高中数学人教（A 2019）必修二 第六章 平面向量坐标运算
一、单选题
1．（2017高一下·河口期末）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·淄博期中）若平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则向量 的模为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
3．（2020高一下·淄博期中）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·济南月考）已知非零向量 ， 满足： ， ， ，则向量 ， 的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高一下·济南月考）已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则实数 （ ）
A． B． C．0 D．
6．（2020高一下·枣庄开学考）已知向量 ， ，向量 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）
A．7 B．-7 C．-1 D．1
7．（2018高一下·枣庄期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2018高一下·北京期中）已知在△ABC中， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2019高一上·金华期末）在正方形中，点 为 边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2017高一下·乾安期末）设 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量 在向量 方向上的投影为
C． ，则
D．若 ，则有
11．（2019高一上·金华期末）已知在梯形 中， ，且 ， ，点 为 中点，则（ ）
A． 是定值 B． 是定值
C． 是定值 D． 是定值
12．（2018高一下·栖霞期末）如图，在 中， 是 的中点， ， ，则 （ ）
A．34 B．28 C．-16 D．-22
二、填空题
13．（2020高一下·胶州期中）已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足 ，若 ，则 .
14．（2020高一下·淄博期中）在平行四边形ABCD中, AD
= 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为 .
15．（2020高一下·山东开学考）已知平面向量 ， ， ， ，且 ，若 为平面单位向量，则 的最小值为 .
16．（2019高一下·临沂月考）在 中， ， ， . 若 ， ，且 ，则 的值为 .
17．（2018高一下·平原期末）如图，正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 ．
三、解答题
18．已知=(sinx，1)，=(sinx，cosx)，f（x）=．求f（x）的最大值以及此时x的值．
19．已知向量=（2，0），=（1，4）．
（Ⅰ）求|+|的值；
（Ⅱ）若向量k+与+2平行，求k的值．
20．（2020高一下·淄博期中）设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．
（1）若 ，求D点的坐标；
（2）设向量 ， ，若k – 与 +3 平行，求实数 的值．
21．（2018高一下·商丘期末）已知： 是同一平面上的三个向量，其中
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 。
22．已知向量=（，﹣1），=（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量=+（sinα﹣3） ，=﹣k+（sinα），且⊥，试求实数k的取值范围．
23．（2016高一下·威海期末）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知 ⊥ ，且| |=2， = ， = ．设 = ， = ．
（1）用 ， 表示 ；
（2）求 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由 ，故 ，
故答案为：D.
【分析】由平面向量坐标表示时的线性运算性质即可求解.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 ， ，又 ， ，则 ，
故答案为：
【分析】利用数量积运算法则结合已知条件，再利用数量积的定义，从而求出向量 的模。
3．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为 ，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
4．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由 ，有 ，则 ，
有 .
故选：B
【分析】由 ， ， ，求出 ，再由向量的夹角公式，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：B.
【分析】利用数量积求夹角的坐标表示结合已知条件，从而求出实数m的值。
6．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ，且向量 与 的夹角为 ，
所以 ， ，
.
故答案为：A
【分析】首先由向量模的定义计算出的值再由向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，且 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：C．
【分析】由向量平行的基本性质，代入数据计算，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在 中，由余弦定理得，
的夹角等于 ，
根据向量的数量积定义，
，
故答案为：B.
【分析】由余弦定理得出向量AB和向量BC的夹角，然后根据向量的数量积定义即可得出结论。
9．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为点 为 边的中点，
所以
故答案为：C.
【分析】由平面向量的基本定理易得结果.
10．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】逐一考查所给的选项：
，选项A的说法错误；
向量 在向量 方向上的投影为 ，选项B的说法正确；
若 ，则： ，
据此可得：向量 反向，选项C的说法错误；
若 ，则： ，
据此可得： ，向量 ，选项D的说法错误；
故答案为：B.
【分析】逐一考查所给的选项,分别由向量的数量积定义,投影的定义判断A,B项,再由数列积运算判断C,D项.
11．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】如图，过点M作AB的垂线段，垂足为E，
因为点 为 中点，所以点M是AB的中点，所以
所以 ,
所以 = ，
因为 ， ，所以 ，
所以 = ，
故答案为：A.
【分析】因为点 为 中点，可得 ，利用 平面向量数量积的运算 可得结论.
12．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在 中， 是 的中点，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由 M 是 B C 的中点，，，，.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，
，
，
由 得 ，
得 ，
得 ，
得 ，即 ，即
，
，
故答案为 ．
【分析】利用E为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为 之间的关系即可解决．
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设AB的长为 ，因为 ， ，所以
= = +1+ =1，解得 ，所以AB的长为 。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和数量积的运算法则，从而求出AB的长。
15．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由 ， ，且 ，得 ， ，设 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
的最小值为 .
故答案为：
【分析】根据题意由夹角的数量积公式代入数值计算出向量的夹角，再由向量的坐标公式得出结合正弦函数的取值范围即可求出最小值。
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】 ,则
【分析】由已知利用数量积的运算性质，得到，由列式，即可求出 的值 .
17．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】设正方形边长为 ，以 为坐标原点建立平面直角坐标系， ，故 ，解得 .
【分析】建立以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，可以求出 A C ，，，利用向量相等，对应的坐标相等，可以求得，值，就可以得到 λ + μ值。
18．【答案】解：由知=(sinx，1)，=(sinx，cosx)，
所以f（x）==sin2x+cosx=﹣cos2x+cosx+1．
设cosx=t，t∈[﹣1，1]
则y=．
当t=，即x=-+2k或x=+2k，k∈Z时，．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】把向量的坐标代入数量积公式，换元后利用配方法求最值。
19．【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（2，0），=（1，4）．
∴+=（3，4）．
∴|+|==5．
（Ⅱ）k+=（2k+1，4），+2=（4，8）
∵向量k+与+2平行，
∴8×（2k+1）﹣4×4=0，
解得k=．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出；
（2）利用向量共线定理即可得出．
20．【答案】（1）解：设D（x，y），
∵A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．如图，
∴由 ，得（2，–2）–（1，3）=（x，y）–（4，1），
即（1，–5）=（x–4，y–1），
∴ ，解得x=5，y=–4，∴D（5，–4）．
（2）解：∵ =（1，–5）， =（2，3），
∴k – =k（1，–5）–（2，3）=（k，–5k）–（2，3）=（k–2，–5k–3），
又 +3 =（1，–5）+3（2，3）=（1，–5）+（6，9）=（7，4），
且k – 与 +3 平行，
∴7（–5k–3）–4（k–2）=0，解得k=– ．
∴实数k的值为– ．
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合向量的坐标表示和向量相等的关系，从而求出点D的坐标。
（2）利用向量的坐标表示结合已知条件，再利用向量共线的坐标表示，从而求出k的值。
21．【答案】（1）解：设
， 或
（2）解：
代入上式
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）设，根据和，列出方程组，即可求解的值，得到答案；
（2）根据，得，解得，再利用向量的夹角公式，即可求解。
22．【答案】解：2=4，2=1，=0，
由题意得：=﹣k2+sinα﹣k（sinα﹣3）+sinα（sinα﹣3）2
=﹣4k+0+0+sinα（sinα﹣3）=0，
∴4k=（sinα﹣）2-，
当sinα=1时，4k有最小值为﹣2，
当sinx=﹣1时，4k有最大值为4，故k最小值为﹣，K的最大值为1，
综上，实数k的取值范围为[﹣，1].
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】根据题意，先求出 2，2， 的值，由=0得到4k=（sinx﹣）2﹣，利用二次函数的性质求得4k的最值，即可得到实数k的值域。
23．【答案】（1）解： =
（2）解：
∵ ，∴ ，又 ，
∴
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量基本定理即可用 ， 表示 ；（2）根据向量数量积的定义即可求 的值．
1 / 1高中数学人教（A 2019）必修二 第六章 平面向量坐标运算
一、单选题
1．（2017高一下·河口期末）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】由 ，故 ，
故答案为：D.
【分析】由平面向量坐标表示时的线性运算性质即可求解.
2．（2020高一下·淄博期中）若平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则向量 的模为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 ， ，又 ， ，则 ，
故答案为：
【分析】利用数量积运算法则结合已知条件，再利用数量积的定义，从而求出向量 的模。
3．（2020高一下·淄博期中）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为 ，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
4．（2020高一下·济南月考）已知非零向量 ， 满足： ， ， ，则向量 ， 的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由 ，有 ，则 ，
有 .
故选：B
【分析】由 ， ， ，求出 ，再由向量的夹角公式，即可求解.
5．（2020高一下·济南月考）已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则实数 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为：B.
【分析】利用数量积求夹角的坐标表示结合已知条件，从而求出实数m的值。
6．（2020高一下·枣庄开学考）已知向量 ， ，向量 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）
A．7 B．-7 C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又因为 ，且向量 与 的夹角为 ，
所以 ， ，
.
故答案为：A
【分析】首先由向量模的定义计算出的值再由向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
7．（2018高一下·枣庄期末）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，且 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：C．
【分析】由向量平行的基本性质，代入数据计算，即可得出答案。
8．（2018高一下·北京期中）已知在△ABC中， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在 中，由余弦定理得，
的夹角等于 ，
根据向量的数量积定义，
，
故答案为：B.
【分析】由余弦定理得出向量AB和向量BC的夹角，然后根据向量的数量积定义即可得出结论。
9．（2019高一上·金华期末）在正方形中，点 为 边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为点 为 边的中点，
所以
故答案为：C.
【分析】由平面向量的基本定理易得结果.
10．（2017高一下·乾安期末）设 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量 在向量 方向上的投影为
C． ，则
D．若 ，则有
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】逐一考查所给的选项：
，选项A的说法错误；
向量 在向量 方向上的投影为 ，选项B的说法正确；
若 ，则： ，
据此可得：向量 反向，选项C的说法错误；
若 ，则： ，
据此可得： ，向量 ，选项D的说法错误；
故答案为：B.
【分析】逐一考查所给的选项,分别由向量的数量积定义,投影的定义判断A,B项,再由数列积运算判断C,D项.
11．（2019高一上·金华期末）已知在梯形 中， ，且 ， ，点 为 中点，则（ ）
A． 是定值 B． 是定值
C． 是定值 D． 是定值
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】如图，过点M作AB的垂线段，垂足为E，
因为点 为 中点，所以点M是AB的中点，所以
所以 ,
所以 = ，
因为 ， ，所以 ，
所以 = ，
故答案为：A.
【分析】因为点 为 中点，可得 ，利用 平面向量数量积的运算 可得结论.
12．（2018高一下·栖霞期末）如图，在 中， 是 的中点， ， ，则 （ ）
A．34 B．28 C．-16 D．-22
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在 中， 是 的中点，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由 M 是 B C 的中点，，，，.
二、填空题
13．（2020高一下·胶州期中）已知菱形ABCD的棱长为3，E为棱CD上一点且满足 ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图，
，
，
由 得 ，
得 ，
得 ，
得 ，即 ，即
，
，
故答案为 ．
【分析】利用E为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为 之间的关系即可解决．
14．（2020高一下·淄博期中）在平行四边形ABCD中, AD
= 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】设AB的长为 ，因为 ， ，所以
= = +1+ =1，解得 ，所以AB的长为 。
【分析】利用已知条件结合三角形法则和数量积的运算法则，从而求出AB的长。
15．（2020高一下·山东开学考）已知平面向量 ， ， ， ，且 ，若 为平面单位向量，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由 ， ，且 ，得 ， ，设 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
的最小值为 .
故答案为：
【分析】根据题意由夹角的数量积公式代入数值计算出向量的夹角，再由向量的坐标公式得出结合正弦函数的取值范围即可求出最小值。
16．（2019高一下·临沂月考）在 中， ， ， . 若 ， ，且 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的性质
【解析】【解答】 ,则
【分析】由已知利用数量积的运算性质，得到，由列式，即可求出 的值 .
17．（2018高一下·平原期末）如图，正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】设正方形边长为 ，以 为坐标原点建立平面直角坐标系， ，故 ，解得 .
【分析】建立以A为原点，AB所在的直线为x轴，AD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，可以求出 A C ，，，利用向量相等，对应的坐标相等，可以求得，值，就可以得到 λ + μ值。
三、解答题
18．已知=(sinx，1)，=(sinx，cosx)，f（x）=．求f（x）的最大值以及此时x的值．
【答案】解：由知=(sinx，1)，=(sinx，cosx)，
所以f（x）==sin2x+cosx=﹣cos2x+cosx+1．
设cosx=t，t∈[﹣1，1]
则y=．
当t=，即x=-+2k或x=+2k，k∈Z时，．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】把向量的坐标代入数量积公式，换元后利用配方法求最值。
19．已知向量=（2，0），=（1，4）．
（Ⅰ）求|+|的值；
（Ⅱ）若向量k+与+2平行，求k的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（2，0），=（1，4）．
∴+=（3，4）．
∴|+|==5．
（Ⅱ）k+=（2k+1，4），+2=（4，8）
∵向量k+与+2平行，
∴8×（2k+1）﹣4×4=0，
解得k=．
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出；
（2）利用向量共线定理即可得出．
20．（2020高一下·淄博期中）设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．
（1）若 ，求D点的坐标；
（2）设向量 ， ，若k – 与 +3 平行，求实数 的值．
【答案】（1）解：设D（x，y），
∵A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．如图，
∴由 ，得（2，–2）–（1，3）=（x，y）–（4，1），
即（1，–5）=（x–4，y–1），
∴ ，解得x=5，y=–4，∴D（5，–4）．
（2）解：∵ =（1，–5）， =（2，3），
∴k – =k（1，–5）–（2，3）=（k，–5k）–（2，3）=（k–2，–5k–3），
又 +3 =（1，–5）+3（2，3）=（1，–5）+（6，9）=（7，4），
且k – 与 +3 平行，
∴7（–5k–3）–4（k–2）=0，解得k=– ．
∴实数k的值为– ．
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合向量的坐标表示和向量相等的关系，从而求出点D的坐标。
（2）利用向量的坐标表示结合已知条件，再利用向量共线的坐标表示，从而求出k的值。
21．（2018高一下·商丘期末）已知： 是同一平面上的三个向量，其中
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 。
【答案】（1）解：设
， 或
（2）解：
代入上式
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）设，根据和，列出方程组，即可求解的值，得到答案；
（2）根据，得，解得，再利用向量的夹角公式，即可求解。
22．已知向量=（，﹣1），=（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量=+（sinα﹣3） ，=﹣k+（sinα），且⊥，试求实数k的取值范围．
【答案】解：2=4，2=1，=0，
由题意得：=﹣k2+sinα﹣k（sinα﹣3）+sinα（sinα﹣3）2
=﹣4k+0+0+sinα（sinα﹣3）=0，
∴4k=（sinα﹣）2-，
当sinα=1时，4k有最小值为﹣2，
当sinx=﹣1时，4k有最大值为4，故k最小值为﹣，K的最大值为1，
综上，实数k的取值范围为[﹣，1].
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】根据题意，先求出 2，2， 的值，由=0得到4k=（sinx﹣）2﹣，利用二次函数的性质求得4k的最值，即可得到实数k的值域。
23．（2016高一下·威海期末）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知 ⊥ ，且| |=2， = ， = ．设 = ， = ．
（1）用 ， 表示 ；
（2）求 的值．
【答案】（1）解： =
（2）解：
∵ ，∴ ，又 ，
∴
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量基本定理即可用 ， 表示 ；（2）根据向量数量积的定义即可求 的值．
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