高中数学 人教A版（2019） 选择性必修三 第六章 第三节 二项式定理 单元检测
一、单选题
1．（2018高二上·铜仁期中）在 的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则 的二项展开式中的常数项为（ ）
A．960 B．1120 C．-560 D．-960
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，
则 = 的二项展开式的通项公式为Tr+1= 28﹣r （﹣1）r x4﹣r，
令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 24 （﹣1）4=1120，
故答案为：B．
【分析】先由只有第5项的二项式系数最大得出n的值，再由通项公式可得二项展开式中的常数项.
2．（2018高二下·阿拉善左旗期末）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）
A．7 B．－7 C．21 D．－21
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令 得展开式的各项系数之和 ，
，解得 ；
展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
展开式 的系数是 ，
故答案为：C.
【分析】由二项式展开式中各项系数之和求得n的值，利用通项公式可得展开式中 的系数.
3．（2018高二下·临泽期末） 的二项展开式中， 项的系数是（ ）
A． B． C． D．270
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式中，
通项公式为
令 ，且 ，求得
项的系数是
故答案为：
【分析】利用二项式展开式的通项公式可得所求项的系数.
4．（2018高二下·黑龙江期中）已知 的展开式的常数项是第七项，则正整数 的值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由二项展开式的通项可知：
展开式的第七项为 ，
又因为第七项为常数，所以 ，
故答案为：B．
【分析】求出二项式第七项展开式，令其等于0，即可得出答案。
5．（2018高二下·黑龙江期中）若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，且a0+a1+…+an=243，则（n﹣x）n展开式的二项式系数和为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．1024
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
令 ，可得 ，
在根据 ，可得 ，求得 ，
故 展开式的二项式系数和为 ，
故答案为：B．
【分析】将表示成用表示的二项式，令，即可得到，因此根据二项式系数的性质，即可得出答案。
6．（2018高二下·中山月考） 是 的展开式中存在常数项的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】 的通项为 ，如果展开式中存在常数项，所以
所以当n=10时， 的展开式中存在常数项，所以充分性成立.
的展开式中存在常数项时，n不一定等于10，所以必要性不成立.
故答案为：A.
【分析】本题考查的是利用二项式定理通项展开式结合n的值求出常数项，从而判断二者的关系满足的充要条件。
7．（2017高二下·沈阳期末）在 的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意可得：2n=64，解得n=6.
∴ 的通项公式： ，
令 ，解得r=2.
∴展开式中常数项为 .
故答案为：A.
【分析】展开式中的二项式系数之和一定是2n,由此先求出n，写出通项公式，令x的指数为0得常数项对应的r值。
8．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 （ ）
A．-2835 B．2835 C．21 D．-21
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于的展开式中各项系数之和为128，令a=1，则=128，n=7，则可知为，当，则可知其系数为—2835，故答案为A
【分析】主要是考查了二项式定理的基本运用，属于基础题。
9．若（x∈R），则=( )
A． B．－ C． D．－
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于＝＋＋＋…＋（x∈R），令x="0，" ="1，" 展开式中，那么等式两边同时除以，然后结合二项式定理的逆用可知＋＋＋…＋=，故选C.
【分析】主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。
10．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A． B．7 C． D．28
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么可知n为偶数，n=8则可知，可知当r=6时，可知为常数项，故可知为7，选B.
11．若，且，则 （ ）
A．81 B．16 C．8 D．1
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于，可知n=4，那么当x=-1时可知等式左边为 ，那么右边表示的为81，故答案为81，选A
12．若，则=（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令得，令得
【分析】令可求得二项展开式系数和，令可求得常数项
二、填空题
13．（2020高二下·栖霞月考）设 ，则 .
【答案】0
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式通项为 ，
所以 ，
故答案为：0.
【分析】 就是 展开式中 的系数，利用通项公式求解即可.
14．（2019高二下·潍坊期中）已知（x-1）2=a0+a1x+a2x2+……+a7x7，则a1+a2+……+a7=
【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令得
令得
∴
故答案为：
【分析】本题考查二项式定理，利用赋值法令得，令得，进而得出的值。
15．（2018高二下·阿拉善左旗期末）已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则 ɑ=
【答案】-1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： ，
其展开式中含 项的系数 ，
解得 ，故答案为 .
【分析】由二项式展开式可计算出x2的系数.
16．（2018高二下·惠东月考） 的展开式中 的系数为 .（用数字填写答案）
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意， 展开式通项为 ， ．当 时， ；当 时， ，故 的展开式中 项为 ，系数为 ．
【分析】利用多项式乘法法则及二项式展开式通项公式，易得展开式中所求项 的系数.
三、解答题
17．（2018高二上·铜仁期中）已知 展开式的二项式系数之和为64
（1）求 ；
（2）若展开式中常数项为 ，求 的值；
【答案】（1）解： 展开式的二项式系数之和为64，
解得 即n=6
（2）解： 的通项公式：
令 ，解得 则
解得
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由展开式的二项式系数之和为64=2n，可得n=6;
（2）由通项公式可得 常数项为 时 的值 .
18．（2018高二下·葫芦岛期中）已知 (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含 的项．
【答案】（1）解：由题意知，第五项系数为C ·(－2)4，第三项的系数为C ·(－2)2，则有 ＝ ，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1
（2）解：通项公式Tr＋1＝C ( )8－r(－ )r＝C (－2)rx －2r.令 －2r＝ ，得r＝1，故展开式中含x 的项为T2＝－16x .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用通项公式分别求出第五项的系数与第三项的系数，再求比例，求出n，最后另x=1即得；（2）直接用通项公式。
19．（2016高二下·威海期末）已知（ ﹣ ）n的展开式中，第三项的系数为144．
（1）求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；
（2）求该展开式的所有有理项．
【答案】（1）解：（ ﹣ ）n的展开式的通项为Tr+1=Cnr（﹣2）r ，（0≤r≤n，且r∈N）．
由题意可知：第三项的系数为Cn2（﹣2）2=144，
即n（n﹣1）=72，解得n=9．
∴该展开式中所有偶数项的二项式系数之和为28=256．
（2）解：∵（ ﹣ ）9的展开式的通项为Tr+1=C9r（﹣2）r ，（0≤r≤9，且r∈N）．
要求该展开式中的有理项，只需令 ∈Z，
∴r=0，3，6，9，
∴展开式中的有理项为：T1=C90（﹣2）0x3=x3；T4=C93（﹣2）3x﹣1=﹣672x﹣1；
T7=C96（﹣2）6x﹣5=﹣5376x﹣5；T10=C99（﹣2）9x﹣9=﹣512x﹣9
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）依题意，利用二项式的通项公式可求得n的值；（2）只需令 ∈Z，r=0，3，6，9，从而可求得展开式中的有理项．
20．（2016高二下·高密期末）已知（x+ ）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有二项式系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）解：二项式（x+ ）n展开式的通项公式为
Tr+1= xn﹣r = ，（r=0，1，2，…，n）；
根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得
= ，即 n= ，
解得n=5；
（2）解：展开式中所有二项式系数的和为
+ + +…+ =25=32
（3）解：二项式展开式的通项公式为
Tr+1= ，（r=0，1，2，…，5）；
当r=0，2，4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为
T1= x5=x5，
T3= x5﹣3= x2，
T5= x5﹣6=
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】写出二项式（x+ ）n展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；（3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．
1 / 1高中数学 人教A版（2019） 选择性必修三 第六章 第三节 二项式定理 单元检测
一、单选题
1．（2018高二上·铜仁期中）在 的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则 的二项展开式中的常数项为（ ）
A．960 B．1120 C．-560 D．-960
2．（2018高二下·阿拉善左旗期末）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）
A．7 B．－7 C．21 D．－21
3．（2018高二下·临泽期末） 的二项展开式中， 项的系数是（ ）
A． B． C． D．270
4．（2018高二下·黑龙江期中）已知 的展开式的常数项是第七项，则正整数 的值为 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2018高二下·黑龙江期中）若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，且a0+a1+…+an=243，则（n﹣x）n展开式的二项式系数和为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．1024
6．（2018高二下·中山月考） 是 的展开式中存在常数项的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2017高二下·沈阳期末）在 的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15
8．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 （ ）
A．-2835 B．2835 C．21 D．-21
9．若（x∈R），则=( )
A． B．－ C． D．－
10．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A． B．7 C． D．28
11．若，且，则 （ ）
A．81 B．16 C．8 D．1
12．若，则=（ ）
A．2009 B．2010 C．2011 D．2012
二、填空题
13．（2020高二下·栖霞月考）设 ，则 .
14．（2019高二下·潍坊期中）已知（x-1）2=a0+a1x+a2x2+……+a7x7，则a1+a2+……+a7=
15．（2018高二下·阿拉善左旗期末）已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则 ɑ=
16．（2018高二下·惠东月考） 的展开式中 的系数为 .（用数字填写答案）
三、解答题
17．（2018高二上·铜仁期中）已知 展开式的二项式系数之和为64
（1）求 ；
（2）若展开式中常数项为 ，求 的值；
18．（2018高二下·葫芦岛期中）已知 (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含 的项．
19．（2016高二下·威海期末）已知（ ﹣ ）n的展开式中，第三项的系数为144．
（1）求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；
（2）求该展开式的所有有理项．
20．（2016高二下·高密期末）已知（x+ ）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有二项式系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则n=8，
则 = 的二项展开式的通项公式为Tr+1= 28﹣r （﹣1）r x4﹣r，
令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 24 （﹣1）4=1120，
故答案为：B．
【分析】先由只有第5项的二项式系数最大得出n的值，再由通项公式可得二项展开式中的常数项.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令 得展开式的各项系数之和 ，
，解得 ；
展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
展开式 的系数是 ，
故答案为：C.
【分析】由二项式展开式中各项系数之和求得n的值，利用通项公式可得展开式中 的系数.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 的展开式中，
通项公式为
令 ，且 ，求得
项的系数是
故答案为：
【分析】利用二项式展开式的通项公式可得所求项的系数.
4．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由二项展开式的通项可知：
展开式的第七项为 ，
又因为第七项为常数，所以 ，
故答案为：B．
【分析】求出二项式第七项展开式，令其等于0，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 ，
令 ，可得 ，
在根据 ，可得 ，求得 ，
故 展开式的二项式系数和为 ，
故答案为：B．
【分析】将表示成用表示的二项式，令，即可得到，因此根据二项式系数的性质，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】 的通项为 ，如果展开式中存在常数项，所以
所以当n=10时， 的展开式中存在常数项，所以充分性成立.
的展开式中存在常数项时，n不一定等于10，所以必要性不成立.
故答案为：A.
【分析】本题考查的是利用二项式定理通项展开式结合n的值求出常数项，从而判断二者的关系满足的充要条件。
7．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意可得：2n=64，解得n=6.
∴ 的通项公式： ，
令 ，解得r=2.
∴展开式中常数项为 .
故答案为：A.
【分析】展开式中的二项式系数之和一定是2n,由此先求出n，写出通项公式，令x的指数为0得常数项对应的r值。
8．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于的展开式中各项系数之和为128，令a=1，则=128，n=7，则可知为，当，则可知其系数为—2835，故答案为A
【分析】主要是考查了二项式定理的基本运用，属于基础题。
9．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于＝＋＋＋…＋（x∈R），令x="0，" ="1，" 展开式中，那么等式两边同时除以，然后结合二项式定理的逆用可知＋＋＋…＋=，故选C.
【分析】主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。
10．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么可知n为偶数，n=8则可知，可知当r=6时，可知为常数项，故可知为7，选B.
11．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】根据题意，由于，可知n=4，那么当x=-1时可知等式左边为 ，那么右边表示的为81，故答案为81，选A
12．【答案】A
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】令得，令得
【分析】令可求得二项展开式系数和，令可求得常数项
13．【答案】0
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 展开式通项为 ，
所以 ，
故答案为：0.
【分析】 就是 展开式中 的系数，利用通项公式求解即可.
14．【答案】1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令得
令得
∴
故答案为：
【分析】本题考查二项式定理，利用赋值法令得，令得，进而得出的值。
15．【答案】-1
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： ，
其展开式中含 项的系数 ，
解得 ，故答案为 .
【分析】由二项式展开式可计算出x2的系数.
16．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意， 展开式通项为 ， ．当 时， ；当 时， ，故 的展开式中 项为 ，系数为 ．
【分析】利用多项式乘法法则及二项式展开式通项公式，易得展开式中所求项 的系数.
17．【答案】（1）解： 展开式的二项式系数之和为64，
解得 即n=6
（2）解： 的通项公式：
令 ，解得 则
解得
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）由展开式的二项式系数之和为64=2n，可得n=6;
（2）由通项公式可得 常数项为 时 的值 .
18．【答案】（1）解：由题意知，第五项系数为C ·(－2)4，第三项的系数为C ·(－2)2，则有 ＝ ，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1
（2）解：通项公式Tr＋1＝C ( )8－r(－ )r＝C (－2)rx －2r.令 －2r＝ ，得r＝1，故展开式中含x 的项为T2＝－16x .
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用通项公式分别求出第五项的系数与第三项的系数，再求比例，求出n，最后另x=1即得；（2）直接用通项公式。
19．【答案】（1）解：（ ﹣ ）n的展开式的通项为Tr+1=Cnr（﹣2）r ，（0≤r≤n，且r∈N）．
由题意可知：第三项的系数为Cn2（﹣2）2=144，
即n（n﹣1）=72，解得n=9．
∴该展开式中所有偶数项的二项式系数之和为28=256．
（2）解：∵（ ﹣ ）9的展开式的通项为Tr+1=C9r（﹣2）r ，（0≤r≤9，且r∈N）．
要求该展开式中的有理项，只需令 ∈Z，
∴r=0，3，6，9，
∴展开式中的有理项为：T1=C90（﹣2）0x3=x3；T4=C93（﹣2）3x﹣1=﹣672x﹣1；
T7=C96（﹣2）6x﹣5=﹣5376x﹣5；T10=C99（﹣2）9x﹣9=﹣512x﹣9
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）依题意，利用二项式的通项公式可求得n的值；（2）只需令 ∈Z，r=0，3，6，9，从而可求得展开式中的有理项．
20．【答案】（1）解：二项式（x+ ）n展开式的通项公式为
Tr+1= xn﹣r = ，（r=0，1，2，…，n）；
根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得
= ，即 n= ，
解得n=5；
（2）解：展开式中所有二项式系数的和为
+ + +…+ =25=32
（3）解：二项式展开式的通项公式为
Tr+1= ，（r=0，1，2，…，5）；
当r=0，2，4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为
T1= x5=x5，
T3= x5﹣3= x2，
T5= x5﹣6=
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【分析】写出二项式（x+ ）n展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；（3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．
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