高数统编版第一册3.3 幂函数同步训练
一、单选题
1．（2019高一上·罗庄期中）下列选项正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】利用幂函数 在 上是增函数， 可知 ，A不符合题意；
利用幂函数 在 上是增函数，可知 ，B不符合题意；
利用幂函数 在 上是减函数，可知 ，C不符合题意，
利用幂函数 在 上是增函数，可知 ，D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据幂函数的性质判断出各选项中函数的单调性，即可得出结果。
2．（2018高一上·大庆期中）关于幂函数 的叙述正确的是（ ）
A．在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数
B．在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数
C．在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数
D．在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意得，函数 的定义域为 ，
所以函数为非奇非偶函数，所以排除A,C．
又由幂函数的性质可得函数 在定义域内单调递增，
所以排除D．
故答案为：B．
【分析】由幂函数的性质可得正确选项.
3．（2018高一上·温州期中）已知幂函数f（x）=xa过点（4，2），则f（x）的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （4，2），
∴4α=2
∴α= ．
这个函数解析式为f（x）=
故答案为：B．
【分析】设出幂函数的表达式，将点的坐标代入，即可得到函数的解析式.
4．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）下列幂函数中过点 的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】四个选项中的函数 ， ， 均过点 ，函数 不过点 ，所以排除C选项．
函数 定义域为 ，所以函数 为非奇非偶函数；
， 为偶函数；
， 为奇函数． 故答案为：B
【分析】根据题意结合幂函数的定义以及偶函数的性质逐一判断即可得出结论。
5．（2019高一上·哈尔滨期末）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B．
【分析】根据幂函数的性质逐一确定即可.
6．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
7．（2019高一下·凌源月考）若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设f（x）＝xα，
∵f（x）的图象过点（2， ），
∴f（2）＝2α ，
则α ，
则f（x） ，
故其最大值为 .
故答案为：B
【分析】根据点的坐标确定幂函数的表达式，结合函数的单调性，求出函数的最大值即可.
8．（2018高一上·成都月考）已知幂函数 的图象过点 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．9 B．12 C．27 D．81
【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】根据幂函数图象过（16，2），代入得，
解得=，故f（x）=，
根据f（m）=3，代入得，解得m=81.
故选D.
【分析】根据幂函数所过的点，求出幂函数的表达式，将f（m）=3代入即可求出m的值.
9．（2018高一上·辽宁期中）幂函数 （ 是有理数）的图像过点 则 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数y=f（x）=xa，
则2a= ，则a=-2；
则y=f（x）=x-2，
函数的单调递减区间是（0，+∞）；
故答案为：B.
【分析】将点的坐标代入，求出幂函数的表达式，即可确定该幂函数的一个单调区间.
10．（2018高一上·定远期中）已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)A．(3，5) B．(－1，＋∞) C．(－∞，5) D．(－1，5)
【答案】A
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数f（x）= = 的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10﹣2a），
则 ，
即 ，
解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故答案为：A
【分析】根据幂函数的定义域和单调性，列出不等式组求解即可求出实数a的取值范围.
二、填空题
11．（2019·长宁模拟）已知幂函数 的图像过点 ，则 的定义域为
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】依题意，得： ，所以 ，
，所以，定义域为： ，
故答案为
【分析】根据函数图象过点 ，得出，从而得出函数表达式，进而得出定义域。
12．（2017高一上·西城期中）已知幂函数 的图象过点 ，则 ．
【答案】27
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数为 ，由于图象过点 ，得 ，∴ ，
∴ ．
故答案为： 27 .
【分析】根据幂函数的定义用待定系数法求解。
13．（2019高二下·无锡期中）已知幂函数 ( )的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，则 .
【答案】1
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】∵幂函数在 上是减函数，且关于y轴对称，
∴m2-9＜0，解得-3＜m＜3；
当m=1时，y=x-8，满足题意；
当m=2时，y=x-5，不满足题意；
综上可得：m=1
【分析】根据幂函数的单调性及对称性，解不等式组，即可求出m的值.
14．（2018高一上·遵义期中）函数 是幂函数，且当 时， 是增函数，则 ．
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数 是幂函数，且当 时， 是增函数可知，
，解得：
故答案为：
【分析】由函数 f(x)是幂函数，且当 时， 是增函数可关于m 需满足的条件，即可解得m的值.
三、解答题
15．（2015高一下·凯里开学考）已知幂函数f（x）的图象经过点 ．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=xα（α是常数），
∵f（x）的图象过点 ，
∴ ，
∴α=﹣23，
故f（x）=x﹣2，即 ；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴ ，
∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），
∴x2﹣x1＞0， ，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=xα（α是常数），根据f（x）的图象过点 ，列出关于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．
16．（2017高二下·黄冈期末）已知函数h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）=h（x）+ 在x∈[0， ]的值域．
【答案】（1）解：∵函数h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，
∴m2﹣5m+1=1，
∴m=5或m=0，
当m=5时，h（x）=x6是偶函数，不满足题意，
当m=0时，h（x）=x是奇函数，满足题意；
∴m=0
（2）解：∵g（x）=x+ ，
∴g′（x）=1﹣ ，
令g′（x）=0，解得x=0，
当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，
∴函数g（x）在[0， ]为减函数，
∴g（ ）≤g（x）≤g（0）
即 ≤g（x）≤1
故函数g（x）的值域为[ ，1]
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）首先根据函数是幂函数，可知m2﹣5m+1=1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值，（2）化简g（x），再求导，根据导数判断g（x）在∈[0， ]的为减函数，故求出值域
1 / 1高数统编版第一册3.3 幂函数同步训练
一、单选题
1．（2019高一上·罗庄期中）下列选项正确的是
A． B．
C． D．
2．（2018高一上·大庆期中）关于幂函数 的叙述正确的是（ ）
A．在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数
B．在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数
C．在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数
D．在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数
3．（2018高一上·温州期中）已知幂函数f（x）=xa过点（4，2），则f（x）的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）下列幂函数中过点 的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一上·哈尔滨期末）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
6．（2017-2018学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1）下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
7．（2019高一下·凌源月考）若幂函数 的图象过点 ，则函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2018高一上·成都月考）已知幂函数 的图象过点 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．9 B．12 C．27 D．81
9．（2018高一上·辽宁期中）幂函数 （ 是有理数）的图像过点 则 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
10．（2018高一上·定远期中）已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)A．(3，5) B．(－1，＋∞) C．(－∞，5) D．(－1，5)
二、填空题
11．（2019·长宁模拟）已知幂函数 的图像过点 ，则 的定义域为
12．（2017高一上·西城期中）已知幂函数 的图象过点 ，则 ．
13．（2019高二下·无锡期中）已知幂函数 ( )的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，则 .
14．（2018高一上·遵义期中）函数 是幂函数，且当 时， 是增函数，则 ．
三、解答题
15．（2015高一下·凯里开学考）已知幂函数f（x）的图象经过点 ．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
16．（2017高二下·黄冈期末）已知函数h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）=h（x）+ 在x∈[0， ]的值域．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】利用幂函数 在 上是增函数， 可知 ，A不符合题意；
利用幂函数 在 上是增函数，可知 ，B不符合题意；
利用幂函数 在 上是减函数，可知 ，C不符合题意，
利用幂函数 在 上是增函数，可知 ，D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据幂函数的性质判断出各选项中函数的单调性，即可得出结果。
2．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】由题意得，函数 的定义域为 ，
所以函数为非奇非偶函数，所以排除A,C．
又由幂函数的性质可得函数 在定义域内单调递增，
所以排除D．
故答案为：B．
【分析】由幂函数的性质可得正确选项.
3．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】设f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （4，2），
∴4α=2
∴α= ．
这个函数解析式为f（x）=
故答案为：B．
【分析】设出幂函数的表达式，将点的坐标代入，即可得到函数的解析式.
4．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】四个选项中的函数 ， ， 均过点 ，函数 不过点 ，所以排除C选项．
函数 定义域为 ，所以函数 为非奇非偶函数；
， 为偶函数；
， 为奇函数． 故答案为：B
【分析】根据题意结合幂函数的定义以及偶函数的性质逐一判断即可得出结论。
5．【答案】B
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A
故答案为：B．
【分析】根据幂函数的性质逐一确定即可.
6．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故D不正确．
故答案为：C.
【分析】根据题意由幂函数的性质以及图像逐一判断即可得到结论。
7．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设f（x）＝xα，
∵f（x）的图象过点（2， ），
∴f（2）＝2α ，
则α ，
则f（x） ，
故其最大值为 .
故答案为：B
【分析】根据点的坐标确定幂函数的表达式，结合函数的单调性，求出函数的最大值即可.
8．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】根据幂函数图象过（16，2），代入得，
解得=，故f（x）=，
根据f（m）=3，代入得，解得m=81.
故选D.
【分析】根据幂函数所过的点，求出幂函数的表达式，将f（m）=3代入即可求出m的值.
9．【答案】B
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】设幂函数y=f（x）=xa，
则2a= ，则a=-2；
则y=f（x）=x-2，
函数的单调递减区间是（0，+∞）；
故答案为：B.
【分析】将点的坐标代入，求出幂函数的表达式，即可确定该幂函数的一个单调区间.
10．【答案】A
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】∵幂函数f（x）= = 的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．
∴若f（a+1）＜f（10﹣2a），
则 ，
即 ，
解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．
故答案为：A
【分析】根据幂函数的定义域和单调性，列出不等式组求解即可求出实数a的取值范围.
11．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】依题意，得： ，所以 ，
，所以，定义域为： ，
故答案为
【分析】根据函数图象过点 ，得出，从而得出函数表达式，进而得出定义域。
12．【答案】27
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数为 ，由于图象过点 ，得 ，∴ ，
∴ ．
故答案为： 27 .
【分析】根据幂函数的定义用待定系数法求解。
13．【答案】1
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】∵幂函数在 上是减函数，且关于y轴对称，
∴m2-9＜0，解得-3＜m＜3；
当m=1时，y=x-8，满足题意；
当m=2时，y=x-5，不满足题意；
综上可得：m=1
【分析】根据幂函数的单调性及对称性，解不等式组，即可求出m的值.
14．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数 是幂函数，且当 时， 是增函数可知，
，解得：
故答案为：
【分析】由函数 f(x)是幂函数，且当 时， 是增函数可关于m 需满足的条件，即可解得m的值.
15．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是幂函数，则设f（x）=xα（α是常数），
∵f（x）的图象过点 ，
∴ ，
∴α=﹣23，
故f（x）=x﹣2，即 ；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴ ，
∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），
∴x2﹣x1＞0， ，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f（x）=xα（α是常数），根据f（x）的图象过点 ，列出关于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2）化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案．
16．【答案】（1）解：∵函数h（x）=（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，
∴m2﹣5m+1=1，
∴m=5或m=0，
当m=5时，h（x）=x6是偶函数，不满足题意，
当m=0时，h（x）=x是奇函数，满足题意；
∴m=0
（2）解：∵g（x）=x+ ，
∴g′（x）=1﹣ ，
令g′（x）=0，解得x=0，
当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，
∴函数g（x）在[0， ]为减函数，
∴g（ ）≤g（x）≤g（0）
即 ≤g（x）≤1
故函数g（x）的值域为[ ，1]
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）首先根据函数是幂函数，可知m2﹣5m+1=1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值，（2）化简g（x），再求导，根据导数判断g（x）在∈[0， ]的为减函数，故求出值域
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