数列通项公式和求和公式总结

求数列通项公式的常用方法
各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析!
一 公式法
数列符合等差数列或等比数列的定义,求通项时,只需求出与或与,再代入公式或中即可.
例1 数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.
二 利用与的关系
如果给出条件是与的关系式,可利用求解.注意:应分和两种情况考虑,若两种情况能统一则应统一,否则应分段表示!
例2 若数列的前项和为求的通项公式.
三 累加法
形如已知且 (为可求和的数列)的形式均可用累加法.
例3 数列中已知, 求的通项公式.
四 累乘法
形如已知且 (为可求积的数列)的形式均可用累乘法.
例4数列中已知, 求的通项公式.
五 构造法
若给出条件直接求较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而求出通项.常见的有形如 (为常数)且已知的数列可构造为等比数列求出,进而求出.注意用待定系数法求常数
例5 ①数列中已知, 求的通项公式;
②数列中已知, 求的通项公式.
③数列中已知是数列的前项和,且,求的通项公式
数列求和的常用方法
数列求和关键入手点为求出通项公式并观察通项公式存在的特点而采取恰当的求和方法,另外各个方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析!
一 利用公式
如果可判断出所求数列是等差或等比数列,则可直接利用公式求和.
例6 等比数列的前项和求的值.
二 分组求和
所求和的数列的通项公式可化成形如可采用分组求和.
例7 求数列的前项和.
三 错位相减
所求和的数列的通项公式可化成形如其中,分别为等差和等比数列,可采用乘公比, 错位相减. (等比数列的求和公式的推导过程)
例8 求和
四 裂项相消
常见裂项形式为,等.
例9 求和
五 倒序相加
如果一个数列,与其首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,称为倒序相加.(等差数列的求和公式的推导过程)
例10 设,求和