2018-2019学年数学苏科版九年级上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2018·湘西）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和=-，建立方程求出结果。
2．方程3x2－2＝1－4x的两个根的和为（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】对于一元二次方程的两个根 和 ，则 ，将题目中的方程转化为一般式为： ，则两根之和为 ，
故答案为： D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出答案。
3．（2018·泸县模拟）设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，∴x1+x2=2．故答案为：A．
【分析】由一元二次方程的根据与系数的关系可得x1+x2=-=-=2.
4．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，
∴x1x2=-k-1．
∵x1x2=-3，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1x2=-k-1．又x1x2=-3，故可得出关于k的方程，求解得出k的值。
5．（2018·咸宁）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1 B．x1 x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=﹣ =﹣1，x1x2=﹣ ，故A、B不符合题意；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C不符合题意；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1= ，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2 =﹣1，x1x2=﹣ ，根据有理数的加法法则，乘法法则，知x1、x2异号，且负数的绝对值大，根据方程根的概念，将x1代入一元二次方程得2x12+2x1﹣1=0，根据等式的性质，两边同时除以2得x12+x1= 。
6．（2018·遵义）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，
x1x2=﹣3，
则x1+x2﹣3x1x2=5，
﹣b﹣3×（﹣3）=5，
解得：b=4．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的 关系，得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，然后再整体代入x1+x2﹣3x1x2=5，即可求出b的值。
7．（2018·泰州）已知 ， 是关于 的方程 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】ACD、∵x1 x2=-2＜0
∴两个根异号，
∴A符合题意，C、D不符合题意
B、 x1+x2=a，a可能是正数也可能是负数，因此B不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出 x1 x2=-2＜0，则两根异号，可对A、C、D作出判断；根据两根之和及两根之积，可对B作出判断；即可得出答案。
8．（2018·贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
9．关于x的方程 的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A．2 B．±2 C．-2 D．-3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设原方程的两根为 ，则
由题意，得
∴
又∵
∴当k1=2时，△= 4<0，原方程无实根；
当k2= 2时，△=12>0，原方程有实根。
∴k= 2.
故答案为：C
【分析】设原方程的两根为 x1 、 x2 根据一元二次方程根与系数的关系则 x1+x2=4 k2 ； 又知此方程的两根互为相反数，故 x1+x2=0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再根据k的值是否满足根的判别式的值不为负数进行检验即可得出答案。
10．下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即 ，则a=c，
∴只有②是正确的，③没有实数根．
故答案为：B
【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
二、填空题
11．写出以2，﹣3为根的一元二次方程是 ．
【答案】(x-2)(x+3)=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设这样的方程为x2+bx+c=0，
则根据根与系数的关系，
可得：b=-（2-3）=1，c=2×（-3）=-6；
所以方程是x2+x-6=0．
故答案是：x2+x-6=0或(x-2)(x+3)=0
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出答案。
12．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．若 时，则 = ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，m= ，
故当x12-x22=0时，m= ．
故答案为：
【分析】由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，将方程x12-x22=0左边利用平方差公式分解因式为：（x1+x2）（x1-x2）=0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，若x1-x2=0，即x1=x2，根据方程有两个相等的实根，故原方程的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
13．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
【答案】-
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=- ．m+n=-2
∴ = = =-
【分析】根据题意可把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，求出mn和m+n的值，再将通分转化为，然后整体代入求值。
14．（2018·南京）设 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 ， ．
【答案】；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 、 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∵ ，
∴m=1，
∴
解得 =-2， =3.
故答案为：-2，3.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，得出m的值，从而将m的值代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案。
15．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 .
【答案】-1或-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意设“倍根方程” 的一个根为 ，另一根为 ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴ ，
∴ ，
化简整理得： ，解得 .
故答案为：-1或-4
【分析】根据倍根方程的定义，设方程的一个根为 α ，另一根为 2 α ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：α+2α= (m 2) ， 2α α= 2m，整理得出关于m的方程，求解得出m的值。
三、综合题
16．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2
【答案】（1）解：x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= × =
（2）解：（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= ﹣4× =
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1x2=，将代数式x12x2+x1x22利用提公因式法分解因式为： x1x2（x1+x2).再整体代入即可算出答案；
（2）利用完全平方公式的恒等变形将（x1﹣x2）2变为（x1+x2）2﹣4x1x2再整体代入即可算出答案。
17．（2018·井研模拟）已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值.
【答案】（1）解：∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2= ，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9× =2- ，
若2- =- 成立，
解上述方程得，k= ，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k= ，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值
（2）解：原式= ，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系式X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a求出关于K的代数式，再结合题意利用根的判别式求出K的求值进行判断。（2）化简代数式再利用已知条件判断实数k的整数值.
18．已知关于x的方程（ 的两根之和为 ，
两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：设方程的两根为 ，
则
解得
（2）解：当 时， ，
所以c=a.
当x=-1时，
即a+c-2b-c+a=0
所以a=b.
所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意列出关于 x 1 ， x 2的方程组，解方程组，就可求出方程的两根。
（2）分别将x=0和x=-1代入方程，得出a=b，a=c，就可得出a、b、c的关系，可得出结论。
19．已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（ ，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n= ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵α、β为方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的两个实数根，∴判别式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，
于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1
（2）解：∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β
（3）解：若使m+n成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（ ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β=1，
而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点
②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，
此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（ ，1），得 ≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得， ，于是β=2α，由 ，解得α= ，β= ，
又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， ）和点（ ， ），使m+n= 成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β=m+n+1，αβ=m，于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；
（2）利用求差法，及有理数的乘法法则，得出（1﹣α)(1﹣β）=1-(α+β）+αβ，再整体代入得出（1﹣α)(1﹣β)=-n≤0（n≥0），又α≤β，故α≤1≤β；
（3）若使m+n=成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，得 ≤α≤1，β=1，而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点故在BC边上存在满足条件的点；②当点M（α，β）在AC边上运动时，得α=1，1≤β≤2，此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；③当点M（α，β）在AB边上运动时，得 ≤α≤1，1≤β≤2，及方程组求解得出α，β的值，又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
1 / 12018-2019学年数学苏科版九年级上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、单选题
1．（2018·湘西）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
2．方程3x2－2＝1－4x的两个根的和为（ ）
A． B． C．－ D．－
3．（2018·泸县模拟）设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
4．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2018·咸宁）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1 B．x1 x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
6．（2018·遵义）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
7．（2018·泰州）已知 ， 是关于 的方程 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． ，
8．（2018·贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
9．关于x的方程 的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A．2 B．±2 C．-2 D．-3
10．下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．写出以2，﹣3为根的一元二次方程是 ．
12．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ．若 时，则 = ．
13．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则 .
14．（2018·南京）设 、 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 ， ．
15．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 .
三、综合题
16．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2
17．（2018·井研模拟）已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
（2）求使 的值为整数的实数k的整数值.
18．已知关于x的方程（ 的两根之和为 ，
两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△ABC的形状．
19．已知关于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤1≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（ ，1）、C（1，1），问是否存在点P，使m+n= ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和=-，建立方程求出结果。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】对于一元二次方程的两个根 和 ，则 ，将题目中的方程转化为一般式为： ，则两根之和为 ，
故答案为： D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，∴x1+x2=2．故答案为：A．
【分析】由一元二次方程的根据与系数的关系可得x1+x2=-=-=2.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，
∴x1x2=-k-1．
∵x1x2=-3，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1x2=-k-1．又x1x2=-3，故可得出关于k的方程，求解得出k的值。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+x2=﹣ =﹣1，x1x2=﹣ ，故A、B不符合题意；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，故C不符合题意；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1= ，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2 =﹣1，x1x2=﹣ ，根据有理数的加法法则，乘法法则，知x1、x2异号，且负数的绝对值大，根据方程根的概念，将x1代入一元二次方程得2x12+2x1﹣1=0，根据等式的性质，两边同时除以2得x12+x1= 。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，
x1x2=﹣3，
则x1+x2﹣3x1x2=5，
﹣b﹣3×（﹣3）=5，
解得：b=4．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的 关系，得出x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，然后再整体代入x1+x2﹣3x1x2=5，即可求出b的值。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】ACD、∵x1 x2=-2＜0
∴两个根异号，
∴A符合题意，C、D不符合题意
B、 x1+x2=a，a可能是正数也可能是负数，因此B不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得出 x1 x2=-2＜0，则两根异号，可对A、C、D作出判断；根据两根之和及两根之积，可对B作出判断；即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设原方程的两根为 ，则
由题意，得
∴
又∵
∴当k1=2时，△= 4<0，原方程无实根；
当k2= 2时，△=12>0，原方程有实根。
∴k= 2.
故答案为：C
【分析】设原方程的两根为 x1 、 x2 根据一元二次方程根与系数的关系则 x1+x2=4 k2 ； 又知此方程的两根互为相反数，故 x1+x2=0，从而列出关于k的方程，求解得出k的值，再根据k的值是否满足根的判别式的值不为负数进行检验即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即 ，则a=c，
∴只有②是正确的，③没有实数根．
故答案为：B
【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
11．【答案】(x-2)(x+3)=0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设这样的方程为x2+bx+c=0，
则根据根与系数的关系，
可得：b=-（2-3）=1，c=2×（-3）=-6；
所以方程是x2+x-6=0．
故答案是：x2+x-6=0或(x-2)(x+3)=0
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出答案。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，
由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去，
若x1-x2=0，即x1=x2
∴△=0，由（1）知，m= ，
故当x12-x22=0时，m= ．
故答案为：
【分析】由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1 x2=m2，将方程x12-x22=0左边利用平方差公式分解因式为：（x1+x2）（x1-x2）=0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m= ，若x1-x2=0，即x1=x2，根据方程有两个相等的实根，故原方程的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
13．【答案】-
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵两个不相等的实数m，n满足3m2-6m=4，3n2-6n=4，
∴可以把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，
∴mn=- ．m+n=-2
∴ = = =-
【分析】根据题意可把m，n看作是方程3x2-6x-4=0的两个根，求出mn和m+n的值，再将通分转化为，然后整体代入求值。
14．【答案】；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 、 是一元二次方程 的两个根，
∴ ，
∵ ，
∴m=1，
∴
解得 =-2， =3.
故答案为：-2，3.
【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，得出m的值，从而将m的值代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案。
15．【答案】-1或-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意设“倍根方程” 的一个根为 ，另一根为 ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴ ，
∴ ，
化简整理得： ，解得 .
故答案为：-1或-4
【分析】根据倍根方程的定义，设方程的一个根为 α ，另一根为 2 α ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：α+2α= (m 2) ， 2α α= 2m，整理得出关于m的方程，求解得出m的值。
16．【答案】（1）解：x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）= × =
（2）解：（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= ﹣4× =
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=，x1x2=，将代数式x12x2+x1x22利用提公因式法分解因式为： x1x2（x1+x2).再整体代入即可算出答案；
（2）利用完全平方公式的恒等变形将（x1﹣x2）2变为（x1+x2）2﹣4x1x2再整体代入即可算出答案。
17．【答案】（1）解：∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2= ，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9× =2- ，
若2- =- 成立，
解上述方程得，k= ，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k= ，
∴矛盾，
∴不存在这样k的值
（2）解：原式= ，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系式X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a求出关于K的代数式，再结合题意利用根的判别式求出K的求值进行判断。（2）化简代数式再利用已知条件判断实数k的整数值.
18．【答案】（1）解：设方程的两根为 ，
则
解得
（2）解：当 时， ，
所以c=a.
当x=-1时，
即a+c-2b-c+a=0
所以a=b.
所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意列出关于 x 1 ， x 2的方程组，解方程组，就可求出方程的两根。
（2）分别将x=0和x=-1代入方程，得出a=b，a=c，就可得出a、b、c的关系，可得出结论。
19．【答案】（1）解：∵α、β为方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的两个实数根，∴判别式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，
于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1
（2）解：∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β
（3）解：若使m+n成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，由B（ ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β=1，
而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点
②当点M（α，β）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，
此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，由A（1，2），B（ ，1），得 ≤α≤1，1≤β≤2，
由平面几何知识得， ，于是β=2α，由 ，解得α= ，β= ，
又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1， ）和点（ ， ），使m+n= 成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β=m+n+1，αβ=m，于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；
（2）利用求差法，及有理数的乘法法则，得出（1﹣α)(1﹣β）=1-(α+β）+αβ，再整体代入得出（1﹣α)(1﹣β)=-n≤0（n≥0），又α≤β，故α≤1≤β；
（3）若使m+n=成立，只需α+β=m+n+1= ，①当点M（α，β）在BC边上运动时，得 ≤α≤1，β=1，而α= ﹣β= ﹣1= ＞1，故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（ ，1）所以不符合题意舍去； 即在BC边上不存在满足条件的点故在BC边上存在满足条件的点；②当点M（α，β）在AC边上运动时，得α=1，1≤β≤2，此时β= ﹣α= ﹣1= ，又因为1＜ ＜2，故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1， ）；③当点M（α，β）在AB边上运动时，得 ≤α≤1，1≤β≤2，及方程组求解得出α，β的值，又因为 ＜ ＜1，1＜ ＜2，故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（ ， ）．
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