2.3.1两条直线的交点坐标 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
2.3.1　两条直线的交点坐标
一、求相交直线的交点坐标
提示　直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.
问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋
C2＝0，即点P的坐标就是方程组 的解.
l1
l2
知识梳理
例1　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
即l1与l2的交点坐标为(－2,2).
∵直线过坐标原点，
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
方法二　∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
反思感悟　求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：
(1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解.
(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.
跟踪训练1　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.
即4x＋3y－6＝0.
方法二　∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
二、判断两直线位置关系的方法
一组 无数组 _____
直线l1与l2的公共点的个数 一个 _______ 零个
直线l1与l2的位置关系 _____ 重合 _____
无解
无数个
知识梳理
相交
平行
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
例2　(教材P71例2改编)分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
①
②
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
反思感悟　判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.
跟踪训练2　已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象
限，则a的取值范围是__________.
三、直线系过定点问题
问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4,1)，怎么表示出经过M点的直线方程？
提示　当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4.
1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.
3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
知识梳理
例3　无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.
解　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴点P的坐标为(7,3).
反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定
点，其定点可由方程组 解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)
的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
跟踪训练3　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.
证明　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
所以无论a为何值，直线总经过第一象限.
1.知识清单：
(1)两条直线的交点.
(2)直线系过定点问题.
2.方法归纳：消元法、直线系法.
3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊.
课堂小结
随堂演练
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为
A.(3,2) B.(2,3)
C.(－2，－3) D.(－3，－2)
√
1
2
3
4
2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点
A.(－3，－1) B.(－2，－1)
C.(－3,1) D.(－2,1)
√
1
2
3
4
解析　直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
∴直线l恒过定点(－3,1).故选C.
3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________.
1
2
3
4
2x＋y－4＝0
解析　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.