初中数学湘教版八年级下册1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 同步练习
一、单选题
1．（2017八下·君山期末）一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当8是直角边时，第三条边长为： ，
当8是斜边时，第三条边长为： ，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理，当6和8都为直角边，则斜边为10；当8为斜边，则直角边为
2．（2017八下·巢湖期末）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤3 ，4，5 .其中能构成直角三角形的有（ ）组
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】因为①6 ＋8 ＝10 ，②13 ＝5 ＋12 ，④9 ＋40 ＝41 ，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出答案。
3．（2018八下·兴义期中）在 ABC，如果AC2-AB2=BC2，那么（ ）
A． A= B． B= C． C= D．不能确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在 △ ABC ，AC2-AB2=BC2 ，∴AC2=AB2＋BC2 ，∴ △ ABC是直角三角形，且∠90°
故答案为：B
【分析】根据AC2-AB2=BC2 得出AC2=AB2＋BC2 ，根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足，其中两边的平方和等于第三边的平方，再这个三角形是直角三角形，且第三边所对的角是直角，即可得出答案。
4．（2017八下·新洲期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，
因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.
所以6002+8002=10002.
所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.
故答案为：C.
【分析】根据甲乙行驶的路程=速度×时间得到甲、乙行驶的路程，然后根据勾股定理的逆定理得到△AOB为直角三角形且∠AOB=90°，然后根据甲行驶的方向判断乙行驶的方向。
5．（2015八下·临河期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（ ）海里．
A．60 B．30 C．20 D．80
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作出图形，
因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×3=48（km），
BC=12×3km=36（km）．
则AB= = =60（km）
故选A．
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
6．（2015八下·浏阳期中）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=4，b=4，c=5
C．a=5，b=6，c=7 D．a=5，b=12，c=13
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122=132，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
7．（2015八下·浏阳期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（ ）cm2．
A．28 B．49 C．98 D．147
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），
则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．
故选：D．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．
8．（2015八下·武冈期中）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，5，6 B．1，1， C．5，8，11 D．5，12，15
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵32+52≠62，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
B、∵12+12=（ ）2，
∴此三角形是直角三角形，符合题意；
C、∵52+82≠112，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
D、∵52+122≠152，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
9．（2015八下·开平期中）△ABC中，a=5，b=12，c=13．则S△ABC=（ ）
A．60 B．30 C．78 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a2+b2=c2
∴a，b为两直角边
∴S△ABC= ×5×12=30．
故选B．
【分析】由已知得其符合勾股定理从而得到a，b为两直角边，所以三角形面积可求．
10．（2018八下·邯郸开学考）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A．（ ）6 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）7
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…，由此可得Sn=（ ）n﹣3．当n=9时，S9=（ ）9﹣3=（ ）6，
故答案为：A．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得S2+S2=S1,=4，从而可得S2= S1=2，分别求出S3、S4······，从而求出规律Sn=（ ）n﹣3．最后求出当n=9时的S的值即可.
二、填空题
11．（2015八下·伊宁期中）在△ABC中，∠B=90度，BC=6，AC=8，则AB=
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠B=90°，BC=6，AC=8，
∴AB= = =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】直接根据题意画出图形，再利用勾股定理求出答案．
12．（2020八下·江岸期中）在 中， ， ， ，斜边 的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设BC
， ，
，
（舍去），
故答案为：
【分析】根据含30°直角三角形的边之间的关系 得到 进而利用勾股定理建立方程，求解可得答案.
13．（2015八下·临河期中）已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m=
【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当m为斜边时：32+42=m2，解得：m1=5，m2=﹣5（不符合题意）；
当m为直角边时：32+m2=42，解得：m1= ，m2=﹣ （不符合题意）．
故第三边长m为5或 ．
故答案是：5或 ．
【分析】由于不知道m为斜边还是直角边，故应分两种情况进行讨论．
14．（2015八下·临河期中）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 cm．
【答案】4.8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为 =10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为 ×6×8= ×10h，h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
三、计算题
15．（2015八下·金平期中）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10，∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
四、解答题
16．（2020八下·富县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.画出以 为斜边的直角 ，且 的顶点均在格点上，各边长均为无理数.
【答案】解：如图所示： 即为所求.
由图可知： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的顶点均在格点上，各边长均为无理数.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】直接利用网格结合勾股定理及逆定理得出符合题意的图形.
17．（2017八下·滨海开学考）计算图中四边形ABCD的面积．
【答案】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD= ，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD= ×12×16+ ×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先需利用勾股定理计算BD，再利用勾股定理逆定理判定△CBD是直角三角形，再求出两个直角三角形面积之和即可.
18．（2015八下·金乡期中）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）
【答案】解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
2CD2=8002，
CD=400 （米），
答：直线L上距离D点400 米的C处开挖
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．
19．（2016八上·靖江期末）如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）证明勾股定理；
（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．
【答案】（1）解：∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，
∴c2=4× ab+（a﹣b）2=2ab+a2﹣2ab+b2
即c2=a2+b2．
（2）解：∵（a﹣b）2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立．
【知识点】勾股定理的证明；偶次幂的非负性
【解析】【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）利用二次方的非负的性质得出不等式，变形即可得出结论。．
20．（2020八下·唐县期末）如图网格是由边长为1的小正方形组成，点A、B、C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形的所有内角都相等。
（1）确定点D的位置，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，并说明理由；
（2）求出(1)中所画出的四边形的周长和面积。
【答案】（1）解：如图所示
AB= = =DC
BC= =2 =AD
所以，四边形ABCD是平行四边形。
又因为 ，所以
所以四边形ABCD是矩形，故四个内角相等。
（2）解：周长为（2 + ）×2=6
面积为2 × =10
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可知，四边形的内角为直角，得到D点的位置即可；
（2）根据勾股定理计算得到AB和BC的长度，根据周长公式求出答案即可。
1 / 1初中数学湘教版八年级下册1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 同步练习
一、单选题
1．（2017八下·君山期末）一个直角三角形有两条边长分别为6和8，则它的第三条边长可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2017八下·巢湖期末）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤3 ，4，5 .其中能构成直角三角形的有（ ）组
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2018八下·兴义期中）在 ABC，如果AC2-AB2=BC2，那么（ ）
A． A= B． B= C． C= D．不能确定
4．（2017八下·新洲期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
5．（2015八下·临河期中）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（ ）海里．
A．60 B．30 C．20 D．80
6．（2015八下·浏阳期中）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=4，b=4，c=5
C．a=5，b=6，c=7 D．a=5，b=12，c=13
7．（2015八下·浏阳期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（ ）cm2．
A．28 B．49 C．98 D．147
8．（2015八下·武冈期中）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，5，6 B．1，1， C．5，8，11 D．5，12，15
9．（2015八下·开平期中）△ABC中，a=5，b=12，c=13．则S△ABC=（ ）
A．60 B．30 C．78 D．
10．（2018八下·邯郸开学考）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A．（ ）6 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）7
二、填空题
11．（2015八下·伊宁期中）在△ABC中，∠B=90度，BC=6，AC=8，则AB=
12．（2020八下·江岸期中）在 中， ， ， ，斜边 的长为 .
13．（2015八下·临河期中）已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m=
14．（2015八下·临河期中）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 cm．
三、计算题
15．（2015八下·金平期中）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，求AB与CD的长．
四、解答题
16．（2020八下·富县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.画出以 为斜边的直角 ，且 的顶点均在格点上，各边长均为无理数.
17．（2017八下·滨海开学考）计算图中四边形ABCD的面积．
18．（2015八下·金乡期中）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）
19．（2016八上·靖江期末）如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）证明勾股定理；
（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．
20．（2020八下·唐县期末）如图网格是由边长为1的小正方形组成，点A、B、C位置如图所示，在网格中确定点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形的所有内角都相等。
（1）确定点D的位置，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，并说明理由；
（2）求出(1)中所画出的四边形的周长和面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】当8是直角边时，第三条边长为： ，
当8是斜边时，第三条边长为： ，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理，当6和8都为直角边，则斜边为10；当8为斜边，则直角边为
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】因为①6 ＋8 ＝10 ，②13 ＝5 ＋12 ，④9 ＋40 ＝41 ，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出答案。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在 △ ABC ，AC2-AB2=BC2 ，∴AC2=AB2＋BC2 ，∴ △ ABC是直角三角形，且∠90°
故答案为：B
【分析】根据AC2-AB2=BC2 得出AC2=AB2＋BC2 ，根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足，其中两边的平方和等于第三边的平方，再这个三角形是直角三角形，且第三边所对的角是直角，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，
根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，
因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.
所以6002+8002=10002.
所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.
故答案为：C.
【分析】根据甲乙行驶的路程=速度×时间得到甲、乙行驶的路程，然后根据勾股定理的逆定理得到△AOB为直角三角形且∠AOB=90°，然后根据甲行驶的方向判断乙行驶的方向。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：作出图形，
因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×3=48（km），
BC=12×3km=36（km）．
则AB= = =60（km）
故选A．
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122=132，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），
则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．
故选：D．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵32+52≠62，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
B、∵12+12=（ ）2，
∴此三角形是直角三角形，符合题意；
C、∵52+82≠112，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
D、∵52+122≠152，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵a2+b2=c2
∴a，b为两直角边
∴S△ABC= ×5×12=30．
故选B．
【分析】由已知得其符合勾股定理从而得到a，b为两直角边，所以三角形面积可求．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2= S1=2，S3= S2=1，S4= S3= ，…，由此可得Sn=（ ）n﹣3．当n=9时，S9=（ ）9﹣3=（ ）6，
故答案为：A．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得S2+S2=S1,=4，从而可得S2= S1=2，分别求出S3、S4······，从而求出规律Sn=（ ）n﹣3．最后求出当n=9时的S的值即可.
11．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠B=90°，BC=6，AC=8，
∴AB= = =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】直接根据题意画出图形，再利用勾股定理求出答案．
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
设BC
， ，
，
（舍去），
故答案为：
【分析】根据含30°直角三角形的边之间的关系 得到 进而利用勾股定理建立方程，求解可得答案.
13．【答案】5或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当m为斜边时：32+42=m2，解得：m1=5，m2=﹣5（不符合题意）；
当m为直角边时：32+m2=42，解得：m1= ，m2=﹣ （不符合题意）．
故第三边长m为5或 ．
故答案是：5或 ．
【分析】由于不知道m为斜边还是直角边，故应分两种情况进行讨论．
14．【答案】4.8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为 =10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为 ×6×8= ×10h，h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
15．【答案】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB= =10，∵S△ABC= AB CD= AC BC，∴CD= = =4.8
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．
16．【答案】解：如图所示： 即为所求.
由图可知： ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的顶点均在格点上，各边长均为无理数.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】直接利用网格结合勾股定理及逆定理得出符合题意的图形.
17．【答案】解：在Rt△ABD中，BD为斜边，
AD=12，AB=16，
则BD= ，
故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD= ×12×16+ ×15×20=96+150=246．
答：四边形ABCD的面积为246．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先需利用勾股定理计算BD，再利用勾股定理逆定理判定△CBD是直角三角形，再求出两个直角三角形面积之和即可.
18．【答案】解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABD=135°，
∴∠DBC=45°，
∴∠D=45°，
∴CB=CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，
2CD2=8002，
CD=400 （米），
答：直线L上距离D点400 米的C处开挖
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米进行计算即可．
19．【答案】（1）解：∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：（b﹣a）2，
∴c2=4× ab+（a﹣b）2=2ab+a2﹣2ab+b2
即c2=a2+b2．
（2）解：∵（a﹣b）2≥0，
∴a2﹣2ab+b2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b时，等号成立．
【知识点】勾股定理的证明；偶次幂的非负性
【解析】【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）利用二次方的非负的性质得出不等式，变形即可得出结论。．
20．【答案】（1）解：如图所示
AB= = =DC
BC= =2 =AD
所以，四边形ABCD是平行四边形。
又因为 ，所以
所以四边形ABCD是矩形，故四个内角相等。
（2）解：周长为（2 + ）×2=6
面积为2 × =10
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意可知，四边形的内角为直角，得到D点的位置即可；
（2）根据勾股定理计算得到AB和BC的长度，根据周长公式求出答案即可。
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