2.4.2圆的一般方程 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
2.4.2圆的一般方程
我们知道,方程 表示以 为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为
一般地,圆的标准方程 （1）
可以变形为 （2）的形式.
思考：形如 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
课 堂 导 入
思考：形如 的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
例如,对于方程 ,对其进行配方,得到
因为任意一个点的坐标 都不满足这个方程,所以这个方程不表示任何图形.因此,形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明,形如(2)的方程不一定是圆的方程.
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思考：方程 中的 满足什么条件时,这个方程表示圆？表示圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？
将方程的左边配方,并把常数项移到右边,得到:
(3)
(2)当 时,方程(3)只有实数解 ,它表示一个点
(1)当 时,比较方程(3)和圆的标准方程,可以看出方程(3)表示
以 为圆心, 为半径的圆.
(3)当 时,方程(3)没有实数解,它不表示任何图形.
形 成 概 念
因此,当 时,方程
表示一个圆.
将 叫做圆的一般方程.
当 时,
形 成 概 念
思考:圆的标准方程（ ）与圆的一般方程
（ ， ）各有什么特点
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显.
形 成 概 念
一般方程 标准方程
配方
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思考辨析 判断正误
1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.(　　)
2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　)
3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(　　)
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　　)
×
×
√
√
例　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.
解　由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
典 例 分 析
法二：将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m
(2)写出圆心坐标和半径.
解　将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为
(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
(2)将该方程配方为 ,根据圆的标准方程来判断.
小结1：二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为 （1）的形式，但方程（1）不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算 的值,
若其值为正,则表示圆;
若其值为0,则表示一个点;
若其值为负,则不表示任何图形.
例4 求过三点 的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径.
典 例 分 析
例2 的三个顶点分别是 ,求 的外接圆的标准方程.
圆的标准方程这一节中的例2
解: 设所求的方程是 （1）
因为 三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程（1）,于是
即
观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去
得到关于 的二元一次方程组
解此方程组，得 代入 得到
所以, 的外接圆的标准方程是
例4 求过三点 的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径.
分析:将点 的坐标分别代入圆的一般方程,可得一个三元一次方程组,解方程组即可求出圆的方程.
典 例 分 析
解: 设圆的方程是 (1)
因为 三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程(1)的解.
把它们的坐标依次代入方程(1),得到关于 的一个三元一次方程组
解这个方程组,得
所以,所求圆的方程是
由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是 ,半径
典 例 分 析
思考：与例2的方法比较,有什么体会
例4也使用了待定系数法,这里选用圆的一般方程,与例2中选用标准方程的方法相比,运算就显得容易一些.因为运算后得到的方程没有二次项,是一个三元一次方程组.若像例2那样选用圆的标准方程,得到的是三元二次方程组,需要消去二次项.一般来说,解一次方程比解二次方程容易.
小结2:求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
（3）解出 或 ，得到标准方程或一般方程.
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于 或 的方程组；
(1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是
______________________.
x2＋y2－8x－2y＋12＝0
解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
跟 踪 训 练
　
(2)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________.
x2＋y2－4x－4y－2＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
解得D＝E＝－4，F＝－2，
即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
跟 踪 训 练
2.一般方程 标准方程
配方
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课 堂 小 结
1.任何一个圆的方程可以写成 （1）的形式，但方程（1）
表示的不一定是圆，只有 时，方程表示圆心为 ，半径
为
3.求圆的一般方程：待定系数法
再会！