1.4.3用空间向量研究距离、夹角问题 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
1.4.3用空间向量研究距离、夹角问题
一、复习引入：
前面我们学习了如何利用空间向量方法求解立体几何中的距离和角度问题，
下面我们再来简单回顾应用一下：
平行关系
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面
的法向量的夹角均为的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在
匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取9.8,精确到）.
问题1:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系
问题2:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和与礼物重力有什么关系
问题3:如何用向量方法解决这个问题
大于关系
相反向量
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面
的法向量的夹角均为的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在
匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取9.8,精确到）.
问题1:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系
问题2:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和与礼物重力有什么关系
问题3:如何用向量方法解决这个问题
解： 记铅垂线方向的单位向量为,设每根绳子的拉力为,
因为=, 所以向量在向量上的投影向量为：
由于8根绳子的合力大小与礼物重力大小相等，所以
所以
大于关系
相反向量
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题1:线面平行的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图作辅助线，从而利用三角形中位线来证明：PA EG
也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明：
问题2:线面平行的向量法证明思路又是怎么样呢
也可以直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行.
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
证明：（1）
连接AC交BD于点G，再连接EG，
由正方形ABCD可得：AG=GC
　　　 又因为E是PC的中点，　
　　 所以PA EG ，
　　　 又因为PA， EG
　　　 所以PA平面EDB
也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明： ，或者直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行.
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题3:线面垂直的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图，要证明PB 平面EFD , 由于PBEF , 所以只需要证明PBDE 或PBDF.
此时发现利用向量知识，很容易证明： PBDE，即证明
问题4:发现几何法证明线线垂直有点麻烦，若用向量法怎么样才能证明呢
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
（2）以D为原点，DA, DC, DP 所在的直线分别为轴, 轴, 轴,
　　 如图建立坐标系，设DC=1，则依题意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
故
所以
由已知EF PB，且
所以PB 平面EFD ．
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
问题５:求二面角的几何法证明思路是怎么样分析得到的
如图，由于PB 平面EFD , 所以
此时发现几何法求这个角有难度，但利用向量知识,很容易
想到用向量夹角来求的大小．
问题６:用向量思想来求向量夹角，但是如何求出点F 的空间坐标
如图,要研究点的坐标,可以用设未知数的方法,来找到点满足的相关
条件,然后求出这个点的坐标,从而利用向量方法解决二面角问题.
二、举例讲解：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
（3）由(2)得PB 平面EFD , PB EF, PB DF ,
所以
设点F坐标为,则,
因为EF PB且交PB于点F, 所以
,
所以
又由
所以
所以
即cos
所以
即平面CPB与平面PBD的夹角的大小为
二、举例讲解：
例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F.
求证：PA平面EDB ;
（2）求证：PB 平面EFD ;
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
（3）由(2)得PB 平面EFD , PB EF, PB DF ,
所以
设点F坐标为,则,
因为EF PB且交PB于点F, 所以
,
所以
又由
所以
所以
即cos
所以
即平面CPB与平面PBD的夹角的大小为
理解如何求直线上某一点的坐标
三、问题变式：
变式1：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的三等分点,且PE=2EC.
PB上是否存在点F ,使得AF平面EDB ,若存在,求出BF: PB的值 ;
若不存在,请说明理由.
问题1:此题用几何法研究线线平行有点难度，但转化为向量法研究
线面平行，容易想到研究什么向量？
如图，可以研究线向量与平面BDE的法向量之间的垂直关系。
此时和刚才例题一样，利用设坐标的思想，通过三点共线得到其中
两条向量共线，从而找到坐标之间的关系．
问题2:用向量思想来解此题，关键是如何求出点F 的空间坐标
三、问题变式：
变式1：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的三等分点,且PE=2EC.
PB上是否存在点F ,使得AF平面EDB ,若存在,求出PF: PB的值 ;
若不存在,请说明理由.
解： 以D为原点，DA, DC, DP 所在的直线分别为轴, 轴, 轴,
　　 如图建立坐标系，设DC=1，则依题意得：
A(1,0,0) , P(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), E(0,, ).
设平面
所以
又设
,
所以
因为要满足AF平面EDB
PF: PB的值是 .
思考向量方法，发现二面角的大小就是
四、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
问题１:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的
如图，可以作,连接CE. 二面角的平面角就是
但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长.
问题２:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想如何来求解
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
思考向量方法，发现二面角的大小就是
四、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
问题１:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的
如图，可以作,连接CE. 二面角的平面角就是
但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长.
问题２:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想如何来求解
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
最后，我们
思考向量方法，发现二面角的大小就是
四、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
问题１:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的
如图，可以作,连接CE. 二面角的平面角就是
但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长.
问题２:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想如何来求解
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
最后，我们
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
解:
又因为AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝
四、举例讲解：
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
解:
又因为AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝
所以平面与平面的夹角是
四、举例讲解：
例11：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角
的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求
平面与平面的夹角.
五、练习延伸：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
2：如图,在三棱锥A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD ＝,
求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
例7
分析
解：
化为向量问题
P36页
五、练习延伸：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
2：如图,在三棱锥A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD ＝,
求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
根据
夹角。
问题１:能否由前面例题的解题思想总结出来的经验来解此题，请问求解的思路是怎么样的
五、练习延伸：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
2：如图,在三棱锥A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD ＝,
求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
问题１:能否由前面例题的解题思想总结出来的经验来解此题，请问用求解的思路是怎么样的
问题２:这里的每两条向量的数量积分别怎么计算
根据
夹角。
五、练习延伸：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
2：如图,在三棱锥A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD ＝,
求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
解：
所以异面直线AN与CM所成角的余弦值是.
解：
五、练习延伸：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
2：如图,在三棱锥A-BCD中，AB＝AC=BD＝CD=3， AD ＝,
求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
问题:由于图中的所有线段都可知道长度，所以还可以用另外四条线段来求解，解法如下.
所以异面直线AN与CM所成角的余弦值是.
六、课堂小结：
2、相信通过这节课的学习，我们已经提高了应用向量知识来解决综合性较强的
立体几何问题的能力。
1、通过这节课的学习，我们对立体几何中的向量法是否有了新的认识？
，从而解决问题。
以上是利用向量法解决立体几何问题的三步曲。
①特别是对直线上的动点研究及其运算方法；
②就是利用四条线段的长及相邻两边夹角的大小来求异面直线所成角的大小。
14.
七、课后作业：
是
C
（第16题）
（第18题）
（第14题）
A
M
=
再会！