高中数学人教新课标A版 选修2-2 2.3数学归纳法
一、单选题
1．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高二下·北京期中）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是（ ）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
3．（2020高一下·宁波期中）用数学归纳法证明 时，从“ ”到“ ”的证明等式左边需增添的代数式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019高二上·上海月考）用数学归纳法证明： ，在验证 时，左边为（ ）
A．1 B． C． D．都不正确
5．（2020高二下·嘉兴期末）用数学归纳法证明： 时，从n=k推证 时，左边增加的代数式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明：“ ”时，从 到 ，等式的左边需要增乘的代数式是（）
A． B． C． D．
7．（2018高二下·西湖月考）证明： ，当 时，中间式子等于（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2020高一下·绍兴期末）用数学归纳法证明“ ”，由 到 时，不等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020高二下·南宁期中）用数学归纳法证明等式 ，当 时，等式左端应在 的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019高二上·嘉定月考）在用数学归纳法证明等式 的第(ii)步中，假设 时原等式成立，那么在 时，需要证明的等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2020高二下·宁波期末）对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当 时， ，不等式成立；②假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时， .故当 时，不等式成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B． 的验证不正确
C． 的归纳假设不正确 D．从 到 的推理不正确
12．（2019高三上·浙江月考）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时，则
B．当 时，则
C．当 时，则
D．当 时，则
二、填空题
13．（2020高二上·黄陵期末）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是 ．
14．（2019高二下·慈溪期中）用数学归纳法证明“ ”时，由 不等式成立，推证 时，则不等式左边增加的项数共 项
15．（2018高二下·邗江期中）用数学归纳法证明“ 能被 整除”的过程中，当 时， 式子应变形为
16．（2018高二下·通许期末）已知 ，用数学归纳法证明： 时，从“ 到 ”左边需增加的代数式是 .
三、解答题
17．（2020高二下·吉林期中）用数学归纳法证明 .
18．（2020高二下·郑州期末）已知数列 满足 ， ， ，求证：数列 是递增数列.
19．（2020高二下·钦州期中）已知数列 满足 ，对任意 ，都有 成立.
（1）求出 的值.
（2）推测出数列 通项公式并用数学归纳法证明.
20．（2019高二下·南山期末）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，且 ， .
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.
21．（2019高二下·滦平期中）已知数列（a.）满足a1=a，an+1= ，
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
22．（2018高二下·邗江期中）某班级共派出 个男生和 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有 种选法.
（1）试求 和Fn；
（2）判断 和 的大小（ ），并用数学归纳法证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由 到 时，等式左边应添加的项。
2．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由数学归纳法的证明步骤可知：当 时，等式的左边是 ，
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件，从而求出当 时，等式的左边的项。
3．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由 到 时，等式左端的项为 ，
等式左端增加的项为
故答案为：D．
【分析】左边用“ ”替换“ ”，观察增加变化项，可解
4．【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】用数学归纳法证明： ，在验证 时，
只需令 代入左边的代数式，得到左边 .
故答案为：C
【分析】根据题意，将 直接代入，即可求出结果.
5．【答案】A
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，利用数学归纳法即可求解．
6．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】当 时，左边 ，
当 时，左边 ，
所以由 到 时，等式左边应该增乘的代数式是
.
故答案为：D
【分析】根据条件分别求出 和 时左边的式子，从而可求得由 到 时需要增乘的代数式.
7．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】 时中间式子的最后一项为 ，中间式子为
故答案为：D
【分析】由n = 2 时中间式子的最后一项为可得结果.
8．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】当 时，不等式左边为
当 时，不等式左边为
即由 到 时，不等式左边应添加的项是
故答案为：D
【分析】求出当 和 时，不等式左边的式子，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】 时等式为 ，
时等式为 ，
当 时，等式左端应在 的基础上加上 ，
故答案为：B．
【分析】写出 和 时的两式，然后比较可得．
10．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】因为要证 ，
因此，当 时，需要证明
.
故答案为：D
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，结合题中条件，即可得出结果.
11．【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.
12．【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】 即
当 时， ，故 ，A不符合题意
当 时， ，故 ，B不符合题意
对于D选项，当 时， ， ，D不符合题意
用数学归纳法证明C
易知 恒成立
当 时， ，成立
假设当 时成立， ，即
当 时：
即 成立
故 恒成立，得证
故答案为：C
【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.
13．【答案】
【知识点】数学归纳法的作用
【解析】【解答】在等式 中，当 时， ，而等式左边起始为 的连续的正整数的和，故 时，等式左边的项为 ，
故答案为 .
【分析】利用数学归纳法的推理证明过程，从而得出第一步验证 时，左边应取的项。
14．【答案】
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：当 时，
不等式左边为 ，
当 时，
不等式左边为 ，
则由 不等式成立，推证 时，
则不等式左边增加的项数共 项，
故答案为： .
【分析】由题意有：由 不等式成立，推证 时，即可求出不等式左边增加的项数共 项.
15．【答案】
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】用数学归纳法证明： 能被6整除的过程中，当 时，式子 应变形为 ，由于假设 能够被6整除，而 能被2整除，因此 能被6整除，故答案为 .
【分析】分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清式子应变形应增加的项．
16．【答案】
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：当 时，左端 ，
当 时，左端 ，
所以当 到 “”左端需要增加的代数式为 ．
【分析】本题考查的是推理与证明中的数学归纳法的证明应用，重点考察从 n = k这一步到下一步n = k + 1的证明过程，也就是这道题左端需要增加的代数式。
17．【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假 设 当 时等式成立，
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
18．【答案】证明：若 ，要证 是递增数列.
即 ，即证 对任意 成立.
下面用数学归纳法证明：
当 时， 对任意 成立.
①当 时， ，结论成立
②假设当 （ ， ）时结论成立，即
因为函数 在区间 内单调递增，
所以 ，
∴当 时， 成立.
由①，②知， 对任意 ， 成立.
因此， ，即 是递增数列.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】若 ，要证 是递增数列．即证 对任意 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
19．【答案】（1）解：由 ，且 ，
令 ，可得： ，
令 ，可得： ，
令 ，可得： .
（2）解：由（1），归纳猜想： ， 下面应用数学归纳法进行证明：
①当 时， ，满足题意，故成立；
②假设当 成立，即
故当 时： = = ，
故 时，等式成立，
由①②可知，对任意自然数等式都成立，故
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，且 ，分别令 ， ， 求解即可.（2）由（1），归纳猜想： ， 再用数学归纳法进行证明，分当 时和假设当 成立，两步进行证明.
20．【答案】（1）解： ，且 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，或 舍 ，
当 时， ， ，或 舍 ，
， ，
（2）解：由 1 猜想 ，下面用数学归纳法证明：
①当 时， ，显然成立，
②假设 时，结论成立，即 ，
则当 时，由 ，
有 ，
，
，或 舍 ，
时结论成立，
由①②知当 ， 均成立．
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】 1 利用 代入计算，可得结论； 2 猜想 ，然后利用归纳法进行证明，检验 时等式成立，假设 时命题成立，证明当 时命题也成立．
21．【答案】（1）解：由an+1= 可得a2= = ，a3= ，
a4=
（2）解：推测an= .
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，右边= =a，结论成立
②假设n=k（n∈N*）时等式成立，有ak= ，则当n=k+1时，
ak+1=
故当n=k+1时，结论也成立.…11分
由①②可知，对任何n∈N*都有an=
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）由的值，根据递推公式以次计算；
（2）猜想 an= ，利用数学归纳法先验证时等式成立，再假设时命题成立，证明当时命题也成立即可。
22．【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ， ，
，由此猜想：当 时，都有 ，即 .
下面用数学归纳法证明 （ ）.
① 时，该不等式显然成立.
②假设当 时，不等式成立，即 ，.
则当 时， ，
要证当 时不等式成立.只要证： ，
只要证： ..
令 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
从而 ，而 ，所以 成立.
则当 时，不等式也成立.
综合①、②得原不等式对任意的 均成立
【知识点】数学归纳法的作用；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得En；根据从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得Fn；
（2）先猜想出结论，再用数学归纳法证明，用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论.
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 2.3数学归纳法
一、单选题
1．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程，得出由 到 时，等式左边应添加的项。
2．（2020高二下·北京期中）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是（ ）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由数学归纳法的证明步骤可知：当 时，等式的左边是 ，
故答案为：D．
【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件，从而求出当 时，等式的左边的项。
3．（2020高一下·宁波期中）用数学归纳法证明 时，从“ ”到“ ”的证明等式左边需增添的代数式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由 到 时，等式左端的项为 ，
等式左端增加的项为
故答案为：D．
【分析】左边用“ ”替换“ ”，观察增加变化项，可解
4．（2019高二上·上海月考）用数学归纳法证明： ，在验证 时，左边为（ ）
A．1 B． C． D．都不正确
【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】用数学归纳法证明： ，在验证 时，
只需令 代入左边的代数式，得到左边 .
故答案为：C
【分析】根据题意，将 直接代入，即可求出结果.
5．（2020高二下·嘉兴期末）用数学归纳法证明： 时，从n=k推证 时，左边增加的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故答案为：A．
【分析】根据题设中的等式，当n=k时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，利用数学归纳法即可求解．
6．（2020高一下·上海期末）用数学归纳法证明：“ ”时，从 到 ，等式的左边需要增乘的代数式是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】当 时，左边 ，
当 时，左边 ，
所以由 到 时，等式左边应该增乘的代数式是
.
故答案为：D
【分析】根据条件分别求出 和 时左边的式子，从而可求得由 到 时需要增乘的代数式.
7．（2018高二下·西湖月考）证明： ，当 时，中间式子等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】 时中间式子的最后一项为 ，中间式子为
故答案为：D
【分析】由n = 2 时中间式子的最后一项为可得结果.
8．（2020高一下·绍兴期末）用数学归纳法证明“ ”，由 到 时，不等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】当 时，不等式左边为
当 时，不等式左边为
即由 到 时，不等式左边应添加的项是
故答案为：D
【分析】求出当 和 时，不等式左边的式子，即可得出答案.
9．（2020高二下·南宁期中）用数学归纳法证明等式 ，当 时，等式左端应在 的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】 时等式为 ，
时等式为 ，
当 时，等式左端应在 的基础上加上 ，
故答案为：B．
【分析】写出 和 时的两式，然后比较可得．
10．（2019高二上·嘉定月考）在用数学归纳法证明等式 的第(ii)步中，假设 时原等式成立，那么在 时，需要证明的等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】因为要证 ，
因此，当 时，需要证明
.
故答案为：D
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，结合题中条件，即可得出结果.
11．（2020高二下·宁波期末）对于不等式 ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当 时， ，不等式成立；②假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时， .故当 时，不等式成立.
则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B． 的验证不正确
C． 的归纳假设不正确 D．从 到 的推理不正确
【答案】D
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】在 时，没有应用 时的假设，即从 到 的推理不正确.
故答案为：D.
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.
12．（2019高三上·浙江月考）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时，则
B．当 时，则
C．当 时，则
D．当 时，则
【答案】C
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】 即
当 时， ，故 ，A不符合题意
当 时， ，故 ，B不符合题意
对于D选项，当 时， ， ，D不符合题意
用数学归纳法证明C
易知 恒成立
当 时， ，成立
假设当 时成立， ，即
当 时：
即 成立
故 恒成立，得证
故答案为：C
【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.
二、填空题
13．（2020高二上·黄陵期末）用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是 ．
【答案】
【知识点】数学归纳法的作用
【解析】【解答】在等式 中，当 时， ，而等式左边起始为 的连续的正整数的和，故 时，等式左边的项为 ，
故答案为 .
【分析】利用数学归纳法的推理证明过程，从而得出第一步验证 时，左边应取的项。
14．（2019高二下·慈溪期中）用数学归纳法证明“ ”时，由 不等式成立，推证 时，则不等式左边增加的项数共 项
【答案】
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：当 时，
不等式左边为 ，
当 时，
不等式左边为 ，
则由 不等式成立，推证 时，
则不等式左边增加的项数共 项，
故答案为： .
【分析】由题意有：由 不等式成立，推证 时，即可求出不等式左边增加的项数共 项.
15．（2018高二下·邗江期中）用数学归纳法证明“ 能被 整除”的过程中，当 时， 式子应变形为
【答案】
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】用数学归纳法证明： 能被6整除的过程中，当 时，式子 应变形为 ，由于假设 能够被6整除，而 能被2整除，因此 能被6整除，故答案为 .
【分析】分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清式子应变形应增加的项．
16．（2018高二下·通许期末）已知 ，用数学归纳法证明： 时，从“ 到 ”左边需增加的代数式是 .
【答案】
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：当 时，左端 ，
当 时，左端 ，
所以当 到 “”左端需要增加的代数式为 ．
【分析】本题考查的是推理与证明中的数学归纳法的证明应用，重点考察从 n = k这一步到下一步n = k + 1的证明过程，也就是这道题左端需要增加的代数式。
三、解答题
17．（2020高二下·吉林期中）用数学归纳法证明 .
【答案】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假 设 当 时等式成立，
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.
18．（2020高二下·郑州期末）已知数列 满足 ， ， ，求证：数列 是递增数列.
【答案】证明：若 ，要证 是递增数列.
即 ，即证 对任意 成立.
下面用数学归纳法证明：
当 时， 对任意 成立.
①当 时， ，结论成立
②假设当 （ ， ）时结论成立，即
因为函数 在区间 内单调递增，
所以 ，
∴当 时， 成立.
由①，②知， 对任意 ， 成立.
因此， ，即 是递增数列.
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】若 ，要证 是递增数列．即证 对任意 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．
19．（2020高二下·钦州期中）已知数列 满足 ，对任意 ，都有 成立.
（1）求出 的值.
（2）推测出数列 通项公式并用数学归纳法证明.
【答案】（1）解：由 ，且 ，
令 ，可得： ，
令 ，可得： ，
令 ，可得： .
（2）解：由（1），归纳猜想： ， 下面应用数学归纳法进行证明：
①当 时， ，满足题意，故成立；
②假设当 成立，即
故当 时： = = ，
故 时，等式成立，
由①②可知，对任意自然数等式都成立，故
【知识点】数列的递推公式；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据 ，且 ，分别令 ， ， 求解即可.（2）由（1），归纳猜想： ， 再用数学归纳法进行证明，分当 时和假设当 成立，两步进行证明.
20．（2019高二下·南山期末）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，且 ， .
（1）求 ， ， 的值；
（2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法予以证明.
【答案】（1）解： ，且 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，或 舍 ，
当 时， ， ，或 舍 ，
， ，
（2）解：由 1 猜想 ，下面用数学归纳法证明：
①当 时， ，显然成立，
②假设 时，结论成立，即 ，
则当 时，由 ，
有 ，
，
，或 舍 ，
时结论成立，
由①②知当 ， 均成立．
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】 1 利用 代入计算，可得结论； 2 猜想 ，然后利用归纳法进行证明，检验 时等式成立，假设 时命题成立，证明当 时命题也成立．
21．（2019高二下·滦平期中）已知数列（a.）满足a1=a，an+1= ，
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）解：由an+1= 可得a2= = ，a3= ，
a4=
（2）解：推测an= .
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，右边= =a，结论成立
②假设n=k（n∈N*）时等式成立，有ak= ，则当n=k+1时，
ak+1=
故当n=k+1时，结论也成立.…11分
由①②可知，对任何n∈N*都有an=
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）由的值，根据递推公式以次计算；
（2）猜想 an= ，利用数学归纳法先验证时等式成立，再假设时命题成立，证明当时命题也成立即可。
22．（2018高二下·邗江期中）某班级共派出 个男生和 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有 种选法.
（1）试求 和Fn；
（2）判断 和 的大小（ ），并用数学归纳法证明.
【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ， ，
，由此猜想：当 时，都有 ，即 .
下面用数学归纳法证明 （ ）.
① 时，该不等式显然成立.
②假设当 时，不等式成立，即 ，.
则当 时， ，
要证当 时不等式成立.只要证： ，
只要证： ..
令 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
从而 ，而 ，所以 成立.
则当 时，不等式也成立.
综合①、②得原不等式对任意的 均成立
【知识点】数学归纳法的作用；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得En；根据从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得Fn；
（2）先猜想出结论，再用数学归纳法证明，用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论.
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