2.1.2两条直线平行和垂直的判定 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
一、复习引入
倾斜角
确定直线位置
的几何要素
斜率
点坐标
几何问题
代数问题
数的角度
坐标系
问题1 我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？并论证你的结论.
注：若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是
l1//l2 a//b
1×k1 1×k2=0
k1=k2.
l1∥l2
tanα1=tanα2
α1=α2
k1=k2
数
形



l1//l2 k1=k2.
于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有
还有什么方法？
二、新知探究
显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2．
问题2 两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两直线的斜率都不存在
图示
k1＝k2
两条直线平行的判定
若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．
A，B，C三点共线 kAB=kAC
例1 已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
分析： 如图，猜想AB∥PQ，再判断两条直线斜率是否存在，进而判断斜率是否相等，用代数方法研究几何问题.
解：如图，
直线BA的斜率kBA = = ，
直线PQ的斜率kPQ = = ．
则 kBA=kPQ ．
又因为直线BQ的斜率kBQ = = , 则kBA kBQ ．
所以直线AB∥PQ．
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
解：如图，
AB边所在直线的斜率kAB= – ，
CD边所在直线的斜率kCD= – ，
BC边所在直线的斜率kBC= ，
DA边所在直线的斜率kDA= ．
因为kAB=kCD，kBC=kDA，
所以AB∥CD，BC∥DA．
因此四边形ABCD是平行四边形．
分析： 如图，猜想四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，将问题转化成判定两组对边所在直线是否平行，即判断对应直线斜率是否相等，进而转化成代数问题.
问题3 显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交. 在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？类比前面的研究进行讨论.
GGB
l1⊥l2 α2= α1+90o，
k2=tanα2=tan(α1+90o) = = = ，
k1=tanα1.
l1⊥l2 k1k2= –1.
还有什么方法？
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的
方向向量分别是a=(1，k1)，b=(1，k2)，于是
l1⊥l2 a⊥b
a·b=0
1×1+k1k2=0
k1k2=–1.
因此，当两条直线的斜率都存在时，可得到
l1⊥l2 k1k2=–1.
数
形
问题4 当两条直线垂直时, 它们的斜率之积一定等于－1吗？为什么？
当直线l1或l2的倾斜角为90o时，若l1⊥l2 ，则另一条直线的倾斜角为0o； 反之亦然.
类型 斜率都存在 l1（或l2）的斜率不存在
前提条件 α1≠90°，且α2≠90° α1＝90°（或α2＝90°）
对应关系 l1⊥l2 l1⊥l2 l2（或l1）的斜率为0
图示
两条直线垂直的判定
k1k2＝1
例3 已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．
解：直线AB的斜率kAB = ，
直线PQ的斜率kPQ = – ．
因为kAB kPQ=× = –1，
所以直线AB⊥PQ．
例4 已知A(5，–1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断 ABC的形状．
分析：如图，猜想AB⊥BC， ABC是直角三角形．
解：边AB所在直线的斜率kAB= – ，
边BC所在直线的斜率kBC=2．
由kABkBC= –1，得AB⊥BC，
即∠ABC=90o．
所以△ABC是直角三角形．
变式：已知点A(5，–1)，C(2，3) ，点B在x轴上，且∠ABC为直角，
求点B的坐标．
分析：
设B(x，0)
计算kAB，kBC
kABkBC= 1
构造方程
解：设B(x，0)，则
kAB= = ， kBC= = .
x可以等于2或5吗？
当x=2或x=5时， ∠ABC均不为直角.
当x 2且x 5时，kAB kBC = × –1.
解得x=或.
整理，得x2 7x+7=0.
变式：已知点A(5，–1)，C(2，3) ，点B在x轴上，且∠ABC为直角，
求点B的坐标．
综上，点B的坐标为(，0)或(，0).
1. 判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)经过A(2，3)，B(–1，0)两点的直线l1，与经过点P(1，0)且斜率为1的直线l2；
(2)经过C(3，1)，D(–2，0)两点的直线l3，与经过点M(1，– 4)且斜率为–5的直线l4．
2. 试确定m的值，使过A(m，1) ，B(–1，m)两点的直线与过P (1，2) ，Q (–5，0)两点的直线： (1)平行； (2)垂直．
三、课堂练习
几何问题
代数问题
l1⊥l2 k1k2=–1
l1∥l2 k1=k2
代数方法
几何对象的性质
代数问题的解
坐标系
解释
四、课堂小结
思考：通过本节课的学习，你在知识和方法上有哪些体会或收获？
1. 若两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则
2. 利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本方法.
；
.
再会！