四川省成都市金牛区重点中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题（Word版含答案）

金牛区重点中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）
1．复数的模（ ）．
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）．
A． B． C． D．
3．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当时，，不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即，
则当时，
．
故当时，不等式成立．
则下列说法正确的是（ ）．
A．过程全部正确 B．当时的验证不正确
C．当时的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确
4．有一段演绎推理：所有的质数是奇数，2是质数，所以2是奇数．这段推理（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
5．定积分（ ）．
A． B． C． D．
6．函数的图象大致是（ ）．
A．B．C．D．
7．设等差数列的公差，且．记，用，d分别表示，，，并由此猜想（ ）．
A． B． C． D．
8．平行六面体中，，，点在平面ABCD内的射影是AC与BD的交点O，则异面直线与所成的角为（ ）．
A．90° B．60° C．45° D．30°
9．各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数表示在x进制下表达个数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是（ ）．
A．四进制 B．三进制 C．八进制 D．七进制
10．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥．“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以恭，其形露矣．”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知椭圆的左右焦点分别为，，第一象限内的点M在椭圆上，且满足，点N在线段，上，设，将沿MN翻折，使得平面与平面垂直，要使翻折后的长度最小，则（ ）．
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）
13．已知函数，则在点处的切线的斜率k＝______．
14．如图，在正方体中，直线和平面所成角的正弦值是_______．
15．历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足，且满足递推关系，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列，______．
16．若，关于x的不等式恒成立，则实数m的范围是______．
三、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知复数．
（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
（2）当时，且（表示的共轭复数），若，求z．
18．已知数列，为数列的前n项和．
（1）求，，，；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明．
19．如图，在长方体中，点E，F分别是，上的动点．
（1）若点E，F满足，，证明：在平面AEF内；
（2）若点E，F满足，．当，，时，求平面AEF与平面所成锐二面角的余弦值．
20．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕．为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥．两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中，）的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然），记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）需新建多少个桥墩才能使y最小？
21．函数．
（1）若，对一切恒成立，求a的最大值；
（2）证明：，其中e是自然对数的底数．
22．设函数．
（1）当时，判断函数在上的单调性；
（2）设，且，当时，判断在的极值点个数．
金牛区重点中学2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷（理科）（参考答案）
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C D A B D C C B D B A
二、填空题
13． 14． 15．1 16．
三、解答题
17．解：（1）若对应复平面上的点在第四象限，则，解得．
（2）当时，，则．
∴，∴．
18．解：（1），，，．
（2）猜想：．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即．
则当时，
左边
右边，
所以当时，等式成立，
由①②可知对于任意的时，
．
19．解：（1）法一：空间向量共线定理
分别以AB、AD、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设，，，
则，，，．
所以，．故．
所以，所以点在平面AEF内．
［方法二］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，，，，
所以，，．
故．所以点在平面AEF内．
［方法三］：
连接DE，，，则四边形为平行四边形，
设与EF相交于点O，则O为EF，的中点．连接，
由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，
则经过点O，故点在平面AEF内．还有其他方法酌情给分．
（2）（其他建系方法酌情给分）分别以AB、AD、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC．
由于，，，
则，，，，，．
所以，．设平面的法向量为，
所以，可取．
设，，又，由，
解得，∴．同理．
所以，．设平面AEF的法向量为，
所以，可取．
设平面AEF和平面所成的锐角为，则．
所以平面AEF和平面所成的锐角的余弦值为．
20．解：（1）由，得，
所以
．
（2）由（1）知，，
令，得，所以．
当时，，则在区间内为减函数；
当时，，则在区间内为增函数．
所以在处取得最小值，此时．
故需新建9个桥墩才能使y最小．
21．解：（1），又，
①当，恒成立，满足题意；
②当，令，，
当，，单调递减，
当，，单调递增；
所以在处取得极小值，即最小值．要使恒成立，即，
代入得，解得．
综上，∴a的最大值为1．（也可参变分离）
（2）由（1）知，时，，当时，两边取对数得，
由不等式对任意恒成立，当且仅当时，取“＝”号，
∴，恒成立．
令（，且）
则，
∴
，
即，∴．
22．解：（1）．
当时，，当时，．
∴当时，，当时，，
∴在单调递增，在单调递减．
（2）令，则，即．
设，则．
①当时，，，令，则，
令，则，
从而，所以单调递减．又，，
由零点存在定理可知存在唯一，使得．
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减；又，，
所以由零点存在定理可知存在唯一，使得．
即．
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增；
②当时，，则单调递减．
③当时，，则单调递增．
因为，，则在内有唯一零点，记为，
所以当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．综上可知，在上单调递减，
在上单调递增，上单调递减，上单调递增．
因为，则，即．
极小值．
由①的唯一性可知，，则，
，又极小值，
即，
当时，直线与函数的图象在上有三个交点，
从而有三个变号零点，即在上恰有三个极值点．
所以函数在上恰有三个极值点．