高中数学人教A版（2019）选修三 第六章 计数原理章节单元检测试卷

高中数学人教A版（2019）选修三 第六章 计数原理章节单元检测试卷
一、单选题
1．（2020高二下·栖霞月考）某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（　　）
A．男2人，女6人 B．男3人，女5人
C．男5人，女3人 D．男6人，女2人
2．（2018高二上·铜仁期中）现有4种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有（　　）种.
A．24 B．30 C．48 D．50
3．（2019高二下·日照月考）上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（　　）
A．24 B．12 C．20 D．22
4．（2020高二下·栖霞月考）关于 的说法，错误的是（　　）
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
5．（2020高二下·栖霞月考） 的展开式中 的系数是（　　）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
6．（x2﹣x+1）3展开式中x项的系数为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
7．（2020高二下·栖霞月考）设 ，则 的值为（　　）
A．29 B．49 C．39 D．59
8．（2018高二下·通许期末）若 ，则 的值为（　　）
A．1 B．－1 C．0 D．2
9．（2018高二下·葫芦岛期中）设 的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的有理项的项数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2018高二下·葫芦岛期中）已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝ （　　）
A．32 B．1 C．－243 D．1或－243
二、多选题
11．（2020高二下·泰安开学考）已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（　　）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
12．（2019高二下·日照月考）对于二项式 ，以下判断正确的有（　　）
A．存在 ，展开式中有常数项；
B．对任意 ，展开式中没有常数项；
C．对任意 ，展开式中没有 的一次项；
D．存在 ，展开式中有 的一次项.
三、填空题
13．（2020高二下·栖霞月考）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有　 　种（用数字作答）；
14．（2020高二下·栖霞月考）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有　 　个．
15．（2018高二下·聊城期中）2018年3月22 日，中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛，小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛，赛场-排有 个位置，若这 人并排而坐，则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有　 　种．
16．（2018高二下·枣庄期末）若 ，则 　 　.
17．（2018高二下·黑龙江期中） ，则 　 　．
18．（2018高二下·聊城期中） 的展开式中含有 项的系数为　 　．
四、解答题
19．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
20．（2020高二下·栖霞月考）已知 的展开式的二项式系数之和为 ，且展开式中含 项的系数为 .
（1）求 的值；
（2）求 展开式中含 项的系数.
21．（2019高二下·潍坊期中）已知（x+ ）n的展开式中前三项的系数成等差数列。
（1）求展开式的二项式系数的和；
（2）求展开式中含x2的项。
22．（2018高二下·枣庄期末）在 的展开式中，求：
（1）第3项的二项式系数及系数；
（2）含x2的项．
23．（2019高二下·日照月考）设 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
24．（2020高二下·栖霞月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】设男生人数为 ，则女生人数为 ，
由题意可知 ，
即 ，解得 ，
所以男、女生人数分别为 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理以及排列数和组合数公式，从而求出男、女生人数。
2．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，
对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，
对于区域C，与区域AB相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，
对于区域D，与区域AC相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，
则不同的涂色方法有4×3×2×2=48种；
故答案为：C．
【分析】分步计数原理，先对于区域A，有4种涂色方法，再依次涂区域B、C、D即可.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意， 先排体育课，在第三、四节中安排体育课，有 中排法，
再将语文、数学、英语排在剩下的3节课中，由有 中排法，
由乘法原理可得，共有 中不同的排法。
故答案为：B
【分析】利用排列组合解决计数问题的方法结合乘法计数原理，得出不同排课方案的种数。
4．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；
当 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；
因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.
故选：C
【分析】A. 根据二项式系数的性质，二项式系数之和为2n判断.
B. 根据二项式系数的性质，当 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
C. 根据二项式系数的性质，当 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
D. 根据二项式系数的性质和二项式系数和系数间的关系判断.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 的展开式的通项为 ，
的展开式的通项为 ，
因此， 的展开式的通项为 .
当 时有 且 或 且 两种情况，
则展开式中 的系数为（－10）＋12＝2.
故选：C
【分析】先分别写出 和 的展开式的通项，得到 的展开式的通项为 ，再令 求解.
6．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（x2﹣x+1）3表示3个因式（x2﹣x+1）的积，故其中一个因式选﹣x，
其余的2个因式都取1，即可得到含x的项，
故含x项的系数为 （﹣1）=﹣3，
故选：A．
【分析】由题意利用乘方的意义，以及排列组合的知识，求得（x2﹣x+1）3展开式中x项的系数．
7．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ， ， ， ， 为正， ， ， ， ， 为负，
令 ，得 ，
故选：B.
【分析】根据二项式特点知， ， ， ， ， 为正， ， ， ， ， 为负，令 ，得 .
8．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】令 得 ，令 得
故答案为：A
【分析】此题考察的是二项式定理的应用，结合二项式系数的性质，取特殊值x=1和x=-1代入二项式中得到二项式系数相关的式子，然后将所求的二项式系数相关式子代入平方差公式中求解出结果。
9．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意 ， ，∴ ，解得 ，
则 展开式的通项为 （ ），易知 时， 为整数，对应项为有理项， 时，对应项为无理项，
∴有理项的项数为3．
故答案为：C．
【分析】M = ( 3 + 1 ) n = 4 n ， N = 2 n，解得n = 4。再利用通项求出所有有理项。
10．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意 ，∴ ．
在 中令 得 ．
故答案为：B．
【分析】先利用通项求出a，再令 x = 1 。
11．【答案】B,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,A不符合题意；
由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,B符合题意；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,C符合题意；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,D符合题意,
故答案为：BCD
【分析】 由题意得Cn4=C6n再由组合数的性质求出n=10，再令x=1结合展开式的各项系数之和为1024求出a的值，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．
12．【答案】A,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】设二项式 展开式的通项公式为 ，
则 ，
不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案A符合题意，B不符合题意；
令 ，则 时，展开式中有 的一次项，C不符合题意，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用特殊值法得出是否存在常数项和展开式中有没有x的一次项，从而选出正确的选项。
13．【答案】90
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有 种选法；
剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有 种选法，
由乘法原理得分配方案有 种，
故答案为：90.
【分析】利用已知条件结合乘法计数原理，再利用组合数公式，从而求出不同的分配方案的种数。
14．【答案】12
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】当相同的数字不是1时，有 个；
当相同的数字是1时，共有 个，
由分类加法计数原理知共有“好数” ＋ ＝12个，
故答案为：12.
【分析】由已知利用“好数”的定义分两种情况讨论，分相同的数字不是1和是1时列式，结合分类加法计数原理，即可求出由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有的个数。
15．【答案】432
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先把小张的爸爸、妈妈、弟弟三人排好，共 种，产生4个空档，
然后把小张、儿子、女儿三人分成两组，共 种，其中相邻两人之间有顺序，共 种，
这两组去插空，共 ，
∴小张、儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有 种，
故答案为：432
【分析】利用分步计数原理计算.分三步：第一步：先把小张的爸爸、妈妈、弟弟三人排好，第二步：把小张、儿子、女儿三人分成两组，第三步：在4个空位中任选2个，安排小张、儿子、女儿三人的2组，即可得答案．
16．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由题意 ，
得展开式的每一项的系数为 ，
所以
又由 ，且 ，
所以 .
【分析】利用，代入题目式子中，得到的式子实际为的系数，令x=1，代入，即可得出答案。
17．【答案】28
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，
设 的展开式含有 项， ，令 ， ，所以 .
【分析】适用换元法，令，求出关于的系数，即可得出答案。
18．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数，
即（2x+y）5的展开式中含x2y3的系数与含x3y2的系数和，
由 x5﹣r yr．
分别取r=2、3，
可得（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数为 =40﹣80=﹣40．
故答案为：﹣40．
【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含有x3y3项的系数．
19．【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
20．【答案】解：由题意， ，则 ，由通项公式 ，则 ，所以 ，所以 ⑵求 展开式中含 项的系数. 解：本小题即求 展开式中含 项的系数， ，所以展开式中含 项的系数为 ．
（1）解：由题意， ，则 ，由通项公式 ，则 ，所以 ，所以
（2）解：本小题即求 展开式中含 项的系数， ，所以展开式中含 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）二项式系数之和为： ，令 易求得 ，其次利用二项展开式的通项公式中令 ，易求得 ；（2）在前小题已求得的 的基础上，要求 展开式中求特定项（含 项）的系数，只需把两个二项式展开，对于 展开式中的常数项与 展开式中的 项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.
21．【答案】（1）解：二项展开式中前三项的系数依次为Cn0， Cn1， Cn1，
∴Cn0+ Cn1=2× Cn1，
n2-9n+8=0，解得：n=8或1（舍去），
二项展开式的二项式系数的和为C80+ C81+…+ C88=28=256
（2）解：通项公式Tr+1=C8r·x8-r·（ ）r=C8r·x8-r·（ ）r
=（ ）rC8r （0≤r≤8，且r∈N）
令8- r=2，∴r=4
故展开式中含x2的项为T5= x2
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项式展开式中前三项的系数成等差数列求出的值，再利用展开式的通项公式求出二项式系数的和；
（2）根据二项式展开式的通项公式得出 Tr+1=C8r·x8-r·（ ）r=C8r·x8-r·（ ）r ，求出展开式中含的项。
22．【答案】（1）解：第3项的二项式系数为 ＝15，
又T3＝C (2 )42＝24·C x，
所以第3项的系数为24C ＝240.
（2）解：Tk＋1＝C (2 )6－kk＝(－1)k26－kC x3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】（1）结合二项式系数公式，代入数据，即可得出答案。（2）结合二项式系数公式，代入数据，即可得出答案。
23．【答案】（1）解：令 ，得 .
令 ，得 .①
∴
（2）解：令 ，得 .② 与① 式联立，
① -② 得 ，
所以
（3）解： （令 ）
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用特殊值法求出 的值。
（2）利用特殊值法联立作差求出 的值。
（3）利用特殊值法结合绝对值的定义求出 的值 。
24．【答案】（1）解：从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）解：分两步完成，先选4人站前排，有 种方法，余下3人站后排，有 种方法，共有 （种）.
（3）解：（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
（4）解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（5）解：（插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
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一、单选题
1．（2020高二下·栖霞月考）某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（　　）
A．男2人，女6人 B．男3人，女5人
C．男5人，女3人 D．男6人，女2人
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】设男生人数为 ，则女生人数为 ，
由题意可知 ，
即 ，解得 ，
所以男、女生人数分别为 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理以及排列数和组合数公式，从而求出男、女生人数。
2．（2018高二上·铜仁期中）现有4种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有（　　）种.
A．24 B．30 C．48 D．50
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，
对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，
对于区域C，与区域AB相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，
对于区域D，与区域AC相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，
则不同的涂色方法有4×3×2×2=48种；
故答案为：C．
【分析】分步计数原理，先对于区域A，有4种涂色方法，再依次涂区域B、C、D即可.
3．（2019高二下·日照月考）上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（　　）
A．24 B．12 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意， 先排体育课，在第三、四节中安排体育课，有 中排法，
再将语文、数学、英语排在剩下的3节课中，由有 中排法，
由乘法原理可得，共有 中不同的排法。
故答案为：B
【分析】利用排列组合解决计数问题的方法结合乘法计数原理，得出不同排课方案的种数。
4．（2020高二下·栖霞月考）关于 的说法，错误的是（　　）
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；
当 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；
因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D正确.
故选：C
【分析】A. 根据二项式系数的性质，二项式系数之和为2n判断.
B. 根据二项式系数的性质，当 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
C. 根据二项式系数的性质，当 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项来判断.
D. 根据二项式系数的性质和二项式系数和系数间的关系判断.
5．（2020高二下·栖霞月考） 的展开式中 的系数是（　　）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 的展开式的通项为 ，
的展开式的通项为 ，
因此， 的展开式的通项为 .
当 时有 且 或 且 两种情况，
则展开式中 的系数为（－10）＋12＝2.
故选：C
【分析】先分别写出 和 的展开式的通项，得到 的展开式的通项为 ，再令 求解.
6．（x2﹣x+1）3展开式中x项的系数为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：（x2﹣x+1）3表示3个因式（x2﹣x+1）的积，故其中一个因式选﹣x，
其余的2个因式都取1，即可得到含x的项，
故含x项的系数为 （﹣1）=﹣3，
故选：A．
【分析】由题意利用乘方的意义，以及排列组合的知识，求得（x2﹣x+1）3展开式中x项的系数．
7．（2020高二下·栖霞月考）设 ，则 的值为（　　）
A．29 B．49 C．39 D．59
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为 ， ， ， ， 为正， ， ， ， ， 为负，
令 ，得 ，
故选：B.
【分析】根据二项式特点知， ， ， ， ， 为正， ， ， ， ， 为负，令 ，得 .
8．（2018高二下·通许期末）若 ，则 的值为（　　）
A．1 B．－1 C．0 D．2
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】令 得 ，令 得
故答案为：A
【分析】此题考察的是二项式定理的应用，结合二项式系数的性质，取特殊值x=1和x=-1代入二项式中得到二项式系数相关的式子，然后将所求的二项式系数相关式子代入平方差公式中求解出结果。
9．（2018高二下·葫芦岛期中）设 的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的有理项的项数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意 ， ，∴ ，解得 ，
则 展开式的通项为 （ ），易知 时， 为整数，对应项为有理项， 时，对应项为无理项，
∴有理项的项数为3．
故答案为：C．
【分析】M = ( 3 + 1 ) n = 4 n ， N = 2 n，解得n = 4。再利用通项求出所有有理项。
10．（2018高二下·葫芦岛期中）已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝ （　　）
A．32 B．1 C．－243 D．1或－243
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意 ，∴ ．
在 中令 得 ．
故答案为：B．
【分析】先利用通项求出a，再令 x = 1 。
二、多选题
11．（2020高二下·泰安开学考）已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（　　）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
【答案】B,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,A不符合题意；
由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,B符合题意；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,C符合题意；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,D符合题意,
故答案为：BCD
【分析】 由题意得Cn4=C6n再由组合数的性质求出n=10，再令x=1结合展开式的各项系数之和为1024求出a的值，利用二项式的展开式的性质即可判断四个选项．
12．（2019高二下·日照月考）对于二项式 ，以下判断正确的有（　　）
A．存在 ，展开式中有常数项；
B．对任意 ，展开式中没有常数项；
C．对任意 ，展开式中没有 的一次项；
D．存在 ，展开式中有 的一次项.
【答案】A,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】设二项式 展开式的通项公式为 ，
则 ，
不妨令 ，则 时，展开式中有常数项，故答案A符合题意，B不符合题意；
令 ，则 时，展开式中有 的一次项，C不符合题意，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用特殊值法得出是否存在常数项和展开式中有没有x的一次项，从而选出正确的选项。
三、填空题
13．（2020高二下·栖霞月考）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有　 　种（用数字作答）；
【答案】90
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有 种选法；
剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有 种选法，
由乘法原理得分配方案有 种，
故答案为：90.
【分析】利用已知条件结合乘法计数原理，再利用组合数公式，从而求出不同的分配方案的种数。
14．（2020高二下·栖霞月考）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有　 　个．
【答案】12
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】当相同的数字不是1时，有 个；
当相同的数字是1时，共有 个，
由分类加法计数原理知共有“好数” ＋ ＝12个，
故答案为：12.
【分析】由已知利用“好数”的定义分两种情况讨论，分相同的数字不是1和是1时列式，结合分类加法计数原理，即可求出由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有的个数。
15．（2018高二下·聊城期中）2018年3月22 日，中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛，小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛，赛场-排有 个位置，若这 人并排而坐，则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有　 　种．
【答案】432
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】先把小张的爸爸、妈妈、弟弟三人排好，共 种，产生4个空档，
然后把小张、儿子、女儿三人分成两组，共 种，其中相邻两人之间有顺序，共 种，
这两组去插空，共 ，
∴小张、儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有 种，
故答案为：432
【分析】利用分步计数原理计算.分三步：第一步：先把小张的爸爸、妈妈、弟弟三人排好，第二步：把小张、儿子、女儿三人分成两组，第三步：在4个空位中任选2个，安排小张、儿子、女儿三人的2组，即可得答案．
16．（2018高二下·枣庄期末）若 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：由题意 ，
得展开式的每一项的系数为 ，
所以
又由 ，且 ，
所以 .
【分析】利用，代入题目式子中，得到的式子实际为的系数，令x=1，代入，即可得出答案。
17．（2018高二下·黑龙江期中） ，则 　 　．
【答案】28
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，则 ，
设 的展开式含有 项， ，令 ， ，所以 .
【分析】适用换元法，令，求出关于的系数，即可得出答案。
18．（2018高二下·聊城期中） 的展开式中含有 项的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数，
即（2x+y）5的展开式中含x2y3的系数与含x3y2的系数和，
由 x5﹣r yr．
分别取r=2、3，
可得（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数为 =40﹣80=﹣40．
故答案为：﹣40．
【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含有x3y3项的系数．
四、解答题
19．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
20．（2020高二下·栖霞月考）已知 的展开式的二项式系数之和为 ，且展开式中含 项的系数为 .
（1）求 的值；
（2）求 展开式中含 项的系数.
【答案】解：由题意， ，则 ，由通项公式 ，则 ，所以 ，所以 ⑵求 展开式中含 项的系数. 解：本小题即求 展开式中含 项的系数， ，所以展开式中含 项的系数为 ．
（1）解：由题意， ，则 ，由通项公式 ，则 ，所以 ，所以
（2）解：本小题即求 展开式中含 项的系数， ，所以展开式中含 项的系数为 ．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）二项式系数之和为： ，令 易求得 ，其次利用二项展开式的通项公式中令 ，易求得 ；（2）在前小题已求得的 的基础上，要求 展开式中求特定项（含 项）的系数，只需把两个二项式展开，对于 展开式中的常数项与 展开式中的 项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.
21．（2019高二下·潍坊期中）已知（x+ ）n的展开式中前三项的系数成等差数列。
（1）求展开式的二项式系数的和；
（2）求展开式中含x2的项。
【答案】（1）解：二项展开式中前三项的系数依次为Cn0， Cn1， Cn1，
∴Cn0+ Cn1=2× Cn1，
n2-9n+8=0，解得：n=8或1（舍去），
二项展开式的二项式系数的和为C80+ C81+…+ C88=28=256
（2）解：通项公式Tr+1=C8r·x8-r·（ ）r=C8r·x8-r·（ ）r
=（ ）rC8r （0≤r≤8，且r∈N）
令8- r=2，∴r=4
故展开式中含x2的项为T5= x2
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项式展开式中前三项的系数成等差数列求出的值，再利用展开式的通项公式求出二项式系数的和；
（2）根据二项式展开式的通项公式得出 Tr+1=C8r·x8-r·（ ）r=C8r·x8-r·（ ）r ，求出展开式中含的项。
22．（2018高二下·枣庄期末）在 的展开式中，求：
（1）第3项的二项式系数及系数；
（2）含x2的项．
【答案】（1）解：第3项的二项式系数为 ＝15，
又T3＝C (2 )42＝24·C x，
所以第3项的系数为24C ＝240.
（2）解：Tk＋1＝C (2 )6－kk＝(－1)k26－kC x3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】（1）结合二项式系数公式，代入数据，即可得出答案。（2）结合二项式系数公式，代入数据，即可得出答案。
23．（2019高二下·日照月考）设 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
【答案】（1）解：令 ，得 .
令 ，得 .①
∴
（2）解：令 ，得 .② 与① 式联立，
① -② 得 ，
所以
（3）解： （令 ）
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用特殊值法求出 的值。
（2）利用特殊值法联立作差求出 的值。
（3）利用特殊值法结合绝对值的定义求出 的值 。
24．（2020高二下·栖霞月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
【答案】（1）解：从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）解：分两步完成，先选4人站前排，有 种方法，余下3人站后排，有 种方法，共有 （种）.
（3）解：（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
（4）解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（5）解：（插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
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