之和为11的概率为：。故选A。　
例5：（2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】
A.10 B. C. 10或 D.10或
【答案】C。
【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理
【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：
①如左图：
∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=10 。
②如右图：
∵，点E是斜边AB的中点，∴AB=2CE=。
因此，原直角三角形纸片的斜边长是10或。故选C。
例6：（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】
A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。
例7：（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，
作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】
A．11＋ B．11－
C．11＋或11－ D．11－或1＋
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。
【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。
如图1，由AB＝5，BE=x，得。
由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得，
解得（负数舍去）。
由BC＝6，DF=y，得。
由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得，
解得（负数舍去）。
∴CE＋CF=（6－）＋（5－）=11－。
如图2，同理可得BE= ，DF=。
∴CE＋CF=（6＋）＋（5＋）=11＋。
故选C。
例8：（2012湖北襄阳3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【 】
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
【答案】D。
【考点】圆周角定理。1028458
【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数：
如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°。
∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。
∴∠ABC的度数是：80°或100°。故选D。　
例9：（2012四川南充3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【 】
（A）3　　（B）1　　（C）1，3　（D）±1，±3
【答案】D。
【考点】两圆的位置关系，平移的性质。
【分析】⊙P与⊙O相切时，有内切和外切两种情况：
∵⊙O 的圆心在原点，当⊙P与⊙O外切时，圆心距为1+2=3，
当⊙P与⊙O第内切时，圆心距为2-1=1，
当⊙P与⊙O第一次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的正半轴上，
∴⊙P（3,0）或（1,0）。∴a=3或1。
当⊙P与⊙O第二次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的负半轴上，
∴⊙P（-3,0）或（-1,0）。∴a =-3或-1 。故选D。
例10：（2012甘肃兰州4分）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为【 】
A． B．1 C．或1 D．或1或
【答案】D。
【考点】动点问题，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理。
【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°，分别讨论如下：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
Rt△ABC中，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4cm。
①当∠BFE＝90°时；
Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则BE＝2BF＝2cm。
∴此时AE＝AB－BE＝2cm。
∵E点沿着A→B→A方向运动，∴E点运动的距离为：2cm或6cm。
∵点E以2cm/s的速度运动，∴t＝1s或3s。
∵0≤t＜3，∴t＝3s不合题意，舍去。
∴当∠BFE＝90°时，t＝1s。
②当∠BEF＝90°时，
同①可求得BE＝cm，此时AE＝AB－BE＝cm。
∵E点沿着A→B→A方向运动，∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm。
∵点E以2cm/s的速度运动，∴t＝s或s（二者均在0≤t＜3内）。
综上所述，当t的值为1、或s时，△BEF是直角三角形。故选D。
练习题：
1. （2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【 】
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2
2. （2012湖南长沙3分）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是【 】
A． B． C． D．
3. （2012福建三明4分）在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为【 】
A． B． C． D．
4. （2012湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5. （2012宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】
A．13 B．17 C．22 D．17或22
6. （2012四川广安3分）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为【 】
A．45° B．75° C．45°或75° D．60°
7. （2012山东东营3分） 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面
积的，那么点B′的坐标是【 】
A．（－2，3） B．（2，－3） C．（3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3）
8. （2012江苏无锡3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】
　 A． 相切 B． 相离 C． 相离或相切 D． 相切或相交
9. （2012广西柳州3分）定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移动，当两圆相
切时，OP的值是【 】
A．2cm或6cm　　　　　　 B．2cm 　　　　　　C．4cm 　　　　　　D．6cm
10. （2012四川广元3分） 一组数据2，3，6，8，x的众数是x，其中x又是不等式组的整数
解，则这组数据的中位数可能是【 】
A. 3 B. 4 C. 6 D. 3或6
十、探索规律法：分类归纳法的解题方法是直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果。当遇到寻找规律的命题时，常用此法。对于寻找规律的命题，笔者将另文详细解析。
典型例题：
例1：（2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【 】
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】C。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：
∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m(m－1)＋1，共有m个奇数。
∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m＝45。故选C。
例2：（2012四川自贡3分）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为【 】
　A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。
【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=。
同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（）2处，
同理跳动n次后，即跳到了离原点的处。故选D。
例3：（2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】．
A．32 B．126 C．135 D．144
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。
∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。
∴最大数为24，最小数为8。
∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。
例4：（2012重庆市4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为【 】
　　A．50　　B．64　　C．68　　D．72
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，
第①个图形一共有2＝2×1个五角星，
第②个图形一共有8＝2×（1+3）＝2×22个五角星，
第③个图形一共有18＝2×（1+3+5）＝2×32个五角星，
…，
则第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72。故选D。
例5：（2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是【 】
A． B．C．D．
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。
【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
由，解得，∴n=14。
当n=14时，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树。
∴从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。
故选B。
例6：（2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】
　 A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=。
∴当n=14时，AP6=。故选A。
例7：（2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。
【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。
根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。
∴AG=AH=。
又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等边三角形。
∴GH=AG=AH=。EF= GH－GE－FH=。
∴第2个等边三角形的边长为。
同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。
又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的，
∴第6个正六边形的边长是。故选A。
例8：（2012湖北荆门3分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有【 】
A． 8048个 B． 4024个 C． 2012个 D． 1066个
【答案】B。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律：
第1个图形，有4个直角三角形，第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，
所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024。故选B。
例9：（2012湖南常德3分）若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段作类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为【 】
A. 2 B. C. D.
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。
【分析】寻找规律，从两方面考虑：
（1）每个图形中每一条短线段的长：图2中每一条短线段的长为，图3中每一条短线段的长为，图4中每一条短线段的长为。
（2）每个图形中短线段的根数：图2中有4根，图3中有16根，图4中有64根。
∴图4中的折线的总长度为。故选D。
例10：（2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】
　　A．54　　B．110　　C．19　　D．109
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：
第①个图形中有1个平行四边形；
第②个图形中有1+4=5个平行四边形；
第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；
第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；
…
第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；
则第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形。故选D。
练习题：
1. （2012江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：,,,
,…,依次类推，则的值为【 】
A． B． C． D．
2. （2012山东滨州3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为【 】
　　A．52012﹣1　　B．52013﹣1　　C．　　D．
3. （2012广西南宁3分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有【 】
A．7队 　　　　　　B．6队 　　　　　　C．5队 　　　　　　D．4队
4. （2012广东深圳3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7 的边长为【 】
A．6 B．12 C．32 D．64
5. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】
　　A．2010　　B．2012　　C．2014　　D．2016
6. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，∠B＝30 ，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC
绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，
可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3
＝3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012＝【 】
A．2011＋671 B．2012＋671 C．2013＋671 D．2014＋671
7. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．
把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C
－D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】
A．(1，－1) 　　B．(－1，1) C．(－1，－2) 　D．(1，－2)
8. （2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为【 】
A. B. C. D.
9. （2012湖南永州3分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是【 】
A．0 B．1 C．2 D．3
10. （2012山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【 】
　　A．3　　B．4　　C．5　　D．6
综上所述，在解中考数学选择题时，由因导果法是最基本和使用率最高的一种方法。当题目具备一定的条件和特征时，可考虑采用其他方法。有时解一个选择题需要几种方法配合使用。要充分利用题干和选项两方面所提供的信息，全面审题。不但要审清题干给出的条件，还要考察四个选项所提供的信息（它们之间的异同点及关系、选项与题干的关系等），通过审题对可能存在的各种解法（直接的、间接的）进行比较，包括其思维的难易程度、运算量大小等，确定解题的切入点。
（A）
（B）
（C）
（D）【2013年中考攻略】专题11：几何三大变换之旋转探讨
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。
一、中心对称和中心对称图形：
典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】
【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。故选B。
例2. （2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】
　 A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正五边形 D． 等腰三角形
【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B。
例3. （2012广东深圳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】
【答案】A。
【考点】中心对称和轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。
故选A。
例4. （2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】
【答案】A。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，符合条件的只有A。故选A。
例5. （2012湖北随州4分）下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数的图象，④函数y=kx+b(k≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】
A．①② B.①③ C.①②③ D.②③④
【答案】D。
【考点】轴对称图形和中心对称图形。
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，
①等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；
②菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；
③函数图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；
④函数y=kx+b（k≠0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有②③④。故选D。
例6. （2012山东德州4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是　 ▲ 　．（只要填写一种情况）
【答案】AD=BC（答案不唯一）。
【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：
∵AB=CD，∴当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
当AB∥CD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
当∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°时，四边形ABCD是平行四边形。
故此时是中心对称图形。
故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等（答案不唯一）。
例7. （2012四川宜宾3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标为 ▲ ．
【答案】（﹣1，﹣1）。
【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。
【分析】∵将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，
∴△ABC和△DEF关于点P中心对称。
∴连接AD，CF，二者交点即为点P。
由图知，P（﹣1，﹣1）。
或由A（0，1），D（﹣2，﹣3），根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点P的坐标为
（），即（﹣1，﹣1）。
练习题：
1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
2.（2012广东珠海3分）下列图形中不是中心对称图形的是【 】
A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形
3. （2012江苏盐城3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】
4.（2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】
5.（2012河南省3分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】
A． B． C． D．
6.（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】
A. B. C． D.
7.（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距 ▲ 公里；
二、构造旋转图形：
典型例题：例1. （2012浙江丽水、金华3分）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是【 】
　　A．①　　B．②　　C．③　　D．④
【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。
例2. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），
C（－1，－3）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）
②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）
【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。
②如图所示，A2（2，1）。
【考点】轴对称和中心对称作图。
【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。
例3.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.
（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.
（3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .
【答案】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示：
（2）平移后的△A2B2C2如图所示：
点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。
（3）△A1B1C1；（1，－1）。
【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。
【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。
（2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。
（3）如图所示。
例4. （2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【答案】解：（1）如图所示：
（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，
∴。
∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。
再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。
当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：
∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。
【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。
【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。
（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。
例5.（2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。
【答案】解：作图如下：
（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。
（2）符合要求的变换有两种情况：
情况1：如图1，变换过程如下：
将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。
情况2：如图2，变换过程如下：
将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。
【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。
【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。
（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。
作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。
例6. （2012福建漳州8分）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中,有如图所示的四边
形(顶点都在格点上)．
(1)先作出该四边形关于直线成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向旋转90o后的图形；
(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于_________．
【答案】解：（1）作图如图所示：
先作出关于直线l的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕O点按顺时针方向
旋转90°后的图形。
（2）20。
【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。
【分析】（1）根据图形对称的性质先作出关于直线l的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形即可。
（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论。
∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，∴原图形的面积为5。
∴整个图案的面积=4×5=20。
例7. （2012福建福州7分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．
① 画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；
② 再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1，并求出旋转过程中线段
A1C1所扫过的面积(结果保留π)．
【答案】解：① 如图所示；
② 如图所示；
在旋转过程中，线段A1C1所扫过的面积等于＝4π。
【考点】平移变换和旋转变换作图，扇形面积的计算。
【分析】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段A1C1所扫过的面积等于以点C1为圆心，以A1C1为半径，圆心角为90度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可。
例8. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.
【答案】4。
【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。
【分析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2，,这时三角形△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF=EC=FC,
∴ S△AEC= AF·EC=AF2=24 。∴AF2=24。
∴AC2=2AF2=48 AC=4。
练习题：
1. （2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
2.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1．试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2．并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．
3.（吉林省6分）如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC,
请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形。
图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形。
图③中所画的三角形与ABC的面积相等，但不全等。
4.（2011浙江绍兴8分）分别按下列要求解答：
（1）在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
5.（2011辽宁抚顺10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
(1)在图中画出点O的位置．
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(3)在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1.
6.（2011辽宁阜新10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格，直角梯形ABEF的顶点均在格点上，
请按要求完成下列各题：
（1）请在图中拼上一个直角梯形，使它与梯形ABEF构成一个等腰梯形ABCD；
（2）将等腰梯形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1CD1；
（3）求点A旋转到点A1时，点A所经过的路线长．（结果保留π）
7. （2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2．
（3）画出一条直线将△AC1A2的面积分成相等的两部分．
8.（2011广东台山10分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下
列要求画出图形。
从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小方形的顶点）上，且长度为；
（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点
上，各边长都是无理数。
9.（2011湖北孝感8分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格
中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
图（1） 图（2）
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是____对称图形. （4分）
（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所
给出的图案相同. （4分）
10. （2011四川巴中8分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是l，△ABC与△成中心对称。
(1)画出对称中心O；
(2)画出将△沿直线MN向上平移5格得到的△：
(3)要使△与△重合，则△绕点沿顺时针方向旋转，至少旋转多少度 (直接写出答案)
11.（2011山东烟台4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ▲ .
三、有关点的旋转：
典型例题：例1. （2012广东梅州7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为　 　；
（2）点A1的坐标为　 　；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为　 　．
【答案】解：（1）（﹣3，﹣2）。
（2） （﹣2，3）。
（3）。
【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。
【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。
（2）根据平面直角坐标系写出即可。
（3）先利用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：
根据勾股定理，得，∴弧BB1的长=。
例2. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，)，B(，O)( 0).
（1）结合坐标系用坐标填空．
点C与C′关于点 对称; 点C与C″关于点 对称; 点C与D关于点 对称
（2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求值．
例3. （2012黑龙江牡丹江3分）如图，A(，1)，B(1，)．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，，则此时点A的对应点A′的坐标为【 】．
A．(－，－l) B．(－2，0) C．(－l，－)或（－2，0) D．(－，－1)或(－2，0)
【答案】C。
【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。
【分析】如图，过点A作AC⊥ｘ轴于点C, 过点B作BD⊥ｙ轴于点D。
由锐角三角函数定义，,∴。
同理，。∴。
若将△AOB绕点O顺时针旋转l500，则点A′与点B关于坐标原点对称，
∴A′(－l，－)。
若将△AOB绕点O逆时针旋转l500，则点A′在ｘ轴反方向上， ∴A′(－2，0)。
综上所述，点A的对应点A′的坐标为(－l，－)或(－2，0)。故选C。
练习题：
1. （2011河南省3分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点A′的坐标为 【 】
A、（3，1） B、（1，3） C、（3，﹣1） D、（1，1）
2.（2011山东泰安3分）若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是【 】
A、（3，﹣6） B、（﹣3，6）
C、（﹣3，﹣6） D、（3，6）
3. （2011辽宁盘锦10分）如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm.
(1)风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．
(2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π)．
　备用图1　备用图2
4.（2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
5.（2011辽宁葫芦岛10分）如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A.
解答下列问题：
(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为________；
位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是________；
(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
(4)求OA的长．
[(2)，(3)，(4)中的结果保留π]
四、有关直线（线段）的旋转：
典型例题：例1. （2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.
（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；
（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.
【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：
(2)作图如上，
∵AB=，AD=，BD=，∴AB2+AD2=BD2。
∴△ABD是直角三角形。
∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。
【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）利用△ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出
△A1B1C1。
（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。
例2.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)，先
将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1
绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．
(1)画出线段A1B1、A2B2；
(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．
【答案】解：（1）画出线段A1B1、A2B2如图：
（2）在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长为。
【考点】网格问题，图形的平移和旋转变换，勾股定理，扇形弧长公式。
【分析】（1）根据图形的平移和旋转变换性质作出图形。
（2）如图，点A到点A1的平移变换中，
，
点A2到点A3的平移变换中，
∵，
∴。
∴在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长为。
例3. （2012四川泸州2分）将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是【 】
【答案】D。
【考点】点、线、面的关系，旋转的性质。
【分析】将如图所示的直角梯形绕直线l 旋转一周得到圆台。故选D。
【注：本题已不是平面内的旋转，是空间内的旋转】
例4. （2012黑龙江大庆3分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为【 】
A.(1，) B.( －1，) C.(0，2) D.(2，0)
【答案】 A。
【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。
【分析】如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，
∵点A的坐标为（，1），∴AC=1，OC=。
∴OA=。∴∠AOC=30°。
∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，
∴∠AOB=30°，OA=OB。∴∠BOD=30°。
∴Rt△OAC≌Rt△OBD（AAS）。
∴DB=AC=1，OD=OC=。∴B点坐标为（1，）。故选A。
例5. （2012陕西省3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为
▲ ．
B．用科学计算器计算： ▲ （精确到0.01）．
【答案】；2.47。
【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。
【分析】A、画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可：
由题意可得，AM=MB=AB=2。
∵线段AB扫过的面积为扇形MCB和扇形MAB的面积和，
∴线段AB扫过的面积=。
B、用计算器计算即可：。
例6. （2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。
（1）写出点B的坐标 ▲ ；
（2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。
①当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是 ▲ ，线段OC的长为 ▲ ；
②当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是 ▲ ；
③直线l顺时针旋转n0（0＜n≤900），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为
▲ （用含n的代数式表示）。
【答案】解：（1）（2，0）。
（2）①200，2；②1100；③。
例7. （2012四川泸州7分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩。如图为某游乐场大型摩天轮
的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m。小明乘坐的车厢经过点
B时开始计时。
(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
(2)的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
【答案】解：（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，DA即为小明离地的高度，
∵∠COD=，∴OD=OC=×20=10。
∴DA=20－10＋1=11（m）。
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m。
（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为31m。
作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA。
∵HA=31，∴OH=31－1－20=10。∴OH=OE。∴∠HOE=60°。∴∠FOE=120°。
∵每分钟旋转的角度为：，∴由点E旋转到F所用的时间为：（分钟）。
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中。
【考点】圆的综合题，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，根据旋转的时间可以求得旋转角∠COD，利用三角函数即可求得OD的长，从而求解。
（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为31m。作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA，在直角△OEH中，利用三角函数求得∠HOE的度数，则∠EOF的度数即可求得，则旋转的时间即可求得。
例8. （2012辽宁营口14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A，0)、B(0，3)、C（1，0）三点．
(1) 求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转,与直线交于点N．在直线
DN上是否存在点M，使得∠MON=．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 点P、Q分别是抛物线和直线上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，
求出点Q的坐标．
【答案】解：（1）由题意把A(－3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入得，
，解得 。
∴抛物线的解析式是。
∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为（－1，4）。
（2）存在。理由如下：
由旋转得∠EDF=60°。
在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4。
∴OF=OE+EF=1+4。
∴F点的坐标为（，0）。
设过点D、F的直线解析式是，
把D（－1，4），F（，0）代入求得 。
分两种情况：
①当点M在射线ND上时，∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°。∴∠MOC=60°。
∴直线OM的解析式为。
∴点M的坐标为方程组．的解，解方程组得，。
∴点M的坐标为（，）。
②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°。
∵∠MON=75°，∠FON=45°， ∴∠FOM=∠MON－∠FON=30°。
∵∠DFE=30°。∴∠FOM=∠DFE。∴OM∥FN。∴不存在点M使得∠MON=75°。
综上所述，存在点M ，且点M的坐标为（，）。
（3）有两种情况：
①如图，直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°。
∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA。
∴点P、B的纵坐标相同都是3。
∵点P在抛物线上，
∴把3代入抛物线的解析式，
解得＝﹣2，＝0（舍去）。
由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，都等于－2，
把＝﹣2代入﹣得2。
所以Q点的坐标为（－2，2）。
②如图，在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°。
∵D(－1，4)，B(0，3) ，∴DB∥OQ。
∵PB∥OQ，点P在抛物线上，∴点P、D重合。
∴∠EDF=∠EFD=45°。∴EF=ED=4。∴OF=OE+EF=5。
作QH⊥轴于H，
∵∠QOF=∠QFO=45°，∴OQ=FQ。∴OH=OF=。
∴Q点的横坐标﹣。
∵Q点在﹣上，∴把＝﹣代入﹣得。
∴Q点的坐标为（﹣，）。
综上所述，符合条件的点Q有两个,坐标分别为：（－2，2），（﹣，）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角梯形的判定。
【分析】（1）用待定系数法，将A、B、C的坐标代入即可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标。
（2）分点M在射线ND上和点M在射线NF上两种情况讨论即可。
（3）分PQ∥OB，∠OBP=90°和PB∥OQ，∠BPQ=90°两种情况讨论即可。
例9. （2012辽宁阜新10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1；
（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π）
（3）求∠BCC1的正切值．
【答案】解：（1）画图如下：
（2）由勾股定理得，，
线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，为圆心角的扇形，
　　　　　　 ∴。
答：线段OA在旋转过程中扫过的图形面积为．
　 （3）在Rt中，。
答：∠BCC1的正切值是。
【考点】网格问题，旋转变换作图，勾股定理，扇形面积，锐角三角函数的定义。
【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可。
（2）先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可。
（3）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论。
例10. （2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB sin60°=。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得
，解得。
∴此抛物线的解析式为。
（3）存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。
①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，
当y=时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y=不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。
【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。
【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。
练习题：
1. （2011浙江宁波3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，若把Rt△绕边AB所在直线
旋转一周，则所得几何体的表面积为【 】
(A) (B) (C) (D)
2.（2011广西北海3分）如图，直线l：＝＋2与轴交于点A，将直线l绕点A旋转90 后，所得直
线的解析式为【 】
A．＝－2 B．＝－＋2
C．＝－－2 D．＝－2－1
3.(2011四川德阳3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，B(0，)，如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是【 】
A． B．
C． D．
4.（2011广西百色8分）直线与反比例函数y=的图像交于Ａ、Ｂ两点，且与轴交于C、D两点，A点的坐标为（－3，＋4）.
（1）求反比例函数的解析式
（2）把直线AB绕着点M（―1，―1）顺时针旋转到MN，使直线MN⊥轴，且与反比例函数的图像交于点N，求旋转角大小及线段MN的长。
5. （2011广东台山12分）如图，点A在轴上，点B在轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并
证明你得到的结论。
（3）①设点P的坐标为（1, ）,试写出b关于的函数关系式和变量的取值范围。②求出当△PBC
为等腰三角形时点P的坐标。
五、有关等腰（边）三角形的旋转：
典型例题：例1. （2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。
【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。
连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。
。故结论④错误。
如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，
点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的
直角三角形。
则。
故结论⑤正确。
综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。
例2. （2012广东广州3分）如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　 ▲ 　．
【答案】2。
【考点】等边三角形的性质，旋转的性质。
【分析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2。由旋转的性质，即可求得CE=BD=2。
例3. （2012福建厦门4分）如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A 逆时针旋转后能与△ACE
重合，那么旋转了 ▲ 度.
【答案】60。
【考点】旋转的性质，等边三角形的性质。
【分析】∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠CAB=60°。
又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置。∴旋转角为60°。
例4. （2012山东青岛3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，∠ABC＝30 ，AC＝1．现在将△ABC绕
点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ▲ ．
【答案】。
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴A′C=AC=1，AB=2，BC=。
∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形。∴AA′=AB=1。
∴A′C=A′B。∴∠A′CB=∠A′BC=30°。
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C。
∴∠B′CB=90°－30°=60°。∴△BCB′是等边三角形。
∴BB′=BC= 。
例5. （2012江西南昌3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　 ▲ 　．
【答案】15°或165°。
【考点】正方形和正三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解：
①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
∴AB=AD，AE=AF。
∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于1800时，如图2，
同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE。
∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°。
∴∠BAE=∠FAD=165°。
③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于1800时，如图3，
同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。
∵∠EAF=60°，∠BAE=90°，
∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不可能的。
∴此时不存在BE=DF的情况。
综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°。
例6. （2012吉林省3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时
针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ▲____.
【答案】19。
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴根据旋转前、后的图形全等的旋转性质，得，CD= AE，BD=BE。
∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10。∴AE＋AD=AC=10。
又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE是等边三角形。∴DE=BD=9。
∴△AED的周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19。
例7. （2012北京市7分）在中，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，
将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ。
（1） 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，
并写出∠CDB的度数；
（2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大
小（用含的代数式表示），并加以证明；
（3） 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得
线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围。
【答案】解：（1）补全图形如下：
∠CDB=30°。
（2）作线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC。
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。
在△APD与△CPD中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC
∴△APD≌△CPD（SSS）。
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。
又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°。
∴∠APQ+∠ADC=360°－（∠PAD+∠PQD）=180°。
∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即2∠CDB=180°－2α。
∴∠CDB=90°－α。
（3）45°＜α＜60°。
【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。
【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案：
∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。
∴CM=MQ，∠CMQ=60°。∴△CMQ是等边三角形。
∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。
（2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。
（3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。
∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。
∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°。
例8. （2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。求证：DE’=DE.
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，
且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2=AD2+EC2.
【答案】证明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到，
∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。
∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。
∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。
在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，
∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。
（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。
由（1）知DE’=DE。
由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。
又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。
∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。
在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。
【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得
∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。
（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。
例9. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
【答案】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE。
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE。
∵AB=AC，∴∠B=∠C。∴△BDF∽△CED。∴。
∵BD=CD，∴，即。
又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF。∴△BDF∽△CED∽△DEF。
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=6。
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，
∴AD=8。
∴S△ABC= BC AD=×12×8=48，
S△DEF=S△ABC=×48=12。
又∵ AD BD= AB DH，∴。
∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD。
∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF。
又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）。∴DH=DG=。
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，∴EF=5。
例10. （2012湖北襄阳5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．
求证：AM=AN．
【答案】证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC。∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C。
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA。
∵∠EBM=∠DBN，∴∠MBA=∠NBA。
又∵AB=AB，∴△AMB≌△ANB（ASA）。∴AM=AN。
【考点】等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据旋转的性质可得△AEB≌△ADC，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，结合等腰三角形三线合一的性质即可推出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，从而推出∠MBA=∠NBA，然后根据“角边角”证明△AMB≌△ANB，根据全等三角形对应边相等即可得证。
练习题：
1. （2011浙江湖州3分）如图，△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△AOB绕点O按逆时针方
向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转角度是【 】
A．150 B．120 C．90 D．60
2. （2011广西玉林、防城港3分）如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则的值为 ▲ ．
3. （2011湖北恩施3分）如图，△AOB的顶点O在原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且AB=6，∠AOB=60°，反比例函数（k＞0）的图象经过点A，将△AOB绕点O顺时针旋转120°，顶点B恰好落在的图象上，则k的值为　 ▲ ．
4. （2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
5.（2011云南玉溪11分）将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N．
（1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由
6.（浙江义乌10分）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P
与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结
AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
（1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关系（填“相
似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全
等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=，△A1BB1的面积为S，求S关于的函数关系式.
7.（2012山东莱芜9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90 ，D、E分别是AB、AC边的
中点．将△ABC绕点A顺时针旋转角(0 ＜＜180 )，得到△AB′C′(如图2)．
(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
(2)当DB′∥AE时，试求旋转角的度数．
六、有关直角三角形的旋转：
典型例题：例1. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
A．π B． C． D．
【答案】D。
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，
∴BC=AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。∴。
∴。
设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，
∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1。
∴点D是AB的中点。
∴S。
∴
故选D。
例2. （2012四川绵阳3分）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=【 】。
A．1： B．1：2 C．：2 D．1：
【答案】B。
【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，连接AP，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。
在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。
∴AP=P′C。
∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A。
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB。
∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。
设P′A=x，则AP=3x，
在Rt△APP′中，。
在Rt△APP′中，。
∴，解得PB=2x。∴P′A：PB=x：2x=1：2。 故选B。
例3. （2012山东淄博4分）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】C。
【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】由旋转的性质，旋转角∠ECN=750，CN=CE。 ∵∠ECD=45°，∴∠OCN=60°。
∴在直角三角形OCN中，，即。
又在等腰直角三角形CDE中，，∴，即。故选C。
例4. （2012山东枣庄3分）如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为【 】
A. 6㎝ B. 4㎝ C.（6－ ）㎝ D.（）㎝
【答案】C。
【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，旋转的性质。
【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，
∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，
∴BC=AB=6，AC=AB sin30°=。
由旋转的性质可知B′C=BC=6，
∴AB′=AC－B′C=。
在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′ tan30°=（cm）。故选C。
例5. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C。
【考点】等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方式的非负数性质，矩形的判定和性质，三角形边角关系，三角形中位线定理。
【分析】∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，
∴AD =DC，∠EAD=∠C=450，∠EDA=∠MDN－∠ADN =900－∠AND=∠FDC。
∴△EDA≌△FDC（ASA）。∴AE=CF。∴BE+CF= BE+ AE=AB。
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC。∴(BE+CF)= BC。∴结论①正确。
设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b。
∴。
∴。∴结论②正确。
如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O。
∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，
∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，
OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG。
∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD。∴结论④错误。
∵△EDA≌△FDC，
∴。∴结论③错误。
又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分。
∴结论⑤正确。
综上所述，结论①②⑤正确。故选C。
例6. （2012四川广安3分）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为
　 ▲ 　（结果用含有π的式子表示）
【答案】。
【考点】旋转的性质，含300角直角三角形的性质，弧长的计算。
【分析】如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长：
∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°。
∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，
∴点A经过的路线长=。
例7. （2012贵州六盘水4分）两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，△CDE旋转了 ▲ 度，线段CE旋转过程中扫过的面积为 ▲ ．
例8. （2012湖北荆门9分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．
（1）请根据题意用实线补全图形；
（2）求证：△AFB≌△AGE．
【答案】解：（1）画图，如图：
（2）证明：由题意得：△ABC≌△AED。
∴AB=AE，∠ABC=∠E。
在△AFB和△AGE中，∵∠ABC=∠E，AB=AE，∠α=∠α，
∴△AFB≌△AGE（ASA）。
【考点】翻折变换（折叠问题），旋转的性质，全等三角形的判定。
【分析】（1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。
（2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE。
例9. （2012四川成都10分） 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)．
【答案】解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC。
∵AP=AQ，∴BP=CQ。
∵E是BC的中点，∴BE=CE。
在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，
∴△BPE≌△CQE（SAS）。
（2）连接PQ。
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°。
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°。∴∠BEP=∠EQC。
∴△BPE∽△CEQ。∴。
∵BP=a，CQ=，BE=CE，
∴，即BE=CE=。∴BC=。
∴AB=AC=BC sin45°=3a。∴AQ=CQ﹣AC=，PA=AB﹣BP=2a。
∴在Rt△APQ中，。
【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE。
（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，从而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离。
例10. （2012山东济南9分）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。
（2）①△AEF是等边三角形。理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。
在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。
又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=，BE=。
由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），
∴∠EAC=∠GFC。
在△CAE与△CFG中，∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG 。∴，即。解得：CG=。
【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。
（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形。
②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。
练习题：
1. （2012广西玉林、防城港3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=
▲ .
2. （2012广西钦州3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　 ▲ 　．
3. （2012广西来宾3分）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= ▲ 0．
4. （2012河南省5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积为 ▲
5. （2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
6. （2012山东济宁8分）如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
（3）设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
7. （2011湖南株洲10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线
的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于
A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测
得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过
一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
8. （2011湖南张家界12分）如图，抛物线经过点A（—4，0）、B（—2，2），连接OB、AB，
（1）求该抛物线的解析式.
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形.
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上.
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.
9. （2011福建漳州13分）如图，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点C的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )，
点D的坐标是(_ ▲ ，_ ▲ )；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
10. （福建龙岩12分）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。
（1）如图①，α=______°时，BC∥DE；
（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：
图②中α=______°时，______∥______；图③中α=______°时，______∥______。
七、有关平行四边形、矩形、菱形的旋转：
典型例题：例1. （2012福建龙岩4分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一
周所得圆柱的侧面积为【 】
A． B． C． D．2
【答案】B。
【考点】矩形的性质，旋转的性质。
【分析】把矩形ABCD 绕AB所在直线旋转一周所得圆柱是以BC=2为底面半径，AB=1为高。所以，它
的侧面积为。故选B。
例2. （2012福建泉州4分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上点D′时，则AD′= ▲ ，∠A D′B= ▲ °.
【答案】2；30。
【考点】旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据旋转图形对应点到旋转中心的距离相等的性质，AD′= AD=2。
根据矩形的性质，∠B=900，根据锐角三角函数定义，。
∴∠A D′B=300。
例3. （2012广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG
绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A．若经过点A的反比例
函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为 ▲ .
【答案】（4，）。
【考点】反比例函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方
程的关系。
【分析】∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°。∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°。∴∠PNO=∠GOA。
∴△OGA∽△NPO。
∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），∴OE=4，OG=2。∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4。
∵△OGA∽△NPO，∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2。∴GA=1。∴A点坐标为（1，2）。
把A（1，2）代入得k=1×2=2。∴过点A的反比例函数解析式为。
把x=4代入得。∴B点坐标为（4，）。
例4. （2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM=
（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0【答案】解：（1）450；。
（2）①如图1，设直线HG与y轴交于点I。
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。
∵C（2，0），∴AB=OC=2。
又∵AD∥BO，
∴四边形ABOD是平行四边形。∴DO=AB=2。
由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。
∴t=IM=OM－OI=－2。
②如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则
由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝450，
∴OR=RF=，F（，－）。
由旋转的性质和勾股定理，得OG=，
设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=。
在Rt△OTG中，由勾股定理，得，解得x=。
∴G（，－）。
∴用待定系数法求得直线FG的解析式为。
当x=2时，。
∴当t=时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。
∴当0如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；
如图4，t=OE=OM=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；
如图5，t=OE=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C。
∴（I）当0（II）当2由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为。
当x=2时，。∴CP=。∴。
（III）当此时，OE= t，，OC=2，CQ= ，OU=OV= t－。
∴。
综上所述，当0。
【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）由旋转的性质，得∠AOF＝1350，∴∠FOM＝450。
由旋转的性质，得∠OHM＝450，OH=OC=2，∴OM=。
（2）①由矩形的性质和已知AD∥BO，可得四边形ABOD是平行四边形，从而DO=AB=2。又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2。从而由平移的性质可求得t=IM=OM－OI=－2。
②首先确定当0例5. （2012福建南平12分）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．
（1）写出点A、A′、C′的坐标；
（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）
（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．
例6.（2012福建宁德13分）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；
(2)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；
(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN
与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
(4)当≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．
【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。
（2）。
（3）存在。
设M，
则N（m，0）MN=，NA=6－m。
又DA=4，CD=8，
①若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，解得m=6或m=10。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。
②若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，解得m=－2或m=6。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。
③若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，方程无解。
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。
④若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，解得m=或m=6。
当m=时符合条件。
∴此时存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。
综上所述，存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。
（4）设P（p，），
在中，令y=0，得x=4或x=6。
∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：
①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H
则OH=p，HA=6－p ，PH=。
∴
∴当≤x＜4时，随p的增加而减小。
∴当x=时，取得最大值，最大值为。
②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。
则BH= p，HG=6－p，PH=，
∴
∴当4≤x＜6时，随p的增加而减小。
∴当x=4时，取得最大值，最大值为8。
③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。
则OH=p，HA= p－6，PH=。
∴
∴当6≤x≤7时，随p的增加而增加。
∴当x=7时，取得最大值，最大值为7。
综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。
【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。
【分析】（1）由OD＝10，OB＝8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2－OB2=102－82=36，∴OA=6。∴A（6，0），B（0，－8）。
（2）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，
∴，解得。
∴这条抛物线的解析式是。
（3）分①若点M在点N上方，，②若点M在点N下方，，③若点M在点N上方，，④若点M在点N下方，四种情况讨论即可。
（4）根据二次函数的性质，分≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。
例7. （2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽,长．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD与MN相交于点O．
（1）求的度数；
（2）在图2中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的
内部、外部、还是边上？并说明理由．
图1 图2
【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：∠BAM=15°，
∵四边形AMNH是矩形，∴∠M=90°。∴∠AKM=90°－∠BAM=75°。
∴∠BKO=∠AKM=75°。，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°。
∴∠DOM=∠BKO+ ABD=75°+45°=120°。
（2）连接AN，交BD于I，连接DN，
∵NH=，AH=，∠H=90°，
∴。∴∠HAN=30°。
∴AN=2NH=7。
由旋转的性质：∠DAH=15°，∴∠DAN=45°。
∵∠DAC=45°，∴A，C，N共线。
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC。
∵AD=CD=，∴。
∴NI=AN－AI=7－3=4。
在Rt△DIN中，。
（3）点B在矩形ARTZ的外部。理由如下：
如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°。
∵∠R=90°，AR= ，
∴。
∵，∴AB= ＞。
∴点B在矩形ARTZ的外部。
【考点】旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，实数的大小比较。
【分析】（1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数。
（2）首先连接AM，交BD于I，连接DN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案。
（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置。
例8. . （2012山东泰安3分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为【 】
　　A．（，）　　B．（，）　　C．（2012泰安）　　D．（，）
【答案】A。
【考点】坐标与图形变化（旋转），菱形的性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′=105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，
∴△OAB是等边三角形。∴OB=OA=2。
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2。
∴OE=B′E=OB′ sin45°=。∴点B′的坐标为：（）。故选A。
例9. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上则∠C=
▲ 度．
【答案】105。
【考点】旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。
【分析】∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°。∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）÷2=75°。
∴∠C=180°-75°=105°。
练习题：
1. （2011湖北宜昌3分）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为 【 】
A、（2，1） B、（﹣2，1）
C、（﹣2，﹣1） D、（2，﹣l）
2. （2011湖北孝感3分）如图，菱形OABC的一边OA在轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为 【 】
A. B. C. D.
3. （2011辽宁本溪3分）菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O的坐标是（0，0），点A在y轴的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是（，3）若把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P′的坐标是 ▲ 。
4. （2011黑龙江牡丹江3分）平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB=600，AO=1，AC=2，把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴上，则旋转后点C的对应点C′的坐标为 ▲
5. （2011湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．
求证：BH GD=BF2
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG=　 　．请予证明．
6. （2011湖北荆门9分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点
与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.?
7. （2011辽宁盘锦12分）已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF.
(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB；
(2)当α＝60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长；
(3)若∠CEF＝90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积．
(1) (2) (3)
8. （2011安徽芜湖14分）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形。
(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大 最大面积是多少 并求出此时点M的坐标。
十、有关正方形的旋转：
典型例题：例1. （2012湖南岳阳3分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【 】
A．B．C．D．
【答案】B。
【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN是正方形。
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，
∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML，
∴△ENK≌△ENL（ASA）。
∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的，即它们重叠部分的面积S不因旋转的角度θ的改变
而改变。故选B。
例2. （2012四川泸州2分）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】D。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】设B′C′与CD交于点E，连接AE.
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，AE=AE, AB′=AD,
∴△AB′E≌△ADE（HL）。∴∠B′AE=∠DAE。
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，∴∠B′AE=∠DAE=30°。
∴DE=AD tan∠DAE=a。
∴。
∴。故选D。
例3. （2012贵州黔东南4分）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于【 】
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】C。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°。∴∠ADP+∠APD=90°。
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°。
∴∠ADP=∠EPF。
在△APD和△FEP中，∵∠ADP=∠EPF，∠A=∠F，PD=PE，
∴△APD≌△FEP（AAS）。∴AP=EF，AD=PF。
又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF。∴AP=BF。∴BF=EF
又∵∠F=90°，∴△BEF为等腰直角三角形。∴∠EBF=45°。
又∵∠CBF=90°，∴∠CBE=45°。故选C。
例4. （2012青海西宁3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE＝CF，连接AE、
BF．将△ABE绕正方形的对角线的交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是【 】
A．45 B．120 C．60 D．90
【答案】D。
【考点】旋转的性质，正方形的性质，三角形的内角和定理。
【分析】如图，将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，即∠AOB是旋转角。
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO=∠ABO=45°。
∴∠AOB=180°－45°－45°=90°，即旋转角是90°。故选D。
例5. （2012广东肇庆3分）正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为 ▲ 度 ．
【答案】90。
【考点】旋转对称图形，正方形的性质。
【分析】∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°。
∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合。
∴这个角度至少是90°。
例6. （2012宁夏区8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°。将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM。
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长。
【答案】 解：(1) 证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°。
∴∠EDF + ∠FDM=90°。
∵∠EDF=45°，∴∠FDM =∠EDF=45°。
∵DF= DF ，∴△DEF≌△DMF（SAS）。∴EF=MF。
（2）设EF=x 。
∵AE=CM=1 ，∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x 。
∵ EB=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得，即
解得， 。
∴EF的长为。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF。
（2）由（1）的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB－AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM－FM=BM－EF=4－x，在Rt△EBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长。
例7. （2012广东珠海7分） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。
∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，
∴△ADA′≌△CDE（SAS）。
（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上。
∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°。
∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。
∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS）。∴AE=A′E。
∴点E也在AA′的垂直平分线上。∴直线CE是线段AA′的垂直平分线。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED。
（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，从而得到点E也在AA′的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线。
例8. （2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）。
（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。
在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。
∴。
又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。
∴。
（3）解：没有变化。理由如下：
∵AB=，BE=1，∴。∴∠BAE=30°。
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。
∴。
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又【2013年中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。
一、等腰（边）三角形存在问题：
典型例题：例1：（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），
且抛物线与y轴交于点B（0，2）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。
由题意得 ，解得。
∴物线的解析式为，即。
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA=，PB=，AB=
当PA=PB时，=，解得；
当PA=PB时，=5，方程无实数解；
当PB=AB时，=5，解得。
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。
（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，
此时点P是直线AB与x轴的交点。
设直线AB的解析式为，则
，解得。∴直线AB的解析式为，
当=0时，解得。
∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。
　　　　（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。
　　　　（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。
例2：（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。
由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。
∴点C的坐标为（4，0）。
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，
将A（0，2）代入，得，解得。
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。
∵，∴抛物线的对称轴为。
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。
∵点P（m，n）在上，
∴P。
∴，
，。
∴ 。
∵，∴当时，S最大。
当时，。∴点P的坐标为（2，3）。
（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。
【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。
（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。
（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。
　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。
　　由点P在和可得。
　　∴，整理，得。
　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，解得。
　　将代入得，将代入得。
　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。
（4）设点M（），
∵C（4，0）, P（2，3）,
∴PC=,
PM=,
CM=。
分三种情况讨论：
　　①当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。∴M1（）。
　　　　　②当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。
∴M2（），M2（）。
③当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。
∴M4（），M5（）。
　 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，△MPC为等腰三角形。
例3：（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB sin60°=。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得
，解得。
∴此抛物线的解析式为。
（3）存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。
①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，
当y=时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y=不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。
【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。
【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。
（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。
例4：（2012内蒙古包头12分）已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。
（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）设点M 是直线AD 上一点，且，求点M 的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。
∴A（－2，0），D（0，4）。
将A（－2，0），D（0，4）代入，得
，解得。
∴这条抛物线的解析式为。
令，解得。∴B（4，0）。
（2）设M（m，2 m + 4），分两种情况：
①当M在线段AD上时，由得
，
解得，。∴M1（）。
②当M在线段DA延长线上时，
由得
，解得。∴M2（）。
综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。
（3）存在。
∵点C（2，y）在上，
∴。∴C（2，4）。
设P，根据勾股定理，得
，
，。
分三种情况：
①若PB=BC，则，解得，。
∵点P在y 轴的正半轴上，∴P1（0，2）。
②若PB=PC，则，解得，。∴P2（0，）。
③若BC=PC，则，解得，。
∵点P在y 轴的正半轴上，∴不符合要求。
当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。
∴BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。
综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使△BCP为等腰三角形。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。
（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。
（3）P，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。
例5：（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB
在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）
中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。
∵A（—1，0）B（3，0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。
又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。
（2）①当△OCE∽△OBC时，则。
∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。
∵C（0，），∴M（2，）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN=。 ∴ EN=1。
∴ 。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，
△EPM为等腰三角形。
【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点
B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。
（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。
②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
练习题：
1. (2012广西百色10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)．直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；
（3）已知一定点M（－2，0）．问：是否存在这样的直线y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，请
求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2. （2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
3. （2012湖南衡阳10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．
4. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
5. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
二、直角三角形存在问题：
典型例题：例1：（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠
在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作
BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所
有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）。
（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。
设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，
∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x－ 。
（3）存在 。
∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，
∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。
由题意可得：eq \b\lc\{(\a\al\co(y＝－x－,x＝－,)) ， 解得，。∴P1（－，－）。
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，
则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，
∵CD＝OA，∴A（0，2）。
设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。
∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。
由题意可得：，解得，。∴P2（－，－）。
∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－）。
【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。
（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。
（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。
例2：（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。
∴，即。
解得：x=2，即BE=2。
（2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。
∴，即。∴ME=2﹣t。
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。
∴t=﹣3+。
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。
（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、
∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。
（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：
①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，∴CE=。
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC tan∠DCB= ，
∴FK=2﹣EK=﹣1。
∵NL=，∴FL=t﹣，
∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。
∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）
=。
④如图⑥，当时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），
B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。
综上所述：。
例3：（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。
把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。
（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。
（3）存在。理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。
∴P（0，﹣1）。
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。
设P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。
∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质。
【分析】（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。
（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。
例4：（2012海南省13分）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，
OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON
（1）求该二次函数的关系式.
（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.
（3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM=∠ONM
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.
【答案】解：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。
又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。
∴二次函数的关系式为，即。
（2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。
∴直线OA的解析式为。
把代入得。∴M（4，－2）。
又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。
∴。
（3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则
设A（）,
则直线OA的解析式为。
则M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=，HA=，NH=。
∴。
∴。∴∠ANM=∠ONM。
②能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
情况2，若∠AON是直角，则。
∵ ，
∴。
整理，得，解得，。
舍去，（在左侧）。
当时，。
∴此时存在点A（），使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。
∵OD=4，MD=，ND=，∴。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
练习题：
1. （2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所
在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物
线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由.
2：（2012湖南邵阳12分）如图所示，直线与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C.
⑴求点C的坐标；
⑵设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连结PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC
求证：△PBC∽△MPA；
是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3. （2012云南省9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
三、平行四边形存在问题：
典型例题：例1：（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
，解得。
∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得。∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。
∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）。
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
，解得。
∴直线B'D的解析式为：。
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，解得。
∴M点的坐标为（）。
例2：（2012山东日照10分）如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为
（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）将A（－3，0），D(－2，－3)的坐标代入y=x2＋bx＋c得，
，解得：。
∴抛物线的解析式为y=x2＋2x－3 。
由x2＋2x－3=0，得：x1=－3，x2=1，∴B的坐标是（1，0）。
设直线BD的解析式为y=kx＋b，则
，解得：。
∴直线BD的解析式为y=x－1。
（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,
∴直线EF的解析式为：y=x－a。
若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴。
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为－3。
由得y2＋（2a＋1）y＋a2＋2a－3=0，解得：y= 。
令=－3，解得：a1=1，a2=3。
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意。
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。
【分析】（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式。
（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=－3求得合适的a的值即可。
例3：（2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、
B（0，1）、C（d，2）。
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图
像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，
使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）作CN⊥x轴于点N。
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵NC＝OA＝2，AC＝AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。
∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，
又∵点C在第二象限，∴d＝－3。
（2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，
设C′（c，2），则B′（c＋3，1）。
把点C′和Ｂ′的坐标分别代入，得k＝2 c；k＝c＋3。
∴2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6。∴反比例函数解析式为。
得点C′（3，2）；B′（6，1）。
设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得，解得。
∴直线C′B′的解析式为。
（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为
2＋。∴Q（，）。
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的
图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于。
作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
则△P′EQ≌△QFM′ 。
设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为，点P′的纵坐标y为，
点M′的坐标是（，0）。
∴P′E＝。
由P′Q＝QM′，得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，∴，
整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。
∴，，。
∴P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。
【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，平行四边形的和性质，勾股定理，解分式方程和二元一次方程组。
【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。
（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C′的中点Q，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的图象交于P′点，求出P′Q＝Q M′的点M′和P′的坐标即可。
例4：（2012辽宁丹东14分）已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF
以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.
求：①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请
说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）∵ A（－1，0）, ，∴C（0，－3）。
∵抛物线经过A（－1，0）,C（0，，3），
∴，解得。
∴抛物线的函数表达式y=x2－2x－3。
（2）直线BC的函数表达式为y=x－3。
（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，
设D点的坐标为（m，－2），
根据题意得：－2=m－3，∴m=1。
①当0＜t≤1时，S1=2t；
当1＜t≤2时，如图，O1（t，0），D1（t，－2），
G（t，t－3），H（1，－2），
∴GD1=t－1，HD1= t－1。
∴S=
。
∴s与t之间的函数关系式为
②在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。
（4）存在。M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。
【分析】（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。
（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可。
②由于在0＜t≤2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。
（4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。
则过点P且平行于x轴的直线N1N2和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N3N4，与y=x2－2x－3的交点N1、N2、 N3、N4的坐标分别为N1（，－2），N2（，－2）， N3（， 2），N4（， 2）。
若AP是边，
则M1的横坐标为－PN1加点A的横坐标：－；
M2的横坐标为PN2加点A的横坐标：；
M3的横坐标为N3的纵坐标加N3的横坐标：；
M4的横坐标为N4的纵坐标加N4的的横坐标：。
若AP是对角线，符合条件的点M与上述M 1（－，0）和M2（，0）重合。
综上所述，M 1（－，0），M2（，0），M3（，0），M4（，0）。
例5：（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由x2－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。
∵OA＜OB ，∴OA=3 , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。
(2) 由OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。
由题意得，AP=t, AQ=5－2t 。分两种情况讨论：
①当∠APQ=∠AOB时，如图1，△APQ∽△AOB。
∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
②当∠AQP=∠AOB时，如图2， △APQ∽△ABO。
∴，即 解得 t= 。
∴Q（）。
（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。
练习题：
1. （2012贵州安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
2. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
3. （2012四川宜宾10分）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4. （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
四、矩形、菱形、正方形存在问题；
典型例题：例1：（2012黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（－18，0）。
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12，∴CF=BF=12 。
∵C 的坐标为（－18，0），∴AB=OF=6。
∴点B的坐标为（－6，12）。
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，
∵OD=2BD，∴OD=OB。
∵AB∥DG，∴△ODG∽△OBA 。
∵，AB=6，OA=12，∴DG=4，OG=8。∴D（－4，8），E（0，4）。
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴ ，解得。∴直线DE解析式为y=－x+4。
（3）结论：存在。
点Q的坐标为：（2 ，－2 ），（－2 ，2 ），（4，4），（－2，2）。
【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。
【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：
设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，
则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4。
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。
则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－P1E=4－4。
易知△P1NF为等腰直角三角形，
∴P1N=NF=P1F=4－2。
设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－2）=2。
又ON=OF－NF=2，∴Q1（2 ，－2）。
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－2，2）。
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。
由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，2）。
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（－2，2）。
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为：
Q1（2，－2），Q2（－2，2），Q3（4，4），Q4（－2，2）。
例2：（2012贵州六盘水16分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
若PQ∥BC，则，即，解得。
∴当s时，PQ∥BC。
（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D。
则PD∥BC，∴△APD∽△ABC。
∴，即，解得。
∴S=×AQ×PD=×2t×（）
。
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2。
（3）不存在。理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC BC=24，∴此时S△AQP=12。
由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化简得：t2﹣5t+10=0。
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）存在。
假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，
则有AQ=PQ=BP=2t。
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴△APD∽△ABC。
∴，即。
解得：PD=，AD=，
∴QD=AD﹣AQ=。
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（）2+（）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=。
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=。
由（2）可知，S△AQP=
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（）=2×[﹣×（）2+6×]=。
∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2。
【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。
【分析】（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。
（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。
（3）利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算。
例3：（2012辽宁铁岭14分）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，
它的对称轴与x轴交于点D.直线经过抛物线上一点B（－2，m）且与y轴交于点C，与抛物线
的对称轴交于点F.
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M
的运动时间t的值；若不能，请说明理由.
备用图
【答案】解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上，∴m =﹣2×（－2）﹣1=3 。∴B（﹣2，3）。
又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为。
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上
∴，解得：。∴设抛物线的解析式为。
（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴。
∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1）。∴OC=1。
若S△ADP=S△ADC，
∵， ，∴，即。
∴， 即或。
解得：．
∴点P的坐标为 P1（，1），P2（，1），P3（2，－1）。
（3）结论：存在。当t1=，t2=6，t3=，t4=时，以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形。
【考点】动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质，勾股定理，菱形的判定和性质。
【分析】（1）由点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上，将其代入即可求得m的值，从而得到点B的坐标，由点O，A，B在抛物线上，用待定系数法即可求得抛物线对应的解析式。
（2）设，求得点C的坐标，由S△ADP=S△ADC和二者是同底等高的三角形，得，即，解之即可求得点P的坐标。
（3）∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2。
∵点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5。
又∵A（4，0），∴AE=。
如图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1。
∵此时DM1=AE=，
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=。
∴t1=。
②菱形AEOM2。
∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6。
∴t2=6。
③菱形AEM3Q3。
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1。∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=。∴t3=。
④菱形AM4EQ4。
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4。
∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=。
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=。∴M4F=DM4+DF=+5=。
∴t4=。
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A．E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=，t2=6，t3=，t4=。
例4：（2012福建漳州12分）已知抛物线y=x2 + 1(如图所示)．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；
(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角
形，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形 若存在，
直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。
（2）∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO=90°－60°=30°。
∴AB=2OA=4。∴PB=4。
把y=4代入y=x2+1，得 x=±。
∴点P的坐标为（，4）或（－ ，4）。
（3）存在。所有满足条件的点N的坐标为
(，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。
【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点
的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标。
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即
可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：
设存在点M使得OAMN是菱形，
∵∠OAP＞900，∴OA不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。
若点P的坐标为（，4），∵点A的坐标为（0，2），
设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，则，解得： 。
∴AP所在直线的解析式为：y=x+2。
∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：（m， m+2）。
如图，作MH⊥y轴于点H，
则MH= m，AN=OH－OA=m+2－2=m。
∵OA为菱形的边，∴AM=AO=2。
∴在Rt△AMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22，
解得：m=±。∴M（，3）或（－，1）。
当M（，3）时，N（，1）；当M（－，1）时，N（－，－1）。
若点P的坐标为（－，4），同理可得N的坐标为（－，1）或（，－1）。
综上所述，存在点N（，1），（－，－1），（－，1），（，－1），使得
四边形OAMN是菱形。
例5：（2012内蒙古通辽12分）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．
【答案】解：（1）作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABO+∠CBE=90°。
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OAB=∠EBC。
∴Rt△AOB≌Rt△CEA（AAS）。
∵A（0，2）、点B（1，0），∴AO=2，BO=1。
∴OE=2+1=3，CE=1。∴C点坐标为（3，1）。
（2）∵抛物线经过点C，∴1=a×32﹣a×3﹣2，解得a=。
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2。
（3）在抛物线上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。理由如下：
以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OA于E，QG⊥x轴于G，可证△PEA≌△BQG≌△BAO，
∴PE=BG=AO=2，AE=QG=BO=1。
∴P点坐标为（﹣2，1），Q点坐标为（﹣1，﹣1）。
由（1）抛物线y=x2﹣x﹣2，
当x=﹣2时，y=1；当x=﹣1时，y=﹣1。
∴P、Q在抛物线上。
∴在抛物线上存在点P（﹣2，1）、Q（﹣1，﹣1），使四边形ABPQ是正方形。
【考点】二次函数综合题，正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）作CE⊥x轴于点E，根据四边形ABCD为正方形，得到Rt△AOB≌Rt△CEA，因此OA=BE=2，OB=CE=1，据此可求出C点坐标。
（2）然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式。
（3）可以AB为边在抛物线的左侧作正方形AQPB，过P作PE⊥y轴，过Q作QG垂直x轴于G，不难得出△PEA≌△BQG≌△BAO，据此可求出P，Q的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、Q是否在抛物线上。
练习题：
1. （2012山东烟台12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
2. （2012福建福州13分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．
(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如
何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
3. （2012辽宁锦州14分）如图，抛物线交轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为，到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线 l于B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接BD交轴于点E，且
DE:BE=4:1.求直线的表达式；
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为
顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
4. （2012青海省12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
五、梯形存在问题：
典型例题：例1：（2012黑龙江牡丹江10分）如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x2－12x＋32=0的两根，且OA>OB．请解答下列问题：
（1）求直线AB的解析式；
（2）若P为AB上一点，且；，求过点P的反比例函数的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）解x2－12x＋32=0得x1=4，x2=8。
∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2－12x＋32=0的两根，且OA>OB，
∴OA=8，OB=4。∴A（－8，0），B（0，4）。
设直线AB的解析式为，则
，解得。
∴直线AB的解析式为。
（2）过点P作PH⊥x轴于点H。
设P（x，y），由AH= x＋8。
∵，∴，即。
解得 x=－6。
∵点P在上，∴。∴P（－6，1）。
设过点P的反比例函数的解析式为，则。∴。
∴点P的反比例函数的解析式为。
（3）存在。点Q的坐标为（－2，1）或或。
【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程和二元一次方程组，平行线的性质，等腰梯形的判定和性质。
【分析】（1）求出方程x2－12x＋32=0的两根得到A、B两点的坐标，用待定系数法即可求得直线AB的解析式。
（2）求出点P 的坐标，即可求得过点P的反比例函数的解析式。
（3）根据等腰梯形的性质，
当AO是等腰梯形的的底边时，AO的中垂线为x=－4，则点P（－6，1）关于x=－4的对称点为Q1（－2，1），此时四边形AOQ1P是等腰梯形。
当PO是等腰梯形的的底边时，PO的中点坐标为C（－3，），PO： ，由O（0，0），P（－6，1）求得，解得。∴PO：。
过点C与PO垂直的直线CD：，过点A与PO平行的直线AD：，
二者联立，，解得，∴点D的坐标为，则点A（－8，0）关于点D的对称点为Q2，此时四边形AQ2PO是等腰梯形。
当AP是等腰梯形的的底边时，AP的中点坐标为C（－7，），AB：。
过点E与AB垂直的直线EF：，过点O与AB平行的直线FO：，
二者联立，，解得，∴点F的坐标为，则点O（0，0）关于点F的对称点为Q3，此时四边形APOQ3是等腰梯形。
例2：（2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O，∴c=0。
又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，
∴，解得。
∴抛物线解析式为。
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=。∴P（t，）。
∵点M在抛物线上，∴M（t，）。
如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA﹣yM=2﹣，
BH=PN=。
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴，化简得3t2﹣8t+4=0。
解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
∴点P的坐标为（）。
∴存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。
（3）如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R。
由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3
设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=。
∴点Q的坐标为（a，）。
设AB与OC相交于点J，
∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴。
∴。
∴KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a。
∴S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT A′T﹣A′Q HT
。
∵＜0，
∴在线段AC上存在点A′（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。
【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。
【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。
（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。结论：存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。
（3）求出得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。
练习题：
1. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2. （2012广东茂名8分）如图所示，抛物线经过原点O和A（4，2），与x轴交于点C，点M、N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）在点M、N运动过程中，
①若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由；
②若线段MN与抛物线相交于点P，探索：是否存在某一时刻t，使得以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
六、全等、相似三角形存在问题：
典型例题：例1：（2012辽宁大连12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴抛物线的解析式可设为，
将C（0，3）代入得，解得。
∴抛物线的解析式为，即。
（2）存在。如图，
由得对称轴l为，
由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，
∴∠OBC==300。
由轴对称的性质和三角形外角性质，得
∠ADP==1200。
由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。
∴DP=CP=1，AD=4。
①在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断△Q1CD≌△ADP，
此时，Q1的坐标为（0，7）。
②由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足△Q2CD≌△ADP，
过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，则在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2CG=600可得
CG=2，Q2G=2。∴OG=1。∴Q2的坐标为（－2，1）。
③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则△Q3DC≌△ADP，
此时，Q3的坐标为（，－2）。
④由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足△Q2DC≌△ADP，
过点Q4作Q4H⊥l于点H，则在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600可得
DH=2，HQ4=2。∴Q4的坐标为（3，4）。
综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。
（3）（）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质。
【分析】（1）根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。
（2）求出△ADP的两边夹一角，根据SAS作出判断。
（3）如图，作做EF⊥l于点F，
由题意易证明△PMD ≌△EMD，△CME ≌△DNE，
∴PM=EM=EN=2DN。
由题意DF=1，EF=，NF=1-DN
在Rt△EFN中，，
∴，整理得，解得（负值舍去）。
∴。
∴点N的纵坐标为。∴N（）。
例2：（2012山东威海12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。PM⊥x轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；
（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为B（2，1），
∴可设抛物线的解析式为。
将A（0，2）代入，得，解得。
∴该抛物线的表达式。
（2）将代入，得，
∴点C的坐标为（2，2），即CG=2。
∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。
∵PM⊥x轴，，∴∠CMG=300。∴CM=4，GM=。∴OM=，PM=4。
∴点P的坐标为（，4）。
（3）相等。理由如下：
联立和得，解得，。
∵不合题意，舍去，
∴EF=，点E的坐标为（，）。
∴。
又∵，∴。
∴CE=EF。
（4）不存在。理由如下：
假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE。
∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。
∴△CNE是等边三角形。
∴EN=CE，∠CEN=600。
又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。
又∵点E是直线上的点，∴∠CEF=450。
∴点N与点F不重合。
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存在。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。
【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。
（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由△PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。
（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。
（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛盾的结论。
例3：（2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴
分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.
⑴点B的坐标为 ▲ ，点C的坐标为 ▲ （用含b的代数式表示）；
⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角
顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形
均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）B（b，0），C（0，）。
（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶
点的等腰直角三角形。
设点P坐标（x，y），连接OP，
则
∴。
过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°。∴四边形PEOD是矩形。∴∠EPD=90°。
∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°。
∴∠EPC=∠BPD。∴△PEC≌△PDB（AAS）。∴PE=PD，即x=y。
由 解得，。
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即，解得符合题意。
∴点P坐标为（，）。
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.
∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴。
∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°。
由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA。
∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°。
（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC，∴AQ=CO=。
由 得：，解得：。
∵b＞2，∴。∴点Q坐标为（1，）.
（Ⅱ）当∠OQC=90°时，△QOA∽△OCQ，∴，即。
又，∴，即，解得：AQ=4
此时b=17＞2符合题意。∴点Q坐标为（1，4）。
综上可知：存在点Q（1，）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任
意两个三角形均相似。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）令y=0，即，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令
x=0，求出y的值即C的纵坐标。
（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直
角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标。
（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，
由条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。
例4：（2012辽宁阜新12分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则
　　　　　　 ，解得 。
　　　　　　 ∴二次函数的关系解析式为。
（2）设点P坐标为（m，n），则。
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。
PM =， ，AO=3。
当时，，所以OC=2。
　　　　　 　[
∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。
此时。
∴存在点，使△ACP的面积最大。
（3）存在。点。
（4）存在。点。
（5）点。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。
（2）设点P坐标为（m，n），则。连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，根据求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。
（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。
（4）分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论即可。
（5）分AC是边和对角线两种情况讨论即可。
例5：（2012浙江湖州12分）如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
【答案】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax2+b，得，解得， 。
∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。
（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，
∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。
（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。
在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。
又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。
∵t＞0，∴t=1 。
此时，∴。
又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。
（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则。
设EF=m，则FB=3－m。
∴ ，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。
②。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。
【分析】（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。
（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。
（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在。
②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：
如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。
观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。
∵F（t，3－t2），∴EF=3－（3－t2）=t2。∴EE′=2EF=2t2。
由EE′≤BE，得2t2≤3，解得。
又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t－。
∴MN=3－（t－）2，
又C′N=BE′=BE－EE′=3－2t2，
∴由MN≥C′N，得3－（t－ ）2≥3－2t2，即t2＋2t－3≥0。
求出t2＋2t－3=0，得，∴t2＋2t－3≥0即。
∵，∴，解得t≥。
∴t的取值范围为：。
例6：（2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。
又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，。
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，。
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。
∴AB是△ABE外接圆的直径。
在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠CBE。
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。
（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）。
情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得，即，解得HK=2t。
∴
=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t 2t=﹣t2+3t。
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。
由△IQA∽△IPF，得．即，
解得IQ=2（3﹣t）。
∴
=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+。
综上所述：。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。
【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。
（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。
（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，
即tan∠DEO==tan∠BAE，
即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。
因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。
②DE为短直角边时，P2在x轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=。
而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9。
即P2（9，0）。
③DE为长直角边时，点P3在y轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=。
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷，OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）。
综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。
（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。
例7：（2012福建宁德13分）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
(1)直接写出点A、B的坐标：A( ， )、B( ， )；
(2)若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是 ；
(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN
与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
(4)当≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．
【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。
（2）。
（3）存在。
设M，
则N（m，0），MN=，NA=6－m。
又DA=4，CD=8，
①若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，解得m=6或m=10。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。
②若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，解得m=－2或m=6。
与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。
③若点M在点N上方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，方程无解。
∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。
④若点M在点N下方，，则△AMN∽△ACD。
∴，即，解得m=或m=6。
当m=时符合条件。
∴此时存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。
综上所述，存在点M（，），使△AMN与△ACD相似。
（4）设P（p，），
在中，令y=0，得x=4或x=6。
∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：
①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H
则OH=p，HA=6－p ，PH=。
∴
∴当≤x＜4时，随p的增加而减小。
∴当x=时，取得最大值，最大值为。
②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。
则BH= p，HG=6－p，PH=，
∴
∴当4≤x＜6时，随p的增加而减小。
∴当x=4时，取得最大值，最大值为8。
③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。
则OH=p，HA= p－6，PH=。
∴
∴当6≤x≤7时，随p的增加而增加。
∴当x=7时，取得最大值，最大值为7。
综上所述，当x=时，取得最大值，最大值为。
【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。
【分析】（1）由OD＝10，OB＝8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2－OB2=102－82=36，∴OA=6。∴A（6，0），B（0，－8）。
（2）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A、B，
∴，解得。
∴这条抛物线的解析式是。
（3）分①若点M在点N上方，，②若点M在点N下方，，③若点M在点N上方，，④若点M在点N下方，四种情况讨论即可。
（4）根据二次函数的性质，分≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。
练习题：
1. （2012山东东营11分）已知抛物线经过A（2，0）． 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线 上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐
标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．
2.（2012福建三明12分）已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图①，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；（4分）
②点N的坐标和线段MN的长；（4分）
（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，
直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）
3.（2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，
与x轴交于A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使
得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（2012湖北鄂州12分）已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线
段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P
运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当
t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t
的值；若不存在，请说明理由。
5.（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、
C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．
(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
6. (2012甘肃天水12分)如图，已知抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)(3分)求该抛物线的解析式；
(2)(4分)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D
的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
(3)(5分)P是直线x＝1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使
得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7.（2012湖南常德10分）如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函数的解析式：
（2）求证：△ACB是直角三角形；
（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
8.（2012辽宁鞍山14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
七、其它存在问题：
典型例题：例1：（2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。
（1）当时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当时，连结CA，问为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。
令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。
当x=1时，y=5。∴B（1，5）。
∵抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。
又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。
∴。
∵抛物线y=－x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m－1）。
∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。
又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。
∴AH=1，CH=2m－1，
∴，解得m= 。
（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。
（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。
此时点E的坐标是（2，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。
此时点E的坐标是（0，4）。
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，
（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=。
此时点E的坐标是（ ，0）。
（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），
当m=时，点E的坐标是（，0）。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明
△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到： ，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。
（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。
例2：（2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：
例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【 】
A．－2 B．2 C．3 D．1
【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3。故选C。
例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【 】
A.4. B.3. C.－4. D.－3.
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得。故选B。
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
　　A．x2+2x﹣4=0　　B．x2﹣4x+4=0　　C．x2+4x+10=0　　D．x2+4x﹣5=0
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣=﹣4。据此逐一作出判断：
　 A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣=﹣2，所以本选项不合题意；
B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣=4，所以本选项不合题意；
C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；
D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D。
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2。
故选A。
练习题：
1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程的两根为x1、x2，则x1+x2= ▲ 。
2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程的两个根为x1、x2，则x1+x2的值是【 】
A．－12 B．12 C．－7 D．7
3. （2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1·x2=　 ▲ 　．
4.（2011湖北咸宁3分）若关于的方程的一个根为，则另一个根为【 】
A． B． C．1 D．3
5.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1 x2的值分别是【 】
A、﹣，﹣2 B、﹣，2 C、，2 D、，﹣2
二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（），则称这个代数式为完全对称式，如等。扩展后，可以视中与对称。
典型例题：
例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为【 】
　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 6
【答案】A。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】由一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，
根据一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=3，x1x2=―1，
∴x12x2＋x1x22=x1x2（x1＋x2）=（－1）·3=－3。故选A。
例2：（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【 】
A．9 B．±3 C．3 D．5
【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，∴m＋n=，mn=1。
∴。故选C。
例3：（2012江苏南通3分）设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝ ▲ ．
【答案】4。
【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，
∴m 2＋3 m－7＝0，即m 2＋3 m＝7；m＋n＝－3。
∴m2＋4m＋n＝（m 2＋3 m）＋（m＋n）＝7－3＝4。
例4：（2012湖北鄂州3分）设x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，且，则a= ▲ .
【答案】10。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2＋5x－3=0的两个实根，∴x22＋5x2－3=0，x1x2=－3。
又∵，即，即。
∴，即，解得a=10。
练习题：
1. （2012湖南张家界3分）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则= ▲ ．
2. （2012四川泸州3分）设x1，x2是一元二次方程x2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则的值为 ▲
3. （2012山东日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为 ▲ .
4. （2012黑龙江绥化3分）设a，b是方程x2＋x－2013=0的两个不相等的实数根，则a2＋2a＋b的值为
▲
5. （2012黑龙江大庆4分）若方程的两实根为、，求的值．
6. （2011湖北荆州、荆门3分）关于的方程有两个不相等的实根、，
且有，则的值是【 】 ?
A. B. C.或 D.
7.（2011贵州黔东南4分）若、是一元二次方程的两根，则的值为【 】
A、2010 B、2011 C、 D、
8. （2011江苏苏州3分）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式
的值等于 ▲ ．
9. （2011山东德州4分）若x1，x2是方程x 2+ x﹣1=0的两个根，则x 12+ x 22=　 ▲ 　．
10. （2011广西玉林、防城港6分）已知：、是一元二次方程的两个实数根．求：
的值．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．
三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。
典型例题：
例1：（2012湖北随州4分）设，且1－ab2≠0，则=
▲ .
例2：（2012四川内江12分）如果方程的两个根是，那么请根据以上结论，解决下列问题：
已知关于的方程求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
已知满足,求；
已知满足求正数的最小值。
【答案】解：（1）设关于的方程的两根为，则有：
，且由已知所求方程的两根为
∴，。
∴所求方程为，即。
（2）∵满足，
∴是方程的两根。∴ 。
∴。
（3）∵且 ∴。
∴是一元二次方程的两个根，
代简，得 。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的，即，。
又∵ ∴。 ∴。
∴正数的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。
【分析】（1）设方程的两根为，得出，，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案。
（2）根据满足，得出是一元二次方程的两个根，由，即可求出的值。
（3）根据，得出，是一元二次方程的两个根，再根据，即可求出的最小值。
例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
【答案】解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，
根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。
（2）由（1）得，x2+3x﹣0.5=0，
由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣0.5。
又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12即m[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12，
即m[9+1]﹣4m2（﹣0.5）=12，即m2+5m﹣6=0，解得，m=﹣6或m=1。
【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
2011年、2011年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，
把相关数值代入求得合适的解即可。
（2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程，解之即得m的值。
例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以
把代入已知方程，得
化简，得：
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。
【答案】解：（1）y2－y－2=0。
（2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）。
把代入方程，得，
去分母，得a+by+cy2=0。
若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。
∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。
把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。
（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。
练习题：
1. （2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程： ▲ .
2. （2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数 ▲ .
3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且满足关系式 ，试求这个一元二次方程．
4. （2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： ▲ .
四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。
典型例题：
例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】
A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，
∴x1+x2=﹣4，x1x2=a。
∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，
解得，a=﹣3。故选B。
例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为【 】
　　A．b=﹣1，c=2　　B．b=1，c=﹣2　　C．b=1，c=2　　D．b=﹣1，c=﹣2
【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1 x2=c=1×（﹣2）=﹣2。
∴b=﹣1，c=﹣2。故选D。
例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】
A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．，b=﹣1 D．，b=1
【答案】D。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b，
∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得，b=1。故选D。　
例4：（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是【 】
A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。
【分析】∵方程有两个正实数根，
∴。
又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m。
将x1=7－m代入方程，得。
解得m=2或m=6。
∵，∴m=6。故选B。
例5：（2012山东威海3分）若关于x的方程的两根互为倒数，则a= ▲ .
【答案】－1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。
【分析】∵关于x的方程的两根互为倒数，∴设两根为x和。
则根据一元二次方程根与系数的关系，得。
由得。
但当时，无意义。
∴a=－1。
例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．
【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1 x2=m+1。
∵|x1－x2|＝2， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。
∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。
解得：m1=－3，m2=1。
当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。
当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1 x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1 x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。
例7：（2012湖南怀化10分）已知是一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值.
【答案】解：（1）成立。
∵是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，；
∵一元二次方程有两个实数根，
∴△=4a2－4（a－6） a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6。
由得，即。
解得，a=24＞0，且a－6≠0。
∴存在实数a，使成立，a的值是24。
（2）∵，
∴当为负整数时，a－6＞0，且a－6是6的约数。
∴a－6=6，a－6=3，a－6=2，a－6=1。∴a=12，9，8，7。
∴使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。
【分析】根据根与系数的关系求得；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围。
（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即，通过解该关于a的方程即可求得a的值；
（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值。
例8：（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0。
∴k的取值范围是k≤0。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
∴x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）。
由﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2。
又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0。
∵k为整数，∴k的值为﹣1和0。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围。
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入所给不等式即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值。
例9：
练习题：
1. （2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程时，正确解得，，则的值为 ▲ ．
2. （2011湖北孝感10分）已知关于x的方程有两个实数根x1，x2，
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值。
3. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。
4. （2012四川南充8分）关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1=0的两个实数根分别为x1,x2。
（1）求m的取值范围；
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值。
5. （2011四川达州3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ 。
6. （2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　。
7. （2011四川乐山10分）题甲：已知关于x的方程的两根为x1、x2，且满足.求的值。
8. （2006北京市7分）已知：关于x的方程有两个实数根x1和x2，关于y的方程有两个实数根y1和y2，且－2≤y1＜y2≤4．当
时，求m的取值范围。
9. （2006四川凉山6分）已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1－y1=x2－y2=2．求a、b的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
典型例题：
例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。
（1）求m的值及AC、BC的长（BC>AC）
（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）设方程的两个根分别是x1、x2。
∴x1+x2=m+5，x1 x2=6m。
∴ 。
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，
∴。
∴，∴m2-－m=0。∴m=0或m=2。
当m=0时，原方程的解分别为x1=0，x2=5，但三角形的边长不能为0，所以m=0舍去；
当m=2时，原方程为x2－7x+12=0，其解为x1=3，x2=4，所以两直角边AC=3，BC=4。
∴m=2，AC=3，BC=4。
（2）存在。
已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以△AD1C为顶点的三角形与△ABC相似，
则。
∴，则CD1=。
欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似，则。
∴BC=CD2=4。
综上所述，在线段BC的延长线上是存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似，CD的长为或4。
【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的长。
（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出CD的长。
练习题：
1. （2012山东潍坊3分）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【 】．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2. （2006四川广安8分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
3. （2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根．
求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．
4. （2002湖南益阳10分）巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2－（m－1）x＋m－2=0（m≠0）的两个根．
（1）求实数m的值；
（2）证明：CD的长度是无理方程的一个根；
（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
5. （2010湖南株洲3分）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是　　▲　　　
七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
典型例题：
例1：（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是【 】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例2：（2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝，x1 x2＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝
。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
【答案】解：（1）当△ABC为直角三角形时，
过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE。
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，
则|b2－4ac|＝b2－4ac。
∵a＞0，∴AB。
又∵CE，∴。
∴，即。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。
（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝AB，
∴。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12。
【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。
【分析】（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AB，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
例3：（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1 x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
例4：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
综上所述，k的取值范围是k≤2。
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。
又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k =4 ，
解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。
②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。
∴y的最大值为，最小值为﹣3。
【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。
【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。
（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。
例5：（2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经
过点，方程的两根为，，且。
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，
是C2上的两个不同点，且满足： ，，.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则P，Q两点间的距离）
【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１ 。
　∴ｙ＝x2＋bx－３
　　　　　 ∵x2＋bx－３=０的两根为x1，x2且，
∴＝４且b＜０。∴b＝－２。
∴。
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。
（2）∵x＞０，∴
∴。
当时，即当x＝１时，有。
（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2 。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
∵ΔAOB为直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2。
∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m－n）2＋（m2－n2）2，
化简得：m n＝－１。
∵ＳΔAOB=，m n＝－１，
∴ＳΔAOB＝＝。
∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。
∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。
【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。
（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。
（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。
别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y＝x2。
∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
则
由∽得 ，即。∴。
∴。
∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。
∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。
例6：（广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数得：1＝0＋0＋，解得：＝1。
∴的值是1。
（2）由（1）二次函数为，把A（1，0）代入得：0＝＋1，
∴＝－1－。
∵二次函数为与轴有两个交点，
∴ 一元一次方程根的判别式 ＞0，即
＞0，
∴≠1且＞0。 ∴的取值范围是≠1且＞0。
（3）证明：∵0＜＜1，
∴B在A的右边，设A（1，0），B（，0），
∵
由根与系数的关系得：1＋＝，∴。
∴AB＝。
把＝1代入二次函数得：解得：1＝0，2＝错误！未找到引用源。，
∴CD＝错误！未找到引用源。。
过P作MN⊥CD于M，交轴于N，则MN⊥轴，
∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。∴，即。
解得，。∴。
∴ 。
即不论为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。
【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出。
（2）把A（1，0）代入得到0＝＋1，推出＝－1－，求出方程的 的值即可。
（3）设A（1，0），B（，0），由根与系数的关系求出AB错误！未找到引用源。，把＝1代入抛物线得到方程，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交轴于N，根据△CPD∽△BPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1－S2的值即可。
例7：（2011黑龙江大庆8分）已知二次函数)图象顶点的纵坐标不大于－．
(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
(2)若该二次函数图象与轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．
【答案】解：（1）∵图象顶点坐标为（），
由已知得 ，解得。
∴该二次函数图像顶点的横坐标的取值范围是不小于3。
（2）设，则是方程的两个根。
∴。
∴。
由（1）可知。
由于当时，随着的增大，也随着增大
∴当时，线段AB的长度的最小值为。
【考点】二次函数的性质，二次函数和轴的交点与一元二次方程的关系，韦达定理。
【分析】（1）先求出的顶点的纵坐标，根据题意得出 ，即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围。
（2）设，则是方程的两个根，由韦达定理，根据求出线段AB长度的最小值。
例8：（2012湖南长沙10分）如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），
设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：
（0＜m＜n），解得。
∴两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式为：y=x。
（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．
∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）。
如图1，连接O1Q， O2Q。
∵Q（1，4），O1（m，m），
∴根据勾股定理得到：。
又∵O1Q为小圆半径，即QO1=m，
∴=m，化简得：m2﹣10m+17=0 ①
同理可得：n2﹣10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根，
解③得：。
∵0＜m＜n，∴m=5－，n=5+。
∵O1（m，m），O2（n，n），
∴d=O1O2=。
（3）不存在。理由如下：
假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，
∵开口向下，∴a＜0。
如图2，连接PQ。
由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2。
∵P（4，1），Q（1，4），
∴。
又∵O1O2=8，　
∴。
又∵O2R=5+，O1M=5－，MR=，
∴
∴，即抛物线在x轴上截得的线段长为1。
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴，解得。
∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，
令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=。
∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1，
∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，即（）2﹣4（）=1，
化简得：8a2﹣10a+1=0，解得a=。
可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾。
∴不存在这样的抛物线。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相交两圆的性质，勾股定理，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质。
【分析】（1）根据直线过点O1（m，m），O2（n，n），利用待定系数法求出其解析式。
（2）根据P、Q关于连心线对称，求出Q点的坐标；根据勾股定理分别表示出O1Q和O2Q，由O1Q= m和O2Q= n得到一元二次方程，求解即可得到m，n的大小；最后由勾股定理求d。
（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0；求出S1、S2，从而求得：，即抛物线在x轴上截得的线段长为1；根据抛物线过点P（4，1），Q（1，4），用待定系数法求得其解析式为：y=ax2－（5a+1）x+5+4a；由抛物线在x轴上截得的线段长为1，即
|x1－x2|=1，得到关于a的一元二次方程，此方程的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（a＜0）相矛盾，所以得出结论：这样的抛物线不存在。
练习题：
1. （2011贵州黔南4分）二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解，另一个解= ▲ ．
A、1 B、 C、 D、0
2. （2011山东潍坊3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足1＋2＝4和1 2＝3，那么二次函数的图象可能是【 】
A. B. C. D
3. （2011江西省B卷3分）已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是 【 】
A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）
4. （2011广东肇庆10分）已知抛物线与轴交干A、B两点。
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：
（2）若 (O为坐标原点)，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
5. （2011四川泸州10分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为 (0，)，且 ac=．
（1）若该函数的图象经过点（－1，－1）．
①求使y＜0成立的x的取值范围．
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1，设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S22=mS1S3成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
6. （2011湖北武汉12分）如图1，抛物线经过A（－3，0），B（－1，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线与轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7. （湖北黄冈、鄂州14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1 x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
一元二次方程根与系数的关系在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，
证明等式或不等式。
例1：如果一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两根之比为2：3，求证：6b2＝25a c。
【分析】设一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两根为2k，3k，应用韦达定理即可证明。
例2：已知a，b，c为实数，且满足条件：a＝6－b，c2＝ab－9，求证a=b。
【分析】由已知得a＋b＝6，ab＝c2＋9。　　
根据韦达定理的逆定理知，以a，b是一元二次方程x2－6x＋c2＋9＝0的两个根。
　　由a，b为实数知此方程有实根得。
　　从而△＝0，即这表明方程x2－6x＋c2＋9＝0有两个相等实根，即有a=b，
求解具有对称性质的方程（组）。
例1：解方程。
【分析】原方程可变形为由。
　　令＝A，=B。则A＋（－B）=1， A（－B）=－72。
　　由韦达定理逆定理知，以A，－B是一元二次方程z2－z－72＝0的两个根。　　
解方程即可得解。
例2：解方程。
【分析】从方程特点，方程可用换元法求解，但若把方程看着两个数的和，则可发现，所以和是是一元二次方程z2－7z＋12＝0的两个根。解方程即可得解。
例3：：解方程组。【2013年中考攻略】专题18：动态几何之和差问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨，本专题对和差问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。
一、静态和差问题：
典型例题：例1：（2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交
AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ▲ .
【答案】9。
【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。
【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。
同理，EO=EC。
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。
例2：（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】
A． 8 B． 4 C． 8 D． 6
【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。
【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD cos∠ABD=BD cos45°=2。
∴AB=BC=CD=AD=2。
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。
故选C。
例3：（2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】
A.15 B.20 C.25 D.30
【答案】D。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。
【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选D。
例4：（2012山东枣庄3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】
A、14 B、16 C、20 D、28
【答案】D。
【考点】平移的性质，勾股定理。
【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
∴五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2×（6+8）=28。故选D。
例5：（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，
作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】
A．11＋ B．11－
C．11＋或11－ D．11－或1＋
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。
【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。
如图1，由AB＝5，BE=x，得。
由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得，
解得（负数舍去）。
由BC＝6，DF=y，得。
由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得，
解得（负数舍去）。
∴CE＋CF=（6－）＋（5－）=11－。
如图2，同理可得BE= ，DF=。
∴CE＋CF=（6＋）＋（5＋）=11＋。
故选C。
例6：（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
【答案】解：（1）证明：连接AC。
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。
∴AB＝BC。
（2）证明：过C作CF⊥BE于F。
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。
又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴AE＝BF。
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。
【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。
（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.
例7：（2012内蒙古呼和浩特7分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
（1）求证：AF﹣BF=EF；
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．
【答案】（1）证明：如图，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°。
∵DE⊥AG，∴∠AED=90°。∴∠EAD+∠ADE=90°。∴∠ADE=∠BAF。
又∵BF∥DE，∴∠AEB=∠AED=90°。
在△AED和△BFA中，∵∠AEB=∠AED，∠ADE=∠BAF，AD = AB。
∴△AED≌△BDA（AAS）。∴BF=AE。
∵AF﹣AE=EF，∴AF﹣BF=EF。
（2）解：如图，
根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，
∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°。
∴AF′∥ED。∴四边形AEDF′为平行四边形。
又∵∠AED=90°，∴四边形AEDF′是矩形。
∴EF′=AD=3。
∴点F′与旋转前的图中点E之间的距离为3。
【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF﹣AE=EF，等量代换可得证。
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，连接EF′，如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF=AF′，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF′=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD，由AD的长即可求出EF′的长。
例8：（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。
∵ME⊥CD，∴CD=2CE。
∵CE=1，∴CD=2。∴BC=CD=2。
（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC。∴CF=CE。
∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。
在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，
∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。
延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，∴∠G=∠2。
∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。
∴AM=MG。
在△CDF和△BGF中，
∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。
∴GF=DF。
由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。
【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。
（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明△CDF和
△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。
例9：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．
例10：（2012贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】
　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9
【答案】D。
【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB。∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN。
∴BM=ME，EN=CN。∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN。
∵BM+CN=9∴MN=9。故选D。
例11：（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】
　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
【分析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。
故选A。
例12：（2012湖北孝感3分）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值是【 】
A．45 B．60 C．90 D．180
【答案】C。
【考点】余角和补角、
【分析】根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案：
由题意得，∠α＋∠β=180°，∠α＋∠γ=90°，
两式相减可得：∠β－∠γ=90°。故选C。
例13：（2012湖南长沙3分）如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=　 ▲ 　度．
【答案】360。
【考点】平行线的性质。
【分析】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°…①。
∵CD∥EF，∴∠CEF+∠ECD=180°…②。
①+②得，∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°，即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°。
练习题：
1. （2012辽宁本溪3分）如图 在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为【 】
A、16 B、15 C、14 D、13
2. （2012吉林省3分）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时
针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是_ ▲____.
3. （2012福建龙岩3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC
于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ▲ ．
4. （2012福建宁德4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD
的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【 】
A． B． C．2 D．2
5. （2012内蒙古包头10分）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB 的延长线于点E , AD⊥EC 于点D 且交⊙O于点F ，连接BC , CF , AC 。
（1）求证：BC=CF；
（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；
（3）求证：AF + 2DF = AB。
6. （2012山东东营10分）
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．
7. （2012黑龙江牡丹江8分）如图①，△ABC中。AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC， CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=300，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= ．点P到AB边的距离PE=
8. （2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠C＝70 ，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝【 】
A．360 B．250 C．180 D．140
9.（2012江苏南京2分）如图，、、、是五边形ABCDE的4个外角，若，则 ▲
10.（2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，∠1+∠2=【 】。
A．225° B．235° C．270° D．与虚线的位置有关
11.（2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是【 】
A． B． C． D．
二、和差为定值问题：
典型例题：例1： （2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A
到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
【答案】解：（1）∠EAF的大小不会发生变化。理由如下：
在正方形ABCD中，∵AH⊥EF，∴∠AHF=∠D=90°，
∵AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)。∴∠HAF=∠DAF。
同理Rt△AHE≌Rt△ABE，∠HAE=∠BAE。
∵∠HAF+∠DAF+∠HAE+∠BAE=90°，∴∠EAF=∠HAF+∠HAE=45°。
∴∠EAF的大小不会发生变化。
（2）△ECF的周长不会发生变化。理由如下：
由（1）知：Rt△AHF≌Rt△ADF， Rt△AHE≌Rt△ABE，
∴FH=FD，EH=EB。∴EF=EH+FH=EB+FD。
∴CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。
∴CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。
【考点】正方形的性质，动点和定值问题，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）由HL证得Rt△AHF≌Rt△ADF和Rt△AHE≌Rt△ABE即可得∠EAF=∠HAF+∠HAE=45°，即∠EAF的大小不会发生变化。
（2）由（1）两个全等即可得CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD，即CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。
【点评】第二问，△ECF的周长即CE+CF+EF为定值：正方形ABCD边长的2倍。
例2：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。
∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，
∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴。
∵，∴当x=2时，S有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。
例3：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：
连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴。
∵S△BCD=BC CD=BD CK，∴3×4=5CK，∴CK=。
∵S△BCE=BE CK，S△BEP=PR BE，S△BCP=PQ BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，
∴BE CK=PR BE＋PQ BC。
又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。
又∵CK=，∴PR＋PQ=。
（3）图3中的结论是PR－PQ=．
【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。
连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=。
例4：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，
则 解得。
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，
∴，∴x22=4(y2+1)。
又∵，∴。
又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。
设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，
∴ON=2EF，
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，
∴以ON为直径的圆与相切。
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则，
又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，
∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。
延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，
则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=
∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。
（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。
（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。
例5：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时，，解得:x=2.5。
（2）∵，
∴为常数。
（3）延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
练习题：
1. （广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
2. （2011湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．
求证：BH GD=BF2
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG=　 　．请予证明．
3. （2011福建莆田10分） 如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。
（1）(4分)若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1＋S2=2，求的值：
（2）(6分) 若OA=2．0C=4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少
4. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中
的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样
的数量关系？请直接写出你的猜想。
5. （2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE＋BF=EF．
⑵方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
6.（2011福建莆田14分）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
三、和差最大问题：
典型例题：例1： （2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），
且抛物线与y轴交于点B（0，2）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。
由题意得 ，解得。
∴物线的解析式为，即。
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA=，PB=，AB=
当PA=PB时，=，解得；
当PA=PB时，=5，方程无实数解；
当PB=AB时，=5，解得。
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（-1,0）或（1,0）。
（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，
此时点P是直线AB与x轴的交点。
设直线AB的解析式为，则
，解得。∴直线AB的解析式为，
当=0时，解得。
∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。
　　　　（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。
　　　　（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。
例3：（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。
∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。
此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=，
∴。
【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。
【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。
例4：（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
【答案】解：探究：12；15；84。
拓展：（1）由三角形面积公式，得
，。
（2）由（1）得，，
∴
∵△ABC中AC边上的高为，
∴x的取值范围为。
∵随x的增大而减小，
∴当时，的最大值为15，当时，的最小值为12。
（3）x的取值范围为或。
发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为。
【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角有三角函数值，勾股定理， 垂直线段的性质，反比例函数的性质。
【分析】探究：在Rt△ABH中，AB=13，，∴BH=AB。
∴根据勾股定理，得。
∵BC=14，∴HC=BC－BH=9。∴根据勾股定理，得。
∴。
拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。
（2）由（1）和即可得到关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。
（3）当时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D；当时，此时在线段AC上存在两点D；当时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为或。
发现：由拓展（2）知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和（即△ABC中AC边上的高）最小，最小值为（它小于BC边上的高12和AB边上的高）。
练习题：
1. （2011内蒙古乌兰察布4分）如图，是半径为 6 的⊙D的圆周，C点是上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是 ▲
2.（2011四川广安12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
3. （2011河南省11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在轴上，点B的横坐标为﹣8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为，点P的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在轴上时，直接写出对应的点P的坐标．
4. （2011山东青岛10分）)问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
问题解决：如图1，把边长为＋b(≠b)的大正方形分割成两个边长分别是、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：由图可知：M＝2＋2，N＝2．∴M－N＝2＋2－2＝(－)2．
∵≠，∴(－)2＞0．∴M－N＞0．∴M＞N．
类别应用：(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(、是正数，且≠)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(＞)．
联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
四、和差最小问题：
典型例题：例1：（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
例2：（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，。
例3：（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角
坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，
则＝　　▲　　．
【答案】5。
【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：
连接AB并延长交x轴于点P，
由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。
∵点B是正方形ADPC的中点，
∴P（3，0）即OP=3。
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，
则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。
∴OP OQ=3×=5。
例4：（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例5：（2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
　　▲　　。
例6：（2012内蒙古赤峰14分）阅读材料：
（1）对于任意两个数的大小比较，有下面的方法：
当时，一定有；
当时，一定有；
当时，一定有．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵，
∴（）与（）的符号相同
当＞0时，＞0，得
当=0时，=0，得
当＜0时，＜0，得
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：
①W1= （用x、y的式子表示）
W2= （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．
①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【答案】解：（1）①3x+7y；2x+8y。
②W1﹣W2=（3x+7y）﹣（2x+8y）=x﹣y，
∵x＞y，∴x﹣y＞0。∴W1﹣W2＞0。
∴W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大。
（2）①x+3。
②。
③∵
∴当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5；
当=0（即a1﹣a2=0，a1=a2）时，6x﹣39=0，解得x=6.5；
当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5。
综上所述，当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x=6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短。
例7：（2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
，解这个方程组，得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。
∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，，
因此OM+AM最小值为。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。
（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。
对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：
O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，
即OM+AM为最小值。
例8：（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
【答案】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。
∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则
，解得。
∴直线AC的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。
过点B′作B′E⊥x轴于点E。
∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。
∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4。
∴，解得。∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。
∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）。
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则
，解得。
∴直线B'D的解析式为：。
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，解得。
∴M点的坐标为（）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点可求得A．B两点的坐标，同样，由由抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C可求得C点的坐标。用待定系数法，可求得直线AC的解析式。由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可求得顶点D的坐标。
（2）由于点P 在x轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点M为所求。
因此，由勾股定理求得AC=，AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得，从而得到BB′=2BF=。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=，BE= ，OE=BE﹣OB=﹣3=，从而得到点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。
例9：（2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，解得。∴抛物线的函数关系式为。
设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，
令x=0，得y=3，即N（0，3）。
∴N′（6， 3）
由得
D（1，4）。
设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则
，解得。
∴故直线DN′的函数关系式为。
根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
∴。
∴使MN+MD的值最小时m的值为。
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。
②当BD为平行四边形边时，
∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。
又∵BD=2
∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。
∴，即。
若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。
若，解得，，∴E或E。
综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。
（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。
∴。
∴
。
∵，
∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。
例10：（2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、
C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．
(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。
（2）由（1）得。
令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。
令y=0，得，解得x1=－2，x=4。
∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。
∴△BCE的面积=。
（3）由（2）可得的对称轴为x=1。
连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。
设直线CE的解析式为，则
，解得。∴直线CE的解析式为。
当x=1时，。∴H（1，）。
（4）存在。分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示。
则，∴BC2=BE BF。
由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，
∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。
作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。
∴令F（x，－x－2）（x＞0），
又点F在抛物线上，∴－x－2=，
∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。
此时，
又BC2=BE BF，∴（m+2）2= ，解得m=2±。
∵m＞0，∴m=+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示。
则，∴BC2=EC BF。
同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，
∴。
∴令F（x，－（x+2））（x＞0），
又点F在抛物线上，∴－（x+2）=。
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2。∴F（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。
又BC2=EC BF，∴（m+2）2= .
整理得：0=16，显然不成立。
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。
（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。
（4）分两种情况进行讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。
例11：（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分） 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
注：二次函数（≠0）的对称轴是直线=
【答案】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。
将C（0，3）代入得c=3。
将A（－2，0）代入得，，解得b=。
∴抛物线的解析式为。
（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。
设AD的解析式为y=kx+b，
将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，
，解得，，∴直线AD解析式为y=x+1。
∵二次函数的对称轴为，
∴当x=时，y=×+1=。∴P（，）。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称（最短路线问题）。
【分析】（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为，然后将A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式。
（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP＋DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。
例12：（2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
∴ ，解得。
∴抛物线的解析式为：，其对称轴为：。
（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。
如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。
设直线AC的解析式为y=kx＋b，
∵A（4，0），C（0，3），∴ ，解得。
∴直线AC的解析式为：y=x＋3。
令x=1，得y= 。∴M点坐标为（1，）。
（3）结论：存在。
如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。
在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。
∴P1（－2，0）。
∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。
∴四边形ABCP1为梯形。
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。
设CP2与x轴交于点N，
∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。
设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。
∴直线CN的解析式为：y=x+3。
∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，
∴x+3=，化简得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。
∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。
∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，
线段最短的性质，梯形的判定。
【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。
（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。
（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。
例13：（2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）8．
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：
∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。
∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。
∴。
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。
例14：（2012湖北十堰6分）阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式 的最小值为 ．
【答案】解：（1）（2，3）。
（2）10。
【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。
【分析】（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A
（1，1）、点B（2，3）的距离之和。
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）
的距离之和。
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B
间的直线段距离最短。
∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。
∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。
∴。
例15：（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。
∵顶点在直线x＝上，∴，解得。
∴所求函数关系式为。
（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x＝5时，；
当x＝2时，。
∴点C和点D都在所求抛物线上。
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。
当x＝时，。∴P()。
（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。
∴，即，得。
设对称轴交x于点F，则。
∵，
，
(0＜t＜4)。
∵，，0＜＜4，
∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。
例16：（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
练习题：
1. （2011福建福州14分）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线：对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
2. （2011贵州黔南12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3. （四川雅安12分）如图，已知二次函数图像的顶点M在反比例函数上，且与轴交于A，B两点。
（1）若二次函数的对称轴为，试求的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。
4. （2011四川乐山13分）已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；
②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。
5. （2011山东莱芜12分）如图，在平面直角坐标系中，己知点A（－2，－4 ) , OB＝2。抛物线经过A、O、B 三点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M 是抛物线对称轴上的一点，试求MO＋MA的最小值；
（3）在此抛物线上，是否存在一点P，使得以点P与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形。若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
6. （2011湖北黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移[],并称为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当取最小值时，的最大值为 ▲ .
7. （2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
8. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
9. （2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】
A、2 B、4 C、 D、
10.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
11. （2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC
的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
12. （2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．
13. （2011四川资阳9分）在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为10cm/秒．
(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(2) 若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(3) 如图2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．(3分)
14. （广东深圳9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
15. （2011湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为秒．
①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求的值；
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
16. （2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
17. （2011贵州安顺12分）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且
A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．【2013年中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。
一、静态面积问题：
典型例题：例1：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】
　 A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【答案】 C。
【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接OD，则。
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3。
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。
又∵，∴∠DOC=60°。
∴（米2）。故选C。
例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】
A． B．2 C．3 D．
例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。
【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,
设A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c 0）。
∵AB：BC=(m一l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。
又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。
又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB，
∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。
∵直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，
∴，。
∴，。
将 又由AC：BC=m：1得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即
，解得。
∴
。
故选B。
例4：（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．
【答案】解：（1）6；无数。
（2）这个图形的一条面积等分线如图：
连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线。
（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：
理由如下：
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE。
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC。
∴。
∵S△ACD＞S△ABC，
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。
【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。
【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。
（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
（3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等推知S△ABC=S△AEC；由“割补法”可以求得。　
例5：（2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】
（参考数据：，π取3.14）
A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36
【答案】A。
【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。
【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为；Rt△AEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。
∴。故选A。
例6：（2012山东德州3分）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】
A．3 B．4 C． D．5
【答案】C。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。
例7：（2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是【 】
　 A． B． C．π D．3π
【答案】A。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。
【分析】∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴AB=CD。
又∵四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。∴DE=DC=AB=3。
∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE是等边三角形。∴∠C=60°。
∴扇形CDE（阴影部分）的面积为：。故选A。
例8：（2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=【 】
A．2：5：25 B．4：9：25 C．2： 3：5 D．4：10：25
【答案】D。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5
由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA
∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。
又∵S△DEF和S△EBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。故选D。
例9：（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.
【答案】②④。
【考点】矩形的性质，相似
【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，
∴S1+S3=S矩形ABCD；
同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。
如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，
即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。
例10：（2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于
点．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，△A1C1B的面积
记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的
面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝A3M，△A3C3B
的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．
【答案】。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。
【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C1F⊥BM于点F，
∵点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，
∴OB×DM=1。∴。
∵A1C1=A1M，即C1为A1M中点，
∴C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。
∴。
∴。
∵A2C2＝A2M，∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的。
∴。
同理可得：S3=，S4=，…
∴。
练习题：
1. （2012广东省4分）如图，在 ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．
2. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.
3. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ▲ ，= ▲ 。
4. （2012江苏扬州3分）如图，双曲线经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　．
5. （2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．
6. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．
7. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 ▲ 。
8. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.
9. （2012辽宁营口3分）如图，直线与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与轴、轴
分别交于E、F两点，连结OA、OB，若，则 ▲ ．
10. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线上，B、D在双曲线上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，S△ABCD=24，则k1=　 ▲ 　．
二、点动形成的动态面积问题：
典型例题：例1：（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。
∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC h=9，解得h=。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
，解得。来源:21
∴直线AC解析式为。来源:21世纪教育网]
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线L1的解析式为。
则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN sin∠MFE=3×，
FN=MN cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为（，）。
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。
例2：（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
当3＜x≤5时，如图2，
当5＜x≤9时，如图3，
当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ sin60°=AQ sin600
又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
例3：（2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
例4：（2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c
经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3），
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组
，解得：。
∴抛物线的解析式为。
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，
若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则，
∴DP1=AD=4。∴P1。
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，连接DP2，
∵△ABO为等腰三角形,
∴△ADP2是等腰三角形。
由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。∴P2（1，2）。
（3）不存在。理由如下：
如图2设点E ，则
①当P1(－1，4)时，
S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE
∴。 ∴。
∵点E在x轴下方 ∴。代入得： ,即
∵△=(－4)2－4×7=＋12<0，∴此方程无解。
∴当P1(－1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
②当P2（1，2）时，
∴。∴。
∵点E在x轴下方，∴。代入得：，即
∵△=(－4)2－4×5=－4<0，∴此方程无解。
∴当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE
的面积。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。
（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。
（3）由（2）的两解分别作出判断。
例5：（2012湖南张家界12分）如图，抛物线与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A．点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令y=0，即，解得。
∴C（，0）、A（，0）。
令x=0，得y=2。∴B（0，2）。
∴A（，0）、B（0，2）。
（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。
又∵点A（，0）在直线上，∴0=k1+2，解得k1=。
∴直线AB的解析式为y=x+2。
（3）由A（，0）、B（0，2）得：OA=，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。
∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=。
∴D点的横坐标为OD·cos600=，纵坐标为OD·sin600=3。
∴D（，3）。
∵过点D，∴，即k=3。
（4）存在。
∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=﹣t，
∴。
依题意， ， 得0＜t≤4。
∴当t=时，S有最大值为。
例6：（2012四川内江12分）如图，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=900，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M.
求抛物线的解析式；
试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
在抛物线上是否存在点N，使得 如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，
∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC2=OA OB=4。
∴OC=2。∴点C（0，2）。
∵抛物线经过A、B两点，
∴设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得：
，解得。
∴抛物线的解析式：，即。
（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：
如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。
由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB。
由（1）知：，
则点M（），ME=。
而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。
又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。
∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。
（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，
则：。
过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G。
Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，
BG=BF÷sin∠BGF=。
∴G（0，0）或（8，0）。
易知直线BC：y= x+2，则可设直线l：y=x+b，
将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则：
直线l：y= x或y=x+4；
联立抛物线的解析式，得：
，或。
解得或或。
∴抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个：
。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。
【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。
（2）证明CM垂直于过点C的半径即可。
（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。
例7：（2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
【答案】解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转900得到的，
且A（0，1），B（2，0），O（0，0）
∴。
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点A′、B′、B，
∴，解之得。
∴满足条件的抛物线的解析式为。
（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设，则，P点坐标满足。
连接PB，PO，PB′。
∴
。
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，
则，即，解之得，此时。
∴P（1，2）。
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍。
（3）四边形PB′A′B为等腰梯形。它的性质有：
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；
②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；
④等腰梯形两腰相等。
答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。
【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。
【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。
（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。
（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可。
例8：（2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C
三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，
点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元
二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．
当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．
再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．
【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，∴OA=OB=AB=×2=1。
∴A的坐标是（－1，0），B的坐标是（1，0）。
在Rt△OBC中，，∴C的坐标为（0，2）。
（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，
根据题意得： ，解得： 。
∴抛物线的解析式是：。
（3）∵S△ABC=AB OC=×2×2=2，S△ABD=S△ABC，∴S△ABD=S△ABC=1。
设D的纵坐标是m，则AB |m|=1，∴m=±1。
当m=1时，－2x2+2=1，解得：x=±。
当m=－1时，－2x2+2=－1，解得：x=±。
∴D的坐标是：（，1）或（－，1）或（，－1），或（－，－1）。
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。
平移以后的抛物线的解析式是：。
令x=0，解得y=－2c2+2，即OC′= ＋2c2+2。
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′ OB′，
则（－2c2＋2）2=（1－c）（1＋c），即（4c2－3）（c2－1）=0。
解得：c= ，（舍去），1，－1（舍去）。
故平移 或1个单位长度。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。
【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股
定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。
（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD= S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的
纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′
同时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。
例9： （2012广西桂林12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．
(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B
时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．
【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90°， AB＝AC＝6，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 。∴AD＝BD＝DC= 。
∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（SAS）。
（2）依题意有，FC＝AE＝x，AF=6－x
∵△AED≌△CFD，
∴
∴。
∴。
（3）依题意有：FC＝AE＝x，AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°，
∴∠DAF＝∠DBE＝135° 。∴△ADF≌△BDE（SAS）。∴。
∴。
∴。
【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。
【分析】（1）由已知推出△ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。
（2）由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。
（3）由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。
例10：（2012广西玉林、防城港10分）如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.
（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，的取值范围是 ；
（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？
（3）若，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式.
【答案】解：（1）三，k＞0，
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入得；把x=2代入得。
∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）。
∴。
当k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5。
此时E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点。
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小。
（3）设D点坐标为（a，），
∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点。∴C点坐标为（2a，）。
∴A点的纵坐标为。
把y=代入得x=，∴A点坐标为（，），
又∵S△OAC=2，∴×（2a－）×=2，∴k=。
∴双曲线的解析式为。
【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限。
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入可得到A点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。
（3）设D点坐标为（a，），由得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，代入 可确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2列式求解即可求出k的值，从而得到双曲线的解析式。
练习题：
1. （2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2. （2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C
三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，
点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元
二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．
当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．
再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．
3. （2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】
4. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，
沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
5. （2012四川巴中3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿
AB边运动到B，再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是
【 】
6. （2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是 ▲ ；
（2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？
7. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动
点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以
acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
8. （2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，
（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
9. （2012湖北十堰12分）抛物线y=－x2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
10. （2012湖北孝感12分）)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y
轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此
时点P的坐标；
(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为
时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．
三、线动形成的动态面积问题：
典型例题：例1：(2012陕西省3分）在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为 ▲ ．
【答案】；2.47。
【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。
【分析】画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可：
由题意可得，AM=MB=AB=2。
∵线段AB扫过的面积为扇形MCB和扇形MAB的面积和，
∴线段AB扫过的面积=。
例2：（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。
【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。
连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。
。故结论④错误。
如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，
点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的
直角三角形。
则。
故结论⑤正确。
综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。
例3.（2012四川广安3分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为
　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质。
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可：
过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣。∴点P的坐标是（3，﹣）。
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=。
例4：（2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，
【答案】解：（1）10；。
（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。
如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。
当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。
当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），
在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。
∴AF=，AE=－4＋b。
∴S=。
当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），
在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。
∴DH=，AG=。AD=2
∴S=。
当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）
在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），
令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。
∴MC=，NC=14－b。
∴S=。
当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。
综上所述。S与b的函数关系式为：
。
【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。
【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。
②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点
P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。
则由△OAB∽△HMP，得。
∴可设直线MP的解析式为。
由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。
联立y=－2x＋b和，解得。
∴P（）。
由PM=2，勾股定理得，，化简得。
解得。
（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。
例5：（2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；
（2）若S2=3S1，求x；
（3）设S2=mS1，求m的变化范围．
【答案】解：（1）90°；4。
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2。
①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。
∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，
∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。
∴。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。
∴当0＜x＜时，不存在x使S2=3S1。
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3。
∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=×4×1=2
∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。
∴。
又，
∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴，
∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2。
∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3·x2，解得：x1=（舍去），x2=2。
∴x的值为2。
（3）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，∵S2=mS1，
∴。
∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。
∴m的变化范围为：3≤m≤4。
【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。
【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。
∴BK=CD=，CK=BD。
∴AK=AB+BK=。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。
∴AC=CK。∴AE=EK=AK=2=CE。
∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°
∴AC=AK cos45°=。
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当
0＜x＜时，易得S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；
（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得，化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得m的变化范围。
例6：（2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，
（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
【答案】解：（1）∵，∴。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。
∴，即，解得。
（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，。
当0＜＜8时，，解得。
当＞8时，，
解得，（为负数，舍去）。
当或时，。
（3）过M作MN⊥x轴于N，则。
当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。
∵，
∴抛物线的顶点坐标为（5，）。
∴它的顶点在直线上移动。
∵直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1），
∴1＜＜2。∴＜＜。
【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。
【分析】（1）由Rt△CAO∽Rt△ABE得到，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时t的值。
（2）分0＜＜8和＞8两种情况讨论即可。
（3）求出抛物线的顶点坐标为（5，），知它的顶点在直线上移动。由抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边）得1＜＜2，解之即得a的取值范围。
例7：（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所
在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物
线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。
（2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。
设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得
，解得。∴直线AC：。
∵ 直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。
设P，
在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。
∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，
∴
。
∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。
∵，
∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。
（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。
若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。
设P，则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，
∴，整理得，解得（舍去）。
当时，。∴P（3，10）。
∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。
【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。
【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=－1或x=8。
∴A（8，0），B（0，4）。
（2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。
（3）存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据比例关系列出方程求解即可。
例8：(2012广西百色10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)．直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；
（3）已知一定点M（－2，0）．问：是否存在这样的直线y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，请
求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)，
∴。解得。
∴抛物线的解析式为y＝。
（2）把x＝0代入y＝，得y＝6。
∴点C的坐标为(0，6)．
设经过点B和点C的直线的解析式为y＝mx＋n，则
，解得 。
∴经过点B和点C的直线的解析式为y＝－3x＋6。
∵点E在直线y＝h上，∴点E的坐标为(0，h)。
∴OE＝h。
∵点D在直线y＝h上，∴点D的纵坐标为h。
把y＝h代入y＝－3x＋6，得h＝－3x＋6．解得x＝。∴点D的坐标为(，h)。
∴DE＝。
∴S△BDE＝ OE DE＝ h ＝－(h－3)2＋。
∵－＜0且0＜h＜6，
∴当h＝3时，△BDE的面积最大，最大面积是。
（3）存在符合题意的直线y＝h。
设经过点A和点C的直线的解析式为y＝kx＋p，则
，解得。
∴经过点A和点C的直线的解析式为y＝2x＋6。
把y＝h代入y＝2x＋6，得h＝2x＋6．解得x＝。
∴点F的坐标为(，h)。
在△OFM中，OM＝2，OF＝ EQ \r(,()2＋h2)，MF＝ EQ \r(,(＋2)2＋h2)。
①若OF＝OM，则 EQ \r(,()2＋h2)＝2，整理，得5h2－12h＋20＝0。
∵△＝(－12)2－4×5×20＝－256＜0，∴此方程无解。∴OF＝OM不成立。
②若OF＝MF，则 EQ \r(,()2＋h2)＝ EQ \r(,(＋2)2＋h2)，解得h＝4。
把y＝h＝4代入y＝，得＝4，解得x1＝－2，x2＝1。
∵点G在第二象限，∴点G的坐标为（－2，0）。
③若MF＝OM，则 EQ \r(,()2＋h2)＝ EQ \r(,(＋2)2＋h2)，解得h1＝2，h2＝－(不合题意，舍去)。
把y＝h1＝2代入y＝，得＝2．解得x1＝ EQ \F(－1－,2)，x2＝ EQ \F(－1＋,2)。
∵点G在第二象限，∴点G的坐标为（ EQ \F(－1－,2)，0）。
综上所述，存在这样的直线y＝2或y＝4，使△OMF是等腰三角形，当h＝4时，点G的坐标为（－2，0）；当h＝2时，点G的坐标为（ EQ \F(－1－,2)，0）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的性质，分类讨论思想。
【分析】（1）把A(－3，0)和点B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋6即可求。
（2）求出△BDE的面积关于h的表达式，应用二次函数最值即可求得△BDE的面积最大时的h值。
（3）分OF＝OM，OF＝MF，MF＝OM三种情况讨论即可。
练习题：
1. （2011湖北随州4分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿轴向右平移，当点C落在直线=2﹣6上时，线段BC扫过的面积为 【 】
A、4 B、8 C、16 D、8
2. （2011重庆潼南4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于轴的直线l从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是【 】
3. （2011浙江宁波3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，若把Rt△绕边AB所在直线
旋转一周，则所得几何体的表面积为【 】
(A) (B) (C) (D)
4. （2011山东济宁10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
5. （2011江苏盐城12分）如图，已知一次函数与正比例函数
的图象交于点A，且与轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥轴于点C，过点B作直线l∥轴．
动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说
明理由．
四、面动形成的动态面积问题：
典型例题：例1：（2012湖南岳阳3分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【 】
A．B．C．D．
【答案】B。
【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN是正方形。
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，
∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML，
∴△ENK≌△ENL（ASA）。
∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的，即它们重叠部分的面积S不因旋转的角度θ的改变而改变。故选B。
例2：（2012宁夏区3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3， ，则BB1＝ ▲ ．
【答案】1。
【考点】平移的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】由等边△ABC中BC＝3可求得高为，面积为。
由平移的性质，得△ABC∽△PB1C。∴，即，得B1C＝2。
∴BB1＝BC－B1C=1。
例3：（2012山东济南3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ▲ ．
【答案】8。
【考点】平移的性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，
再根据平行四边形的面积公式即可求解：
∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，∴AD∥BE，AD=BE=2，
∴四边形ABED是平行四边形。∴四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8。
例4：（2012辽宁锦州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针
方向旋转60°后得到△AB＇C ＇，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是
【 】
A. π B. π C. 2π D. 4π
【答案】C。
【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴。
∴
=。
故选C。
例5：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）。
（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。
在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。
∴。
又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。
∴。
（3）解：没有变化。理由如下：
∵AB=，BE=1，∴。∴∠BAE=30°。
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。
∴。
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。
（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。
（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论。
例6：（2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.
求M，N的坐标；
在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个
单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；
在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.
【答案】解：（1）解得。∴M的坐标为（4，2）。
在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。
（2）S与自变量t之间的函数关系式为：
（3）当0≤t≤1时，S的最大值为，此时t=1。
当1＜t≤4时，S的最大值为，此时t=4。
当4＜t≤5时，∵，
∴S的最大值为，此时t=。
当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过。
当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过。
综上所述，当t=时，S的值最大，最大值为。
【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。
【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。
（2）先求各关键位置，自变量t的情况：
起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合时，如图2，t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。
①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为，∴。
②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为，下底为，高为1。∴。
③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为，下底为2，高为；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为。
∴。
④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为
6－t ，下底为7－t，高为1。∴。
⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴。
（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。
例7：（2012黑龙江大庆8分） 已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（1）如图1，若将圆心由点A沿AC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A．
则I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __．
【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。
（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积－一个圆的面积。
结合（1）的求解方法，可得所求面积
=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。
（3）I） cm2；Ⅱ）（+π）cm2。
例8：（2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。
又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，。
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，。
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。
∴AB是△ABE外接圆的直径。
在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠CBE。
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。
（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）。
情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得，即，解得HK=2t。
∴
=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t 2t=﹣t2+3t。
情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。
由△IQA∽△IPF，得．即，
解得IQ=2（3﹣t）。
∴
=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+。
综上所述：。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。
【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。
（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。
（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。
①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，
即tan∠DEO==tan∠BAE，
即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。
因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。
②DE为短直角边时，P2在x轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=。
而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9。
即P2（9，0）。
③DE为长直角边时，点P3在y轴上。
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=。
则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷，OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）。
综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。
（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。
例9：（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。
∴，即。
解得：x=2，即BE=2。
（2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。
∴，即。∴ME=2﹣t。
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。
∴t=﹣3+。
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。
（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、
∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。
（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：
①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，∴CE=。
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC tan∠DCB= ，
∴FK=2﹣EK=﹣1。
∵NL=，∴FL=t﹣，
∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。
∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）
=。
④如图⑥，当时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），
B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。
综上所述：。
例10：（2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM=
（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0【答案】解：（1）450；。
（2）①如图1，设直线HG与y轴交于点I。
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。
∵C（2，0），∴AB=OC=2。
又∵AD∥BO，
∴四边形ABOD是平行四边形。∴DO=AB=2。
由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。
∴t=IM=OM－OI=－2。
②如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则
由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝450，
∴OR=RF=，F（，－）。
由旋转的性质和勾股定理，得OG=，
设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=。
在Rt△OTG中，由勾股定理，得，解得x=。
∴G（，－）。
∴用待定系数法求得直线FG的解析式为。
当x=2时，。
∴当t=时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。
∴当0如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；
如图4，t=OE=OM=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；
如图5，t=OE=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C。
∴（I）当0（II）当2由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为。
当x=2时，。∴CP=。∴。
（III）当此时，OE= t，，OC=2，CQ= ，OU=OV= t－。
∴。
综上所述，当0。
【考点】旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）由旋转的性质，得∠AOF＝1350，∴∠FOM＝450。
由旋转的性质，得∠OHM＝450，OH=OC=2，∴OM=。
（2）①由矩形的性质和已知AD∥BO，可得四边形ABOD是平行四边形，从而DO=AB=2。又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2。从而由平移的性质可求得t=IM=OM－OI=－2。
②首先确定当0练习题：
1. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
A．π B． C． D．
2. （2012四川泸州2分）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为【 】
A、 B、 C、 D、
3. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=900，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论
①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，
其中正确结论的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. （2012贵州六盘水4分）两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，△CDE旋转了 ▲ 度，线段CE旋转过程中扫过的面积为 ▲ ．
5. （2012河南省5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积为 ▲
6. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
7. （2012湖南张家界12分）如图，抛物线与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．
（1）分别求出点A．点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；
（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．
8. （2012辽宁丹东14分）已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF
以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.
求：①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请
说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.
9. （2012内蒙古呼伦贝尔13分）如图①，在平面直角坐标系内，Rt△ABC≌Rt△FED，点C、D与原点O重合，点A、F在y轴上重合，∠B=∠E=30°，AC=FD=．△FED不动，△ABC沿直线BE以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B与点E重合为止，设移动x秒后两个三角形重叠部分的面积为S．
（1）求出图①中点B的坐标；
（2）如图②，当x=4秒时，点M坐标为（2，），求出过F、M、A三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P，以点P为圆心，以2为半径的⊙P在运动过程中是否存在与y轴相切的情况？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求出整个运动过程中S与x的函数关系式．
10. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
y=h【2013年中考攻略】专题15：函数关系式的建立方法探讨
“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”这是《课标》关于模型思想的一段描述。因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用进行探讨。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。
一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。 确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。
典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的
点，则(2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．
【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。
【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，解得 。
∴直线l的解析式为：y=2x－1。
∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。
∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。
例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴，解得。
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=2，∴ 2 x=2，解得x=2。
∴y=2×2﹣2=2。
∴点C的坐标是（2，2）。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。
例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．
（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；
（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？
【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，
∵图象经过（0，1500），（25，1000），
∴，解得：。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。
清洗阶段：y=0。
灌水阶段：设解析式为：y=at+c，
∵图象经过（195，1000），（95，0），
∴，解得：。∴灌水阶段解析式为： y=10t﹣950。
（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为：95﹣75=20（分钟），
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，
∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。
例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数图象设解析式为，
将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为。故选B。
例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
，解得。
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。
∴AB＝3－(－1)＝4。
∴△ABD的面积＝×4×4＝8。
(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，
∵点A对应点G的坐标为(3，2)。
∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
∴点G不在该抛物线上。
【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。
【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。
(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。
(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。
例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　．
【答案】y=﹣x2+4x﹣3。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。
又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。
∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。
∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。
例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=。
（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。
∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。
∴M（1，﹣2）。
（ii）如图2，当H在点C上方时，
∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，
把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。
∴y=x﹣2。
由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。
此时y=。
∴M′（）。
②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC=。
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴，即，解得AD=2。
∴D（1，0）或D（﹣3，0）。
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得。
∴点M的坐标为（）或（）。
练习题：
1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：总成本=每吨的成本×生产数量）
2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．
3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】
A． B． C． D．
4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x －1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；
③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．
5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，
与x轴交于A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使
得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
二、应用等量关系建立函数关系式：等量关系法，又可称作方程转化法，即根据等量关系列出含有两个未知数的等式（二元方程），然后整理成函数形式。这种方法适用于“已知了关于变量之间的等量关系（含公式）”类函数建模题。常用的寻找等量关系的方法有：（1）从常见的数量关系中找等量关系；（2）从关键句中找等量关系；（3）从题中反映的（或隐蔽的）基本数量关系确定等量关系。（有关几何问题的等量关系我们在下面介绍）
典型例题：例1. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.
（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？
（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：
每天售出瓶数 17 18 19 20
频数 1 2 2 5
根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；
（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.
【答案】解：（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式
为y=5x－60
当5x－60≥0时，x≥12，
∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本。
（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有
5天，
∴这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.5 。
（3）小明说的有道理。理由如下：
∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元.
而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y=5x－57
在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，
总获利为28+33×2+38×7=360>355 。
∴小明说的有道理。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。
（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。
（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，从而得出总利润，比较即可得出答案。
例2. （2012新疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
C D 总计
A x吨 200吨
B 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
（2）当x为何值时， A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
【答案】解：（1）填表如下：
C D 总计
A x吨 （200﹣x）吨 200吨
B （240﹣x）吨 （60+x）吨 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；
yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。
（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），
∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，
∴当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）。
（3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），
则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，
∵k=2＞0，∴此一次函数为增函数，
∴当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元。
∴按如下方案调运，两村的运费之和最小，最小值为16920元。
C D
A 0吨 200吨
B 40吨 240吨
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可。
由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别
为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式。
（2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且0≤x≤200，故x取最大200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值。
（3）设两村的运费之和为W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数为增函数，可得出x=0时，W有最小值，将x=0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值。　
例3. （2012甘肃白银10分）衬衫系列大都采用国家5.4标准号、型（通过抽样分析取的平均值）．“号”指人的身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围（领子大小），单位均为：厘米．下表是男士衬衫的部分号、型和码数的对应关系：
号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 …
码数 … 38 39 40 41 42 …
（1）设男士衬衫的码数为y，净胸围为x，试探索y与x之间的函数关系式；
（2）若某人的净胸围为108厘米，则该人应买多大码数的衬衫？
【答案】解：（1）根据表可以得到号码每增大1，则净胸围增加4cm，
则y与x一定是一次函数关系，函数关系式是：x=84+4（y－38），即
（2）当x=108时，。
∴若某人的净胸围为108厘米，则该人应买44码的衬衫。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）根据表可以得到号码每增大1，则净胸围增加4cm，则y与x一定是一次函数关系，函数关系式可以求得。
（2）把x=108代入（1）所求的函数解析式，即可求得码数。
例4. （2012湖北荆门3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为【 】
A． B． C． 或 D．或
【答案】C。
【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解析式。
【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，∴k=±2。
把k=±2分别代入反比例函数的解析式得：或。故选C。
例6. （2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。
求二次函数的解析式；
若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；
设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间
的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。
【答案】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为。
∴，解得。
∴二次函数解析式为。
（2）∵二次函数图象经过A点，
∴，A（－3，－6）。
又∵一次函数的图象经过A点，
∴，解得。
（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为
，，
则向左平移后得到的图象C的解析式为，。
此时一次函数的图象平移后的解析式为。
∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为与。
∴当时，，即；
当时，，即。
∴
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。
【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。
（2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得。
（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。
例7. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
【答案】解：（1） 1400﹣50x。
（2）根据题意得：
y=x（﹣50x+1400）﹣4800=﹣50x2+1400x﹣4800=﹣50（x﹣14）2+5000。
当x=14时，在范围内，y有最大值5000。
∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元。
（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0，即：50 （x﹣14）2+5000=0，
解得x1=24，xz=4，
∵x=24不合题意，舍去。
∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。
【分析】（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出，
当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，
∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400元，
∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x。
（2）根据已知得到的二次函数关系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可。
（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=50 （x-14）2+5000=0，求出x即可。
例8. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）
【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400
∴当时，函数Z取得最大值。
∵x为正整数，且，
∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。
答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。
例9. （2012江苏盐城12分）
知识迁移： 当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当
时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.
直接应用：已知函数与函数, 则当_________时,取得最小值
为_________.
变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该
最小值时相应的的值.
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每
千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,
求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【答案】解：直接应用：1；2 。
变形应用：∵ ，
∴有最小值为。
当，即时取得该最小值。
实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则
，
∴当(千米)时,
该汽车平均每千米的运输成本最低，
最低成本为元。
例10. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备
每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和
所需工时如下表：
服装名称 西服 休闲服 衬衣
工时/件
收入（百元）/件 3 2 1
设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。
请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。
求y与x之间的函数关系式。
问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？
【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，
从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。
（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。
（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720
由题意得，解得30≤x≤120。
由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服
270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。
（2）由（1）整理得：y=360－3x。
（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，
解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。
练习题：
1. （2012青海省8分）夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？
（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200株；利润=销售所得金额﹣进货所需金额）
2. （2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每
件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x
为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
3. （2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
4. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营
养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．
(1)至少需要购买甲种原料多少千克
(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买
甲种原料多少千克时，总费用最少
5. （2012湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）
6. （2012湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？
7. （2012湖南益阳8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
8. （2012湖南常德7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：
A种产品 B种产品
成本 （万元／件） 0.6 0.9
利润 （万元／件） 0.2 0.4
若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？
9. （2012湖南郴州8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
10. （2012四川内江9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？
造型花卉 甲 乙
A 80 40
B 50 70
三、应用几何关系建立函数关系式：即在几何问题中，应用几何中的数量等量关系建立函数关系式。常用的数量等量关系有面积公式，勾股定理，比例线段（相似三角形的相似比），锐角三角函数，有关圆的公式等。
典型例题：例1. （2012黑龙江哈尔滨3分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是【 】．
(A)y=－2x+24(0(c)y=2x－24(0【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出函数关系式（几何问题）。
【分析】由实际问题抽象出函数关系式关键是找出等量关系，本题等量关系为“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米”，结合BC边的长为x米，AB边的长为y米，可得BC＋2AB=24，即x＋2y=24，即
y=－x＋12。因为菜园的一边是足够长的墙，所以0例2. （2012黑龙江牡丹江3分）已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是【 】．
【答案】D。
【考点】函数的图象，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元一次不等式组。
【分析】由等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的关系为y+2x＝20，即y＝20－2x。
由三角形两边之和大于第三边。两边之差小于第三边的三边关系，得x－x＜y＜x－x，
即0＜20－2x＜2x，解得5＜x＜10。
符合y＝20－2x（5＜x＜10）是选项D。故选D。
例3. （2012湖南湘潭6分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．
【答案】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），∴b=2。
令y=0，则。
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴，即。
当k＞0时，=2，解得k=1；当k＜0时，=－2，解得k=﹣1。
∴此函数的解析式为：y=x+2或y=﹣x+2。
【考点】待定系数法求一次函数解析式。
【分析】先根据一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2）可知b=0，再用k表示出函数图象与x轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可。
例4. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质。
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积。
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6。
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3。
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1。∴P（3，1）。
∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3。
∴此反比例函数的解析式为：。
例5.（2012江苏无锡8分）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，
∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6，
∴V=a3=（6）3=432（cm3）；
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x，，
∴S=4ah+a2=。
∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。
（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。
例6. （2012黑龙江大庆6分）将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为和.
（1）求与的关系式，并写出的取值范围；
（2）将两圆的面积和S表示成的函数关系式，求S的最小值．
【答案】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2=16π，则r1+r2=8。
∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。
∴r1与r2的关系式为r1+r2=8，r1的取值范围是0＜r1＜8厘米。
（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。
又∵，
∴当r1=4厘米时，S有最小值32π平方厘米。
【考点】二次函数的应用。119281
【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可。
（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值。
例7. （2012辽宁铁岭3分）如图，□ABCD的AD边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，它们的各边与□ABCD的各边分别平行，且与□ABCD相似.若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似多边形的性质。
【分析】∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积。
∵□ABCD的AD边长为8，面积为32，小平行四边形的一边长为x，阴影部分的面积的和为y，且小平行四边形与□ABCD相似，
∴，即。
又∵0＜x≤8，∴纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象。故选D。
例8. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。
又∵OB=2，∴。
（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则。
∵D和E是中点，∴DE=。
（3）∵BD=x，∴。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x。∴OE=。
∴。
【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=BC= ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。
（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 。
（3）由BD=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函数关系式。
∵，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），
∴。
例9. （2012江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A．B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a， 0），
由图2知，当点P到达点A时，
DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a，
S△AOD=4，
∴DO AO=4，即（6﹣a）a＝4。
∴a2﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。
由图2知，DO＞3，∴AO＜3。∴a=2。
∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）。
在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1。
∴MB=4﹣1＝3。∴。∴OM=2+4＝6。
∴B点坐标为（6，3）。
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD
=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，
∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9②。
联立①②，解得x=，y=。∴P（，）。
设直线PD的函数关系式为y=kx+4，将P（，）代入，得=k+4。
解得，k=﹣。
∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4。
【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出DO AO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标。
延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理求出AM，从而得出点B的坐标。
（2）设点P（x，y），连PC．PO，得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，联立求出x、y的值，即可得出P点的坐标。再用待定系数法求出设直线PD的函数关系式。
例10. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。
（1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）y=－x2＋4x。
（2）或。
（3）存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。
∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，
∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，
即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。
∵当时，y=，
∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。
∵当时，y=，
∴此时，点E在边AD上，符合题意。
∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，
∴，即。∴y=－x2＋4x。
（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。
解得。
（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
练习题：
1. （2012黑龙江哈尔滨6分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大 最大面积是多少
2. （2012辽宁营口12分）如图，四边形ABCD是边长为60的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的
四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底
面是正方形的长方体包装盒．
(1) 若折叠后长方体底面正方形的面积为1250，求长方体包装盒的高；
(2) 设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为，长方体的侧面积为S，求S与的函数关系
式，并求为何值时，S的值最大．
3. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
4. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上
的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.
⑴当 时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？
5. （2012湖北鄂州12分）已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线
段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P
运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当
t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t
的值；若不存在，请说明理由。
6. （2012湖北孝感12分）)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y
轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此
时点P的坐标；
(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为
时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．
7. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
8. （2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
9. （2012辽宁阜新12分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
10. （2012贵州安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
四、应用分段分析建立函数关系式：对于自变量的不同的取值范围，函数有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数。它的函数关系式的建立，就得分段分析，应用前述方法分别进行，最后归纳。
典型例题：例1. （2012广东广州12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．
（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
【答案】解：（1）当x≤20时，y=1.9x；
当x＞20时，y=1.9×20+（x﹣20）×2.8=2.8x﹣18。
（2）∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．
∴用水量超过了20吨。
∴由y=2.8x﹣18得2.8x﹣18=2.2x，解得x=30。
答：该户5月份用水30吨。
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）未超过20吨时，水费y=1.9×相应吨数；超过20吨时，水费y=1.9×20+超过20吨的吨数×2.8。
（2）该户的水费超过了20吨，关系式为：1.9×20+超过20吨的吨数×2.8=用水吨数×2.2。
例2. （2012浙江义乌10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
【答案】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）。
在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）。
（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）
如图，设直线BC解析式为y=20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1=﹣10。
∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①。
设直线DE解析式为y=60x+b2，
把点D（，0）代入得b2=﹣80。
∴直线DE解析式为y=60x﹣80②。
联立①②，得x=1.75，y=25。
∴交点F（1.75，25）。
答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km。
（3）设从家到乙地的路程为m km，
则点E（x1，m），点C（x2，m），分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10，
得：。
∵，∴，解得：m=30。
∴从家到乙地的路程为30 km。
【考点】一次函数的图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5小时。
（2）求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得北妈妈追上的时间。
（3）设从家到乙地的路程为m km，则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入两直线方程，依妈妈比小明早10分钟到达乙地列式求解。
本题另解：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），根据妈妈比小明早到10分钟列出有关n的方程，，解之即得n值。
例3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，李老师从家中出发步行前往张勤家家访．6分钟后，张勤从家出发骑车到相距1200米的药店给奶奶买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发t（0≤t≤32）分钟后师生二人离张勤家的距离分别为S1、S2．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题：
（1）李老师步行的速度为　 　；
（2）求S2与t之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象；
（3）张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？
【答案】解：（1）50米/分。
（2）根据题意得：
当0≤t≤6时，S2=0，
当6＜t≤12时，S2=200t﹣1200，
当12＜t≤26时，S2=1200，
当26＜t≤32时，S2=﹣200t+6400，
∴S2与t之间的函数关系式为
。
图象如图：
（3）∵图中可见，李老师从家中出发步行前往张勤家家访经过（0，1600），（32，0），
∴设S1=kx＋b，则，解得。
∴S1=﹣50t+1600。
∵图中可见，张勤与李老师相遇的时间在6＜t≤12，
∴由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，解得t=11.2。
∴张勤出发11.2秒在途中与李老师相遇。
【考点】一次函数的应用，建立函数关系式，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，再结合图形，即可求出李老师步行的速度：1600÷32=50米/分。
（2）根据题意分0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32四种情况进行讨论，即可得出S2与t之间的函数关系式。
（3）由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出t的值即可。
例4. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价
定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种
新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购
买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元
(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并
写出自变量x 的取值范围．
(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 (其它销售条件不变)
【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。
（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；
当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；
当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。
∴。
（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，
此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。
（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。
例5. （2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】
A．B．C．D．
【答案】 C。
【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和直线的性质。
【分析】如图，过点A作AG⊥OC于点G。
∵D（5，4），AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3。
∴根据勾股定理，得OA=5。
∵点E、F的运动的速度都是每秒1个单位长度，
∴点E运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x。
∴当点E在OA上运动时，点F在OC上运动，当点E在AD和DC上运动时，点F在点C停止。
（1）当点E在OA上运动，点F在OC上运动时，如图，作EH⊥OC于点H。
∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴，即。
∴。∴。
此时，y关于x的函数图象是开口向上的抛物线。
故选项A．B选项错误。
（2）当点E在AD上运动，点F在点C停止时，△EOF的面积不变。
∴。
（3）当点E在DC上运动，点F在点C停止时，如图。
EF=OA＋AD＋DC﹣x =11﹣x，OC=5。
∴。
此时，y关于x的函数图象是直线。
故选项D选项错误，选项C正确。故选C。
例6. （2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】如图，过点C作CD垂直AB于点D，则
∵正△ABC的边长为3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3。
∴AD=，CD=。
①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=x，PD=（0≤x≤3）。
∴（0≤x≤3）。
∴该函数图象在0≤x≤3上是开口向上的抛物线。
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6－x）（3＜x≤6）；
∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），
∴该函数的图象在3＜x≤6上是开口向上的抛物线。
综上所述，该函数为。符合此条件的图象为C。故选C。
例7. （2012辽宁营口3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B=．动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动．设△ABP的面积为(B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为，则与之间函数关系的图像大致为【 】
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】当点P在BC上运动时，如图，
△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝，
∴△ABP的面积。
当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,
∴△ABP的面积。
因此，观察所给选项，只有C符合。故选C。
例8. （2012山东烟台3分）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N．设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图，连接PQ，作PE⊥AB垂足为E，
∵过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N，
∴S△PAB=PE×AB，S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN PB+×PA×MQ。
∵矩形ABCD中，P为CD中点，∴PA=PB。
∵QM与QN的长度和为y，
∴S△PAB=S△PAQ+S△PQB=×QN×PB+×PA×MQ=PB（QM+QN）=PBy。
∴S△PAB=PE×AB=PBy，∴。
∵PE=AD，∴PB，AB，PB都为定值。
∴y的值为定值，符合要求的图形为D。故选D。
例9. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
当3＜x≤5时，如图2，
当5＜x≤9时，如图3，
当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ sin60°=AQ sin600
又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
例10. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动
点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以
acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。
（2）①当0过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=t。
∴S=OP·QD=t2。
②当4作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=2。
∴S =DP·QE=t。
③当8延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)。
易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH=(t－8)。
∴=t·2－t·(t－8)
=－t2+3t。
综上所述， 。
∵①②中S随t的增加而增加，
③中，S随t的增加而减小，
∴当t=8时，S最大。
（3）①当△OPM∽△OAB时(如图4)，则PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范围是0②当△OPM∽△OBA时(如图5)，
则， 即。∴OM=。
又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。
∴，即。
整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范围是6≤t≤8。
综上所述：a=1+ (0【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N，
则在Rt△COM中，由∠AOC=60o，OC=4，应用锐角三角函数定义，可求得OM=2，CM=2，
∴ C(2，2)。
由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，
ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。
（2）分0（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。
练习题：
1. （2012江苏连云港10分）我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，
(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；
(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
2. （2012江苏南通9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；
(2)求线段DE对应的函数解析式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
3. （2012湖北咸宁10分）某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．
（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；
（2）求C，E两点间的路程；
（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候， 等
候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．
4. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元。
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
5. （2012湖北黄石8分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.
商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；
反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者
制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管
理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；
（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9％的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法。
6. （2012湖北荆门10分） 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．
（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；
（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？
7. （2012贵州六盘水10分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：
月份 用水量（吨） 水费（元）
4 22 51
5 20 45
（1）求该市每吨水的基本价和市场价．
（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．
（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？
8. （2012四川巴中3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿
AB边运动到B，再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是
【 】
9. （2012辽宁鞍山3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【 】
A． B． C． D．
10. （2012山东临沂3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为【 】
A．　　B．　C．　　D．
五、应用猜想探索建立函数关系式：当题目中“既没有已知函数类型，又没有已知关于变量之间的等量关系（含公式）”时，就要用猜想探究法探求函数关系式。即先得猜想函数的类型，应用待定系数法求出函数关系式，再进行探究。
猜想探究法包括：
（1）逐一验证法：根据所学过的三类函数，逐一假设并求出其关系式，然后将其余对应值代入验证。它是直接从假设函数关系入手，方法最基础，说理较清楚，但步骤较繁。
（2）描点画图法：将已知的各组对应值分别作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出相应的点，观察点的分布情况，猜想函数类型，求出其关系式，并将其余对应值代入验证。它是从形的角度分析，较直观，体现了数形结合思想，但要耗时画图。
（3）数据特征法：分析所给数据的变化特征，猜想函数类型，求出关系式，并将其余对应值代入验证。它是单纯从数的角度分析，解题较简捷，但抽象思维能力要求较高。
因此，在做题时，可根据具体问题选择探索方法。
典型例题：例1. （2012福建厦门3分）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示.
x －1 0 1
y －1 1 3
则y 与x之间的函数关系式可能是【 】
A．y＝x B．y＝2x＋1 C．y＝x2＋x＋1 D．y＝
【答案】B。
【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：
A．根据表格对应数据代入不能全得出y=x，故此选项错误；
B．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确；
C．根据表格对应数据代入不能全得出y＝x2＋x＋1，故此选项错误；
D．根据表格对应数据代入不能全得出y＝ ，故此选项错误。
故选B。
例2. （2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）
【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，
则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。
将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，
∴（1≤x≤6，且x取整数）。
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：
，解得：。
∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。
（2）当1≤x≤6，且x取整数时：
=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。
∵a=﹣1000＜0， 1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。
当7≤x≤12时，且x取整数时：
W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。
∵a=﹣＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。
（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，
设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。
∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。
∴a≈57。
答：a整数值是57。
【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可。
例3. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：
时间t（秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …
行驶距离s（米） 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …
（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；
（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？
②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．
【答案】解：（1）描点图所示：
（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2＋bt＋c，
∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。
又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：
，解得：。
经检验，其余各点均在s=－5t2+15t上。
∴二次函数的解析式为：。
例4. （2012湖北孝感10分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏
水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．
实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出
的水量精确到1毫升)：
时间t(秒) 10 20 30 40 50 60 70
漏出的水量V(毫升) 2 5 8 11 14 17 20
(1)在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点；
(2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)？
(3)按此漏水速度，一小时会漏水 千克(精确到0.1千克)．
实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的
部分？
【答案】解：实验一：
（1）画图象如图所示：
（2）设V与t的函数关系式为V=kt+b，
根据表中数据知：当t=10时，V=2；当t=20时，V=5，
∴，解得：。∴V与t的函数关系式为V=。
由题意得：≥100，解得t≥。
∴337秒后，量筒中的水会满面开始溢出。
（3）一小时会漏水=1079（毫克）=1.079（千克）≈1.1千克。
实验二：
∵小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，
∴图象中会出现与横轴“平行”的部分。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】实验一：
（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可。
（2）先设出V与t的函数关系式为V=kt+b，根据表中数据，列方程组求出k、b，求出V与t的函数关系式，再根据V≥100，即可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出。
（3）根据（2）中的函数关系式，把t=1小时=3600秒代入即可求出答案。
实验二：根据小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与横轴“平行”的部分。
例5. （2012山东潍坊10分）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图)，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度．为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90)，记录相关数据得到下表：
旋钮角度(度) 20 50 70 80 90
所用燃气量(升) 73 67 83 97 115
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律 说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少 最少是多少
(3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量．
【答案】解：（1）若设y=kx+b（k≠0），
由解得 。∴y= x+77。
把x=70代入得y=65≠83，∴一次函数不符合。
若设（k≠0），由解得k=1460。∴ 。
把x=50代入得y=29.2≠67，∴反比例函数不符合。
若设y=ax2＋bx＋c，
由 解得。∴y=x2 x＋97（18≤x≤90）。
把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意。
∴二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律。
（2）由（1）得：y=x2 x＋97=（x－40）2+65，
∴当x=40时，y取得最小值65。
答：当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升。
（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115－65=50（升），设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：
，解得a=23。
答：该家庭以前每月平均用气量为23立方米。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。
【分析】（1）先假设函数为一次函数，任选两点求出函数解析式，再将各点代入验证；再假设函数为二次函数，任选三求出函数解析式，再将各点代入验证
（2）将（1）所求二次函数解析式，化为顶点式，转化为二次函数最值的问题。
（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115－65=50，再设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，据此解答即可。
例6. （2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦
举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
届数 1 2 3 … n
表中n的值等于 ▲ ．
【答案】30。
【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。
将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。
∴。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为。
当y=2012时，，解得x=30。
∴n=30。
例7. （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．
【答案】4n﹣2。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。
设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为，
将（1，2），（2，6）代入，得，解得。
∴。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为。
∴当x= n时，。
∴第n个图案中阴影小三角形的个数是。
例8. （2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是　 ▲ 　．
【答案】21。
【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。
设二阶等差数列与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。
∴。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为。
∴当x= 5时，。
∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。
例9. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】
　　A．54　　B．110　　C．19　　D．109
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图知，图中平行四边形的个数与次序之间形成数对（1，1），（2，5），（3，11），…。
设平行四边形的个数与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，5），（3，11）代入，得，解得。
∴平行四边形的个数与次序之间的关系为。
∴当x= 10时，。
∴第⑩个图形中平行四边形的个数是109。故选D。
练习题：
1. （2012山东青岛10分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进
行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价
x(元/个)之间的对应关系如图所示．
(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的
函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出
最大利润．
2.（2012山东济宁6分）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
3.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .
4.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部
分小正方形的个数是 ▲ ．
5.（2012青海省2分）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．
6.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．【2013年中考攻略】专题19：动态几何之定值问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题：
典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=仍成立。证明如下：
连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴。
∵S△BCD=BC CD=BD CK，∴3×4=5CK，∴CK=。
∵S△BCE=BE CK，S△BEP=PR BE，S△BCP=PQ BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，
∴BE CK=PR BE＋PQ BC。
又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。
又∵CK=，∴PR＋PQ=。
（3）图3中的结论是PR－PQ=．
【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。
连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=。
例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线，
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。
②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵，∴顶点P（2，－k）．
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=，
∴k=±。
③线段EF的长度不会发生变化。
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。
∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。
【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值。
③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴。
∵，∴当x=2时，S有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。
例4：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.
（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，
i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；
ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= ；
（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.
【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。
又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=。
ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。
可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°），
且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。
故sin∠A=sin∠A=。
（2）保持不变。理由如下：
如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，
在Rt△APC中，CK=AP=AK=PK。
同理得：BK=AK=PK。
∴CK=BK=AK=PK。∴点A、B、P、C都在⊙K上。
∴由（1）ii）sin∠A=可知sin60°=。
∴AP=（为定值）。
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。
【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；
ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E= ，得出即可。
（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A= ，得出AP= （定值）即可。
例5：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，
则 解得。
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以。
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，
∴，∴x22=4(y2+1)。
又∵，∴。
又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。
设ON的中点E，分别过点N、E向直线作垂线，垂足为P、F， 则 ，
∴ON=2EF，
即ON的中点到直线的距离等于ON长度的一半，
∴以ON为直径的圆与相切。
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则，
又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，
∴，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。
延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，
则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=
∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。
（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。
（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。
例6：（2012湖北咸宁10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．
理解与作图：
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的
反射四边形EFGH．
计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？
启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我
们的启发证明（2）中的猜想．
【答案】解：（1）作图如下：
（2）在图2中， ，
∴四边形EFGH的周长为。
在图3中，，，
∴四边形EFGH的周长为。
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。
（3）延长GH交CB的延长线于点N，
∵，，
∴。
又∵FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。
∴EF=MF，EC=MC。
同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。
∵，，，∴。
∴GM=GN。
过点G作GK⊥BC于K，则。
∴。
∴四边形EFGH的周长为。∴矩形ABCD的反射四边形的周长为定值。
【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。
（2）图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，从而得到四边形EFGH的周长是定值。
（3）延长GH交CB的延长线于点N，再利用“ASA”证明Rt△FCE和Rt△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出GM的长度，然后即可求出四边形EFGH的周长。
例7：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A
到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
练习题：
1. （2011湖南岳阳8分）如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．
求证：BH GD=BF2
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．
探究：FD+DG=　 　．请予证明．
2. （2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
3. （2011湖南郴州10分）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；
（3）设BP=，△PEM的面积为，求y关于的函数关系式，当为何值时，有最大值，并将这个值求出来．
4. （2011辽宁营口14分）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．
(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；
(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)
(1) (2)
5. （2011贵州遵义12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q
分别从B、D两点同时出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA
向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，
设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？
（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．
6. （2011黑龙江龙东五市8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R。
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）。
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中
的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样
的数量关系？请直接写出你的猜想。
二、面积（和差）为定值问题：
典型例题：例1：（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A。
【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。
【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。
连接OO′，
∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。
∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。
。故结论④错误。
如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，
点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的
直角三角形。
则。
故结论⑤正确。
综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。
例2：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.
（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.
（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？
【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，
∴OC=OP+PC=4+4=8。[来源:21世纪教育网]
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。
t的取值范围为：0＜t＜4。
（2）结论：△AEF的面积S不变化。
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。
∴，即，解得CE=。
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。
S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF） OC+CF CE－OA OE
= [4＋（8－t）]×8+（8－t） －×4×（8＋）。
化简得：S=32为定值。
所以△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。
∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8= t：4－t，化简得t2－12t＋16=0，
解得：t1=6+2，t2=。
由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去。
∴当t=秒时，四边形APQF是梯形。:21世纪教育网
【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为8÷2=4秒，点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4。
（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。
例3：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时，，解得:x=2.5。
（2）∵，
∴为常数。
（3）延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
例4：（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
。
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。
例5：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA）。
（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。
在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。
∴。
又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。
∴。
练习题：
1. （2011山东东营12分）如图所示，四边形OABC是矩形．点A、C的坐标分别为()，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重含)，过点D作直线交折线OAB于点E。
(1) 记△ODE的面积为S．求S与b的函数关系式：
(2) 当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=。若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形．试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分妁面积；若改变．请说明理由。
2. （2011浙江舟山、嘉兴12分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当
点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D（如图2），
① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？
三、其它定值问题：
典型例题：例1：（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。
∴y=2x。
∴。
（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：
如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时。
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。
∴。
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得。
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。
（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。
∴OC=AC=。
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC。∴。
∴OF=。
∴点F（，0）。
设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。
∴，即。
解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。
在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。
∴∠ABE=∠DEO。
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。
设OE=x，则AE=﹣x （），
由△ABE∽△OED得，即。
∴。
∴顶点为。
如图3，当时，OE=x=，此时E点有1个；
当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当时，E点只有1个，当时，E点有2个。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。
【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。
（2）如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。
（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED。在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式，这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。
例2：（2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
【答案】C。
【考点】正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。
【分析】如图，图①中，∠ABC=∠ABD＜×450＜∠DBE，
即∠ABC＜22.50。
根据含30度角的直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，CD≠BC。
图②中，由折叠的性质，∠ABC=∠ABF，EC∥FB，
∴∠ABC=∠ABF=∠ADE=∠BDC。∴BC=DC。
又∵由正方形对折的性质和平行线的性质，知AD=BD，
∴根据直角三角形斜边上中线的性质，得DC=AB，即BC=AB。
满足它的一条直角边等于斜边的一半。
图③中，由正方形对折的性质，它的一条直角边等于另一条直角边的一半，不可能再有一条直角边等于斜边的一半。
图④中，由正方形折叠的性质和平行线的性质，知AB=CB，AB=2BD，
∠ABE=∠CBE，
∴BC=2BD。∴∠BCD=300。∴∠CBD=600。
∵∠ABE＋∠CBE＋∠CBD=1800。∴∠ABE =600。∴∠AEB =300。
∴AB=BE。满足它的一条直角边等于斜边的一半。
综上所述，这样的图形有2个。故选C。
例3：（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD，如图1所示，试求的值；
②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴ ，解得。
∴二次函数的解析式为：。
（2）证明：在中，令y=0，得，解得x1=－3，x2=2。
∴C（2，0），∴BC=5。
令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。
又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，舍去）。
∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），
∴ ，解得：。
∴直线BD解析式为：。
（3）在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，∴ ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。
∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。
∴。
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴。
∴AP CQ=AD CD=5×5=25。
∴
。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。
（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。
（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。
①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出。
②判定△PAD∽△DCQ，得到AP CQ=25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为 不变。
例4：（2012四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线 (a，b，c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
【答案】解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴，解得。
∴直线解析式为。
令x=0，得。∴C（0，）。
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），
∴另一交点为B（5，0）。
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
∵抛物线经过C（0，），∴=a 3（﹣5），解得。
∴抛物线解析式为y= （x+3）（x﹣5），即。
（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则AC∥EF且AC=EF，如答图1。
（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG。
又∵∠COA=∠EOF=900，AC=EF，
∴△CAO≌△EFG（AAS）。
∴EG=CO=，即yE=。
∴，
解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）。
∴E（2，），S ACEF=。
（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，
同理可求得E′（），S ACE′F′=。
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可。
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）。
∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC解析式为。
∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）。
令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，
联立得
x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3。
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）。
根据勾股定理得：
M1M2=
，
M1P=，
M2P=。
∴M1P M2P=
∴M1P M2P=M1M2。∴=1为定值。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。
【分析】（1）把点A的坐标代入即可求出的值。由抛物线的对称轴和点A的坐标可得抛物线与x轴另一交点B的坐标，从而设抛物线的交点式，由点C在抛物线求出待定系数得到抛物线解析式。
（2）分点E在x轴上方和下方两种情况讨论即可。
（3）设出M1M2的解析式，与抛物线联立，根据一元二次方程根与系数的关系得M1、M2两点坐标的关系：x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3，y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k， y1﹣y2=k（x1﹣x2）。由勾股定理表示出M1M2、M1P和M2P，化简即可求证。
例5：（2012广西崇左10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A
到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E、F移动过程中；
（1）∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由.
（2）△ECF的周长是否发生变化？请说明理由.
练习题：
1. （2011江西省B卷9分）如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）
的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为（0°<<120°），旋转后AC，AB分别与
⊙O交于点E,F，连接EF（如图2）. 已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直径为8.
(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长 ②的长 ③∠AFE的度数 ④点O到EF的距离.
其中不变的量是 （填序号）；
(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出的值，并求此时△AEF的面积.
2. （2011广东河源9分）如图1，已知线段AB的长为2，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）
（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明
理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小
是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
3. （2011湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
4. （2011福建泉州14分）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．
（1）当点A的坐标为（，p）时，
①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．
5. （2011福建三明14分）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；
（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：
①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．
6. （2011福建莆田14分）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探讨
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。
一、构造平移图形：
典型例题：例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为l个单位长度．
(1)在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△AlBlCl．
(2)在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转900后得到的△AB2C2
(3)在(1)中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积．
【答案】解：（1）、（2）如图所示：
（3）∵△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形， ∴边AC所扫过区域的面积=4×2=8。
【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可。
（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2。
（3）根据△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1，△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。
例2.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1;
（2）写出A1、C1的坐标；
（3）将△A1B1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结
果保留π)。
【答案】解：（1）两次平移后的△A1B1C1如图所示：
（2）由△A1B1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2）；C1（2，0）。
（3）旋转后的图形如图所示：
∵由勾股定理可知，，∴。
∴线段B1C1旋转过程中扫过的面积为。
【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。
【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的△A1B1C1即可。
（2）根据△A1B1C1在坐标系中的位置写出A1、C1的坐标；
（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C1，再根据勾股定理求出B1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积。
例3.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1．试在图中画出图形Rt△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2．并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程．
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形。点A1的坐标为（1，0）。
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形。
根据勾股定理，A1C1=，
∴旋转过程中C1所经过的路程为。
【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。
【分析】（1）根据网格结构找出点A．B．C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。
（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。
例4.（2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.
（1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC全等且A与A1是对应点；
（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.
【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：
(2)作图如上，
∵AB=，AD=，BD=，∴AB2+AD2=BD2。
∴△ABD是直角三角形。
∴AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。
【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）利用△ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出
△A1B1C1。
（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。
例5.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.
（2）平移△ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.
（3）在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中，△A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .
【答案】解：（1）△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示：
（2）平移后的△A2B2C2如图所示：
点B2、C2的坐标分别为（0，－2），（－2，－1）。
（3）△A1B1C1；（1，－1）。
【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。
【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。
（2）根据平移的性质，点A（－2，4）→A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（－2，0）、C（－4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，－2）、C2（－2，－1），连接即可。
（3）如图所示。
例6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）
【答案】解：（1）如图所示：
（2）∵图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，
∴。
∵将△ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。
再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。
当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：
∴线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=8＋6＋π×=14+π。
【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。
【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可。
（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。
例7.（2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】生活中的平移现象。
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到。故选A。
练习题：
1. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。
3.（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O是坐标原点），解答下列问题：
（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′.
（2）若点C在函数的图像上，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.
4.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)，先
将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1
绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．
(1)画出线段A1B1、A2B2；
(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．
5.（2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．
6.（2012四川凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．
（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
7.（2012辽宁丹东8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
二、点的平移：
典型例题：例1. （2012广东肇庆3分）点M（2，）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】
A．（2，0） B．（2，1） C．（2，2） D．（2，）
【答案】B。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，
∵点M（2，-1）向上平移2个单位长度，∴－1＋2=1。
∴平移后的点坐标是（2，1）。故选B。
例2. （2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为 ▲ ．
【答案】（1，1）。
【考点】坐标平移。
【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，
∵点P（﹣1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，∴﹣1+2=1，4﹣3=1。
∴点P1的坐标为（1，1）。　
例2.（2012江苏泰州3分）如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P′，
则点P′表示的数是 ▲ ．
【答案】2。
【考点】数轴和数，平移的性质。
【分析】如图，根据平移的性质，点P′表示的数是2。
例3.（2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：
∵AB与⊙O相切，∴∠BAP=90°，
∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，∴AB=，
∴△APB的面积，（0≤x≤2）。
∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。
例4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】
A．B．C． D．
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。
当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。
当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。
当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。
当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。
例5.（2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，
沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象。
【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，
∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，
开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；
由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；
结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC。
△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。
例6.（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动
点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。
【分析】∵把A，B分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，
∴A（ ，2），B（2， ）。
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA－PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大。
设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：
，解得：。∴直线AB的解析式是。
当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。
例7.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【 】
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。
【分析】∵抛物线的点P在折线C－D－E上移动，且点B的横坐标的最小值为1，
∴观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合。
∵C（－1，4），∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。
∵B（1，0），∴，解得a=－1。
∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。
∵观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E（3，1），
∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为。
令，即，解得或。
∵点A在点B的左侧，∴此时点A横坐标为2。故选B。
∴点A的横坐标的最大值为2。
例8（2012北京市5分）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个
单位，得到点P的对应点P′.
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对
应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是，则点A′表示的数是 ；若点B′表示的
数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重
合，则点E表示的数是 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xoy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个
点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0,
n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A,B的对应点分别为A′,B′。已知正方形ABCD
内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标。
【答案】解：（1）0；3；。
（2）根据题意得， ，解得.
设点F的坐标为（x，y），
∵对应点F′与点F重合，∴，解得。
∴点F的坐标为（1，4）。
【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。
【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解：
点A′：－3×+1=－1+1=0。
设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3。
设点E表示的数为b，则a+1=b，解得b=。
（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。
例9. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。
（1）写出y与x之间的函数关系式 ▲ ；
（2）若点E与点A重合，则x的值为 ▲ ；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）y=－x2＋4x。
（2）或。
（3）存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴P D′=PD=4－x，E D′=ED= y=－x2＋4x，
EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。
∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，
∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，
即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。
∵当时，y=，
∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。
∵当时，y=，
∴此时，点E在边AD上，符合题意。
∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，
∴，即。∴y=－x2＋4x。
（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。
解得。
（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△E D′A与△D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
例10. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆
上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.
⑴当 时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？
【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。
又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴，即PA2=PC·PD。
∵PC=，AB=4，∴。
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。
（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。
在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。
∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。
∴。
∵
∴当时，有最大值，最大值是2。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。
（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值
练习题：
1. （2012山东东营3分）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是【 】
A．(2，3) B．（2，－１） C．（4，1） D. （0，1）
2.（2012广西来宾3分）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是【 】
A．（－1，2） B．（3，2） C．（1，4） D．（1，0）
3.（2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(－1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A′处，则点A′的坐标为 ▲ .
4.（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】
A．B．C．D．
5.（2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】
A. B. C. D.
6.（2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
7. （2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且与
x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60 ．
(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ ，当点Q与点A重合时，点P的坐标
为 ；
(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应
的自变量x的取值范围．
8. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
9. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动
点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以
acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
10. （2012福建福州13分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．
(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如
何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
11.（2011湖北黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移[],并称为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当取最小值时，的最大值为 ▲ .
三、直线（线段）的平移：
典型例题：例1. （2012湖南娄底3分）对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是【 】
　 A． 函数值随自变量的增大而减小
　 B． 函数的图象不经过第三象限
　 C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
　 D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
例2.（2012福建南平3分）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是 ▲
【答案】y=2x＋1。
【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系。
【分析】直线y=2x经过点（0，0），向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），
∵平移前后直线解析式的k值不变，∴设平移后的直线为y=2x＋b。
则2×0+b=1，解得b=1。∴所得到的直线是y=2x＋1。
例3. （2012湖南娄底4分）如图，A．B的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b=　 ▲ 　．
【答案】2。
【考点】坐标与图形平移变化。
【分析】∵A（1，0）转化为A1（2，a）横坐标增加了1，B（0，2）转化为B1（b，3）纵坐标增加了1，
∴a=0+1=1，b=0+1=1。∴a+b=1+1=2。
例4.（2012江西南昌3分）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】
　 A． a户最长 B． b户最长
C． c户最长 D． 三户一样长
【答案】D。
【考点】生活中的平移现象，平移的性质。
【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。
例5.（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在
的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.
（1）写出点A、点B的坐标；
（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物
线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。
（2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。
设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得
，解得。∴直线AC：。
∵ 直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。
设P，
在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。
∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，
∴
。
∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。
∵，
∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。
（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。
若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。
设P，则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，
∴，整理得，解得（舍去）。
当时，。∴P（3，10）。
∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。
【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。
【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=－1或x=8。
∴A（8，0），B（0，4）。
（2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。
（3）存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据比例关系列出方程求解即可。
例6.（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。
∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC h=9，
解得h=。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
，解得。来源:21
∴直线AC解析式为。
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线L1的解析式为。
则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN sin∠MFE=3×，
FN=MN cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为（，）。
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。
例7.（2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，
【答案】解：（1）10；。
（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。
如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。
当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。
当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），
在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。
∴AF=，AE=－4＋b。
∴S=。
当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），
在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。
∴DH=，AG=。AD=2
∴S=。
当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图3）
在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），
令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。
∴MC=，NC=14－b。
∴S=。
当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。
综上所述。S与b的函数关系式为：
。
【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。
【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。
②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点
P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。
则由△OAB∽△HMP，得。
∴可设直线MP的解析式为。
由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。
联立y=－2x＋b和，解得。
∴P（）。
由PM=2，勾股定理得，，化简得。
解得。
（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。
例8.（2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；
（2）若S2=3S1，求x；
（3）设S2=mS1，求m的变化范围．
【答案】解：（1）90°；4。
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2。
①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。
∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，
∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。
∴。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。
∴当0＜x＜时，不存在x使S2=3S1。
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3。
∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=×4×1=2
∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。
∴。
又，
∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴，
∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2。
∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3·x2，解得：x1=（舍去），x2=2。
∴x的值为2。
（3）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，∵S2=mS1，
∴。
∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。
∴m的变化范围为：3≤m≤4。
【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。
【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。
∴BK=CD=，CK=BD。
∴AK=AB+BK=。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。
∴AC=CK。∴AE=EK=AK=2=CE。
∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。
∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°
∴AC=AK cos45°=。
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当
0＜x＜时，易得S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；
（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得，化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得m的变化范围。
例9.（2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D
的坐标；
(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB
的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
【答案】解：(1) ∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴，解得：。
∴抛物线的解析式是y＝x2－3x。
(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1。
∴直线OB的解析式为y＝x。
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。
∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可设D(x，x2－3x)。
又点D在直线y＝x－m上，∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0。
∵抛物线与直线只有一个公共点， △＝16－4m＝0，解得：m＝4。
此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2。∴ D点坐标为(2，－2)。
(3) ∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)。
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，
∴4k2＋3＝4，解得：k2＝。
∴直线A'B的解析式是y＝x＋3。
∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上。
∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴ n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)。
∴ 点N的坐标为(－，)。
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1(－，－)，B1(4，－4)。
∴O、D、B1都在直线y＝－x上。
∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1。
∴ ＝＝。∴点P1的坐标为(－，－)。
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)。
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，一元二次方程根的判别式，翻折对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可。
(2) 根据已知可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
(3) 综合利用几何变换和相似关系求解：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折。（或用旋转）求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。
练习题：
1. （2012山东枣庄3分）将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为【 】
A．　　　　　B． C．　　　　　D．
2.（2012天津市3分）将正比例函数y=－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ▲ （写出一个即可）．
3. （2011湖北随州4分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】
A、14 B、16 C、20 D、28
4. （2011云南昭通10分）如图（1）所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相争于点C，AD⊥EF，垂足为D。
（1）求证：∠DAC＝∠BAC;
（2）若把直线EF向上平行移动，如图（2）所示，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？
5. （2011四川广安12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
6. （2011辽宁盘锦14分） 如图，直线y＝x＋m(m≠0)交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B且AB＝5，过点A作直线AC⊥AB交y轴于点C.点E从坐标原点O出发，以0.8个单位/秒的速度沿y轴向上运动；与此同时直线l从与直线AC重合的位置出发，以1个单位/秒的速度沿射线AB方向平行移动. 直线l在平移过程中交射线AB于点F、交y轴于点G.设点E离开坐标原点O的时间为t(t≥0)s.
(1)求直线AC的解析式；
(2)直线l在平移过程中，请直接写出△BOF为等腰三角形时点F的坐标；
(3)直线l在平移过程中，设点E到直线l的距离为d，求d与t的函数关系．
　备用图
四、曲线的平移：
典型例题：例1. （2012上海市4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ▲ ．
【答案】y=x2+x﹣2。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2。
例2. （2012广东广州3分）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】
　　A．y=x2﹣1　　B．y=x2+1　　C．y=（x﹣1）2　　D．y=（x+1）2
【答案】A。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加。上下平移只改变纵坐标，下减上加。因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2﹣1。故选A。
例3.（2012陕西省3分）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为【 】
A．1 　　 B．2 　　　　 C．3 　　　　 D．6
【答案】B。
【考点】二次函数图象与平移变换
【分析】计算出函数与x轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向：
当x=0时，y=－6，故函数与y轴交于C（0，－6），
当y=0时，x2－x－6=0， 解得x=－2或x=3，即A（－2，0），B（3，0）。
由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2。故选B。
例5.（2012甘肃兰州4分）抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是【 】
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【答案】B。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：
∵y＝x2，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位。故选B。
例6.（2012四川广安3分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为
　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质。
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可：
过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣。∴点P的坐标是（3，﹣）。
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=。
例7.（2012广西桂林3分）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A
处，则平移后的抛物线解析式是【 】
A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝（x＋1）2＋1 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x－1）2－1
【答案】C。
【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，勾股定理。
【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，
然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式：
∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），
∵OA= ，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=－1舍去）。∴A（1，1）。
∴抛物线解析式为：y＝（x－1）2＋1。故选C。
例8.（2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物
线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．
【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
，解得，。
∴抛物线的解析式：y=x2－x－4。源:21世纪教育网21世纪教育网]
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，
即：。它的顶点坐标P（1－m，－1）。
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。
∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。
当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；
当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，0＜m＜ 。
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠ONB=∠OMB。
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN AM1；
由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20，
又AN=OA－ON=4－2=2，
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。
综上，AM的长为6或2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其
代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。
例9.（2012北京市7分）已知二次函数在和时的函数值相等。
求二次函数的解析式；
若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A，求m和k的值；
设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B,C间
的部分（含点B和点C）向左平移个单位后得到的图象记为C，同时将（2）中得到的直线向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。
【答案】解：（1）∵二次函数在和时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为。
∴，解得。
∴二次函数解析式为。
（2）∵二次函数图象经过A点，
∴，A（－3，－6）。
又∵一次函数的图象经过A点，
∴，解得。
（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的解析式为
，，
则向左平移后得到的图象C的解析式为，。
此时一次函数的图象平移后的解析式为。
∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为与。
∴当时，，即；
当时，，即。
∴
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。
【分析】（1）由二次函数在和时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为，从而由对称轴公式可求得，从而求得二次函数的解析式。
（2）由二次函数图象经过A点代入可求得，从而由一次函数的图象经过A点，代入可求得。
（3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。
例10.（2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C
三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；
（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，
点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元
二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．
当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．
再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．
【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，∴OA=OB=AB=×2=1。
∴A的坐标是（－1，0），B的坐标是（1，0）。
在Rt△OBC中，，∴C的坐标为（0，2）。
（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，
根据题意得： ，解得： 。
∴抛物线的解析式是：。
（3）∵S△ABC=AB OC=×2×2=2，S△ABD=S△ABC，∴S△ABD=S△ABC=1。
设D的纵坐标是m，则AB |m|=1，∴m=±1。
当m=1时，－2x2+2=1，解得：x=±。
当m=－1时，－2x2+2=－1，解得：x=±。
∴D的坐标是：（，1）或（－，1）或（，－1），或（－，－1）。
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。
平移以后的抛物线的解析式是：。
令x=0，解得y=－2c2+2，即OC′= ＋2c2+2。
当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′ OB′，
则（－2c2＋2）2=（1－c）（1＋c），即（4c2－3）（c2－1）=0。
解得：c= ，（舍去），1，－1（舍去）。
故平移 或1个单位长度。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。
【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股
定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。
（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。
（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD= S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的
纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。
（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′同
时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。
练习题：
1. （2012贵州黔东南4分）抛物线y=x2﹣4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为【 】
A．（4，﹣1） B．（0，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，﹣1）
2.（2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再
向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】
A.（－2，3） B.（－1，4） C.（1，4） D.（4，3）
3.（2012江苏扬州3分）将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是【 】
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2
4.（2012湖北鄂州3分）把抛物线的图像向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为，则b的值为【 】
A.2 B.4 C.6 D.8
5.（2012浙江丽水、金华10分）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．
(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形；
(2)如图2，当点A的横坐标为时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
6.（2012福建三明12分）已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图①，当点M与点A重合时，求：
①抛物线的解析式；（4分）
②点N的坐标和线段MN的长；（4分）
（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，
直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）
7. （2011广西崇左14分）已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0,4）.
求m的值；
将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足下述两个条件：的
对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8.
试求平移后的抛物线的解析式；
试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2
相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由.
8. （2011山东枣庄10分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D.
（1）写出的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
9. （2011内蒙古呼和浩特12分）已知抛物线的图象向上平移个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.
（1）求的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；
（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻
折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在≤时对应的函数值的取值范围；
（3）设一次函数，问是否存在正
整数使得（2）中函数的函数值时，对应的的值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
10. （2011四川绵阳12分）已知抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴
交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以
EF为直角边的直角三角形．
五、三角形的平移：
典型例题：例1. （2012湖北孝感3分）如图，△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点A的坐标是(－2，3)，
先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点
A2的坐标是【 】
A．(－3，2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)
【答案】B。
【考点】坐标与图形的对称和平移变化。
【分析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，∴A1的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；
∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，∴A2的横坐标为2，纵坐标为－3。
∴点A2的坐标是（2，－3）。故选B。
例3.（2012江苏无锡2分） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　 ▲　cm．
【答案】3。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】由∠ACB=90°，AB=8，D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，得AD=BD=CD=AB=4。然后由平移的性质得GH∥CD，因此△AGH∽△ADC。 ∴。
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的， ∴AG=4－1=3。
∴，解得GH=3。
例4.（2012湖北黄冈3分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A（－2，3），B（－4，
－1），C（2，0），将△ABC平移至△A1B1C1 的位置，点A、B、C 的对应点分别是A1B1C1，若点A1 的
坐标为（3，1）.则点C1 的坐标为 ▲ .
【答案】（7，－2）。
【考点】坐标与图形的平移变化。
【分析】根据A点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，得到C点的平移方法：
由A（－2，3）平移后点A1的坐标为（3，1），可得A点横坐标加5，纵坐标减2，
则点C的坐标变化与A点的变化相同，故C1（2＋5，0－2），即（7，－2）。
例5.（2012浙江义乌3分）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为【 】
　　A．6　　B．8　　C．10　　D．12
【答案】C。
【考点】平移的性质。
【分析】根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选C。
例6（2012贵州安顺12分）在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题．
（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？
（2）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣3，4），请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
【答案】解：（1）图中格点△A′B′C′是由格点△ABC向右平移7个单位长度得到的；
（2）如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣3，4），则格点△DEF各顶点的坐标分别为D（0，﹣2），E（﹣4，﹣4），F（3，﹣3），
过点F作FG∥x轴，交DE于点G，
则G（－2，－3）。
∴S△DEF=S△DGF+S△GEF=×5×1+×5×1=5。
【考点】作图（平移变换），网格问题，三角形的面积。
【分析】（1）直接根据图形平移的性质得到△A′B′C′即可。
（2）根据△DEF所在的格点位置写出其坐标，过点F作FG∥x轴，交DE于点G，，再根据三角形的面积公式求解。
例7.（2012浙江温州8分）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D,E,F，连结AD，求证：四边形ACFD是菱形。
【答案】证明：由平移变换的性质得，CF=AD=10，DF=AC。
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴。
∴AC=DF=AD=CF=10。∴四边形ACFD是菱形。
【考点】平移的性质，勾股定理，菱形的判定。
【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论。
例8.（2012湖南湘潭8分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
【答案】解：（1）AC⊥BD。证明如下：
∵△DCE由△ABC平移而成，∴△DCE≌△ABC。
又∵△ABC是等边三角形，∴BC=CD=CE=DE，∠E=∠ACB=60°。
∴∠DBC=∠BDC=30°。∴∠BDE=90°。∵BD⊥DE，
∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE。∴BD⊥AC。
（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴。
【考点】等边三角形的性质，平移的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）由平移的性质可知△DCE≌△ABC。故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论。
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长。
例9.（2012广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、
B（0，1）、C（d，2）。
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图
像上。请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，
使得四边形PGMC′是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）作CN⊥x轴于点N。
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵NC＝OA＝2，AC＝AB
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（HL）。
∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，
又∵点C在第二象限，∴d＝－3。
（2）设反比例函数为，点C′和B′在该比例函数图像上，
设C′（c，2），则B′（c＋3，1）。
把点C′和Ｂ′的坐标分别代入，得k＝2 c；k＝c＋3。
∴2 c＝c＋3，c＝3，则k＝6。∴反比例函数解析式为。
得点C′（3，2）；B′（6，1）。
设直线C′B′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′两点坐标代入得，解得。
∴直线C′B′的解析式为。
（3）设Q是G C′的中点，由G（0，3），C′（3，2），得点Q的横坐标为，点Q的纵坐标为
2＋。∴Q（，）。
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的
图象交于P′点，若四边形P′G M′ C′是平行四边形，则有P′Q＝Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于。
作P′Ｈ⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
则△P′EQ≌△QFM′ 。
设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标x为，点P′的纵坐标y为，
点M′的坐标是（，0）。
∴P′E＝。
由P′Q＝QM′，得P′E2＋EQ2＝QF2＋FM′2，∴，
整理得：，解得（经检验，它是分式方程的解）。
∴，，。
∴P′（，5），M′（，0），则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M。
【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，平行四边形的和性质，勾股定理，解分式方程和二元一次方程组。
【分析】（1）作CN⊥x轴于点N，由Rt△CNA≌Rt△AOB即可求得d的值。
（2）根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和直线B′C′的解析式。
（3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C′的中点Q，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与的图象交于P′点，求出P′Q＝Q M′的点M′和P′的坐标即可。
例10.（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。
∵顶点在直线x＝上，∴，解得。
∴所求函数关系式为。
（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴。
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x＝5时，；
当x＝2时，。
∴点C和点D都在所求抛物线上。
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则，解得，。∴直线CD对应的函数关系式为。
当x＝时，。∴P()。
（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。
∴，即，得。
设对称轴交x于点F，则。
∵，
，
(0＜t＜4)。
∵，，0＜＜4，
∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。
练习题：
1. （2012福建莆田4分）如图，△A’B’C’是由ABC沿射线AC方向平移2 cm得到，若AC＝3cm，则
A’C＝　　▲　　cm．
2.（2012山东聊城3分）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是【 】
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格　　
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格　　
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°　　
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
3.（2012宁夏区3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3， ，则BB1＝ ▲ ．
4.（2012湖北宜昌3分）如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC平移到△DEF的位置，下面正确的平移步骤是【 】
A．先把△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位
B．先把△ABC向右平移5个单位，再向下平移2个单位
C．先把△ABC向左平移5个单位，再向上平移2个单位
D．先把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个单位
5.（2012辽宁铁岭3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移
后点B的对应点B′的坐标为 ▲ .
6. （2012山东济南3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ▲ ．
7. （2011山西省9分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE=CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
8.（2011广东珠海7分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标
原点，边OA在轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
若（1）中的抛物线与OB交于点C，与 轴交于点D，
求点D、C的坐标．
六、四边形的平移：
典型例题：例1. （2012山东青岛3分）如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点
A的对应点A1的坐标是【 】
A．(6，1) B．(0，1) C．(0，－3) D．(6，－3)
【答案】B。
【考点】坐标与图形的平移变化。
【分析】∵四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴由A（3，－1）可知，A′坐标为（0，1）。故选B。
例2.（2012江西省8分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值
【答案】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，DO=CE。
∴△AOD≌△BEC（HL）。∴AO=BE=2。
∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C（4，3）。
设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点C，∴，解得k=12；
∴反比例函数的解析式为。
（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形A′B′C′D′，
∴点B′（6，m），
∵点B′（6，m）恰好落在双曲线上，
∴当x=6时，。
即m=2。
【考点】反比例函数综合题，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。
【分析】（1）C点的纵坐标与D的纵坐标相同，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，即可求得BE的长度，则OE的长度即可求得，即可求得C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。
（2）得出B′的坐标是（6，m），代入反比例函数的解析式，即可求出答案。
例3.（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。
∴，即。
解得：x=2，即BE=2。
（2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。
∴，即。∴ME=2﹣t。
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。
∴t=﹣3+。
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。
（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、
∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。
（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：
①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，∴CE=。
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC tan∠DCB= ，
∴FK=2﹣EK=﹣1。
∵NL=，∴FL=t﹣，
∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。
∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）
=。
④如图⑥，当时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），
B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。
综上所述：。
例4.（2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.
求M，N的坐标；
在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个
单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；
在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.
【答案】解：（1）解得。∴M的坐标为（4，2）。
在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。
（2）S与自变量t之间的函数关系式为：
①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为，∴。
②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为，下底为，高为1。∴。
③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为，下底为2，高为；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为。
∴。
④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为
6－t ，下底为7－t，高为1。∴。
⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴。
（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。
例5.（2012四川达州12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线
段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.
（1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）.
（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.?
（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E
落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，
并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.?
?
【答案】解：（1）D（－1，3），E（－3，2）。
（2）抛物线经过（0，2）、（－1，3）、（－3，2），则
，解得 。∴抛物线的解析式为
? （3）①求出端点的时间：
当点D运动到y轴上时，如图1，DD1=DC=BC =，t=。
当点B运动到y轴上时，如图2，BB1=BC=，t=。
当点E运动到y轴上时，如图2，EE1=ED＋DE1=，t=。
? 当0＜t≤时，如图4，正方形落在y轴右侧部分的面积为△CC′F的面积，设D′C′交y轴于点F。
∵tan∠BCO==2，∠BCO=∠FCC′，
∴tan∠FCC′=2, 即=2。
∵CC′=t，∴FC′=2t。
∴S△CC′F?=CC′·FC′=t×t=5 t2。
当＜t≤1时，如图5，正方形落在y轴右侧部分的面积为直角梯形CC′D′G的面积，设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H。
? ∵GH=BC=，∴CH=GH=。
∵CC′=t，∴HC′= GD′=t－。
?∴
?当1＜t≤时，如图6，正方形落在y轴右侧部分的面积为五边形B′C′D′MN的面积，设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N。
? ∵CC′=t，B′C′=,
∴CB′=t－。∴B′N=2CB′=t－。
∵B′E′=，∴E′N=B′E′－B′N=－t。
∴E′M=E′N= (－t)。
? ∴。
?∴。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
②当点E运动到点E′时，运动停止，如图7所示。
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′，
?∴△BOC∽△E′B′C。∴。
∵OB=2，B′E′=BC=，∴。
∴CE′=。
∴OE′=OC+CE′=1+。∴E′（0，）。
? 由点E（－3，2）运动到点E′（0，）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位。
? ∵，∴原抛物线顶点坐标为（）
?∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（）。
例6.（2012江西南昌6分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（﹣2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？
【答案】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，DO=CE。
∴△AOD≌△BEC（HL）。∴AO=BE=2。
∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C（4，3）。
设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得k=12；
∴反比例函数的解析式为。
（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后得到梯形A′B′C′D′，则点B′（6，2）。
∵当x=6时，，∴即点B′恰好落在双曲线上。
【考点】反比例函数综合题，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。
【分析】（1）C点的纵坐标与D的纵坐标相同，过点C作CE⊥AB于点E，则△AOD≌△BEC，即可求得BE的长度，则OE的长度即可求得，即可求得C的横坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式。
（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，点B向上平移2个单位长度得到的点的坐标即可得到，代入函数解析式判断即可。
例7.（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y =3时，，解得:x=2.5。
（2）∵，
∴为常数。
（3）延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
练习题：
1. （2011江苏徐州2分）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是【 】
A． B． C．1 D．
2.（2011辽宁葫芦岛3分）两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2)．已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图(2)中平移距离A′A＝ ▲ .
3.（2012辽宁本溪14分）如图，已知抛物线y=ax +bx+3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；
（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。
4.（2012辽宁丹东14分）已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF
以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.
求：①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请
说明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.
5.（2012贵州安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
6.（2011广东台山10分）如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距。当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变。
（1）计算：O1D= ，O2F= 。
（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方
形只有一个公共点时，中心距O1O2= 。
（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共
点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取 值范围（不必写出计算过程）。
五、圆的平移：
典型例题：例1. （2012福建厦门4分）如图，已知∠ABC＝90°，AB＝πr，BC＝，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是 ▲ .
【答案】2πr。
【考点】作图题，弧长的计算。
【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1，O1O2 ，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可：
圆心O运动路径如图：
∵OO1=AB=πr；O1O2 =；O2O3=BC= ，
∴圆心O运动的路程是πr++ =2πr。
【注：本题实质是圆心的平移，圆是滚动】
例2.（2012黑龙江大庆8分） 已知半径为1cm的圆，在下面三个图中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在图2中∠ABC=90°．
（1）如图1，若将圆心由点A沿AC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（2）如图2，若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；
（3）如图3，若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A【2013年中考攻略】专题16：函数自变量取值范围的探讨
函数是初中数学中一个十分重要的内容，为保证函数式有意义，或实际问题有意义，函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制，这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件，只有正确理解函数自变量的取值范围，我们才能正确地解决函数问题。
初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型，结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从这三方面进行函数自变量取值范围的探讨：（1）函数关系式中函数自变量的取值范围；（2）实际问题中函数自变量的取值范围；（3）几何问题中函数自变量的取值范围。
一、函数关系式中函数自变量的取值范围：初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式：分母≠0；（3）函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；（4）函数关系式含0指数：底数≠0。
典型例题：例1： （2012浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】D。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
。故在数轴上表示为：。故选D。
例2：（2012湖南郴州3分）函数y= 中自变量x的取值范围是【 】
A．x=2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
【答案】B。
【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。
例3：（2012湖南衡阳3分）函数中自变量x的取值范围是【 】
A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
【答案】A。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选A。　
例5：（2012四川内江3分）函数的图像在【 】
A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
【答案】A。
【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。
【分析】∵函数的定义域为，∴，∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限，故选A。
练习题：
1. （2012湖南怀化3分）在函数中，自变量的取值范围是【 】
A． B. C. D.
2. （2012山东威海3分）函数的自变量x的取值范围是【 】
A. x＞3 B. x≥3 C. x≠3 D. x＜－3
3. （2012四川德阳3分）使代数式有意义的x的取值范围是【 】
A. B. C.且 D.一切实数
4. （2012江苏无锡2分）函数中自变量x的取值范围是　 ▲ 　．
5. （2012四川自贡4分）函数中，自变量x的取值范围是 ▲ ．
二、实际问题中函数自变量的取值范围：在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素：（1）自变量自身表示的意义，如时间、路程、用油量等不能为负数；（2）问题中的限制条件，此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。
典型例题：例1： （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：总成本=每吨的成本×生产数量）
【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：。
∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）。
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，
x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。
∴该产品的生产数量为40吨。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。
（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可。
例2：（2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备
每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和
所需工时如下表：
服装名称 西服 休闲服 衬衣
工时/件
收入（百元）/件 3 2 1
设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。
请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。
求y与x之间的函数关系式。
问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？
【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，
从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。
（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。
（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720
由题意得，解得30≤x≤120。
由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服
270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。
（2）由（1）整理得：y=360－3x。
（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，
解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。
例3：（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价
定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种
新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购
买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元
(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并
写出自变量x 的取值范围．
(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 (其它销售条件不变)
【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。
（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；
当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；
当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。
∴。
（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，
此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。
（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。
例4：（2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果
每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元
（x为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，
总销量为：（200-10x）件，
商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。
（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，
∴当x=5时，最大月利润y=2250。
答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。
【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。
（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的
最大值。
例5：（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】解：（1）依题意得
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。
（2）当y=2520时，得，
解得x1=2,x2=11（不合题意，舍去）。
当x=2时，30+x=32。
∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。
（3）
∵a=-10＜0 ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5 。
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36,y=2720， 当x=7时，30+x=37,y=2720。
∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。
最大的月利润是2720元。
【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。
【分析】（1）根据销售利润=销售量×销售单价即可得y与x的函数关系式。因为x为正整数，所以x＞0；
因为每件玩具售价不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。
（2）求出函数值等于2520时自变量x的值即可。
（3）将函数式化为顶点式即可求。
例6：（2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的
总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并
求出最少总运费。
【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得
16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8，
∴18－x=18－8=10。
答：大货车用8辆，小货车用10辆。
（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，
∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。
（3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。
又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。
∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。
【考点】一元一次方程和一次函数的应用
【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。
例7：（2012广西南宁10分）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．
（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？
【答案】解：（1）由题意知：xy=36，∴（）。
（2）根据题意得：，解得：x=0.3。
经检验：x=0.3是原方程的根。1.5x=0.45。
答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤。
【考点】反比例函数和分式方程的应用
【分析】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。
（2）根据题意列出后求解即可。
例8：（2012四川攀枝花8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：
厂别 运费（元/t km） 路程（km） 需求量（t）
A 0.45 200 不超过600
B a（a为常数） 150 不超过800
（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）
例9：（2012湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？
【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。
（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥。
∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数。
（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。
练习题：
1. （2011福建龙岩12分） 周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (干米) 与x (小时)之间的函致图象如图所示，
(1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时；
(2)求线段CD所表示的函敛关系式；
(3)问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，
2. （2011宁夏自治区10分）甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地逆流而上前往B地，甲所乘冲
锋舟在静水中的速度为km/min，甲到达B地立即返回；乙所乘冲锋舟在静水中的速度为km/min．已
知A、B两地的距离为20km，水流速度为km/min，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离y(km)与所用时间x(min)
之间的函数图象如图所示．
求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y与x(min)之间的函数关系式；
(2)甲、乙两人同时出发后，经过多长时间相遇？
3. （2011山东日照9分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机 电冰箱
甲连锁店 200 170
乙连锁店 160 150
设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）．
（1）求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？
4. （2011黑龙江龙东五市8分）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县。我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接在坐标系中的( )内填上数据。
（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围。
（3）求乙车的行驶速度。
5. （2011山东菏泽9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．
（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出该专卖店当一次销售时，所获利润（元）与（只）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？
6. （2011云南昆明9分）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．
（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？
三、几何问题中函数自变量的取值范围：几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件及运动范围，如在三角形中“两边之和大于第三边”。
典型例题：例1： （2012黑龙江大庆6分）将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为和.
（1）求与的关系式，并写出的取值范围；
（2）将两圆的面积和S表示成的函数关系式，求S的最小值．
【答案】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2=16π，则r1+r2=8。
∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。
∴r1与r2的关系式为r1+r2=8，r1的取值范围是0＜r1＜8厘米。
（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。
又∵，
∴当r1=4厘米时，S有最小值32π平方厘米。
【考点】二次函数的应用。119281
【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可。
（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值。
例2：（2012江苏无锡8分）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，
∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6，
∴V=a3=（6）3=432（cm3）；
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x，，
∴S=4ah+a2=。
∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。
【考点】二次函数的应用。
【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。
（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。
例3：（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。
又∵OB=2，∴。
（2）存在，DE是不变的。
如图，连接AB，则。
∵D和E是中点，∴DE=。
（3）∵BD=x，∴。
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。
∴∠2+∠3=45°。
过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。
由△BOD∽△EDF，得，即
，解得EF=x。
∴OE=。
∴。
例4：（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
当3＜x≤5时，如图2，
当5＜x≤9时，如图3，
当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ sin60°=AQ sin600
又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
例5：（2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
例6：（2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是 ▲ ；
（2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？
【答案】解：（1）0≤x≤4。
（2）3，2，25．
（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。
∴EI=DC=3，CI=DE=x。
∵BF=x，∴IF=4－2x。
在Rt△EFI中，。
∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，
∴。
当y=16时，，
解得，。
∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。
【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。
【分析】（1）自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。
（2）由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。
当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。
当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。
（3）求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。
例7：（2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动
点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以
acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．
设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。
（2）①当0过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=t。
∴S=OP·QD=t2。
②当4作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=2。
∴S =DP·QE=t。
③当8延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)。
易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t－8。∴PH=(t－8)。
∴=t·2－t·(t－8)
=－t2+3t。
综上所述， 。
∵①②中S随t的增加而增加，
③中，S随t的增加而减小，
∴当t=8时，S最大。
（3）①当△OPM∽△OAB时(如图4)，则PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at－4=t，即a=1+。 t的取值范围是0②当△OPM∽△OBA时(如图5)，
则， 即。∴OM=。
又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM。
∴，即。
整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范围是6≤t≤8。
综上所述：a=1+ (0【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N，
则在Rt△COM中，由∠AOC=60o，OC=4，应用锐角三角函数定义，可求得OM=2，CM=2，
∴ C(2，2)。
由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，
ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。
（2）分0（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA两种情况讨论即可。
例8：（2012山东日照9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.
【答案】解：（1）∵， PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，
∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0（2）由（1）知：y=－x2＋9x=。
∵当0∴当x=4时，。
∴△PBQ的最大面积是20cm2。
【考点】矩形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解。
（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答。
例9：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.
（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；
（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.
（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？
【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，
∴OC=OP+PC=4+4=8。
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。
t的取值范围为：0＜t＜4。
（2）结论：△AEF的面积S不变化。
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。
∴，即，解得CE=。
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。
S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF） OC+CF CE－OA OE
= [4＋（8－t）]×8+（8－t） －×4×（8＋）。
化简得：S=32为定值。
所以△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。
∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8= t：4－t，化简得t2－12t＋16=0，
解得：t1=6+2，t2=。
由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去。
∴当t=秒时，四边形APQF是梯形。
【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为8÷2=4秒，点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4。
（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以△AEF的面积S不变化，S=32。
（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。
例10：（2012吉林省10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= s时，点P与点Q重合；
（2）当t= s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】解：（1）1。
（2）。
（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；
当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ =t，BP=t，
又∵BP=2－t，∴t=2－t，解得t=。
进一步分析可知此时点E与点F重合。
当点P到达B点时，此时t=2。
因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：
①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ。
此时AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG。
∴EF=AF－AE=2（2－t）－t=4－3t，EG=EF=2－t。
∴DG=DE－EG=t－（2－t）=t－2。
。
②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形。
此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2－t。
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，
可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN。∴AF=4－2t，PM=4－2t。
又DM=DP－PM=t－（4－2t）=3t－4，∴DN=（3t－4）。
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：。
【考点】动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此得t+t=2，解得t=1（s）。
（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC。
∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t。
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=。
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：
①当1＜t≤ 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S。
②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“
”求出。
练习题：
1. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．
2. （2012四川达州12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线
段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.
（1）填空：点D的坐标为（ ），点E的坐标为（ ）.
（2）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.?
（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E
落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，
并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.?
?
3. （2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
4. （2012湖北荆门12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
5. （2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
6. （2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
7. （2012内蒙古呼伦贝尔13分）如图①，在平面直角坐标系内，Rt△ABC≌Rt△FED，点C、D与原点O重合，点A、F在y轴上重合，∠B=∠E=30°，AC=FD=．△FED不动，△ABC沿直线BE以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B与点E重合为止，设移动x秒后两个三角形重叠部分的面积为S．
（1）求出图①中点B的坐标；
（2）如图②，当x=4秒时，点M坐标为（2，），求出过F、M、A三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P，以点P为圆心，以2为半径的⊙P在运动过程中是否存在与y轴相切的情况？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求出整个运动过程中S与x的函数关系式．
8. （2012吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．
（参考公式：二次函数图像的顶点坐标为）
9. （2012湖南怀化10分）如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为,将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n,它的顶点为D.
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.
10. （2012吉林省10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= s时，点P与点Q重合；
（2）当t= s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨
轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个
图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。
一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：
典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此
A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。
故选A。
例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】
【答案】A。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。
故可得选项A与其他图形的对称性不同。故选A。
例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】
【答案】C。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：
A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；
B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；
C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；
D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。
故选C。
例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），
C（－1，－3）.
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）
②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）
【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。
②如图所示，A2（2，1）。
【考点】轴对称和中心对称作图。
【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。
例6. （2012四川乐山9分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1 是△ABC关于直线l的对称图形。
（2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4。
∴S四边形BB1C1C。
【考点】作图（轴对称变换）。
【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM⊥直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形。
（2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。
例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是　 ▲ 　．
【答案】309087。
【考点】镜面对称。
【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。
例8. （2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线
裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】剪纸问题
【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B中所
示。故选B。
例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．
（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ；
（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；
（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 ．
【答案】解：（1）3。
（2）作出的折合矩形EFGH：
（3）2a ； 。
【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。
【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半，
（2）按题意，作出图形即可。
（3）由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍2a。
根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为。
例10.（2012山东潍坊3分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【 】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)
C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)
【答案】C。
【考点】利用轴对称设计图案。
【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：
A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；
B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；
C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；
D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。
故选C。
练习题：
1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】
　　A．　　B．　　C．　　D．
2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【 】
A． B． C． D．
3. （2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　 ▲ 　种．
4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【 】
　 A． B． C． D．5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 ▲ ．8. （2012广东广州12分）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
二、线段、角的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012湖北恩施3分）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于【 】
A．50° B．60° C．65° D．90°
【答案】C。
【考点】平行线的性质，角平分线的定义。
【分析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠1=50°，∴∠BEF=130°（等量代换）。
∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=65°（角平分线的定义）。
∴∠2=∠BEG=65°（两直线平行，内错角相等定理）。故选C。
例2. （2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交
AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ▲ .
【答案】9。
【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。
【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。
又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。
同理，EO=EC。
又∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。
例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　 ▲ ．
【答案】2。
【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】作EG⊥OA于F，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。
∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。
例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【答案】解：作图如下：M即为所求。
【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置（以点C为圆心，AB长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M）。
例4.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
【答案】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置。
【考点】作图（应用与设计作图）。
【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG。则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。
练习题：
1. （2012湖南怀化3分）如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C=110°，则∠EAB为【 】
A．30° B．35° C．40° D．45°
2. （2012贵州黔南4分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=1500，则∠C的度数是【 】
A．1500 B．1300 C．1200 D．1000
3. （2012云南省3分）如图，在中，，，AD是的角平分线，则∠CAD的度数为【 】
4. （2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 ▲ 　．
5.（2012湖南娄底4分）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=　 ▲ 　度．
三、等腰（边）三角形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012黑龙江牡丹江6分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线
【答案】解：能拼成3种平行四边形，如图：
图1中，对角线的长为5；
图2中，对角线的长为3和；
图3中，对角线的长为4和
【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。
【分析】根据平行四边形的性质拼图。图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为。
例2.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】
A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。
例3. （2012湖北荆门3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为【 】
A． 2 B． 2 C． D． 3
【答案】C。
【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。
【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF cos30°=2×。
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。
在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。
例4. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为
▲ ．
【答案】4。
【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。
【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：，
∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，
∴，解得a=3。
∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。
例5. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= ▲
【答案】4或1或9。
【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，根据题意，
∵AB=10，BC=3，E为AB边的中点，
∴AE=5，AD=3。
若AE=AP=5，则在Rt△ADP1中，
由勾股定理，得DP1=4。
若AE=PE=5，A作EF⊥CD于点F，则EF=3，DF=5
在Rt△EFP2中，P2F=4，∴DP2=DF－P2F=1：在Rt△EFP3中，P3F=4，∴DP3=DF＋P3F=9。
另AP=EP=5不成立。
综上所述，DP=4或1或9。
例6. （2012湖北随州8分）如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
求证：（1）ΔABD≌ΔACD；(2)BE=CE
【答案】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，
∴△ABC≌△ACD（SSS）。
（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。
在△ABE和△ACE中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE （SAS）。∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）。
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。
（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。
练习题：
1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】
A．2 B．3 C． D．
2. （2012湖北孝感3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36 ，BD平分∠ABC交AC于点D．若
AC＝2，则AD的长是【 】
3. （2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=
▲ 0。
4. （2012四川泸州5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。
求证：AE∥BC
5. （2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】C。
【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。
【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。
∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。故选C。
例2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为【 】
A.2 B. 3 C. 4 D.5
【答案】A。
【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。
【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：
。故选A。
例3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO，
∴。∴。
又∵，∴BC·AE=24，即。故选D。
例4. （2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120 ，则AB的长为【 】
A．cm B．2cm C．2cm D．4cm
【答案】D。
【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。
【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。
∴AB=AO=4cm。故选D。
例5. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】
A． B．2 C．3 D．
【答案】A。
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，∴，即。
解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。
∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。
例6. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．
例7. （2012上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。
∴△BAE≌△DAF（ASA）。∴BE=DF。
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。
又∵BE=DF ，，∴。∴GF∥BC。
∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。
又∵BE=DF ，∴BE=GF。∴四边形BEFG是平行四边形。
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定。
【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论。
（2）由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而；由和BE=DF即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ，证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。
例8. （2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°。
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，∴AM=AD，CN=BC。
∴AM=CN。
在△MAB和△NDC中，
∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN
∴△MAB≌△NDC（SAS）。
（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：
连接AN，易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM。
∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN。
∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ。
∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，
∴△MQD≌△NPB（SAS）。∴MQ=PN。
∴四边形MPNQ是平行四边形。
∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM。
又∵MP=BM，∴MP=MQ。∴四边形MQNP是菱形。
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。
【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC。
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP是菱形。
例9.（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC
上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。
又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。
在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF， OE=OF ，
∴△AOE≌△DOF（SAS）。∴∠OAE=∠ODF。
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。
【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，
然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。
例10.（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．
练习题：
1. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=1300，则∠AOE的大小为【 】
A．75° B．65° C．55° D．50°
2. （2012江苏苏州3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE的周长是【 】
A.4 B.6 C.8 D. 10
3. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】
（参考数据：，π取3.14）
A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36
5. （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.
6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．
7. （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
8. （2012四川凉山7分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
9.（2012四川内江9分）如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。
求证：四边形ABCD是正方形；
当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。
10. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2
（1）求EC：CF值；
（2）延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；
（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
五、等腰梯形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【 】
　　A．26　　B．25　　C．21　　D．20
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。∴BE=AD=5。
∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选C。
例2. （2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是【 】
A．120o B．110o C．100o D．80o
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。
【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。故选C。
例3. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【 】
A．AC=BD　　B．OB=OC　　C．∠BCD=∠BDC　　D．∠ABD=∠ACD
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。
【分析】A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。
C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误。
D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。
故选C。
例4. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为
（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【 】
　　A．4　　B．5　　C．6　　D．不能确定
【答案】B。
【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。
【分析】如图，连接BD，
由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。
又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。故选B。
例5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】
A．25 B．50 C． D．
【答案】A。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】 过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F。
∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形。∴AD=CE=3，AC=DE。
在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE。
∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。
∴△BDE是等腰直角三角形。∴DF=BE=5。
S梯形ABCD=（AD+BC） DF=（3+7）×5=25。故选A。　
例6. （2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。
【答案】（1）证明：在△ABC中， E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。
∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。
∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。
设AC与EH交于点M，
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。
又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。
∴四边形EFGH是正方形。
（2）解：连接EG。
在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴。
在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴，即四边形EFGH的面积为。
【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积。
例7. （2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。
∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。∴∠GFC=∠B（等量代换）。
∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。
又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。
【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。　
练习题：
1. （2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】
　 A． 17 B． 18 C． 19 D． 20
2. （2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD相交于点O，若OB＝3，则OC＝ ▲ ．
3. （2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F．若AD=2，
BC=4，DF=2，则DC的长为 ▲ ．
4. （2012江苏苏州6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，
连接AE、AC.
⑴求证：△ABE≌△CDA；
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
5. （2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE．求证：AE=DE．
6. （2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠E
六、圆的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【 】
A．3 B．4 C． D．
例2. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A。
【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。
【分析】连接OB，
∵∠A和∠BOC是弧所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°。
又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC=∠BOC=50°。
∴∠OCD=1800－900－500=400。故选A。
例3. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。
【分析】连接OD。
∵CD⊥AB，CD=，∴CE=DE=（垂径定理）。
∴。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。
又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。
∴OC=2。
∴，即阴影部分的面积为。故选D。
例4. （2012山东泰安3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】
　　A．CM=DM　　B．　　C．∠ACD=∠ADC　　D．OM=MD
【答案】D。
【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。
【分析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
∵B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立。
而OM与MD不一定相等，选项D不成立。
故选D。
例5. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　 ▲ 　mm．
【答案】8。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理。
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm。
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm。
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm。
例6. （2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚
度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值
是 　▲ cm．
【答案】30。
【考点】垂径定理的应用，勾股定理。
【分析】当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径：
如图，连接OB，
当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。
∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm。
在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48－r。
∴r2=（48－r）2＋242，解得r=30。
∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm。
例7. （2012青海省2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为 ▲ 度．
【答案】69。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°（等弧所对圆心角相等）。
∴∠AED=138°÷2=69°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。　
例8. （2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．
【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。
∵AB=30，CD=16，∴AE=AB=15，CF=CD=8。
又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。
∴在Rt△AOE中，。
在Rt△OCF中，。
∴EF=OF－OE=15－8=7。
答：AB和CD的距离为7cm。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。
例9. （2012湖南岳阳6分）如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明：∵，∴∠ACD=∠ABC。
又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。
∴，即AC2=AB AF。
（2）解：如图，连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。
在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1
∴。∴AC=2AE=2。
∴。
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】（1）由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。
（2）连接OA，OC，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。
例10. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．
【答案】12。
【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。
【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。
∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。
设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F。
∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60°
∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。
∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。
∴四边形CFO2E是矩形，
∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。
∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。
即DO1=2+1+3=6，
在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD=。
∵∠HO1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH==AB。
∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=×（+）×（3+3）=12。
例11.（2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）作图如下：
能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。
（2）连接BD，交AC于E，
∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。
设CE=x，则AE=4－x，
∵BC= b=3，AB= a=2，
∴由勾股定理得：
解得：。
∴。
∴四边形ABCD的面积是。
答：四边形ABCD的面积是。
【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。
【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；
（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。
练习题：
1. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
2. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】
A. 8 B. 10 C.16 D.20
3. （2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【 】
A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE
4. （2012浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．
5. （2012辽宁朝阳3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O的半径为 ▲ 。
6. （2012辽宁锦州3分）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3㎝，DB=10㎝，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 ▲ ㎝.
7. （2012青海西宁2分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱
形门所在圆的半径为 ▲ m．
8. （2012辽宁沈阳10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.
9. （2012吉林长春5分）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
10. （2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接
A、O1、B、O2．
(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；
(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；
(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．
七、折叠的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】
　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
【分析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。
故选A。
例2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得
∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。
∴。故选A。
例3. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】
A． 8 B． 4 C． 8 D． 6
【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。
【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，
即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD cos∠ABD=BD cos45°=2。
∴AB=BC=CD=AD=2。
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。
故选C。
例4.（2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为【 】
　　A．9：4　　B．3：2　　C．4：3　　D．16：9
【答案】D。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】设BF=x，则由BC=3得：CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：B′F=x。
∵点B′为CD的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。
在Rt△B′CF中，B′F2=B′C2+CF2，即，解得：，即可得CF=。
∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F。∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。
根据面积比等于相似比的平方可得： 。故选D。
例5.（2012青海西宁3分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手
指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过
折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论
【 】
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题）。
【分析】如图②，∵△CDE由△ADE翻折而成，∴AD=CD。
如图③，∵△DCF由△DBF翻折而成，∴BD=CD。
∴AD=BD=CD，点D是AB的中点。∴CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
故选C。
例6.（2012黑龙江绥化3分）长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为 ▲ .
例7. （2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，
∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。
四边形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。
（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。
设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得
3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。
过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。
在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得NM=。
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。
又∵PQ=CQ，∴CQ=。
在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。
∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。
【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。
（3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。
例8. （2012广东深圳8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.
(1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。
∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形AFCE为菱形。
（2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下：
由折叠的性质，得：CE=AE。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°。
∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。
在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形。
（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。（答案不唯一）
例9.（2012广东珠海9分） 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
【答案】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。
（2）（1）中的结论PO∥BC成立。理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。
∴PO∥BC。
（3）证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。
由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。
又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。
∴∠AOP=60°。
又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。
又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。
∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。
又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。
又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。
练习题：
1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】
A．＋1 B．＋1 C．2.5 D．
2. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】
A． B． C． D．3
3. （2012湖北武汉3分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A
恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是【 】
A．7 B．8 C．9 D．10
4. （2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】
A.15 B.20 C.25 D.30
5. （2012山东潍坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=【 】．
A． B． C . D．2
6. （2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
7. （2012吉林省8分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直
线折叠，点O恰好落在 上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
8.（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
八、利用轴对称性求最值：
典型例题：
例1. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。
故选B。
例2. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角
坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，
则＝　　▲　　．
【答案】5。
【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：
连接AB并延长交x轴于点P，
由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。
∵点B是正方形ADPC的中点，
∴P（3，0）即OP=3。
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，
则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。
∴OP OQ=3×=5。
例3.（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，。
例4. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）8．
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：
∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。
∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。
∴。
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。
例5. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．
【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂
蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得
。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短
距离为15cm。
练习题：
1. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
　　▲　　。
2. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
3. （2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】
A、2 B、4 C、 D、
4.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
6.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．
九、解析几何中图形的轴对称性：
典型例题：
例1. （2012广东深圳3分）已知点P(a＋l，2a －3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是【 】
A. B. C. D.
例2. （2012江苏南通3分）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，
则点M的对应的点M1的坐标为【 】
A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
【答案】D。
【考点】平面坐标系与坐标，关于y轴对称的点的坐标特征。
【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点M(－4，－2)关于y轴对称的点M1的坐标是(4，－2)。故选D。
例3. （2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，
E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)
和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标 ▲ ．
【答案】（8，0），（，0）。
【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8。
∴在Rt△AOD中，AD=。
∵E为AD中点，∴OE=AD=×10=5。
①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）。
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）。
③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P。
∴EK∥OA。∴EK：OA=ED：AD=1：2。∴EK=OA=3。
∴OK=。
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。
∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。
∴P点坐标为（，0）。
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。
例4. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】 B。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由二次函数知，
它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。
根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。
由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，。故选B。
例5.（2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ▲ .
【答案】18。
【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。
【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。
∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴。
∴A，B关于x=3对称。∴AB=6。
又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。
例6.（2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
，解这个方程组，得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得
抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。
∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，，
因此OM+AM最小值为。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。
（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。
对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：
O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，
即OM+AM为最小值。
例7. （2012黑龙江牡丹江6分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若与轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线的对称轴是
【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－4）和（－2，5），
∴，解得，。
∴抛物线的解析式为。
（2）存在。
∵抛物线的对称轴为，
∴根据轴对称的性质，点C关于的对称点D即为所求，此时，
∵AB=BA，AC=BD，BC=AD，∴△ABC≌△BAD（SSS）。
在中令，得，∴C（0，－3）。∴D（2，－3）。
【考点】二次函数综合题，曲线上点有坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质。
【分析】（1）用待定系数法，将（1，－4）和（－2，5）分别代入y=x2+bx+c得方程组，解之即可求得
抛物线的解析式。
（2）根据抛物线的轴对称性质即可求解。
例8. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、
C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．
(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．
(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。
（2）由（1）得。
令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。
令y=0，得，解得x1=－2，x=4。
∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。
∴△BCE的面积=。
（3）由（2）可得的对称轴为x=1。
连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。
设直线CE的解析式为，则
，解得。∴直线CE的解析式为。
当x=1时，。∴H（1，）。
（4）存在。分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示。
则，∴BC2=BE BF。
由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，
∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。
作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。
∴令F（x，－x－2）（x＞0），
又点F在抛物线上，∴－x－2=，
∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。
此时，
又BC2=BE BF，∴（m+2）2= ，解得m=2±。
∵m＞0，∴m=+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示。
则，∴BC2=EC BF。
同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，
∴。
∴令F（x，－（x+2））（x＞0），
又点F在抛物线上，∴－（x+2）=。
∵x+2＞0（∵x＞0），
∴x=m+2。∴F（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。
又BC2=EC BF，∴（m+2）2= .
整理得：0=16，显然不成立。
综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。
（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。
（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。
（4）分两种情况进行讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。
②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。
例9. （2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。
由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。
∴点C的坐标为（4，0）。
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，
将A（0，2）代入，得，解得。
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。
∵，∴抛物线的对称轴为。
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。
∵点P（m，n）在上，
∴P。
∴，
，。
∴ 。
∵，∴当时，S最大。
当时，。∴点P的坐标为（2，3）。
（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。
【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。
（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。
（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。
　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。
　　由点P在和可得。
　　∴，整理，得。
　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，
解得。
　　将代入得，将代入得。
　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。
（4）设点M（），
∵C（4，0）, P（2，3）,
∴PC=,
PM=,
CM=。
分三种情况讨论：
　　①当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。∴M1（）。
　　　　　②当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。
∴M2（），M2（）。
③当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。
∴M4（），M5（）。
　 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，△MPC为等腰三角形。
例10. （2012山东威海12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。PM⊥x轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求点P的坐标；
（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；
（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为B（2，1），
∴可设抛物线的解析式为。
将A（0，2）代入，得，解得。
∴该抛物线的表达式。
（2）将代入，得，
∴点C的坐标为（2，2），即CG=2。
∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。
∵PM⊥x轴，，∴∠CMG=300。∴CM=4，GM=。∴OM=，PM=4。
∴点P的坐标为（，4）。
（3）相等。理由如下：
联立和得，解得，。
∵不合题意，舍去，
∴EF=，点E的坐标为（，）。
∴。
又∵，∴。
∴CE=EF。
（4）不存在。理由如下：
假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE。
∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。
∴△CNE是等边三角形。
∴EN=CE，∠CEN=600。
又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。
又∵点E是直线上的点，∴∠CEF=450。
∴点N与点F不重合。
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存在。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。
【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。
（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由△PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。
（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。
（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛盾的结论。
练习题：
1. （2012广东佛山3分）在平面直角坐标系中，点M（－3，2）关于x轴对称的点在【 】
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. （2012湖北荆门3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】
A． B． C． D．
3. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
　　A．（﹣3，0）　　B．（﹣2，0）　　C．x=﹣3　　D．x=﹣2
4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
5. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨
在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x23=（1A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；
（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；
（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一.　待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据
右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：
例：（2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【 】
A．9 B．－9 C．±9 D．±3
【答案】A。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设，则，
∴。故选A。
练习题：
1.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】
A．64 B．48 C．32 D．16
2.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　 ▲ 　。
3.（2011江苏连云港3分）计算 (x＋2) 2的结果为x 2＋□x＋4，则“□”中的数为【 】
A．－2 B．2 C．－4 D．4
4.（2011湖北荆州3分）将代数式化成的形式为【 】
A.? B.? C. D.
二.　待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
典型例题：
例：（2012四川凉山4分）已知，则的值是【 】
A． B． C． D．
【答案】D。
【考点】比例的性质。
【分析】∵，∴设，则b=5k， a=13k，把a，b的值代入，得，
。故选D。
练习题：
1.（2012北京市5分）已知，求代数式的值。
2.（2011四川巴中3分）若，则= ▲ 。
三.　待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。
典型例题：
例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：＝ ▲ 。
【答案】（x－1）（x＋2）。
【考点】因式分解。
【分析】设，
∵，，解得或，
∴。
〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗
例2：分解因式： ▲ 。
【答案】。
【考点】因式分解。
【分析】∵，
∴可设。
∵，
∴。
比较两边系数，得。
联立①，②得a=4，b=－1。代入③式适合。
∴。
练习题：
1. （2012四川南充3分）分解因式： = ▲ 。
2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x3—4x2—12x= ▲ 。
3. （2011贵州黔东南4分）分解因式： ▲ 。
四.　待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。
典型例题：
例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的
点，则(2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．
【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。
【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，解得 。
∴直线l的解析式为：y=2x－1。
∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。
∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。
例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴，解得。
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=2，∴ 2 x=2，解得x=2。
∴y=2×2﹣2=2。
∴点C的坐标是（2，2）。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。
例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．
（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；
（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？
【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，
∵图象经过（0，1500），（25，1000），
∴，解得：。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。
清洗阶段：y=0。
灌水阶段：设解析式为：y=at+c，
∵图象经过（195，1000），（95，0），
∴，解得：。∴灌水阶段解析式为： y=10t﹣950。
（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为：95﹣75=20（分钟），
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，
∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。
例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数图象设解析式为，
将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为。故选B。
例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
，解得。
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。
∴AB＝3－(－1)＝4。
∴△ABD的面积＝×4×4＝8。
(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，
∵点A对应点G的坐标为(3，2)。
∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
∴点G不在该抛物线上。
【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。
【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。
(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。
(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。
例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　．
【答案】y=﹣x2+4x﹣3。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1。
又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。
∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。
∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。
例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=。
（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。
∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。
∴M（1，﹣2）。
（ii）如图2，当H在点C上方时，
∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，
把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。
∴y=x﹣2。
由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。
此时y=。
∴M′（）。
②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC=。
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴，即，解得AD=2。
∴D（1，0）或D（﹣3，0）。
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得。
∴点M的坐标为（）或（）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。
练习题：
1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．
（注：总成本=每吨的成本×生产数量）
2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．
3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】
A． B． C． D．
4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x －1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c；
③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．
5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，
与x轴交于A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使
得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线、．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长．
五.　待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
典型例题：
例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦
举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
届数 1 2 3 … n
表中n的值等于 ▲ ．
【答案】30。
【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。
将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。
∴。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为。
当y=2012时，，解得x=30。
∴n=30。
例2：（2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．
【答案】4n﹣2。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。
设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为，
将（1，2），（2，6）代入，得，解得。
∴。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为。
∴当x= n时，。
∴第n个图案中阴影小三角形的个数是。
例3：（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是　 ▲ 　．
【答案】21。
【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。
设二阶等差数列与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。
∴。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为。
∴当x= 5时，。
∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。
练习题：
1. （2012山东济宁6分）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
2.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .
3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部
分小正方形的个数是 ▲ ．
4.（2012青海省2分）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．
5.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
六.　待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
典型例题：
例1：（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得
∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。
∴。故选A。
例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是　▲　．
【答案】。
【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，
∵，∴。∴设CD＝2x，CF＝3x，
∴。∴tan∠DCF＝。
例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
例4：（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，BM=，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，
∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。
解得x=或x=。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN，∴。
∴。
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，
∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时，S的最小值为。
③连接PG，设DE交AP于点O。
若∠BAD=150，
∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。
∵△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。
∴∠PGA =900。
设BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。
∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。
∴当BP=2－2时，∠BAD=150。
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。
∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。
设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。
又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，
HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。
∵，
，
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，
用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。
练习题：
1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】
A．＋1 B．＋1 C．2.5 D．
2. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，
折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】
A．2 B．4 C． D．
3. （2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．
（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；
第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；
第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．
第三步，连接BD．
（2）求证：AD2=AE AB；
（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．
4. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．
（1）如图l，求证：PC=AN；
（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK： CF=2：3，求DQ的长．
5. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB
于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
(1)求证：P是线段AQ的中点；
(2)若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。【2013年中考攻略】专题7：几何辅助线（图）作法探讨
一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：
人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。
笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。
典型例题：
例1. （2012湖北襄阳3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为【 】
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A。
【考点】平行线的性质。
【分析】如图，过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，∴BD∥l∥m。
∵∠1=25°，∴∠4=∠1=25°。
∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°。
∴∠2=∠3=20°。故选A。
例2.（2012四川内江3分）如图，【 】
B. C. D.
【答案】B。
【考点】平行的性质，三角形外角性质。
【分析】如图，反向延长，形成∠4。
∵，∴∠3=1800－∠4。
又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。
∴。故选B。
例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　 ▲ ．
【答案】2。
【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。
【分析】作EG⊥OA于F，
∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。
∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。
例4.（2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【 】
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】 A。
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。
【分析】根据题意画出图形，如右图所示：
连接AC，
∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，
∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC。∴EF=GH，EF∥GH。
∴四边形EFGH是平行四边形。
由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。
故选A。
例5.（2012江苏宿迁3分）已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）
【答案】矩形。
【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。
【分析】如图，连接AC，BD。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。
又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。
∴四边形EFGH是矩形。
且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。
∴四边形EFGH不可能是菱形。
例6.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。
【分析】连接BE，
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，
∴BE∥AM。∴△AME与△AMB同底等高。
∴△AME的面积=△AMB的面积。
∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。
∴当n≥2时，。
例7.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。
∵E是AB的中点，∴AE=BE。
又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。
（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：
∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。
又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。
∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。
（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。
例8.（2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，
∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。
∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。
又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。
（2）连接ON，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，
△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC。
∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。
∴点N是线段BC的中点。
（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。
在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。
在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴。∴FG=。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而
判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。
（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。
（3）根据（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求
出FO，从而可得出FG的长度。
练习题：
1. （2012宁夏区3分）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝ ▲ 度．
2.（2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 ▲ 　．
3.（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。
4. （2011湖南怀化3分）如图，已知直线∥，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于 【 】
A、100° B、60° C、40° D、20°
5. （2011湖北恩施3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是【 】
A、43° B、47° C、30° D、60°
6. （2011广东茂名3分）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是【 】
A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里
7. （2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ▲ ．
8. （2011贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为 ▲ 。
9. （2011广西玉林、防城港10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB=GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AG=，求EB的长．
10. （2011湖南衡阳10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。
典型例题：
例1. （2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　 ▲ 　．
【答案】50°。
【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：
连接BO，
∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。
∴BO＝CO。
∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB＝∠OAC＝25°。
∵等腰△ABC中， AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。
∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。
∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。
例2.（2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。
∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。
∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。
（2）连接BE。
∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。
∴EB=EF，∠EBF=60°。
∵DC=EF，∴EB=DC。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。
∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。
【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。
【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；
（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。
例3.（2011上海12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．
【答案】解：（1）证明：连接BD。
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF。∴AC∥BF。
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE2＝BE·CE，∴。
∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DEC。∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90°。
∴四边形ABFC是矩形。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。
【分析】（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。
练习题：
（2011山东潍坊3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂
直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为 ▲ ．
2. （2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为 ▲ ．
3. （2011湖北十堰8分）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。
（1）求证：DE是半圆的切线；
（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。
4. （2011四川巴中10分） 如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．
(1)求证：△ABC≌△DNC；
(2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
5. （2011广东河源9分） 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．
(1)点C是否在以AB为直径的圆上 请说明理由;
(2)当AB=4时，求此梯形的面积．
三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。
典型例题：
例2.（2012广西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直
线形成的夹角的余弦值为 （即cosC=），则AC边上的中线长是 ▲ ．
【答案】或a。
【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。
作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。
∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a。
∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。。∴BC=BD+CD=a。
∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=DC=a，EF=AD=a。
∴BF=a。
在Rt△BEF中，由勾股定理，得。
②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。
作△ABC的高AD。
∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a。
∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。∴BC= BD=a。
∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=AD=a。
综上所述，AC边上的中线长是或a。
例3. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重
合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】
A．2 B．4 C． D．
【答案】D。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。
【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：
过点N作NG⊥BC于G，
∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。
∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。
由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。
∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。
∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。
设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。
在Rt△CGN中，，
在Rt△MNG中，，
∴。故选D。
例4.（2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
【答案】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。
又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=。
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，
∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ =3+。
∴ 。
【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。
例5.（2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16 的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意
图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28 ，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O
的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考
数据：cos28 ≈0.9，sin62 ≈0.9，sin44 ≈0.7，cos46 ≈0.7)．
【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。
在Rt△AOB中，，即，
∴。
∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。
在Rt△AOE中，，即，
∴
9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。
答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。
例6.（2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
【答案】解：作PD⊥AB于点D，
由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，
在Rt△PAD中，
由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100（米）。
在Rt△PBD中，
由sin37°=，得PB=（米）。
答：小亮与妈妈的距离约为288米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。
【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。
例7. （2012吉林省8分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直
线折叠，点O恰好落在 上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
【答案】解：连接OD。
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD。∴△OBD是等边三角形。∴∠DBO=60°。
∴∠CBO=∠DBO=30°。
∵∠AOB=90°，∴OC=OB tan∠CBO=6×。
∴，
，
∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+==AC+OC+OB+=6+6+3π=12+3π。
整个阴影部分的面积为：。
【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的扇形面积的计算。
【分析】连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又由在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积与 的长，从而求得整个阴影部分的周长和面积。
练习题：
1. （2012四川绵阳3分）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。
A． B． C． D．
2.（2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22 时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45 时，教学楼顶A在地面上的影
子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22 ≈，cos22 ≈，tan22 ≈)
3.（2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】
A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m
4.（2012江苏南京2分）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm
（结果精确到0. 1 cm，参考数据：，，）
5.（2012福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于
点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)
6.（2012陕西省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．
（参考数据：，
）
7.（2012江苏连云港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)
8.（2012四川乐山10分）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）
四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。
典型例题：
例1. （2012浙江绍兴5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ▲ 。
例2. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】
　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。
∴DE=HE，DC=AH。
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。
例3.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴。
∵，∴当x=2时，S有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。
例4. （2011广西南宁3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，∠A＝15 ，AB＝8，则AC·BC的值为【 】
A．14 B．16 C．4 D．16
【答案】D。
【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。
【分析】延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB，垂足为点E。则知△ACD≌△ACB，从而由已知得∠CAD＝∠A＝15 ，AD＝AB。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30 ，∴DE＝AD·sin30 ＝4。从而S△ADE＝·AB·DE＝16，又S△ADE＝·BD·AC＝·2BC·AC＝AC·BC，即AC·BC＝16。
例5. （2011山东济南3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，AC＞BC，分别以AB、BC、CA为一边
向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积
分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是【 】
A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3
C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1
【答案】A。
【考点】正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】过点D作DQ⊥MN交CB的延长线于点P，交MN的延长线于点Q；
过点E作ER⊥GF交CA的延长线于点S，交GF的延长线于点R。
易证△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC；
易证△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底为BN=BC，高为BP=AC，∴S2＝S△ABC；
易证△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底为FA=CA，高为AS=BC，∴S2＝S△ABC。
∴S1＝S2＝S3＝S△ABC。故选A。
例6. （2011山东德州8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【答案】解：（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，
∴△ACD≌△ABE（AAS）。∴AD=AE。
（2）在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，
∴△ADO≌△AEO（HL）。∴∠DAO=∠EAO。
即OA是∠BAC的平分线。
又∵AB=AC，∴OA⊥BC。
【考点】全等三角形的判定和性质
【分析】（1）根据全等三角形AAS的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。
（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，即OA⊥BC。
练习题：
1. （2012湖南岳阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=　 ▲ 　．
2. （2011湖北恩施3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 【 】
A、11 B、5.5 C、7 D、3.5
3. （2011湖北随州4分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=　 ▲ 　．
4.（2011广西贵港2分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，
若AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积等于_ ▲ cm2．
5. （2011江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC折叠, 使点B落在EF上的点B' 处(如图②); 展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH折叠, 使点C落在DH上的点C' 处(如图④); 沿GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕GC' 、GH(如图⑥)。
求图②中∠BCB' 的大小;
图⑥中的△GCC' 是正三角形吗 请说明理由.
五、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，达到求证（解）的目的。
典型例题：
例1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】
A.米 B.12米 C.米 D．10米
【答案】A。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。
【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。
∴BD=BF+EF+ED=12+2。
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故选A。
例2.（2012湖北十堰3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF=　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；．
【分析】连接EC，AC、EF相交于点O。
∵AC的垂直平分线EF，∴AE=EC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。
∴△AOE∽△COF。∴。
∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。
在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即CE2=（4－CE）2+22，解得： CE=。
∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=。
∵在Rt△CEO中，CO=，CE=，由勾股定理得：EO=。∴EF=2EO=。
例3.（2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。
∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=－（舍去）．
∴点P的坐标为（ ，6）。
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。
∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。
又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴。
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．
∴。∴（0＜t＜11）。
（Ⅲ）点P的坐标为（，6）或（，6）。
【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，
△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值：
过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。
∴∠PC′E+∠EPC′=90°。
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。
∴△PC′E∽△C′QA。∴。
∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m，
∴。
∴。
∵，即，∴，即。
将代入，并化简，得。解得：。
∴点P的坐标为（，6）或（，6）。
例4.（2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．
【答案】15。
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。
【分析】如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，
∴设BE=DE=x，则AD=AF=4x。
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，∴，即，解得。
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。
又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即，]解得。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得。
∴。
又∵△ADF∽△ABC，∴，∴
∴。
例5. （2011山东淄博4分）如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。
【分析】∵CM＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，
又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD。
∴tan∠NPH＝。
练习题：
1. （2012江西南昌8分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）
2. （2011山东淄博4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，
垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF= ▲ ．
3. （2011广东深圳3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【 】
A. :1 B. :1 C.5:3 D.不确定
4. （2011广西北海3分）如图，△ABC的面积为63，D是BC上的一点，且BD∶CD＝2∶1，DE∥AC
交AB于点E，延长DE到F，使FE∶ED＝2∶1，则△CDF的面积为 ▲ ．
5. （2011湖北黄石3分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图。将这两张纸条交叉
重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 ▲ .
6. （2011山西省3分）如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的长是 ▲ 。
7. （2011陕西省8分）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：
①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；
②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．
根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）
8. （2011北京5分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
六、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它们边、角、对角线、中位线的性质，达到求证（解）的目的。
典型例题：
例1. （2012贵州遵义3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。
∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。
∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。
∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=CF=。∴NG=。
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣。∴BF=2BN=5
∴。故选B。
例2. （2012四川德阳3分） 如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动
点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】平行四边形的判定和性质。
【分析】过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，PE。
∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形。∴PEAB。，
∵四边形BDEF是平行四边形，∴EFBD。
∴EF∥AB。∴P，E，F共线。
设BD=a，
∵，∴PE=AB=4a。∴PF=PE﹣EF=3a。
∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC。
∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形。∴BH=PF=3a。
∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故选D。
例3.（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.
【答案】②④。
【考点】矩形的性质，相似
【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，
∴S1+S3=S矩形ABCD；
同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。
如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，
即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。
例4.（2012广西贵港8分）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交
AC于点G。
（1）求证：AF＝DF；
（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。
【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD。
∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。
∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。
（2）如图2，在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，
∵∠ABC＝60°，∴△ANB是等边三角形。
∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°。
∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。
∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°。
∴∠BAC＝90°。
由勾股定理得：AC＝＝。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。
∴△AGB∽△CGE。∴＝＝。∴＝，解得AG＝。
在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝。
∵＝，
∴GE＝，BE＝＋＝2。
∵四边形ABDE是平行四边形，∴BF＝BE＝。∴FG＝－＝。
【考点】平行四边形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案。
（2）在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN＝1＝AN，根据
三角形的内角和定理求出∠BAC＝90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根据□BDEA求出BF，即可求出答案。
例5.（2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
【答案】证明：连接CE。
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。
∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
例6.（2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角
线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，
∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。
四边形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。
（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。
设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得
3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。
过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。
在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得NM=。
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。
又∵PQ=CQ，∴CQ=。
在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。
∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。
【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。
（3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。
例7. （2011山东泰安10分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
【答案】解：（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD。
又∵AD∥DC，∴四边形AECD为平行四边形。
∴AE∥DC。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 ∴△AOE∽△COF。
（2）证明：连接DE，
∵AD平行且等于BE，∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形。
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE。
∵E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中线。
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF。
又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴四边形EFDG是菱形。
【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定。
【分析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF。
（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形和三角形中位线的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形。
练习题：
1. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．
2.（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】
A．25 B．50 C． D．
3.（2012江苏南通3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90 ，AB＝7cm，BC＝3cm，
AD＝4cm，则CD＝ ▲ cm．
4.（2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC 的长为 ▲ .
5. （2011山东枣庄10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当时，求EF的长．
6. （四川自贡10分） 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n．
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)求四边形DEFC的周长．
七、构造圆的特殊图形：通过构造圆的特殊图形，应用圆周角定理、垂径定理、切线与过切点的半（直）径的关系、两圆相切公切线的性质、两圆相交公共弦的性质等，达到求证（解）的目的。
典型例题：
例1. （2012海南省3分）如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则的值是【 】
A．1 B． C． D．
【答案】A。
【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。
【分析】如图，连接AO并延长交⊙O于点P1，连接AB，BP1。设网格的边长为a。
则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。
根据勾股定理，得AB=BP1=。
根据正切函数定义，得。
根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴。故选A。
例3.（2012山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．
【答案】180。
【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。
【分析】如图，连接CE，DE，
∵过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，
∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。
∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。
又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。∴∠θ=180。
例4.（2012湖北鄂州3分）如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】C。
【考点】圆周角定理。
【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。
作⊙O。
∵ ∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，
∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。
例5.（2012天津市3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ▲ ．
【答案】。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】连接AE，BE，DF，CF。
∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，
∴AB=AE=BE，∴△AEB是等边三角形。
∴边AB上的高线为：。
同理：CD边上的高线为：。
延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线。
∵AE=BE，∴点E在AB的垂直平分线上。
同理：点F在DC的垂直平分线上。
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC。∴MN⊥AB，MN⊥DC。
由正方形的对称性质，知EM=FN。
∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=，解得EF=。
例6.（2012广西玉林、防城港3分）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ▲ .
【答案】30°。
【考点】矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理。
【分析】连接OB，
∵CN=CO，∴OB=ON=2OC。
∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°。
∴。∴∠BOC=60°。
∴∠NMB=∠BOC=30°。
例7.（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；
③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
【答案】解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。
②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。
∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。
∴的长度。
③如图3所示，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB为等边三角形。
过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA sin60°=。
∴圆心O到弦AB的距离为。
（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，
过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。
∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。
根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF。
又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为：
d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。
②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：
设O′，O″为和所在圆的圆心，
∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，
∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。
∵折叠后的与所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P。
∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，
∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，
∴四边形OMPN是平行四边形。
【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。
【分析】（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度。
②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可。
③如图3，连接OA．OB，过点O作OE⊥AB于点E，可得△AOB为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求圆心O到弦AB的距离。
（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。
②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。
练习题：
1. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】
A．40° B．45° C．50° D．60°
2.（2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
3.（2012贵州黔东南4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为【 】
A．35° B．45° C．55° D．75°
4.（2012山东枣庄3分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC 的值为【 】
A． B． C． D．
5（2012湖南岳阳6分）如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
6.（2012青海省7分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．
7.（2012广西贵港3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，
若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【　　】
A．80° B．110° C．120° D．140°
8.（2012黑龙江大庆6分） 如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°.
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
9.（2012山东泰安3分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为【 】
　　A．π　　B．2π　　C．3π　　D．5π
10.（2012广西南宁3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为【 】
A．8　　　　B．6 　　　　C．5 　　　　D．4
11.（2012陕西省8分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
12.（2012浙江丽水、金华8分）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
八、基本辅助线：基本辅助线包括连接两点的线段、平行线、垂直线、角平分线等，如连接直角三角形直角顶点与斜边的中点构成斜边上的中线；过三角形一边的中点作另一边的平行线构成三角形的中位线；过三角形一顶点作对边的垂直线构成直角三角形；连接圆上一点和直径的两端点构成直角三角形；等等。
典型例题：
例2.（2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【答案】证明：（1）连接AD，
在△BAD和△CDA中，
∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共边），
∴△BAD≌△CDA（SSS）。
∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。
例3.（2012黑龙江牡丹江3分）如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形 ▲ (写出一对即可)．
【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。
【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，则
∵AB=AC，AD=AE（已知），
∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。
∴BH－DH=CH-EH，即BD=CE。
∴△ABD≌△ACE（SSS）。
还可得△ABE≌△ACD（SSS）。
例4.（2012贵州贵阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【 】
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B。
【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。
【分析】连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF。
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°。
∵DE=1，∴AE=2DE=2。
∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2。故选B。
例5.（2012四川宜宾3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【 】
　 A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。
【分析】如图，连接BD，过点F作FG∥AB交BD于点G，连接EG，CG。
∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F
分别为AB．AD的中点，
∴根据三角形中位线定理，得AE=BE=AF=DF=DC=FG。
∴图中的六个三角形面积相等。
∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为。故选C。
例6.（2012天津市3分）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为 ▲ ．
【答案】。
【考点】正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出图形，如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=×360°=60°。
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠OBC=60°。
∵正六边形ABCDEF的周长为24，∴BC=24÷6=4。
∴OB=BC=4，∴BM=OB·sin∠OBC =4·。
∴。
例7.（2012福建厦门10分）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．
（1）如图，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3－4，求BC的长．
【答案】解：（1）连接PO ,
∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。
∴∠EPO＝∠FPO。
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝ eq \f(,3)，
∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。
（2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。
又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。
∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。
∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。
∴ BD＝BC。
∵ BF＝BD，∴BC＋3－4＝ eq \f(3,4)BC，解得，BC＝4。
【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。
（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。
例8.（2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【 】
A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE
【答案】D。
【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，
∴根据垂径定理，得AE=BE。故选项A错误。
如图，连接AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，
∴BC=AC。
根据垂径定理，只有在AB是直径时才有AC=AD，而AB不是直径，∴AD≠AC。∴。
∴。故选项B错误。
如图，连接AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠D=∠AOC。
∵∠AEC是△AOE的外角，∴∠AEC＞∠AOC。∴∠D＜∠AEC。故选项C错误。
∵根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE∽△CBE。故选项D正确。
故选D。
例9.（2012辽宁阜新3分）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为
▲ cm的圆形纸片所覆盖．
【答案】。
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】作圆O的直径CD，连接BD，
∵圆周角∠A、∠D所对弧都是，∴∠D=∠A=60°。
∵CD是直径，∴∠DBC=90°。∴sin∠D=。
又∵BC=3cm，∴sin60°=，解得：CD=。
∴圆O的半径是（cm）。
∴△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖。
例10.（2012宁夏区6分）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
求∠D的度数.
【答案】解：连接BD 。
∵AB⊙O是直径，∴BD ⊥AD。
又∵CF⊥AD，∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。
又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC。
∵AB⊥CD，∴∠C=30°。∴∠ADC＝60°。
【考点】圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】连接BD，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得
∠BDC= ∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。
例11.（2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．
【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。
∵AB=30，CD=16，∴AE=AB=15，CF=CD=8。
又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。
∴在Rt△AOE中，。
在Rt△OCF中，。
∴EF=OF－OE=15－8=7。
答：AB和CD的距离为7cm。
【考点】垂径定理，勾股定理。
【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。
例12.（2012山西省2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【 】
　 A． 40° B． 50° C． 60° D． 70°
【答案】B。
【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理。
【分析】如图所示，连接OC。
∵∠BOC与∠CDB是弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠BOC=2∠CDB。
又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，
又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°。则∠E=90°﹣40°=50°。故选B。
例13.（2012福建泉州3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【 】
A .EF>AE+BF B. EF【答案】C。
【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。
∵EF∥AB，∴∠HEO=∠IAE，EI=OD。
又∵OD=OH，∴EI=OH。
又∵∠EHO=∠AIE=900，∴△EHO≌△AIE（AAS）。∴EO=AE。
同理，FO=BF。
∴AE+BF= EO+FO= EF。故选C。
练习题：
1.（2012四川巴中3分）已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为 ▲
2.（2012湖北十堰6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
3.（2012湖南衡阳3分）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为
▲ cm2．
4.（2012四川宜宾3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC．BD，CE平分∠ACD交BD
于点E，则DE= ▲ ．
5.（2012四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ▲ 。
6.（2012安徽省5分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲ °.
7.（2012湖北咸宁3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度
线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半
圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度．
8.（2012山东青岛3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60 ，则∠ABC＝ ▲ ．
九、截取和延长变换：在一个平面几何图形内，延长或截取某一条线段，使条件和问题相对集中 ,达到化隐为现的目的，常常使线段所在的三角形与平面内某一三角形成为全等三角形。证明两条线段的和差，80%的情况都要用截长补短法。
典型例题：
例1.（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，
∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得
∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。
∴BC=CM。
设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，
在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。
∴。故选A。
例2.（2012黑龙江牡丹江3分）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，
且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD 2=OD·DH中，正确的是【 】．
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】D。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。
【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。∴∠B=∠EAC=600。
又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。结论①正确。
∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。
∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。
结论②正确。
如图，在HD上截取HG=AH。
∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。
∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。
又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。
∴A，H，C，D四点共圆。∴∠AHD=∠ACD =600。∴△AHG是等边三角形。
∴AH=AG，∠GAH=600。∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。
又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。∴CH=DG。∴AH+CH= HG+ DG =DH。结论③正确。
∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。∴。
∴AD 2=OD·DH。结论④正确。
综上所述，正确的是①②③④。故选D。
例3.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】
A．2 B．3 C． D．
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。∴△EBD≌△EFC（SAS）。∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。故选A。
例4.（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
【答案】解：（1）证明：连接AC。
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。
∴AB＝BC。
（2）证明：过C作CF⊥BE于F。
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。
又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴AE＝BF。
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。
【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。
（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.
例5.（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。
∵ME⊥CD，∴CD=2CE。
∵CE=1，∴CD=2。∴BC=CD=2。
（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC。∴CF=CE。
∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。
在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，
∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。
延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，∴∠G=∠2。
∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。
∴AM=MG。
在△CDF和△BGF中，
∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。
∴GF=DF。
由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。
【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。
（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明△CDF和
△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。
例6.（2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2
（1）求EC：CF值；
（2）延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；
（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵AE⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°。
∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°。
∴∠BAE +∠BEA =90°。∴∠BA E=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
∴EC：CF=AB：BE=5：2。
（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。
∴AM=CE。∴∠BME=45°。∴∠AME=135°。
∵CP是外角平分线，∴∠DCP=45°。∴∠ECP=135°。
∴∠AME=∠ECP。
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF。∴△AME≌△PCE（ASA）。∴AE=EP。
（3）存在，过点D作DM⊥AE交AB于点M，则此时M使得四边形DMEP是平行四边形。证明如下：
∵DM⊥AE，∴∠ADM=90°－∠DAE。
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°。
∴∠BAE=90°－∠DAE。∴∠BAE=∠ADM。
∴△BAE≌△ADM（ASA）。∴AD=DM。
由（2）AE=EP，得DM= EP。
又∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥ EP。∴四边形DMEP是平行四边形。
【考点】相似三角形的判定和性质，正方形的性质，外角平分线定义，全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定。
【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，即可证得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值.
（2）作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：△AME≌△PCE，则可证得：AE=EP。
（3）过点D作DM⊥AE交AB于点M，此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由△BAE≌△ADM（ASA）得AD=DM；另一方面由DM⊥AE，AE⊥EF得DM∥ EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。
练习题：
1. （2012山东东营10分）
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．
2.（2012山东滨州9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
3. （2011广西南宁3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90 ，∠A＝15 ，AB＝8，则AC·BC的值为【 】
A．14 B．16 C．4 D．16
4. （2011辽宁大连11分）在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
⑴当AB＝AC时，（如图1），
①∠EBF＝_______°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
⑵当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．
5. （2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
6. （2011黑龙江牡丹江8分） 在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=900，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
(1)如图②，当∠C≠900，AD为AABC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系 不需要证明，请直接写出你的猜想：
(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系 请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
7. （2011四川成都10分）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
8. （2011辽宁辽阳12分）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝CD，E为CD的中点．
(1)如图(1)当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；
(2)如图(2)当点M在线段EC上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
(1) 　(2)
9. （2011重庆１０分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．
十．对称变换：对称变换是几何变换中的基本变换之一，利用轴对称变换作对称点，是我们研究“最短路线”的常用方法。有利于把折线转化到同一直线上研究。
典型例题：
例1. （2012四川资阳3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，
【分析】连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE=DE。∴CD=2CE。
∵MN∥AB，∴CD⊥AB。∴△CMN∽△CAB。
∴。
∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC= ，∴
∴。
∴。故选C。
例2. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．
【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
例4.（2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
例5.（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，。
练习题：
1. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐
标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，
则＝　　▲　　．
2.（2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
　　▲　　。
3.（2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
4. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．
5. （2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
十一、平移变换：平移变换是几何变换中的基本变换之一，平移变换是使图形上的点沿同一方向平移同一距离得到新的图形。平移变换前后的图形具有如下性质：（1）对应线段平行且相等；（2）对应角的两边平行且方向一致。
典型例题：
例1. （2012海南省3分）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP
方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为 ▲ cm.
【答案】1或5。
【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。
【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。
当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。
∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。
∵OP=3，∴OO1=1。
当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。
∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。
∵OP=3，∴OO1=5。
综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。
例2.（2012江西南昌3分）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】
　 A． a户最长 B． b户最长 C． c户最长 D【2013年中考攻略】专题6：不等式（组）应用探讨
初中数学中一元一次不等式（组）的应用是一项重要内容，也是中考中与列方程（组）解应用题二选一（或同题）的必考内容。一元一次不等式（组）的应用基本步骤为：
①审（审题）；
②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等和不等关系）；
③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）；
④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列不等式（组））；
⑥解（解不等式（组））；
⑦选（选取适合题意的值）；
⑧答（回答题问）。
一元一次不等式（组）的应用包括（1）根据题中关键字（图）列不等式问题；（2）分配问题；（3）生产能力问题；（4）方案选择与设计问题；（5）分段问题；（6）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、根据题中关键字（图）列不等式问题：这类题一定要抓住题目中的关键文字，比如：大、
小、大于、小于、至多、至少、不大于、不小于等，根据这些关键字直接列出不等式。这类问题包括行程问题、工程问题、浓度问题、销售问题、几何问题等。
典型例题：
例1. （2012湖北恩施3分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【 】
A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%
【答案】B。
【考点】一元一次不等式的应用。
【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式：
[0.9a（1+x）b－ab]÷ab·100%≥20%，解得x≥。
∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%。
故选B。
例2. （2012湖北荆州3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】关于x轴对称的点坐标的特征，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。
【分析】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，解得：，在数轴上表示为：。故选A。
例3. （2012山东淄博4分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012—2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是【 】
(A)≥48 (B)≥48 (C)≤48 (D)≥48
【答案】A。
【考点】一元一次不等式的应用。
【分析】因为假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，则负32－x场。总得分为，根据“全部32场比赛中最少得到48分”得不等式≥48。故选A。
例4. （2012四川凉山4分）某商品的售价是528元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%～20%，设进价为x元，则x的取值范围是 ▲ 。
【答案】440≤x≤480。
【考点】一元一次不等式组的应用。
【分析】根据：售价=进价×（1+利润率），可得：进价=售价1+利润率 ，商品可获利润（10%～20%），即售价至少是进价（1+10%）倍，最多是进价的1+20%倍，据此可到不等式组：
528 1+20% ≤x≤528 1+10% ，
解得440≤x≤480。
∴x的取值范围是440≤x≤480。
例5.（2012贵州安顺4分）如图，a，b，c三种物体的质量的大小关系是　 ▲ 　．
【答案】a＞b＞c。
【考点】一元一次不等式的应用。
【分析】如图知2a=3b，2b＞3c。
由2a=3b得a＞b；由2b＞3c得b＞c。 ∴a＞b＞c。
例6.（2012青海西宁2分）某饮料瓶上这样的字样：Eatable Date 18 months．如果用x(单位：月)表示Eatable
Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ▲ ．
【答案】x≤18。
【考点】一元一次不等式的应用，生活中数学。
【分析】读懂题列出不等关系式即可：
一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为x≤18。
例7. （2011山东东营4分）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入．铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块妁铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)．且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是cm，若铁钉总长度为6 cm，则的取值范围是 ▲ 。
【答案】。
【考点】一元一次不等式组的应用。
【分析】由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是+ ，而此时还要敲击1次，所以两次敲打进去的长度要小于6，经过三次敲打后全部进入，所以三次敲打后进入的长度要大于等于6，列出不等式组，解之，得。
例8. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】
　 A． 5 B． 6 C． 11 D． 16
【答案】C。
【考点】三角形三边关系。
【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。
例9. （2012广东珠海6分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
【答案】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元。
根据题意列方程得，，解得，x=4。
检验：当x=4时，分母不为0，
∴x=4是原分式方程的解。
答：第一次每支铅笔的进价为4元。
（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：
解得，y≥6。
答：每支售价至少是6元。
【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元。本题等量关系为：
第一次购进数量－第二次购进数量=30
－ =30。
（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答。利润表达式为：
第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润
· ＋ · 。
例10. （2012浙江湖州10分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
【答案】解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，
∴乙种树每棵200元，丙种树每棵×200=300（元）。
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵．
根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000，
解得x=30。
∴2x=600，1000－3x=100，
答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，
根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120，
解得：y≤201.2。
∵y为正整数，∴y最大为201。
答：丙种树最多可以购买201棵。
【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000-3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意列不等式，求出即可。
例11. （2012福建福州11分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
(2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？
例12. （2012湖南岳阳8分）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【答案】解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据题意得：
，解得：x=15。
经检验x=15是原方程的根。
当x=15时，x﹣5=10。
答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成。
（2）根据题意得：15a+9b≤141，，解得：a≤4 b≥9。
∵a、b都是整数，∴a=2，b=12或a=4，b=9。
∴有2种施工方案：甲队做2个月，乙队做12个月；甲队做4个月，乙队做9个月。
【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可。
（2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可。
例14. （2011江西省B卷9分）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求需要用同种规格、每根长6米
的钢管切割成长0.8米的钢管及长2.5米的钢管.﹙余料作废﹚
（1）现切割一根长6米的钢管，且使余料最少.问能切出长0.8米及2.5米的钢管各多少根？
（2）现需要切割出长0.8米的钢管89根，2.5米的钢管24根.你能用23根长6米的钢管完成切割吗？
若能，请直接写出切割方案；若不能，请说明理由.
【答案】解：（1）若只切割1根长2.5米的钢管，则剩下3.5米长的钢管还可以切割长0.8米的钢管4
根，此时还剩余料0.3米；
若切割2根长2.5米的钢管，则剩下1米长的钢管还可以切割长0.8米的钢管1根，此时还剩
余料0.2米。
∴当切割2根长2.5米的钢管、1根长0.8米的钢管时，余料最少。
（2）能。切割方案如下：
切割一根长6米的钢管，有三种切割方法：
方法1：切割7根0.8米的钢管；
方法2：切割4根0.8米的钢管，1根长2.5米的钢管；
方法3：切割1根0.8米的钢管，2根长2.5米的钢管。
因此，有12种切割方案：
（1）按方法2切割22根，按方法3切割1根；
（2） 按方法1切割1根，按方法2切割20根，按方法3切割2根；
（3） 按方法1切割2根，按方法2切割18根，按方法3切割3根；
（4）按方法1切割3根，按方法2切割16根，按方法3切割4根；
（5） 按方法1切割4根，按方法2切割14根，按方法3切割5根；
（6）按方法1切割5根，按方法2切割12根，按方法3切割6根；
（7） 按方法1切割6根，按方法2切割10根，按方法3切割7根；
（8） 按方法1切割7根，按方法2切割8根，按方法3切割8根；
（9） 按方法1切割8根，按方法2切割6根，按方法3切割9根；
（10）按方法1切割9根，按方法2切割4根，按方法3切割10根；
（11）按方法1切割10根，按方法2切割2根，按方法3切割11根；
（12）按方法1切割11根，按方法3切割12根。
【考点】三元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）因为两种钢管都要切，切成2.5米的有两种可能性，讨论这这两种可能性看看结果即可得到答案。
（2）设按方法1切割根，按方法2切割根，按方法3切割根，根据题意，得
。
由。
∵为正整数，∴取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
∴可得12种方案。
练习题：
1.（2011黑龙江龙东五市3分）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的
每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。则共有学生【 】
A、4人 B、5人 C、6人 D、5人或6人
2.（2011山东菏泽3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打
A、6折 B、7折　　　C、8折 D、9折
3. （2011青海省3分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为 【 】
A B C D
4.（2011山东临沂3分）有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg．毎梱材料重20kg．电梯最大负荷为1050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载　 ▲ 　捆材枓．
5. （2011湖北襄阳3分）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答） 一题记﹣5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 ▲ 道题．
6.（2011宁夏自治区3分）在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为　 ▲ ．
7. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是【 】
A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm
8. （2012浙江义乌3分）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是【 】
　　A．2　　B．3　　C．4　　D．8
【答案】C。
【考点】三角形三边关系。
【分析】由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8。
∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6。
∴三角形的三边长可以为3、5、4或3、5、6。故选C。
9. （2012四川自贡10分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．
求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？
10. （2012山东菏泽7分）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
11. （2012山东潍坊9分）为了援助失学儿童，初三学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出(汇款手续费不计)．已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元．
(1)在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元
(2)为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元(t为整数)，求t的最小值．
12. （2012内蒙古包头10分）某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120 元，售价138 元；乙种商品每件进价100 元，售价120 元。
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
13. （2012黑龙江哈尔滨8分）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需310元．购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个．要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球
14. （2011四川绵阳12分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．
15. （2011浙江温州12分）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
二、分配问题：这类题的特点是各种产品中所需的某种原料之和应小于等于所给的这种原料。
典型例题：
例1. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】
（A）29人 （B）30人 （C）31人 （D）32人
【答案】B。
【考点】一元一次不等式组的应用。
【分析】设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组：
， 解得：29＜x≤32。
∵x为整数，∴x最少为30。故选B。
例2. （2012辽宁朝阳12分）为支持抗震救灾，我市A、B两地分别的赈灾物资100吨和180吨。需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨。
（1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？
（2）设A地运往C县的赈灾物资为x吨（x为整数），若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？
例3. （2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排件产品运往A地。
（1）当时，
①根据信息填表：
A地 B地 C地 合计
产品件数（件） 200
运费（元） 30
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？
（2）若总运费为5800元，求的最小值。
【答案】解：（1）①根据信息填表
A地 B地 C地 合计
产品件数（件） 200
运费（元） 30
②由题意，得 ，解得40≤x≤。
∵x为整数，∴x=40或41或42。
∴有三种方案，分别是
（i）A地40件，B地80件，C地80件；
（ii）A地41件，B地77件，C地82件；
（iii）A地42件，B地74件，C地84件。
（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．
∵n－3x≥0，∴x≤72.5。
又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。
∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。
②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。
（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。
例4. （2012福建龙岩12分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A
型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B
型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题:
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求
出最少租车费．
【答案】解：（1）设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨，
根据题意得出，，解得：。
答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨。
（2）∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，
∴3a+4b=31。则
，解得： 。
∵a为整数，∴a=1，2，…10。
又∵为整数，∴a=1，5，9。
∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1。
∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1。
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元；
当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元；
当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1020元。
∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少。
答：最少租车费为940元。
【考点】二元一次方程组、不等式和一次函数的应用。
【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆
B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可。
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案。
（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
分别求出租车费用即可。
例5. （2012四川内江9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？
造型花卉 甲 乙
A 80 40
B 50 70
【答案】解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60－x）个，
则有，解得37≤x≤40，
∵x为正整数，∴x=37或38或39或40。
∴符合题意的搭配方案有4种：
第一方案：A种造型37个，B种造型23个；
第二种方案：A种造型38个，B种造型22个；
第三种方案：A种造型39个，B种造型21个．
第四种方案：A种造型40个，B种造型20个。
（2）设A、B两种园艺造型分别为x，（50－x）个时的成本为z元，
则：。
∵－500＜0，∴成本z随着x的增大而减小。
∴当x=40时，成本最低。最低成本为70000。
答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元。
【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60－x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可。
（2）列出成本z关于A种造型个数x的函数关系式，根据一次函数的增减性求出答案。
例6. （2012四川攀枝花8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：
厂别 运费（元/t km） 路程（km） 需求量（t）
A 0.45 200 不超过600
B a（a为常数） 150 不超过800
（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）
【答案】解：（1）总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a，
其中200≤x≤600。
（2）当0＜a＜0.6时，90﹣150a＞0，一次函数单调递增。
∴当x=200时，y最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000。
此时，1000﹣x=1000﹣200=800。
当a=0.6时，y=90000，此时，不论如何，总运费是一样的。
当a＞0.6时，90﹣150a＜0，一次函数单调递减。
又∵运往A厂总吨数不超过600吨，
∴当x=600时，y最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000。
此时，1000﹣x=1000﹣600=400。
答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费120000a+18000元；当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用．经化简后可得出y与x的函数关系式，根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围：
若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000﹣x）吨。
依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x）=90x﹣150ax+150000a，=（90﹣150a）x+150000a。
依题意得：，解得：200≤x≤600。
∴函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a（200≤x≤600）。。
（2）分0＜a＜0.6 ，a=0.6，a＞0.6三种情况，根据函数的性质来求出所求的方案。
例7. （2012辽宁阜新10分）某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A、B两种共50辆货车运往外地．已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元．
（1）设A种货车为x辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式；
（2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来；
（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
【答案】解：（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50＋x）辆。
　　　　　　 根据题意，得 ，即 。
　　　 （2）根据题意，得 ，解这个不等式组，得。
∵x是整数，∴x可取20、21、22，即共有三种方案：
A(辆） B(辆)
一 20 30
二 21 29
三 22 28
（3）由（1）可知，总运费，
∵k=－0.3＜0，∴一次函数的函数值随x的增大而减小。
　 ∴时，y有最小值，为（万元）。
∴选择方案三：A种货车为22辆，B种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50－x）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。
（2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x的不等式组，再根据x是整数，即可求得x的值，从而确定运输方案。
（3）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解。
例8. （2012山东德州10分）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A x
B
（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
【答案】解：（1）完成填表：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A x 14﹣x
B 15﹣x x﹣1
（2）W=50x＋30（14－x）＋60（15－x）＋45（x－1），
整理得，W=5x＋1275。
（3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
∴，解不等式组，得：1≤x≤14。
在W=5x+1275中，W随x增大而增大，
∴当x最小为1时，W有最小值 1280元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。
（2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案。
（3）求出x的取值范围，利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可。
例9. （2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的
总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并
求出最少总运费。
【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得
16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8，
∴18－x=18－8=10。
答：大货车用8辆，小货车用10辆。
（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，
∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。
（3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。
又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。
∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。
【考点】一元一次方程和一次函数的应用
【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。
练习题：
1. （2011广西百色8分）我市某县政府为了迎接“八一”建军节，加强军民共建活动，计划从花园里拿出1430盆甲种花卉和1220盆乙种花卉，搭配成A、B两种园艺造型共20个，在城区内摆放，以增加节日气氛，已知搭配A、B两种园艺造型各需甲、乙两种花卉数如表所示：（单位：盆）
（1）某校某年级一班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来。
（2）如果搭配及摆放一个A造型需要的人力是8人次，搭配及摆放一个B造型需要的人力是11次，哪种方案使用人力的总人次数最少，请说明理由。
A B
甲种 80 50
乙种 40 90
2. （2011四川眉山9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地立方米（为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：
A地 B地 C地
运往D地（元/立方米） 22 20 20
运往E地（元/立方米） 20 22 21
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
3. （2011贵州黔东南12分）在“五·一”期间，某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人。
（1）请帮助旅行社设计租车方案。
（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？
（3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的
每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所
租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
4. （2011云南昆明9分）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．
（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？
5. （2011湖北黄冈、鄂州8分随州9分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米
（1）设从A水库调往甲地的水量为万吨，完成下表
（2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨 千米）
6. （山东潍坊10分）2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
到凤凰社区的路程(千米) 运费（元/吨·千米）
甲厂 20 12
乙厂 14 15
（1）若某天总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）若每天甲厂最多可调出80吨，乙厂最多可调出90吨. 设从甲厂调运饮用水吨，总运费为W元. 试写出W关于的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？
7. （2011广东深圳9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：
（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；
（2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？
8. （内蒙古乌兰察布10分）某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．
(l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？
9. （2011四川凉山9分）我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会。现有A型、B型、C型三
种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，解答问题。
设A型汽车安排辆，B 型汽车安排辆，求与之间的函数关系式。
如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。
为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。
10. （2011四川达州7分）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运A种物资的车辆数为，装运B种物资的车辆数为．求与的函数关系式；
（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．
物资种类 A B C
每辆汽车运载量（吨） 12 10 8
每吨所需运费（元/吨） 240 320 200
三、生产能力问题： 这类题的特点是实际生产某种产品的能力应大于等于所需要生产的数量。
典型例题：
例1. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营
养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克．
(1)至少需要购买甲种原料多少千克
(2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买
甲种原料多少千克时，总费用最少
【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20，
解得x≥8。
∴至少需要购买甲种原料8千克。
（2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即y=4x+100，
∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大。
∵x≥8，∴当x=8时，y最小。
∴购买甲种原料8千克时，总费用最少。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。
【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。
（2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少。
例2. （2012湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）
【答案】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则
，解得。
答：甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50－m）件，则生产这50件产品的材料费为
15×30m＋25×10m＋15×20×（50－m）＋25×20×（50－m）=－100m＋40000，
由题意：，解得20≤m≤22。
又∵m是整数，∴m的值为20， 21，22。
∴共有三种方案，如下表：
A（件） ２０ ２１ ２２
B（件） ３０ ２９ ２８
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m），
则W=－100m＋40000＋200m＋300（50－m）=－200m＋55000，
∵－200＜0，∴W 随m的增大而减小。
而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=－200×22＋55000=50600（元）。
【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。
【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40
元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组，解方程组即
可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，先表示出生产这50件产品的材料费，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到－100m＋40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50－m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案。
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m），根据成本=材料费+加工费得到
W关于m的函数关系式，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本。
例3. （2012广西贵港9分）某公司决定利用仅有的349个甲种部件和295个乙种部件组装A、B两种型
号的简易板房共50套捐赠给灾区。已知组装一套A型号简易板房需要甲种部件8个和乙种部件4个，组
装一套B型号简易板房需要甲种部件5个和乙种部件9个。
（1）该公司在组装A、B两种型号的简易板房时，共有多少种组装方案？
（2）若组装A、B两种型号的简易板房所需费用分别为每套200元和180元，问最少总组装费用是多少元？
并写出总组装费用最少时的组装方案。
【答案】解：（1）设组装A型号简易板房x套，则组装B型号简易板房（50－x）套，
根据题意得出：，解得：31≤x≤33。
∵x为整数，∴x=31，32，33。
∴该公司组装A、B两种型号的简易板房时，共有3种组装方案，
①组装A型号简易板房31套，则组装B型号简易板房19套，
②组装A型号简易板房32套，则组装B型号简易板房18套，
③组装A型号简易板房33套，则组装B型号简易板房17套；
（2）设总组装费用为W，
则W＝200x＋180(50－x)＝20x＋9000，
∵20＞0，∴W随x的增大而增大，
当x＝31时，W最小＝20×31＋9000＝9620（元）．
此时x＝31，50－31＝19。
答：最少总组装费用是9620元，总组装费用最少时的组装方案为：组装A型号简易板房31
套，则组装B型号简易板房19套。
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有3种组装方案。
（2）根据组装方案费用W关于x 的方程，解得当x＝31时，组装费用W最小为9620元。
练习题：
1. （2011湖北孝感10分）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.
（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？
（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？（5分）
2.（2011浙江绍兴12分）筹建中的城南中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务．该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．
（1）问光明厂平均毎天要生产多少套单人课桌椅？
（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．
四、方案选择与设计问题：这类题先要根据题目要求列出代数式，然后从多方面来讨论它的范围。
典型例题：
例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）为庆祝“六·一”国际儿童节，龙沙区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有【 】
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C。
【考点】一元一次不等式组的应用。
【分析】设租用A型号客车x辆，B型号客车y辆，则45x+30y=360，即。
∵x，y为非负整数，∴且x为偶数，解得0≤x≤8（x为偶数）。
∴x=0，2，4，6，8，对应的y=12，9，6，3，0。
∴师生一次性全部到达公园的租车方案有5种。故选C。
例3. （2012湖南张家界8分）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A．B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？
【答案】解：设某游客一年中进入该公园x次，依题意得不等式组：
，
解①得：x＞10，
解②得：x＞25。
∴不等数组的解集是：x＞25。
∴某游客一年进入该公园超过25次时，购买A类年票合算。
【考点】一元一次不等式组的应用。
【分析】由于购买A年票首先要花100元，以后就不用再花钱了，那么可让另外两种购票方式所花的费用分别大于100，可得出不等式组，求解后即判断除至少超过多少次，购买A才合算。
例4. （2012四川广安8分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？
【答案】解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
，解得：。
答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元。
（2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：
，解得：。
∵a为整数，∴a=99，100，101，则电脑依次买：297，296，295。
∴该校有三种购买方案：
方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；
方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块。
（3）设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，
则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，
∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）
∴当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，共需费用2673000元。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案。
（2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可。
（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用。
例5. （2012四川资阳8分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）
（1）(3分)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？
（2）(5分)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．
【答案】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得
，解得。
∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元。
（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有
1600≤80000－120×20m－200×m≤24000，
解得，。
∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案：
方案一 方案二 方案三
课桌凳（套） 440 460 480
办公桌椅（套） 22 23 24
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办
公桌椅，得出等式方程求出即可。
（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可。
例6. （2012四川南充8分）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大车2辆小车供需租车费1000元；若若租用2辆大车1辆小车供需租车费1100元.
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案。
例7. （2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据
统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年
底电动自行车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车
位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.
【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则
125（1+x）2=180，解得x1=0.2=25%，x2=－2.2（不合题意，舍去）。
∴180（1+20%）=216（辆）。
答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则
，
由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤
∵a是正整数，∴a=20或21。
当a=20时b=50；当a=21时b=45。
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：室内车位21个，露天车位45个。
【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。
（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。
例8. （2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．
（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？
（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？
【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，
则 ，解得 。
答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。
（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所．
则 ，解得 。∴1≤a≤3，即a=1，2，3。
∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为：
改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；
改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。
（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系为：
地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；
国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。
例9. （2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：
（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？
【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，
根据题意得： ， 解得：8≤x≤10。
∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案：
方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台；
方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台；
方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台；
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x），
即y=2260x+10800。
∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。
∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。
∵现金每购1000元送50元家电消费券一张，
∴33400元，可以送33张家电消费券。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40-2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。
（2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。
例10. （2012辽宁鞍山12分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．
（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
【答案】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，
根据题意得：，解得。
答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元。
（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，
则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；
根据题意得：，解得43≤x≤46。
∵x为整数，∴x=43，44，45，46。
∴所有购买方案为：购买两人桌43张，购买三人桌58张；
购买两人桌44张，购买三人桌54张；
购买两人桌45张，购买三人桌53张；
购买两人桌46张，购买三人桌52张。
【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用
【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可。
（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可。
练习题：
1. （2012辽宁铁岭12分）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获
奖同学购买奖品.小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，
则需要31元.
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数
不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
2. （2012贵州铜仁12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
3. （2012广西北海8分）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。
（1）求出该班男生与女生的人数；
（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人
数2人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？
4. （2012黑龙江牡丹江10分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：
（1）求出足球和篮球的单价；
（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？
5. （2012辽宁本溪12分）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费13000元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。现已知甲型车每辆进价200元，乙型车每辆进价400元，设商店购进乙型车x辆。
（1）商店有哪几种购车方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70元，销售乙型车每辆获得利润50元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润y（元）与购进乙型车的辆数x（辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？
6. （2012贵州黔西南14分）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润。
7. （2012河南省10分）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，，且购买4套A型和6套B型课桌凳共需1820元。
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？
8. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．
(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件
(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案
(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(09. （2011山东青岛8分）某企业为了改善污水处理条件，决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8
台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价 格(万元/台) 8 6
月处理污水量(吨/月) 200 180
经预算，企业最多支出57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
五、分段问题：这类题经常会以收电话费、坐出租车费、收个人所得税、医保费等实际生活中的问
题出现。这类题首先要搞清楚段数，不同的段，收费不一样，特别注意不要重复收费。
典型例题：
例1. （2012浙江宁波10分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
【答案】解：（1）由题意，得
，
②﹣①，得5（b+0.8）=25，b=4.2。
把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66，解得a=2.2。
∴a=2.2，b=4.2。
（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9200×2%=184元，
∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨。
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，
6.8（x﹣30）≤68，解得x≤40。
∴小王家六月份最多能用水40吨。
【考点】一元一次不等式和二元一次方程组的应用。
【分析】（1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可。
（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可。
例2. （2012湖北黄石8分）某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.
商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；
反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者
制定了两种购房方案：
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管
理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；
（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9％的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法。
【答案】解：（1）当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 ；
当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680。
∴ 。
（2）由（1）知：
∵当2≤x≤8时，小张首付款为
（20x＋2840）·120·30%=36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元
∴2～8层可任选。
∵当9≤x≤23时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%=36（40x＋2680）元
由36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤。
∵x为正整数，∴9≤x≤16。
综上所述，小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：
y1=(40·16＋2680) ·120·92%－60a（元）
若按老王的想法则要交房款为：y2=(40·16＋2680) ·120·91%（元）
∵y1－y2=3984－60a ，
当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4。此时老王想法正确；
当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66.4。此时老王想法不正确。　　
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）根据题意分别求出当2≤x≤8时，每平方米的售价应为3000－（8－x）×20元，当9≤x≤23时，每平方米的售价应为3000＋（x－8） 40元。
（2）由（1）知：当2≤x≤8时，小张首付款为108000元＜120000元，即可得出2～8层可任选，
当9≤x≤23时，小张首付款为36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。
（3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1按老王的想法则要交房款为y2，然后根据即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66.4，y1－y2≤0时，解得a≥66.4，即可得出答案。
例3. （2011湖北潜江仙桃天门江汉油田10分）2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和
国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见.草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分
不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算.
级 数 全月应纳税所得额 税 率
1 不超过1500元的部分 5%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
…… …… ……
依据草案规定，解答下列问题：
（1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？
（2）若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗 若能，
请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由.
【答案】解：（1）李工程师每月纳税：1500×5% +3000×10% +（8000-7500）×20%
=75+300+100= 475（元）。
（2）设该纳税人的月工薪为x元，则
当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8% ；
当4500＜x≤7500时，由1500×5% +（x-4500）×10%>8%
得x＞18750，不满足条件；
当7500＜x≤10000时，由1500×5% +3000×10%+（x-7500）×20%>8%
解得x＞9375，故9375＜x≤10000。
∴若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，其纳税金额能超过月工薪的8%。
【考点】一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）按照图表计算即可得应纳多少税。
（2）设该纳税人的月工薪为x元，分x≤4500，x＞18750，x＞9375三种情况讨论得出该纳税
人的月工薪范围。
练习题：
1. （2011广东河源7分）为了鼓励城区居民节约用水,某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过20度时(1度=1米),水费为元/度；超过20度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．已知某用户四份用水15度,交水费22.5元,五月份用水30度,交水费50元．
(1) 求，的值；
（2）若估计该用户六月份的水费支出不少于60元，但不超过90元，求该用户六月份的用水量x的取值范围．
2. （2011湖南益阳10分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）设每月用水量为吨，应交水费为y元，写出y与之间的函数关系式；
（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？
六、在函数问题中的应用问题：不等式（组）的应用与函数问题相比较结合也有着广泛的应用。
典型例题：
例1. （2012广东梅州8分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线l上的一部分．
（1）求直线l的函数关系式；
（2）如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少？
【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得
，解得。
∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。
（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤。
∴警车最远的距离可以到：千米。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。
（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。
例2. （2012广东河源7分）一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已
知警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶的时间x(小时)的函数关系的图象是如图所示的直线l
的一部分．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)如果警车要回到A处，且要求警车的余油量不能少于10升，那么警车可以以行驶到离A处的最远
距离是多少？
【答案】解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，由图示，直线经过（1，45），（3，42）两点，得
，解得。
∴直线l的解析式是：y=﹣6x+60。
（2）由题意得：y=﹣6x+60≥10，解得x≤。
∴警车最远的距离可以到：千米。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据直线l的解析式是y=kx+b，将（3，42），（1，54）代入求出即可。
（2）利用y=﹣6x+60≥10，求出x的取值范围，从而得出警车行驶的最远距离。
例3. （2012湖北荆门10分） 荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．
（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；
（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？
【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式为。
（2）设该经销商购进乌鱼x千克，则购进草鱼（75﹣x）千克，所需进货费用为w元．
由题意得：，解得x≥50。
由题意得w=8（75﹣x）+24x=16x+600．
∵16＞0，∴w的值随x的增大而增大。∴当x=50时，75﹣x=25，W最小=1400（元）。
答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）根据所需总金额y（元）是进货量x与进价的乘积，即可写出函数解析式。
（2）根据总零售量不低于进货量的93%这个不等关系即可得到关于进价x的不等式，解不等式即可求得x的范围．费用可以表示成x的函数，根据函数的增减性，即可确定费用的最小值。
例4. （2012湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？
【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。
（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥。
∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。
【分析】（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数。
（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。
例5. （2012湖北孝感10分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏
水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．
实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出
的水量精确到1毫升)：
时间t(秒) 10 20 30 40 50 60 70
漏出的水量V(毫升) 2 5 8 11 14 17 20
(1)在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点；
(2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)？
(3)按此漏水速度，一小时会漏水 千克(精确到0.1千克)．
实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的
部分？
【答案】解：实验一：
（1）画图象如图所示：
（2）设V与t的函数关系式为V=kt+b，
根据表中数据知：当t=10时，V=2；当t=20时，V=5，
∴，解得：。∴V与t的函数关系式为V=。
由题意得：≥100，解得t≥。
∴337秒后，量筒中的水会满面开始溢出。
（3）一小时会漏水=1079（毫克）=1.079（千克）≈1.1千克。
实验二：
∵小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，
∴图象中会出现与横轴“平行”的部分。
【考点】一次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】实验一：
（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可。
（2）先设出V与t的函数关系式为V=kt+b，根据表中数据，列方程组求出k、b，求出V与t的函数关系式，再根据V≥100，即可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出。
（3）根据（2）中的函数关系式，把t=1小时=3600秒代入即可求出答案。
实验二：根据小李同学接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与横轴“平行”的部分。
例6. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备
每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和
所需工时如下表：
服装名称 西服 休闲服 衬衣
工时/件
收入（百元）/件 3 2 1
设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。
请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。
求y与x之间的函数关系式。
问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？
【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，
从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。
（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。
（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720
由题意得，解得30≤x≤120。
由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生产西服30件，休闲服
270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。
【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。
（2）由（1）整理得：y=360－3x。
（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，得到关于x的一次函数。由题意得，
解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。
例7. （2012湖南益阳8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
80x+60（17﹣x ）=1220，解得：x=10。∴17﹣x=7。
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵。
（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
17﹣x＜x，解得：x＞8.5。
∵购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）=20x+1020，是x的增函数，
∴费用最省需x取最小整数9，此时17﹣x=8，所需费用为20×9+1020=1200（元）。
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，这时所需费用为1200元。
【考点】一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的应用。
【分析】（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；
（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案。
例8. （2012四川广元8分）某乡要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃
圾运走。
（1）假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；
（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？
（3）在（2）的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多
少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
【答案】解：（1）∵1200m3的生活垃圾，每天运量xm3，
∴共需时间天运走，即y与x之间的函数关系式为。
（2）5辆拖拉机每天能运5×12m3=60 m3，则y=1200÷60=20，即需要20天运完。
（3）假设需要增加n辆，根据题意：8×60+6×12（n+5）≥1200，解得n≥5。
答：至少需要增加5辆。
【考点】反比例函数和一元一次不等式的的应用。
【分析】（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式。
（2）把x=12×5=60代入，即可求得天数。
（3）算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解。
例9. （2012四川德阳11分） 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务.
⑴如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，请问：应分
别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
⑵某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
【答案】解：（1）设x人生产A种板材，根据题意得；
解得，x=120。
经检验x=120是分式方程的解。
210﹣120=90。
∴安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务。
（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数z人。
∴根据题意，安置人数z=12y+10（400﹣y）=2y+4000。
又由解得：300≤y≤600。
∵2＞0，∴z=2y+4000随y增加而增加。
∴当y=360时安置的人数最多。最多人数为。
∴最多能安置4720人。
【考点】分式方程、一次函数和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）设x人生产A种板材，根据题意得列出方程，再解方程即可。
（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，则安置人数为12y+10（400﹣y）=2y+4000，然后列出不等式组，最后根据一次函数的性质，即可求出答案。
例10. （2012四川凉山9分）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售。相关信息如下表：
进价（元/台） 售价（元/台）
冰箱 2500
彩电 2000
（1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值。
（2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的。
①该商场有哪几种进货方式？
②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值。
【答案】解：（1）根据题意得 ，解得a=2000。
经检验a=2000是原方程的根。
∴a=2000。
（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50－x）台。
①根据题意得 ，解得：。
∴有三种进货方式：
1）购买彩电25台，则购进冰箱25台；
2）购买彩电26台，则购进冰箱24台；
3）购买彩电27台，则购进冰箱23台。
②一个冰箱的利润为：500元，一个彩电的利润为400元，
∴w=400x＋500（50－x）=－100x+25000，
∴w为关于x的一次函数，且为减函数。
∵ ，x取整数，
∴当x=25时，获得的利润最大，最大为22500元。
【考点】一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解。
（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50－x）台。
①根据题意列不等式组求解。
②用含x的代数式表示利润w，根据x的取值范围和一次函数的性质求解。
练习题：
1. （2012湖南常德7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：
A种产品 B种产品
成本 （万元／件） 0.6 0.9
利润 （万元／件） 0.2 0.4
若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？
2. （2012湖南郴州8分）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？
（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？
3. （2012四川泸州6分）某商店准备购进甲、乙两种商品。已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙
商品每件进价35元，售价45元。
(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少
于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？(利润=售价-进价)
4. （2012辽宁丹东10分）甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．右图是两队
所修水渠长度y(米)与修筑时间x(时)的函数图像的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）①直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ；
②直接写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ；
（2）求开修几小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在修筑5小时后，施工速度因故减少到5米/时，结果两队同时完成任
务，求乙队从开修到完工所修水渠的长度为多少米？
5. （2012山东青岛10分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进
行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价
x(元/个)之间的对应关系如图所示．
(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的
函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出
最大利润．
6. （201四川攀枝花8分）某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．
（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；
（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来．
每瓶香水利润 每瓶护肤品利润
甲【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】
A．　　　B．　　　C．5　　　D．
【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。
DE=，
∴OD的最大值为：。故选A。
例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ▲ 。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN ，∠EBM=∠NBM，BM=BM，
∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。
又∵CM+MN有最小值，∴当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。
∵BC=，∠ABC=45°，∴CE的最小值为sin450=4。
∴CM+MN的最小值是4。
例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 ▲ 。
【答案】。
【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。
【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为，高为，根据勾股定理，得斜线长为，根据平行四边形的性质，棉线最短为。
例4. （2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是
▲ ．
【答案】1＜AD＜4。
【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：
延长AD至E，使DE=AD，连接CE。
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
∴CE=AB。
在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8。
∴1＜AD＜4。
练习题：
1. （2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】
A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm
2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】
A、㎝ B、5cm C、㎝ D、7cm
3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ ．
二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BP′⊥AC时，BP取得最小值。
设AP′=x，则由AB＝AC＝5得CP′=5－x，
又∵BC＝6，∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中应用勾股定理，得
。
∴，即，解得。
∴，即BP的最小值是。
例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1 = P K1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。
综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。
例3.（2012江苏连云港12分）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°。
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2。
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋12＝8，化简得x2－2x＋3＝0，
∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程无解。
∴不存在PB＝x，使∠DPC＝90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2：存在。理由如下：
如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。
∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ。∴∠ADP＝∠QCH。
又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）。∴AD＝HC。
∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：存在。理由如下：
如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD＝DE，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。
∵AD＝1，∴CH＝2。∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5。
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°
∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴，
∵AD＝1，∴BH＝n＋1。∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。
过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2。∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。
∴∠DCM＝45°。∴∠KCH＝45°。
∴CK＝CH cos45°＝ (n＋4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为 (n＋4)。
【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。
例4.（2012四川广元3分） 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短
时，点B的坐标为【 】
A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，）
例5.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是【 】
　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】①连接CD（如图1）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。
由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。
当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。
故此结论正确。
故正确的有2个：①④。故选B。
例6.（2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ▲ cm，最大值为 ▲ cm．
【答案】20；12+。
【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。
【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示。
图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，
M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理）。
又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，
其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。
∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小。
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图。
过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。
∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，
∴根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；
而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即。
∵四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，
∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+2×4=20；最大值为12+2×=12+。
例7. （2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是【 】
　　A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】①连接CD（如图1）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。
由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。
当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。
故此结论正确。
故正确的有2个：①④。故选B。
例8. （2012浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E sin∠EOH=20E sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE sin∠EOH=1×。
由垂径定理可知EF=2EH=。
例9. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
。
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。
例10.（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°。
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。
（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1。
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1。∴∠ABA1=∠CBC1。
∴△ABA1∽△CBC1。∴。
∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=。
（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上。
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。
①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。
最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2。
②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。
最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。
【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数。
（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积。
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。
例11. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。
∴。
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。
∴AD：AC=AE：AD，∴ 。
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1。
∴AE的最小值为 。∴CE的最大值= 。
②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。
∴点D与B重合，不合题意舍去。
当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。
∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。
∴DC=CA=。∴BD=BC－DC=2－。
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。
【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。
②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。
练习题：
1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】
A、1 B、2 C、3 D、4
2.（2011四川南充8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
3.（2011浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，
PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【 】
A． B． C．3 D．2
4.（2011河南省3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 ▲ 　．
5.（2011云南昆明12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
三、应用轴对称的性质求最值：典型例题：例1. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为 ▲ cm．
【答案】15。
【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。
【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离，且AP=BP。
由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。
在Rt△BCD中，由勾股定理得。
∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
例2. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B。
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。
故选B。
例3. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角
坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，
则＝　　▲　　．
【答案】5。
【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：
连接AB并延长交x轴于点P，
由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。
∵点B是正方形ADPC的中点，
∴P（3，0）即OP=3。
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，
则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。
∴OP OQ=3×=5。
例4. （2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。
【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。
∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。
∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。
在Rt△CDE中，。
例5. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，
过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是
　　▲　　。
【答案】14。
【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。
【分析】∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，
∴OD＝＝＝8。
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，
∴OC＝＝＝6。
∴CD＝8＋6＝14。
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′
作AC的垂线，交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，
∴AB′＝＝＝14。
例6. （2012湖北十堰6分）阅读材料：
例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值．
解： ，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式 的最小值为 ．
【答案】解：（1）（2，3）。
（2）10。
【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。
【分析】（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A
（1，1）、点B（2，3）的距离之和。
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）
的距离之和。
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B
间的直线段距离最短。
∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。
∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。
∴。
例7. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）8．
【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：
∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。
∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。
∴。
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。
练习题：
1. （2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的
最小值为 ▲ ．
2. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．
3.（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
4.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】
A、2 B、4 C、 D、
5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的
任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的
中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】
A．3 B．4 C．5 D．6
7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．
四、应用二次函数求最值：典型例题：
例1. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC．CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= ▲ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 ▲ cm2．
【答案】，。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。
∴△ABM∽△MCN，∴，即，解得CN=x（1﹣x）。
∴。
∵＜0，∴当x=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是cm2。
例2.（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　▲　．
【答案】1。
【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】设AC＝x，则BC＝2－x，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝ 。
∴∠DCE＝90°。
∴DE2＝DC2＋CE2＝（）2＋[]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。
∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。
例3.（2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.
【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=。
（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴ ，即。∴。
∵
∴当时，y的值最大，最大值是。
（2）设BP=x, 由（2）得。
∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。
∴， 即，
化简得。
解得或（不合题意，舍去）。
∴当BP= 时， PE∥BD。
【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。
（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。
（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
例4.（2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，
∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。
∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。
此时，EG=10﹣x=10﹣，CE=，
∴。
【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。
【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。
②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。
例5.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x。
①若，BM=，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，
∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。
解得x=或x=。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN，∴。
∴。
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，
∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时，S的最小值为。
③连接PG，设DE交AP于点O。
若∠BAD=150，
∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。
∵△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。
∴∠PGA =900。
设BG=t，
在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。
∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。
∴当BP=2－2时，∠BAD=150。
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。
∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。
设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。
又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。
∵DH=AD=2a，
∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，
HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。
∵，
，
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。
【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。
（2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，
用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。
例6.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上
的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.
⑴当 时，求弦PA、PB的长度；
⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？
【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。
又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。
∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。
∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。
∴，即PA2=PC·PD。
∵PC=，AB=4，∴。
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。
（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。
∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。
在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。
∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。
∴。
∵
∴当时，有最大值，最大值是2。
【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。
（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。
例7.（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，
∴。
∵，∴当x=2时，S有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。
例8.（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
【答案】解：（1）如图①，正方形即为所求。
（2）设正方形的边长为x．
∵△ABC为正三角形，∴。
∴。∴，即。
（3）如图②，连接NE，EP，PN，则。
设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则，。
∴.
∴。
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。
在中，。
∵，即，
∴。
∴①当时，即时，S最小。
∴。
②当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。
∵，由（2）知，。
∴。
∴。
【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。
【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长
（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。
例9. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，
∴AM=12﹣t，AN=2t。
∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。
（2）如图作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。
∴△ANH∽△ABC。
∴，即。∴NH=。
∴。
∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。
【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。
例10.（2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
【答案】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。
∴。
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。
∴当t=秒时，PQ∥BO。
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。
∴△APD∽△ABO。
∴，即，解得PD=6﹣t。
∴。
∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）。
∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。
②如图②所示，当S取最大值时，t=，
∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。
又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。
又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。
【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。
【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。
②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。
例11.（2012贵州六盘水16分）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角。
（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．
若PQ∥BC，则，即，解得。
∴当s时，PQ∥BC。
（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D。
则PD∥BC，∴△APD∽△ABC。
∴，即，解得。
∴S=×AQ×PD=×2t×（）
。
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2。
（3）不存在。理由如下：
假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC BC=24，∴此时S△AQP=12。
由（2）可知，S△AQP=，∴=12，化简得：t2﹣5t+10=0。
∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）存在。
假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，
则有AQ=PQ=BP=2t。
如图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴△APD∽△ABC。
∴，即。
解得：PD=，AD=，
∴QD=AD﹣AQ=。
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（）2+（）2=（2t）2，
化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=。
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=。
由（2）可知，S△AQP=
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（）=2×[﹣×（）2+6×]=。
∴存在时刻t=，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2。
【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。
【分析】（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。
（2）如图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，得△APD∽△ABC，由比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。
（3）利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分。
（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算。
例12.（2012山东日照9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值.
【答案】解：（1）∵， PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，
∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0（2）由（1）知：y=－x2＋9x=。
∵当0∴当x=4时，。
∴△PBQ的最大面积是20cm2。
【考点】矩形的性质，二次函数的最值。
【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解。
（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答。
例13.（2012四川宜宾12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B。
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE。∴△ABE∽△ECM。
（2）解：能。
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF。∴AE≠AM。
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM（SAS）。∴CE=AB=5。
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1。
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA。
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA。
又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴。
∴BE= BC﹣EC =6﹣。
综上所述，当BE=1或时，重叠部分能构成等腰三角形。
（3）解：设BE=x，则CE=6－x
∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴。
∴。
∴当x=3时，AM最短为。
又∵当BE=x=3=BC时，点E为BC的中点，∴AE⊥BC。
∴。
此时，EF⊥AC，∴。
∴。
∴当线段AM最短时，重叠部分的面积为。
【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，二次函数的最值，勾股定理。
【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM。
（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，应用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案。
（3）设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得，从而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，从而求得重叠部分的面积。
例14.（2012四川南充8分）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，
(1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。
【答案】解：（1）证明：连接OM 。
∵ Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，
∴PQ=4，OM=PM=PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=450 。
∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB。
∴△PMA≌△OMB（ASA）。∴ MA=MB。
(2) △AOB的周长存在最小值。理由如下:
∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB。 ∴OA+OB=OA+PA=OP=4。
令OA=x， AB=y，则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8≥8。
∴当x=2时y2有最小值8，从而 y的最小值为2。
∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）连接OM，证△PMA和△OMB全等即可。
(2) 先计算出∴OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt⊿AOB中，利用勾股定理
得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。
例15.（2012江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm，
① 用含x的代数式表示扇形的半径；
② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？
【答案】解：（1）连接O1A。
∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。
∵，∴∠AO2O1=∠CO2D=30°。
在Rt△O1AO2中，，∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。
∵EF=24cm，∴FO2=EF－EO1－O1O2=24－3x，即扇形O2CD的半径为（24－3x）cm。
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
。
∴当x=4时，y的值最小。
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。
【考点】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。
【分析】（1）连接O1A．由切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。
（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。
例16.（2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
【答案】解：（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°。
∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°。科网]∴∠MDB=∠NEC=120°。
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°。∴△BMD∽△CNE。
（2）过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，
∴MH=MF。
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°。
∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B。∴DM=BD=x。
∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x。
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=，.Com]解得：x=16﹣8。
∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。
（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，∴BK=BC=×8=4
∵∠B=30°，∴AK=BK tan∠B=4×。
∴S△ABC=BC AK=×8×。
由（2）得：MD=BD=x
∴MH=MD sin∠MDH=x，
∴S△BDM= x x=x2。
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x。
∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=。∴S△CEN=（4﹣x）2。
∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+
=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）。
∴当x=2时，y有最大值，最大值为。
【考点】等腰（边）三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE。
（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案。
（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案。
练习题：
1. （2011宁夏自治区10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．
（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？
（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
2.（2011福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。
(1) 求CD的长及∠1的度数；
(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大 最大值是多少
3.（2011浙江杭州12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点
E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为，，△OEF与△OGH
组成的图形称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范
围。
4. （2011江苏宿迁12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求
出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．
5.（2011江苏淮安12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2。
点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点
A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，
以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒（＞0），正
方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
（1）当＝1时，正方形EFGH的边长是 ；
当＝3时，正方形EFGH的边长是 ；
（2） 当0＜≤2时，求S与的函数关系式；
（3） 直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最大？最大面积是多少？
6.（2011内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．
（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？
（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．
图1 图2
五、应用其它知识求最值：典型例题：例1.（2011山东滨州3分）如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为【 】
A、 B、8cm C、 D、
【答案】D。
【考点】旋转的性质，弧长的计算。
【分析】点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A、C、B'三点在同一条直线上，∴∠ACA′＝120°。
又∵AC＝4，∴。故选D。
例2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是【 】
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A。
【考点】动点问题，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，当点P运动到点P′，即AP′与⊙O相切时，∠OAP最大。
连接O P′，则A P′⊥O P′，即△AO P′是直角三角形。
∵OB=AB，OB= O P′，∴OA=2 O P′。
∴。∴∠OAP′=300，即∠OAP的最大值是=300。故选A。
例3.（2011贵州贵阳3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是【 】
A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7
【答案】D。
【考点】含30度角的直角三角形的性质，垂线段的性质。
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6。故选D。
例4.（2012河北省12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积S△ABC= ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
【答案】解：探究：12；15；84。
拓展：（1）由三角形面积公式，得
，。
（2）由（1）得，，
∴
∵△ABC中AC边上的高为，
∴x的取值范围为。
∵随x的增大而减小，
∴当时，的最大值为15，当时，的最小值为12。
（3）x的取值范围为或。
发现：直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和最小，最小值为。
【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角有三角函数值，勾股定理， 垂直线段的性质，反比例函数的性质。
【分析】探究：在Rt△ABH中，AB=13，，∴BH=AB。
∴根据勾股定理，得。
∵BC=14，∴HC=BC－BH=9。∴根据勾股定理，得。
∴。
拓展：（1）直接由三角形面积公式可得。
（2）由（1）和即可得到关于x的反比例函数关系式。根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB=13，BC=14，所以当BD=BC=14时，x最大。从而根据反比例函数的性质求出m+n）的最大值和最小值。
（3）当时，此时BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D；当时，此时在线段AC上存在两点D；当时，此时在线段AC上存在唯一的点D。因此x的取值范围为或。
发现：由拓展（2）知，直线AC，A、B、C三点到这条直线的距离之和（即△ABC中AC边上的高）最小，最小值为（它小于BC边上的高12和AB边上的高）。
例5.（2011河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．
当α= ▲ 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ▲ ．
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度，此时点N到CD的距离是 ▲ ．
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
（参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）
【答案】解：思考：90，2。
探究一：30，2。
探究二：（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。
（2）如图4，由探究一可知，
点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，
此时延长PO交AB于点H，
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。
在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=。∴∠MOH=49°。
∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。
∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，NQ=4，∴最大旋转角∠BMO=30度，点N到CD的距离是 2。
探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值。
（2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围。
例6.（2011四川成都4分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为　 ▲ （计算结果不取近似值）．
【答案】。
【考点】翻折变换（折叠问题），勾股定理。
【分析】关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置。经实验不难发现，当点M与A重合时，AT取最大值是6；当点N与C重合时，此时AT取最小值，由勾股定理得，AT的最小值为。所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：。
例7.（2011陕西省12分）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　 　三角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
图① 图② 图③ 图④
【答案】解：（1）等腰。
（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A。
∴四边形ABFE为正方形。∴BF=AB=2。∴F（2，0）。
（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：
①当F在边BC上时，如图②所示，
S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4。
②当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，
∵S△EKF=KF AH≤HF AH=S矩形AHFD，
S△BKF=KF BH≤HF BH=S矩形BCFH，
∴S△BEF≤S矩形ABCD=4。
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4。
下面求面积最大时，点E的坐标。
①当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=。
∴AE=4－。∴E（4－，2）。
②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．
此时E（0，2）．
综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4－，2）。
例8.（2011浙江金华、丽水3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为【 】
A、600m B、500m C、400m D、300m
【答案】 B。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC=，从而可求得CE=AC﹣AE=200。根据图可知从B到E的走法有两种：①BA＋AE=700；②BC＋CE=500。∴最近的路程是500m。故选B。
例9.（2011湖北宜昌10分）如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．
【答案】解：(1) 作图如下：
（2）能。
①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点， 如图1。
在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)，
∵ OX ＝BO·sin∠ABM, P1Z＝BP1·sin∠ABM，
当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX，
即P与B的距离越大，⊙P的面积越大。
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点。
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
则E在边AB上。
∴以P为圆心、PC为半径作圆，
则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E。
即这时的⊙P是符合题意的圆。这时⊙P的面积就是S的最大值。
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°，∴ Rt△ABC∽Rt△APE。∴。
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝。
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，∴。
∴x＝ =2－4。
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，
设PC＝y，则 ，∴y= =。21世纪教育网]
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则， ∴z=。
∵y－x=>0，∴y>x。
∵z－y=>0 ∴ z＞y。
∴ z＞y＞x。 ∴⊙P的面积S的最大值为。
【考点】尺规作图，切线的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元一次方程，二次根式化简，实数的大小比较。
【分析】（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心。
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论。
例10.（2011山东潍坊3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面夹角如表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是.
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140m 100m 95m 90m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），特殊角的三角函数，无理数的大小比较。
【分析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可：如图，
甲中，AC=140，∠C=30°，AB=140×sin30°=70=；乙中，DF=100，∠C=45°，DE=100×sin45°=50
=；丙中，GI=95，∠I=45°，GH=95×sin45°==；丁中，JL=90，∠C=60°，JK=90
×sin60°=45=。∵＜＜＜，∴GH＜AB＜DE＜JK。可见丁同学所放的风筝最高。故选D。
例11.（2011安徽省12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，
旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．
(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；
(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3；
如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当＝ °时，EP的长
度最大，最大值为 ．
【答案】解：（1）证：∵△A1B1C是△ABC旋转得到，
∴∠A1B1C＝∠ABC＝30°，∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠CA1B1＝∠CAB＝60°。
又∵AB∥CB1，∴∠BCB1＝∠ABC＝30°。∴∠A1CD＝60°。∴∠A1DC＝60°。
∴△A1CD是等边三角形。
(2)证：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC：CB＝tan∠ABC＝
又∵在△ACA1和△BCB1中，∠ACA1＝∠BCB1，AC：CB＝A1C：CB1＝，
∴△ACA1∽△BCB1。∴S1∶S2＝。
（3）120，。
【考点】旋转的性质，平行的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】（1）易求得△A1CD的三内角都等于600， 因此得证。
(2) 易证得△ACA1∽△BCB1，且相似比为，应用相似三角形面积的比等于对应边的比的平方的性质，得证。
（3）连接CP，则EP≤CE＋CP，当E、C、P共线时，EP最大。由直角三角形斜边上的中线性质可知，CP＝，故EP的最大值为。没有旋转时∠ACP＝60°，从而当E、C、P共线时，旋转了1200。
例12.（黑龙江大庆3分）已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上的点A作⊙O的切线，
切点为B，则线段AB的长度的最小值为【 】
A．1 B． C． D．2
【答案】C。
【考点】点到直线的距离的定义，切线的性质，勾股定理。
【分析】先连接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB：
AB。故选C。
例13.（四川资阳9分）在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为10cm/秒．
(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(2) 若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(3) 如图2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．(3分)
(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)
【答案】解：(1) 沿A→O→B路线行进所用时间为：600÷20+300÷10=60(秒)，
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300(cm)。
∴沿A→B路线行进所用时间为：300÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。
(2) 在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°，∴OC= OB=300cm，BC==300(cm)。
∴AC=600－300=300(cm)。
∴沿A→C→B路线行进所用时间为：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57(秒)。
(3) 在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连结P′B，
在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，
∴EP=，E′P′=。
∴沿A→P→B路线行进所用时间为：
AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=BE(秒)；
沿A→P′→B路线行进所用时间为：
AP′÷20+P′B÷10= E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10= (E′P′+P′B)(秒)。
连结BE′，则E′P′+P′B > BE′>BE，∴BE < (E′P′+P′B)。
∴ 沿A→P→B路线行进所用时间，小于沿A→P′→B路线行进所用时间，
即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短。
【考点】动态型问题，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，垂线段的性质。
【分析】(1)直接由速度、路程和时间的关系可求沿A→O→B路线行进所用时间；由勾股定理求出AB的长即可求得沿A→B路线到达B处所用的时间。
（2）由锐角三角函数求出BC的长，即可求出沿A→C→B路线行进所用时间。
（3）根据垂线段最短的性质即可求得。
例14.（2011江西南昌7分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据： ，，.）
【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。
∵BD是直径，∴BD=4，。
在Rt△DBC中，，
∴，∴。
(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，
则AB=AC，。
在Rt△ABE中，∵，
∴。 ∴S△ABC=。
答：△ABC面积的最大值是。
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出的度数，再由圆周角定理即可求解。
（2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答。【2013年中考攻略】专题5：方程（组）应用探讨
初中数学中列方程（组）解应用题是一项重要内容，也是中考中与不等式（组）的应用二选一（或同题）的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程，分式方程，二元一次方程组（有些地区还有无理方程和可化为二元一次方程的高次方程组）。它们应用的基本步骤是相同的，基本步骤为：
①审（审题）；
②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；
③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）；
④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程（组））；
⑥解（解方程（组））；
⑦验（检验解的有效性和实际意义的符合性）；
⑧答（回答题问）。
它们的应用包括（1）行程问题；（2）工程问题；（3）溶度问题；（4）增长率问题；（5）销售利润和存贷问题；（6）比例和调配（分配）问题；（7）数字问题；（8）和差倍分问题；（9）几何问题；（10）分段问题；（11）规律探究问题；（12）不定方程问题；（13）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、行程问题
解题指导：
（1）基本量是：路程、速度和时间。
基本关系是：①路程= 速度×时间；②时间=；③速度=。
（2）基本类型：相遇问题；相背问题；追及问题；行船（风速）问题；环形跑道问题等。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在行船（风速）问题中很多时候还用速度作相等关系。
行船（风速）问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到行船（风速）问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
典型例题：
例1.（2012宁夏区3分）小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校共用了
16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分
钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为：
上坡用的时间×上坡的速度＋下坡用的时间×下坡速度=1200，
上坡用的时间＋下坡用的时间=16。
把相关数值代入（注意单位的通一），得。故选B。
例2.（2012浙江台州4分）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
【考点】方程的应用（行程问题）。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车的平均速度为x千米/时，则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x＋20千米/时。等量关系为：回来时路上所花时间比去时节省了，即
回来时路上所花时间是去时路上所花时间的
= ·
故选A。
例3.（2012四川内江3分）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为千米/小时，依据题意列方程正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】由实际问题抽象出方程（行程问题）。
【分析】∵甲车的速度为千米/小时，则乙甲车的速度为千米/小时
∴甲车行驶30千米的时间为，乙车行驶40千米的时间为，
∴根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得。故选C。
例5. （2012江苏宿迁10分）某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；原路返回时，汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6 h。问平路和坡路各有多远？
【答案】解：设平路有x km ，坡路有y km，根据题意，得
，解得。
答：平路有150 km ，坡路有120 km。
【考点】二元一次方程组的应用（行程问题）。
【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
（1）以60km/h的速度走平路的时间＋以30km/h的速度爬坡的时间=6.5 h；
（2）以40km/h的速度下坡的时间＋以50km/h的速度走平路的时间=6 h。
例6. （2012辽宁丹东10分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险. 半小
时后，第二队前去支援，平均速度是第一队的1.5倍，结果两队同时到达．已知抢险队的出发地与灾区的
距离为90千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？
【答案】解：设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．
根据题意，得：，解这个方程，得x=60 。
经检验，x=60是所列方程的根。
1.5x=1.5×60=90。
答：第一队的平均速度是60千米/时，第二队的平均速度是90千米/时。
【考点】分式方程的应用。
【分析】设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．根据半小时后，第二队前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是小时，即可列方程求解。
练习题：
1. （2012辽宁本溪3分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公
交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速
度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为【 】
A、 B、 C、 D、
2. （2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是【 】
A．　　B．　
C．　　D．
3. （2012辽宁鞍山3分） A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到小时．设乙的速度为x千米/时，可列方程为 ▲ ．
4. （2012湖北十堰8分）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，求原计划的行驶速度．
5. （2012辽宁锦州10分）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km.大部队先行，出发1小时后，
由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部
队的1.5倍，求大部队的行进速度. （列方程解应用题）
6. （2012山东青岛6分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84km，
返回时经过跨海大桥，全程约45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回
时多20min．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．
7. （2012广西桂林8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家
中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速
骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是
步行速度的3倍．
(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？
8. （2011广西崇左2分）元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”，请你回答：良马 ▲ 天可以追上驽马.
二、工程问题
解题指导：
（1）基本量是：工作量、工作效率、工作时间。
基本关系是：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=；③工作效率=。
（2）基本类型：有工作总量和无工作总量。
（3）在工程问题中，若工作总量给出了明确的数量，此时工作效率也即工作速度；若没有给出明确的数量，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量；②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。
典型例题：
例1. （2012四川达州3分）为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完
成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40
天,如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务.若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是
【 】
A、 B、
C、 D、
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+40）天．甲队单独一天完成这项工程的，乙队单独一天完成这项工程的，
甲、乙两队合作一天完成这项工程的，则。故选B。
例2. （2012吉林省2分） 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】因为原计划每天生产x台机器，现在平均每天比原计划多生产50台，所以，现在生产600台机器所需时间是天，原计划生产450台机器所需时间是天，由“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”得方程。故选C。.
例3. （2012辽宁铁岭3分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙
两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设
乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为 ▲ .
【答案】。
【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。
【分析】∵甲、乙两工程队合作施工20天可完成；∴合作的工作效率为：。
若设乙工程队单独完成此工程需要x天，则可列方程。
例4. （2012福建厦门9分）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用 (x2－1)小时，丙车床需用(2x－2)小时.
（1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间；
（2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由.
【答案】解：（1）由题意得, x＝(2x－2)，解得x＝4。
∴ x2－1＝16－1＝15(小时)。
答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时。
（2）不相同。
若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得,
＝ ，
∴＝。∴x＝1。
经检验，x＝1不是原方程的解， ∴ 原方程无解。
答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同。
【考点】一元一次方程和分式方程的应用。
【分析】（1）若甲车床需要x小时，丙车床需用（2x-2）小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的，即可列出方程求解。
（2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可。
例5. （2012辽宁沈阳10分）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工10个零件，甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？
【答案】解：设乙每小时加工机器零件x个， 则甲每小时加工机器零件（x＋10） 个，
根据题意得：，解得x=40。
经检验， x=40是原方程的解，
x+10=40+10=50。
答： 甲每小时加工50个零件， 乙每小时加工40个零件。
【考点】分式方程的应用（工程问题）。
【分析】根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等”可得出相等关系，从而只需表示出他们各自的时间即可。
例6. （2012山东临沂6分）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．
练习题：
1. （2012内蒙古赤峰3分）某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为 ▲ ．
2. （2012湖北黄冈6分）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两
个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B车间的1．2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故
障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件．
3. （2012贵州安顺10分）某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？
4. （2012山东泰安10分）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
5. （2012广西玉林、防城港10分）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天.
（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由.
三、溶度问题
解题指导：
（1）基本量是：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。
基本关系是：①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；
②浓度=×100％=×100％
（纯度（含量）=×100％=×100％）；
③溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）
（2）在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。
典型例题：
例1. （2011湖南株洲6分）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，
问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
【答案】解：设A饮料生产了瓶，B饮料生产了瓶，依题意得：
， 解得：。
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶 。
【考点】二元一次方程组的应用（浓度问题）。
【分析】方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
①A两种饮料＋B两种饮料＝100瓶
＋ ＝ 100
②A两种饮料添加剂＋B两种饮料添加剂＝270克
2 ＋ 3 ＝ 270。
例2. （2011浙江温州12分）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
【答案】解：（1）400×5%=20克．
答：这份快餐中所含脂肪质量为20克；
（2）设所含矿物质的质量为克，由题意得：
+4+20+400×40%=400，
∴=44。∴4=176。
答：所含矿物质的质量为176克；
（3）设所含矿物质的质量为克，则所含碳水化合物的质量为（380﹣5）克。
∴4+（380﹣5）≤400×85%，
∴≥40，∴380﹣5≤180，
答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．
【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用
【分析】（1）快餐中所含脂肪质量=快餐总质量×脂肪所占百分比。
（2）根据这份快餐总质量为400克，列出方程求解即可。
（3）根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，列出不等式求解即可。
练习题：
1. （2000浙江湖州10分）某校初三学生在上实验课时，要把2000克质量分数为80%的酒精溶液配制成质量分数为60%的酒精溶液，某学生未经考虑先加了500克水．
（1）试通过计算说明该学生加水是否过量；
（2）如果加水不过量，则还应加入质量分数为20%的酒精溶液多少克？如果加水已经过量，则需再加入质量分数为95%的酒精溶液多少克？
2. （2002重庆市10分）实际测试表明1千克重的干衣物用水洗涤后拧干，湿重为2千克，今用浓度为1%的洗衣粉溶液洗涤0.5千克干衣物，然后用总量为20千克的清水分两次漂洗．假设在洗涤和漂洗的过程中，残留在衣物中的溶液浓度和它所在的溶液中的浓度相等，且每次洗、漂后都需拧干再进入下一道操作．问怎样分配这20千克清水的用量，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液浓度最小，残留在衣物上的洗衣粉有多少毫克？（保留3个有效数字）（溶液浓度= ×100%，1千克=106毫克）
3. （1998浙江湖州5分）某商店选用售价为每千克22元的甲种糖30千克，每千克20元的乙种糖20千克，每千克18元的丙种糖50千克，混合成杂拌糖后出售，则这种杂拌糖平均每千克售价应是 ▲ 元．
4. （2009浙江湖州3分）某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为【 】
A．11元/千克 B．11.5元/千克 C．12元/千克 D．12.5元/千克
四、增长率问题
解题指导：
（1）基本量是：期初数、期末数、增长率。
基本关系：期末数=期初数×（1＋增长率）。
（2）基本类型： 非连续增长和连续增长。
（3）在增长率问题中关键量是“增长率”。对于连续增长，增长率是相同的（平均增长率），连续两次增长后，期末数=期初数×（1＋平均增长率）2。增长率问题还包括负增长，如降价。
典型例题：
例1.（2012广东湛江4分）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是【 】
A．5500（1+x）2=4000 B．5500（1﹣x）2=4000 C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500
【答案】D。
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）。
【分析】设年平均增长率为x，那么2010年的房价为：4000（1+x），2011年的房价为：4000（1+x）2=5500。故选D。
例2.（2012江苏泰州3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次
降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是【 】
A． B．
C． D．
【答案】C。
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。
【分析】平均每次降价的百分率为x，
第一次降价后售价为36(1－x)，
第二次降价后售价为36(1－x) (1－x)＝36(1－x)2。据此列出方程：。故选C。
例3. （2012广东省7分）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
【答案】解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得
5000（1+x）2 =7200．
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）。
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%。
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为
7200（1+x）=7200×120%=8640万人次。
答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解。
（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次。
例4. （2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．
例5. （2012四川广元9分）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售。由于国
家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售。
（1）求平均每次下调的百分比；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力。请问房产销售经
理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】解：（1）设平均每次下调的百分比为x，则有，，
∵1－x>0， ∴1－x =0.9， x =0.1=10%。
答：平均每次下调10%。
（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1－5%)×(1－15%）=5652.5元
∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些。
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经
过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可。
（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解。
例6. （2012甘肃白银10分）某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．
（1）求这种玩具的进价；
（2）求平均每次降价的百分率（精确到0.1%）．
【答案】解：（1）∵36÷（1+80%）=20元，
∴这种玩具的进价为每个20元。
（2）设平均每次降价的百分率为x，则
36（1﹣x%）2=25，
解得x≈16.7%．
∴平均每次降价的百分率16.7%。
【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。
【分析】（1）根据计划每个售价36元，能盈利80%，可求出进价。
（2）设平均每次降价的百分率为x，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解。
练习题：
1. （2012湖南娄底3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是【 】
　 A． 289（1﹣x）2=256 B． 256（1﹣x）2=289 C． 289（1﹣2x）=256 D． 256（1﹣2x）=289
2. （2012四川成都3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是【 】
A．100（1＋x）=121 B． 100（1－x）=121 C． 100（1＋x）2=121 D． 100（1－x）2=121
3. （2012广东佛山3分）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ▲
4. （2012福建龙岩3分）为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2011年该县政
府在这项建设中已投资3亿元，预计2013年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为 ▲ ．
5. （2012辽宁丹东3分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为 ▲ ．
6.（2012辽宁阜新3分）我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年平均增长率为 ▲ ．
7. （2012山东莱芜4分）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要
投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该
市要投入的教育经费为 ▲ 万元．
8. （2012四川乐山10分）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
9. （2012贵州黔南10分）2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后，全国各大药店的销售都受到不同程度的影响，4月初某种药品的价格大幅度下调，下调后每盒价格是原价格的，原来用60元买到的药品下调后可多买2盒。4月中旬，各部门加大了对胶囊生产监管力度，因此，药品价格4月底开始回升，经过两个月后，药品上调为每盒14.4元。
（1）问该药品的原价格是多少，下调后的价格是多少？
（2）问5、6月份药品价格的月平均增长率是多少？
10. （2012广西钦州8分）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
11. （2011四川自贡4分）龙都电子商场出售A，B，C三种型号的笔记本电脑，四月份A型电脑的销售额占三种型号总销售额的56％，五月份B，C两种型号的电脑销售额比四月份减少了m％，A型电脑销售额比四月份增加了23％，已知商场五月份该三种型号电脑的总销售额比四月份增加了12％，则m=
▲ ．
五、销售利润和存贷问题
解题指导：
（1）销售利润基本量是：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
存贷基本量是：本金、利息、利息税，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
基本关系：①利润=销售价（收入）－成本（进价），成本（进价）=销售价（收入）－利润；
②利润率=，利润=成本（进价）×利润率。
③利息=本金×利率×期数； ④利息税=利息×税率；
⑤本息和（本利）=本金+利息－利息税。
（2）基本类型： 已知进价、售价、求利润率；已知进价、标价及利润率，求标价或原价的折数。 已知利润率、标价求进价。
（3）在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
典型例题：
例1. （2012青海省3分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是【 】
A．元 B．元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元
【答案】A。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设原收费标准每分钟是x元，则按原标准每分钟降低a元后价格为x－a元，再次下调20%后的价格为（1﹣20%）（x－a）元，根据收费标准是每分钟b元得方程：
（1﹣20%）（x－a）=b，解得x=。故选A。　
例2. （2012黑龙江牡丹江3分）菜种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利l0％，则这种商品每件的进价为【 】，
A．240元 B．250元 C．280元 D．300元
【答案】A。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设这种商品每件的进价为ｘ元，根据题意，得330·80%＝（1+10%）ｘ，解得ｘ＝240（元）。故选A。
例3. （2012辽宁锦州3分）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元.店庆期间，商场为了
答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打 ▲ 折.
【答案】七。
【考点】一元一次方程的应用（利润问题）。
【分析】设最多可打x折，根据题意和销价－进价=利润=进价×利润率，得
1200x－800=800·5%，解得x=0.7。
∴要保证利润率不低于5%，最多可打七折。
例4. （2012山西省10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】解：（1）设每千克核桃应降价x元。
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6。
答：每千克核桃应降价4元或6元。
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元。
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元。
此时，售价为：60﹣6=54（元），。
答：该店应按原售价的九折出售。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
每千克核桃的利润×每天的销售量=每天获利2240元
（60﹣x﹣40） ·（100+×20）=2240。
求该店应按原售价的几折出售，只要求出新的售价，与原售价相比即可。
例5. （2012江苏南京8分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。
① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
例6. （2012江苏无锡8分）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
【答案】解：（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1） x+x 10%×5=0.7x，
投资收益率为×100%=70%。
按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85） x+x 10%×（1﹣10%）×3=0.62x，
投资收益率为×100%≈72.9%。
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。
（2）由题意得0.7x﹣0.62x=5， 解得x=62.5
∴甲投资了62.5万元，乙投资了62.5×80%＝53.125万元。
【考点】列代数式，一元一次方程的应用。
【分析】（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较。
（2）利用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解。
例7. （2012湖南娄底8分）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
【答案】解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
，解得：。
答：购进篮球12个，购进排球8个。
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60﹣50）=（95﹣80）a，解得：a=4。
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）设购进篮球x个，购进排球y个，根据等量关系：①篮球和排球共20个②全部销售完后共获利润260元可的方程组，解方程组即可。
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每个排球的利润×6=每个篮球的利润×a，列出方程，解可得答案。
练习题：
1. （2012黑龙江龙东地区3分）某商品按进价提高40％后标价，再打8折销售，售价为1120元，则这种电器的进价为 ▲ 元。
2. （2012山东枣庄3分）“五一”节期间，某电器按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是【 】
A． B．
C．　　　 　D．
3. （2012内蒙古包头10分）某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120 元，售价138 元；乙种商品每件进价100 元，售价120 元。
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
4. （2012福建三明10分）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（5分）
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品
件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？（5分）
5. （2011广东深圳3分）一件服装标价200元，若以六折销售，仍可获利20℅，则这件服装进价是【 】
A.100元 B.105元 C.108元 D.118元
6. （2011山西省2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30％后标价，再打8折(标价的80％)销售，售价为2080元．设该电器的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是【 】
A． B．
C． D．
7. （2011黑龙江大庆3分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价m元后，又降
低20%，此时售价为n元，则该手机原价为 ▲ 元．
8. （2011黑龙江牡丹江3分）某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20％，这种商品每件标价是 ▲ 元．
六、比例和调配（分配）问题
解题指导：
比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。
典型例题：
例1. （2012山东东营9分）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．
求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【答案】解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，
依题意得： ，整理得： ，
①×12－②得：13y=3900，解得：y=300。
将y=300代入①得：x=400，
∴方程组的解为：。
答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨。
（2）依题意得：300×8000-400×1000-15000-97200=1887800（元），
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程×1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×1.5y=这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×1.2y=这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解集得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数。
（2）由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和，即可求出所求的结果。
例2. （2012内蒙古呼和浩特8分）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：x表示　 ▲ 　，y表示　 ▲ 　
乙：x表示　 ▲ 　，y表示　 ▲ 　
（2）甲同学根据他所列方程组解得x=300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
【答案】解：（1）产品的重量，原料的重量。产品销售额；原料费。
补全甲、乙两名同学所列方程组如下：
甲：；乙：。
（2）将x=300代入原方程组解得y=400。
∴产品销售额为300×8000=2400000（元），原料费为400×1000=400000（元）。
又∵运费为15000+97200=112200（元）
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多2400000﹣（400000+112200）=1887800（元）。
【考点】二元一次方程组的应用。144
【分析】（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出x，y的值并补全方程组即可。
（2）将x的值代入方程组即可得到结论。　
例3. （2012辽宁朝阳12分）为支持抗震救灾，我市A、B两地分别的赈灾物资100吨和180吨。需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨。
（1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？
（2）设A地运往C县的赈灾物资为x吨（x为整数），若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？
【答案】解：（1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，根据题意得，
，解得。
答：这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是160吨，120吨。
（2）∵A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，∴B地运往C县的物资是（160－x）吨，A地运往D县的物资是（100－x）吨，B地运往D县的物资是120－（100－x）=（20＋x）吨，根据题意得，
，解得。∴不等式组的解集是40＜x≤43。
∵x是整数，∴x取41、42、43。
∴方案共有3种，分别为：
方案一：A地运往C县的赈灾物资数量为41吨，则B地运往C县的物资是119吨，
A地运往D县的物资是59吨，B地运往D县的物资是61吨；
方案二：A地运往C县的赈灾物资数量为42吨，则B地运往C县的物资是118吨，
A地运往D县的物资是58吨，B地运往D县的物资是62吨；
方案三：A地运往C县的赈灾物资数量为43吨，则B地运往C县的物资是117吨，
A地运往D县的物资是57吨，B地运往D县的物资是63吨。
【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用（调配问题）。
【分析】（1）设运往C县的物资是a吨，D县的物资是b吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程，再根据运往C、D两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可。
（2）根据A地运往C县的赈灾物资数量为x吨，表示出B地运往C县的物资是（160－x）吨，A地运往D县的物资是（100－x）吨，B地运往D县的物资是120－（100－x）=（20＋x）吨，然后根据“B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍”列出一个不等式，根据“B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据x为整数即可得解。
例4. （2011四川眉山9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．
（1）求运往两地的数量各是多少立方米？
（2）若A地运往D地立方米（为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？
（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：
A地 B地 C地
运往D地（元/立方米） 22 20 20
运往E地（元/立方米） 20 22 21
在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？
【答案】解：（1）设运往E地x立方米，由题意得，x＋2x－10=140，
解得：x=50，
∴2x－10=90。
答：共运往D地90立方米，运往E地50立方米。
（2）由题意可得，，解得：20＜≤22。
∵是整数，∴=21或22。
∴有如下两种方案：
方案一：A地运往D地21立方米，运往E地29立方米，
C地运往D地39立方米，运往E地11立方米；
方案二：A地运往D地22立方米，运往E地28立方米，
C地运往D地38立方米，运往E地12立方米。
（3）方案一共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），
方案二共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元）。
所以，第一种方案的总费用最少。
【考点】一元一次不等式组和一元一次方程的应用。
【分析】（1）设运往E地x立方米，由题意可列出关于x的方程，求出x的值即可。
（2）由题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据是整数可得出a的值，进而可求出答案。
（3）根据（1）中的两种方案求出其费用即可。
练习题：
1. （2012广西北海8分）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。
（1）求出该班男生与女生的人数；
（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人
数2人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？
2. （2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的
总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并
求出最少总运费。
3. (2011四川德阳3分)两条平行线被第三条直线所截，如果一对同旁内角的度数之比为3：7，那么这两个角的度数分别是【 】
A． 30°，70° B． 60°，l40° C．54°，l26° D． 64°．ll6°
4. （2011山东潍坊10分）2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
到凤凰社区的路程(千米) 运费（元/吨·千米）
甲厂 20 12
乙厂 14 15
（1）若某天总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）若每天甲厂最多可调出80吨，乙厂最多可调出90吨. 设从甲厂调运饮用水吨，总运费为W元. 试写出W关于的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？
七、数字问题
解题指导：
（1）基本量是：数位、数位上的数字、数值。
基本关系是：数值=个数位上的数字＋十数位上的数字×10＋百数位上的数字×100＋…
（2）数字问题是常见的数学问题。数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系，如两位数=10a+b；三位数=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。
典型例题：
例1. （2012四川德阳3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文，，，，.例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为【 】
A. 4，6，1，7 B. 4，1，6，7 C.6，4，1，7 D.1，6，4，7
【答案】C。
【考点】多元一次方程组的应用。
【分析】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解：依题意，得
，解得。故选C。
例2. （2011湖北恩施3分）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
碑上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是 【 】
A、24 B、42 C、51 D、15
【答案】D。
【考点】二元一次方程组的应用（数字问题）。
【分析】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x+y，
则13时看到的两位数为x+10y，12～13时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y），
14：30时看到的数为100x+y，14：30～13时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）。
由题意列方程组得：，解得：，
所以12：00时看到的两位数是15。故选D。
例3. （2011宁夏自治区3分）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是【 】
A． B．
C． D．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组（数字问题）。
【分析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组
故选B。
练习题：
1. （2008贵州铜仁4分）设一个三位数个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，请你写出这个三位数　　▲　　
2. （2003湖南娄底2分）一个两位数，十位数字为a，个位数字为1，这个两位数用代数式表示　　▲　　
3. （2008贵州黔南4分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是【　　】
A．－1，1 　　　　B．1，1 　　　　C．1，3　　　　 D．3，1
4. （2007浙江台州4分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为【　　】
A．4，5，6　　　 B．6，7，2 　　　C．2，6，7 　　　D．7，2，6
5. （2007山东泰安3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文x，y，z对应密文2x+3y，3x+4y，3z．例如：明文1，2，3对应密文8，11，9．当接收方收到密文12，17，27时，则解密得到的明文为　　▲　　
八、和差倍分问题
解题指导：
和差倍分关系在初中数学和中考中有着广泛的应用，解题规律：总和÷（倍数+1）=1倍量（和倍问题），两数差÷（倍数-1）=1倍量（差倍问题），大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2（和差问题）。
典型例题：
例1.（2012宁夏区3分）运动会上，初二 (3)班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为【 】．
A． B. C． D.
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为：
甲种雪糕数量比乙种雪糕数量多20根。
而甲种雪糕数量为，乙种雪糕数量为。（数量=金额÷价格）
从而得方程：。故选B。
例2.（2012浙江温州4分）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元,设其中有张成人票，张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】根据“小明买20张门票”可得方程：；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：，把两个方程组合即可。故选B。
例3.（2012福建莆田4分）甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60
棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是
【 】
　A． 　　 B． 　　 Ｃ． 　　Ｄ．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出分式方程。
【分析】本题需重点理解：甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式：
设甲班每天植树x棵，乙班每天植树x＋2棵，则甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为，所以可列方程：。故选B。
例4. （2012湖南衡阳3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得【 】
A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。
【分析】根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，得；根据用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，得，联立可得出方程组。故选B。　
例5. （2012北京市5分）列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
【答案】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，
则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克，
由题意得：，解得：x=22。
经检验：x=22是原分式方程的解。
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克。
【考点】分式方程的应用。
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克，根据关键语句“若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，”可得方程，解方程即可得到答案。注意最后一定要检验。
例6. （2012海南省8分）为了进一步推进海南国际旅游岛建设，海口市自2012年4月1日起实施《海口
市奖励旅行社开发客源市场暂行办法》，第八条规定：旅行社引进会议规模达到200人以上，入住本市A类
旅游饭店，每次会议奖励2万元；入住本市B类旅游饭店，每次会议奖励1万元。某旅行社5月份引进符
合奖励规定的会议18次，得到28万元奖金.求此旅行社符合奖励规定的入住A类和B类旅游饭店的会议各
多少次。
【答案】解：设入住A类旅游饭店的会议x次，则入住B类旅游饭店的会议18－x次。
根据题意，得2x＋（18－x）=28，
解得x=10，18－x=8。
答：此旅行社入住A类旅游饭店的会议10次，入住B类旅游饭店的会议8次。
【考点】方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
入住A类旅游饭店的会议奖励＋入住B类旅游饭店的会议奖励=28万元
2·x ＋ 1·（18－x） = 28。
例7. （2012江苏苏州6分）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？
【答案】解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，则美国人均淡水资源占有量为5xm3。
根据题意得： x ＋5x =13800，解得，x=2300 ，5 x =11500。
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3
x ＋5x = 13800。
例8. （2012湖北宜昌10分）[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：
一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；
一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．
[问题解决]
甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．
（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？
（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．
【答案】解：（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为（60﹣x）人。
依题意得：18x+6（60﹣x）=600。
解之得：x=20，60﹣x=40。
∴2009年两校响应本校倡议的人数分别是20人和40人．
（2）设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n。依题意得：
由①得m=20n，代入②并整理得2n2+3n﹣5=0
解之得n=1，n=﹣2.5（负值舍去）。∴m=20。
∴2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量：
（20+2×20）×18+40（1+1）2×6=2040（千克）。
答：2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为2040千克。
【考点】一元一次方程和二元一次方程组的应用。141
【分析】（1）设2009年甲校响应本校倡议的人数为x人，乙校响应本校倡议的人数为60﹣x人，根据题意列出方程求解即可。
（2）设2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加m人；乙校响应本校倡议的人数每年增长的百分率为n．根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可。
例9. （2012湖南株洲6分）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：
小华：77分 小芳75分 小明：　？　分
（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？
（2）依此方法计算小明的得分为多少分？
【答案】解：（1）设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：
，解得：。
答：求掷中A区、B区一次各得10，9分。
（2）由（1）可知：4x+4y=76。
答：依此方法计算小明的得分为76分。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）首先设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，根据图示可得等量关系：①掷到A区5个的得分+掷到B区3个的得分=77分；②掷到A区3个的得分+掷到B区5个的得分=75分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分。
（2）由图示可得求的是掷到A区4个的得分+掷到B区4个的得分，根据（1）中解出的数代入计算即可。
例10. （2012山东济宁6分）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【答案】解：∵60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
∴该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x1=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，
当x2=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，∴x2=220不合题意，舍去。
∴x=80。
答：该校共购买了80棵树苗。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800，解出即可。
练习题：
1. （2012贵州铜仁4分）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是【 】
A． 　　B．
C．　　 D．
2. （2012新疆区5分）甲乙两班进行植树活动，根据提供信息可知：①甲班共植树90棵，乙班共植树129棵；②乙班的人数比甲班的人数多3人；③甲班每人植树数是乙班每人植树数的．若设甲班人数为x人，求两班人数分别是多少，正确的方程是【 】
A． B． C． D．
3. （2012江苏南通3分）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共
40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 ▲ 张．
十、分段问题
解题指导：
分段问题主要涉及两个区间段，甚至更多区间段的计算，内容包括销售、税金、支付、提成、水电气费等。解这类问题时需分清应该应用那段范围的关系式解题。
典型例题：
例1. （2012天津市8分）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），
请根据表中提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：
t≤150 150＜t＜350 t=350 t＞350
方式一计费/元 58 108
方式二计费/元 88 88 88
（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等；
（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
【答案】解：（Ⅰ）填表如下：
t≤150 150＜t＜350 t=350 t＞350
方式一计费/元 58 0.25t+20.5 108 0.25t+20.5
方式二计费/元 88 88 88 0.19t+21.5
（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）－（0.19t+21.5）=0.06t－1＞0，
∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．
∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270。
∴当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等。
（Ⅲ）方式二，理由如下：
方式一收费－方式二收费y=0.25t＋20.5－0.19t－21.5=0.06t－1，
∵当330＜t＜360时，y＞0，∴方式二更划算．
答：当330＜t＜360时，方式二计费方式省钱。
【考点】列代数式，一元一次方程的应用。
【分析】（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可：
①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
②当t＞350时，方式一收费：58+0.25（x－150）=0.25t+20.5；
③方式二当t＞350时收费：88+0.19（x－350）=0.19t+21.5．
（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，从而建立方程即可得出答案。
（III）计算出两种方式在此区间的收费情况，然后比较即可得出答案。
例2. （2012浙江宁波10分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
【答案】解：（1）由题意，得
，
②﹣①，得5（b+0.8）=25，b=4.2。
把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66，解得a=2.2。
∴a=2.2，b=4.2。
（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，9200×2%=184元，
∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨。
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，
6.8（x﹣30）≤68，解得x≤40。
∴小王家六月份最多能用水40吨。
【考点】一元一次不等式和二元一次方程组的应用。
【分析】（1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可。
（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可。
例3. （2012江苏淮安10分）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量210度以下，每度价格0.52元 月用电量210至350度，每度比第一档提价0.05元 月用电量350度以上，每度电比第一档提价0.30元
例：若某户月用电量400度，则需缴电费为
210×0.52+（350－210）×（0.52+0.05）+（400－350）×（0.52+0.30）＝230元
（1）如果按此方案计算，小华家5月份电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
（2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用量属于第几档？
【答案】解：（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元，
用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189元，
∴小华家5月份的用电量在第二档。
设小华家5月份的用电量为x，则
210×0.52＋（x－210）×（0.52＋0.05）=138.84，
解得：x=262。
∴小华家5月份的用电量为262度。
（2）由（1）得，当a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；
当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档；
当a＞189时，华家的用电量在第三档。
【考点】分段函数和一元一次方程的应用。
【分析】（1）分别计算出用电量为210度，350度时需要交纳的电费，然后可得出小华家5月份的电量在哪一档上，从而列式计算即可。
（2）根据（1）求得的结果，讨论a的值，得出结论。
例4. （2011重庆潼南4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为度，超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则=　 ▲ 　度．
【答案】40。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】根据题中所给的关系，找到等量关系，可列出方程求出。本题等量关系为：
基本用电量电费 ＋ 超基本用电量电费 ＝56元
0.5 ＋ （100－）×0.5×120% ＝ 56。
其中电费＝电价×用电量。解得＝40。
例5. （2011河南省10分）某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数m 0＜m≤100 100＜m≤200 m＞200
收费标准（元/人） 90 85 75
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
【答案】解：（1）设两校人数之和为a。
若a＞200，则a=18000÷75=240．
若100＜a≤200，则，不合题意。
∴这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人。
（2）设甲学校报名参加旅游的学生有人，乙学校报名参加旅游的学生有人，则
①当100＜≤200时，得，解得。
②当＞200时，得，解得（不合题意，舍去）。
∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人。
【考点】二元一次方程组的应用。
【分析】（1）由已知分两种情况讨论，即a＞200和100＜a≤200，得出结论；
（2）根据两种情况的费用，即a＞200和100＜a≤200分别设未知数列方程组求解。
练习题：
1. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元。
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
2. （2011湖南娄底8分）为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
3. (2011江苏无锡10分) 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税级 现行征税方法 草案征税方法
月应纳税额x 税率 速算扣除数 月应纳税额x 税率 速算扣除数
1 x≤500 5％ 0 x≤1 500 5％ 0
2 5003 20004 50005 20000注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．
“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．
例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：
方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)．
方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元)。
(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；
(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元
(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不 变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元
4. （2011广东河源7分）为了鼓励城区居民节约用水,某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过20度时(1度=1米),水费为元/度；超过20度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．已知某用户四份用水15度,交水费22.5元,五月份用水30度,交水费50元．
(1) 求，的值；
（2）若估计该用户六月份的水费支出不少于60元，但不超过90元，求该用户六月份的用水量x的取值范围．
十一、规律探究问题
解题指导：
近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于n的二次函数。用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法列方程（组）来解决问题。
典型例题：
例1. （2011湖北荆州3分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正
方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的
近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.当得到完整
的菱形共181个时，n的值为【 】
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），一元二次方程的应用。
【分析】观察图形特点，从中找出数字规律：图①菱形数为1=12；图②菱形数为5=4+1=22+12；图③菱形数为13=9+4=32+22；图④菱形数为25=16+9=42+32；······图n菱形数为n2+（n－1）2=2n2-2n+1。
∴铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时，有2n2-2n+1=181，解得n=10
或n=－9（舍去）。故选D。
例2.（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦
举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
届数 1 2 3 … n
表中n的值等于 ▲ ．
【答案】30。
【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为。
将（1，1896），（2，1900）代入，得，解得。
∴。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为。
当y=2012时，，解得x=30。
∴n=30。
例3：（2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．
【答案】4n﹣2。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。
设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为，
将（1，2），（2，6）代入，得，解得。
∴。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为。
∴当x= n时，。
∴第n个图案中阴影小三角形的个数是。
例4：（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是　 ▲ 　．
【答案】21。
【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。
设二阶等差数列与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得，解得。
∴。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为。
∴当x= 5时，。
∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。
例5：（2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】
　　A．54　　B．110　　C．19　　D．109
【答案】D。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图知，图中平行四边形的个数与次序之间形成数对（1，1），（2，5），（3，11），…。
设平行四边形的个数与次序之间的关系为，
将（1，1），（2，5），（3，11）代入，得，解得。
∴平行四边形的个数与次序之间的关系为。
∴当x= 10时，。
∴第⑩个图形中平行四边形的个数是109。故选D。
练习题：
1. （2012山东济宁6分）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．
解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
2.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .
3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部
分小正方形的个数是 ▲ ．
4.（2012青海省2分）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★．
5.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
十二、不定方程问题
解题指导：
未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。
在中考中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来综合分析得到答案。
典型例题：
例1. （2011重庆４分）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了　　▲　　朵．
【答案】4380。
【考点】多元方程组的应用，等量代换。
【分析】题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵，据此可列出方程组：
设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有盆、盆、盆，则由题意，有
，化简得。
依题意，黄花一共用了朵。
∴，即黄花一共用了4380朵。
例2. （2011贵州黔东南12分）在“五·一”期间，某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人。
（1）请帮助旅行社设计租车方案。
（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？
（3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的
每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所
租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
【答案】解：（1）设租甲种客车辆，则乙种客车8－辆，根据题意，得
，解得。
∵取正整数，∴为6或7。
当时，8－；当时，8－。
∴旅行社租车方案有两种：
方案1：租甲种客车8辆，乙种客车2辆；
方案2：租甲种客车7辆，乙种客车1辆。
（2）方案1的租金为6×800＋2×600=6000，方案1的租金为7×800＋1×600=6200。
∴旅行社按方案1租车方案最省钱，租金是6000元。
（3）设租65座的客车辆，45座的客车辆，则租30座的客车7――辆，
根据题意，得65＋45＋30（7――）=318＋7，
整理，得，
∵、取正整数，∴。
当时，，7――。
∴所租的三种客车的座位恰好坐满，旅行社的租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车3辆， 30座的客车2辆。
【考点】一元一次不等式组和二元一次方程和应用。
【分析】（1）不等式应用的解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。因为同时租甲、乙两种客车，所以有和；两种客车载客的容量和不小于总人数318＋8人。
（2）根据（1），求出两种的租金，比较即可。
（3）由已知，列出二元一次方程，根据实际应用的意义，求出正整数解即可。
例3. （2011江西省B卷9分）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求需要用同种规格、每根长6米的
钢管切割成长0.8米的钢管及长2.5米的钢管.﹙余料作废﹚
（1）现切割一根长6米的钢管，且使余料最少.问能切出长0.8米及2.5米的钢管各多少根？
（2）现需要切割出长0.8米的钢管89根，2.5米的钢管24根.你能用23根长6米的钢管完成切割吗？
若能，请直接写出切割方案；若不能，请说明理由.
【答案】解：（1）若只切割1根长2.5米的钢管，则剩下3.5米长的钢管还可以切割长0.8米的钢管4
根，此时还剩余料0.3米；
若切割2根长2.5米的钢管，则剩下1米长的钢管还可以切割长0.8米的钢管1根，此时还剩
余料0.2米。
∴当切割2根长2.5米的钢管、1根长0.8米的钢管时，余料最少。
（2）能。切割方案如下：
切割一根长6米的钢管，有三种切割方法：
方法1：切割7根0.8米的钢管；
方法2：切割4根0.8米的钢管，1根长2.5米的钢管；
方法3：切割1根0.8米的钢管，2根长2.5米的钢管。
因此，有12种切割方案：
（1）按方法2切割22根，按方法3切割1根；
（2） 按方法1切割1根，按方法2切割20根，按方法3切割2根；
（3） 按方法1切割2根，按方法2切割18根，按方法3切割3根；
（4）按方法1切割3根，按方法2切割16根，按方法3切割4根；
（5） 按方法1切割4根，按方法2切割14根，按方法3切割5根；
（6）按方法1切割5根，按方法2切割12根，按方法3切割6根；
（7） 按方法1切割6根，按方法2切割10根，按方法3切割7根；
（8） 按方法1切割7根，按方法2切割8根，按方法3切割8根；
（9） 按方法1切割8根，按方法2切割6根，按方法3切割9根；
（10）按方法1切割9根，按方法2切割4根，按方法3切割10根；
（11）按方法1切割10根，按方法2切割2根，按方法3切割11根；
（12）按方法1切割11根，按方法3切割12根。
【考点】三元一次方程组和一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）因为两种钢管都要切，切成2.5米的有两种可能性，讨论这这两种可能性看看结果即可得到答案。
（2）设按方法1切割根，按方法2切割根，按方法3切割根，根据题意，得
。
由。
∵为正整数，∴取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。
∴可得12种方案。
十三、在函数问题中的应用
解题指导：
列方程（组）解应用题在函数问题中也有着广泛的应用。
典型例题：
例1. （2012江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：
（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；
（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。
【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为（千米/小时），乙车的速度为（千米/小时）。
根据题意，得，解得a=180（千米）。
（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则，解得x=90。
经检验，x=90是方程的解并符合题意，
∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。
甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：
【考点】一次函数和方程的应用。
例2. （2012福建泉州9分）国家推行“节能减排，低碳经济”的政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元.据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）、（单位：元）与正常运营时间（单位：天）之间分别满足关系式：、，如图所示.
试根据图像解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后，就可以从节省燃料费中收回改装成本.
（2）某出租汽车公司一次性改装了100辆车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元？
练习题：
1. （2011贵州黔南9分）北京时间2011年3月11日46分，日本东部海域发生9级强烈地震并引发海啸．在其灾区，某药品的需求量急增．如图所示，在平常对某种药品的需求量（万件）．供应量（万件）与价格（元∕件）分别近似满足下列函数关系式：，，需求量为0时，即停止供应．当时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
（3）由于该地区灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．
2. （2011辽宁朝阳3分） 亮亮骑自行车到距家9千米的体育馆看一场球赛，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出故障，他只好停下来修车．车修好后，他加速继续匀速赶往体育馆，其速度为原正常速度的倍，结果正好按预计时间(如果自行车不出故障，以正常速度匀速行驶到达体育馆的时间)到达．亮亮行驶的路程s(千米)与时间t(分)之间的函数关系如图所示，那么他修车占用的时间为 ▲ 分.
温馨提示：
若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．