2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.3确定二次函数的表达式 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·前郭期末）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】如图，由题意可设抛物线的解析式为 ，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=x2
故答案为：C.
【分析】先设抛物线为 y=ax ，根据题意可得出A、B的坐标分别为 （-5，-4）、（5，-4），将A、B的坐标代入 y=ax ，解出a，即为所求解析式。
2．（2018九上·桐乡期中）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当 时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是
D．抛物线的对称轴是直线
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．
A.∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，故错误，A不符合题意；
B.∵ =- ，∴当x≥- 时，y随x的增大而增大，故错误，B不符合题意；
C.∵y=x2+5x+4= - ，∴二次函数的最小值是- ，故错误，C不符合题意；
D. ∵=- ，∴抛物线的对称轴是直线x=- ，故正确，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】由表中数据利用待定系数法可求得二次函数解析式为：y=x2+5x+4；由二次函数图象性质逐一分析即可得出答案.
3．（2019九上·北京期中）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，-4）代入解析式，
得-4=a×52，
解得a=- ，
所以y=- x2．
故答案为：C．
【分析】由图可知，抛物线的解析式可以设为y=ax2，将建立的平面直角坐标系中点A（-5，-4）或是点B（5，-4）的坐标代入解析式即可求得抛物线的解析式。
4．（2018·义乌）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故答案为：B．
【分析】根据定弦抛物线的对称轴及定弦抛物线的定义得出抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而利用交点式得出抛物线的解析式，并化为顶点式，再根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后观察四个答案的横坐标都是-3，故将x=-3代入新抛物线的解析式得出对应的函数值，从而得出答案。
5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为 （ ）
A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=- x2+ x+ ，∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.故答案为：B
【分析】由题意可知抛物线过点（-1，2），（0，15），（3，1），所以用待定系数法即可求解。
6．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法 为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻 在一定条件下，直杆的太阳影子长度 单位：米 与时 单位：时 的关系满足函数关系 （a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得 ，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=- = ≈13.33时，该地影子最短；
故答案为：C
【分析】由题意将三个点的坐标代入解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解析式，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。
7．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为（ ）
A．y＝－x2＋2x＋4 B．y＝－ax2－2ax－3(a＞0)
C．y＝－2x2－4x－5 D．y＝ax2－2ax＋a－3(a＜0)
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故不符合题意；
B、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a-3），故不符合题意；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故不符合题意；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意，可知所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下，因此求出各选项中的函数的顶点坐标，即可解答。
8．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华添加的条件是过点(3，0)；小彬添加的条件是过点(4，3)；小明添加的条件是a＝1；小颖添加的条件是抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人添加的条件中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线过(1，0)，对称轴是x=2，
∴ ，
解得a=1，b= 4，
∴y=x2 4x+3，
当x=3时，y=0，所以小华正确；
当x=4时，y=3，小彬也正确，
∵a=1，
∴小明也正确；
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1，0)，则可得另一点为( 1，0)或(3，0)，所以对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误.
故答案为：C.
【分析】先利用对称轴和点（1，0）求出抛物线的解析式，再将x=3、4分别代入函数解析式求出对应的函数值，就可判断四个人的说法是否正确。
9．（2018·宣化模拟）已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴ ，
解得：6≤c≤14，
故答案为：A．
【分析】根据图像过点A可列出关于b，c的二元一次方程，根据对称轴与线段BC与x轴交点的范围可列出关于b的不等式组，两者结合起来即可求得c的取值范围.
10．（2018·宁晋模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵F(2，2)，G(4，2)，
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H(3，1)点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为
把E(0，10)代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为
故答案为：C.
【分析】先由点F，G的坐标确定抛物线的对称轴，再结合点H的坐标可知点H为抛物线的顶点，从而可设出抛物线的解析式，所以两点之中必有点H的坐标，即可选得C.
11．若二次函数y=x2+bx+5，配方后为y=（x﹣3）2+k，则b与k的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣4 B．﹣6，4 C．6，4 D．6，﹣4
【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵y=（x﹣3）2+k=x2﹣6x+9+k=x2﹣6x+（9+k），
又∵y=x2+bx+5，
∴x2﹣6x+（9+k）=x2+bx+5，
∴b=﹣6，k=﹣4．
故选：A．
【分析】可将y=（x﹣3）2+k的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b、k的值．
12．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y （x﹣2）2+3 B．y= （x﹣2）2﹣3
C．y=﹣ （x﹣2）2+3 D．y=﹣ （x﹣2）2﹣3
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（2，3）
故二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+3
将点（0，1）代入可得，1=a（0﹣2）2+3，
解得，a=﹣ ，
∴这个二次函数的解析式为：y= （x﹣2）2+3．
故选C．
【分析】设解析式为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，代入顶点坐标和点（0，1）可得结果．
13．通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（ ）
A．y=a（x+ ）2+ B．y=a（x﹣ ）2+
C．y=a（x+ ）2+ D．y=a（x﹣ ）2+
【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：y=ax2+bx+c
=a（x2+ x）+c
=a（x2+ x+ ）+c﹣a
=a（x+ ）2+
故选：A．
【分析】先提取公因式a，然后再利用配方法将原式变形为y=a（x+ ）2+ ．
14．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
所以a+b+c=1﹣6+5=0
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，即可得出a+b+c的值。
15．已知一个二次函数，当x=1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=﹣2x2相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4
C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=﹣2x2相同，
故设该二次函数的解析为y=﹣2（x﹣h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵当x=1时，y有最大值8，
∴该二次函数的顶点为（1，8），
∴h=1，k=8，
∴该二次函数的解析为y=﹣2（x﹣1）2+8，
即y=﹣2x+4x+6，
故答案为：D．
【分析】根据已知二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=﹣2x2相同，可设该二次函数的解析为y=﹣2（x﹣h）2+k，再根据当x=1时，y有最大值8，得出其顶点坐标为（1，8），就可求出该二次函数解析式。
二、填空题
16．（2018九上·杜尔伯特期末）抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为： ．
【答案】y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】∵抛物线与x轴交于点（1，0），（-3，0），
∴设该抛物线解析式为：y=a（x-1）（x+3）（a≠0）．
故答案为：y=a（x-1）（x+3）（a≠0）．
【分析】根据所给的两个点的纵坐标都为零可设两根式二次函数的形式，代入横坐标即可确定得出结论.
17．（2019九上·杭州月考）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与 轴的一个交点为 ，那么它对应的函数解析式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3，0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为：
【分析】由题意可将点（3，0）代入解析式得到关于b、c的方程，再根据对称轴x=1=可得关于b、c的方程，联立解方程组即可求解。
18．（2018九上·长兴月考）已知关于x的二次函数y=3x2+2x+m+1的图象经过点(1，6)，则m的值为 .
【答案】0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】二次函数y=3x2+2x+m+1的图像经过点（1,6）
∴3+2+m+1=6
解之：m=0
故答案为：0
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，求解即可。
19．（2019九上·房山期中）请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，-1）的二次函数的解析式 ．
【答案】y=x2+2x-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意得：y=x2+2x-1，
故答案为：y=x2+2x-1.
【分析】根据题意，设出二次函数解析式，将坐标代入，可求出解析式中的系数。
20．（2018九上·黄冈月考）若抛物线 上有点 ，且当 时， 有最大值 ，则 ， ， ．
【答案】；-2；3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵x=－2时，y有最大值3，
∴h=－2，k=3，
又∵抛物线过点A（2，1），
∴代入抛物线得1=a(2+2)2+3，求得a=－ ，
∴a=－ ，h=－2，k=3.
【分析】根据当 x= 2时，y 有最大值3，可得出h、k的值，再将点A代入函数解析式，就可得出a、h、k的值。
21．抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=1：2：3，y最小值为6，则此抛物线的解析式为 ．
【答案】y=3x2+6x+9
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】因为a：b：c=1：2：3，则抛物线的解析式 ，根据顶点坐标公式可得：y的最值为 ，则可得： ，解得 (舍去)，所以抛物线的解析式为： ，故答案为：
【分析】由a：b：c=1：2：3，y最小值为6，可得出a＞0，b=2a，c=3a，利用顶点坐标公式，列方程求解即可。
三、解答题
22．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
【答案】（1）解：把点A（2，1）代入y=a（x﹣3）2﹣1，得
1=a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1=a﹣1，
解得 a=2．
则平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1
（2）解：由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x=0，则y=1．
故B（0，1），
∴BM=
∴S△BPM= BM yP= × ×1= ．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求出a值，即可得出结果。
（2）利用平移后的函数解析式求出点M的坐标，再求出平移前的函数解析式，就可求出顶点P的坐标，然后求出点B的坐标及MB的长，再利用三角形的面积公式可求解。
23．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出 关于点O成中心对称的 ，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式
【答案】（1）解：如图，点 ；
（2）解：设二次函数的关系式是 ，
把（4，2）代入得 ， ．
即：二次函数关系式是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得出点A1、B1的坐标，再描点连线，即可解答。
（2）已知点B1为顶点，因此设二次函数解析式为顶点式，再将点B的坐标代入可求出函数解析式。
24．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y= x2+bx﹣ 的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解: ∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴ x2+bx﹣ =1，解得：b=﹣ ，
∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x﹣
y= x2﹣ x﹣ = （x2﹣ x+ ﹣ ）﹣ = （x﹣ ）2﹣
（2）解: 作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC．
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAK=90°．
又∵∠CAK+∠ACK=90°，
∴∠BAO=∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA=∠AKC，∠BAO=∠ACK，AB=AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA=CK=1，OB=AK=2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2= m2﹣ m﹣ ，解得m=﹣3（舍去）或m= ．
∴AB= = ．
∴△ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH= ×2+ × × =9.5
（3）解: 当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，∠PBA=90°．
∴∠PBG+∠BAO=90°．
又∵∠PBG+∠BPG=90°，
∴∠BAO=∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA=∠PGB，∠BAO=∠BPG，AB=PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG=OB=2，AO=BG=1，
∴P（﹣2，1）．
当x=﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP=OA=1，AF=OB=2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x=﹣1时，y=﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意把
点C（3，1） 代入解析式可求得抛物线的解析式；再根据
可将解析式配成顶点式；
（2） 作CK⊥x轴，垂足为K． 由平移的性质和已知条件易证 △BAO≌△ACK ，所以 OA=CK，OB=AK，则点A、B的坐标可求解；平移的性质 D（m，2） ，点D在抛物线上，把点D的坐标代入抛物线的解析式可求得点D的坐标，用勾股定理可求得AB的长，所以由图知 △ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论求解：① 当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G． 由题意易证 △BPG≌△ABO，所以PG=OB，AO=BG ；则点P的坐标可求解；把求得的点P的坐标代入抛物线的解析式计算即可判断点P是否在抛物线上；
②当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．同理可证：△PAF≌△ABO，FP=OA，AF=OB ，可得点P的坐标，把求得的点P的坐标代入抛物线的解析式计算即可判断点P是否在抛物线上。
25．如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
【答案】（1）解: ∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，
∴CD=AB=1、OA=OC=2，
则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+
（2）解: 如图，
∵OA=2，AB=1，
∴B（2，1），
∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，
∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D（﹣1，2），
∴点Q坐标为（ ， ），
设直线OP解析式为y=kx，
将点Q坐标代入，得： k= ，
解得：k=3，
∴直线OP的解析式为y=3x，
代入y=﹣ x2+ x+ ，得：﹣ x2+ x+ =3x，
解得：x=1或x=﹣4，
当x=1时，y=3，
当x=﹣4时，y=﹣12，
∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得
CD=AB=1、OA=OC=2 ；即B、D的坐标可求解为：
点B（2，1）、D（﹣1，2）；用待定系数法即可求二次函数的解析式；
（2）由（1）用勾股定理可求得OB=OD，若
直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，则BQ=DQ，即点Q为线段BD的中点，由中点坐标公式可求得点Q的坐标为（ ， ）；则直线OP的解析式可求解，再将直线OQ和抛物线的解析式联立解方程组即可求得点P的坐标。
26．（2018九上·柯桥月考）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），且经过点（4，-5）．
（1）求该二次函数表达式；
（2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）若二次函数的图象平移后经过原点，请直接写出两种不同的平移方案．
【答案】（1）解： ∵ 二次函数图象的顶点坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4
∵二次函数图象经过点（4，-5）
∴a(4-1）2+4=-5
解之：a=-1
∴此函数解析式为：y=-（x-1）2+4
（2）解： 由（1）可知二次函数的对称轴为直线x=1
∵a=-1＜0
∴抛物线的开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小
∴当x≥1时y随x的增大而减小
（3）解： ∵二次函数y=-（x-1）2+4平移后经过原点
∴y=-（x-1+1）2+4-4，即y=x2
∴ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位 ；
∵y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
若平移后的函数解析式为：y=-x2+2x=-（x-1）2+1时，图像过原点
∴y=-（x-1）2+4-3=-（x-1）2+1
∴向下平移3个单位
∵y=-（x-1-1）2+4=x2+4x
∴ 向右平移1个单位
∵y=-（x-1+3）2+4=x2-4x
∴ 向左平移3个单位
∴ 二次函数的图象平移后经过原点 ，平移方案有： ①向左平移1个单位，再向下平移4个单位；②向下平移3个单位；③向右平移1个单位；④向左平移3个单位等等。
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标，因此设二次函数解析式为顶点式，再将点（4，-5）代入，即可求解。
（2）利用（1）中的函数解析式，可得出对称轴，再利用二次函数的增减性，就可得出答案。
（3）利用二次函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，要使平移后的图像经过原点，因此平移后的c的值一定为0，写出平移方案即可。
27．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，﹣5），B（1，﹣3），C（﹣1，11）三点，求抛物线的顶点坐标及对称轴．
【答案】解：由题意得
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=9x2﹣7x﹣5；
∴，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由题意用待定系数法即可求得抛物线的解析式；直接代入对称轴及顶点坐标公式可求解。
28．（2018九上·大石桥期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a +9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=-1，y=- +9=-x2+4x+5，
（2）解：当y=0时，-x2+4x+5=0，∴x1=-1，x2=5，
∴E（-1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m=-1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=-x+5；
设P（x，-x2+4x+5），∴D（x，-x+5），
∴PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x，
∵AC=4，
∴S四边形APCD= ×AC×PD=2（-x2+5x）=-2x2+10x，
∴当x= 时，
∴S四边形APCD最大= ，
（3）解：如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（-1，0），
∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，
∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26
∵MN=AE
∴MN2=AE2，
∴MN2=（2-1）2+[8-（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N=M2N，
∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=-7，
∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
【知识点】二次函数的最值；二次函数的三种形式；三角形全等的判定；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先利用待定系数法求解出二次函数的顶点式，化简后，可得二次函数的一般式；
（2）根据图形可知，四边形APCD的面积为△APC和△ACD的面积之和，由题意可知AC可作为三角形的底边，PD为两个三角形的高的和，利用二次函数的性质和一次函数的相关知识，确定出AC、PD的长度，面积与AC、PD的关系，并根据函数的最值的确定，可解出答案。
（3）根据题意，MN∥AE，借助原二次函数对称轴与y轴平行，构建△HMN≌△OEA，借助全等三角形对应边相等，利用MH=OE，确定出M的坐标，根据MN与AE平行，列出MN对应的一次函数（含未知数），并确定N点的坐标（含未知数），再根据△HMN与△OEA均为直角三角形，结合勾股定理，求解出N点坐标中的未知数，即可得出答案。
29．（2019九上·光明期中）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，在抛物线对称轴上取两个点G、H（G在H的上方），且满足GH=1，连接CG，AH，求四边形CGHA的周长的最小值；
（3）如图3，点P是抛物线第一象限的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点D，PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+ x+2.
（2）解：∵y=- x2+ x+2=- （x- ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x= ．
如图2，
在y轴上截取CC′=GH（点C′在点C的下方），连接BC′交抛物线对称轴于点H．
∵CC′∥GH，
∴四边形CC′HG为平行四边形，
∴C′H=CG．
又∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴BH=AH，
∴AH+CG=BH+C′H=BC′，即此时四边形CGHA的周长取最小值．
∵点C的坐标为（0，2），GH=1，
∴点C′的坐标为（0，1）．
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AC= = ，BC′= = ，
∴四边形CGHA的周长的最小值=AC+BC′+GH= + +1．
（3）解：设直线BC的函数表达式为y=kx+d（k≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入y=kx+d，得： ，
解得： ，
∴直线BC的函数表达式为y=- x+2．
设点P的坐标为（m，- m2+ m+2）（0＜m＜4），则点D的坐标为（m，- m+2），
∴PD=- m2+ m+2-（- m+2）=- m2+2m．
∵PE⊥BC，PQ⊥x轴，
∴∠PED=∠BQD=90°．
∵∠PDE=∠BDQ，
∴∠DPE=∠DBQ，
∴tan∠DPE= ，
∴PE=2DE，PD= DE，
∴S= DE PE= × PD× PD= PD2．
∵在PD=- m2+2m=- （m-2）2+2中，- ＜0，
∴当m=2时，PD取最大值，最大值为2，
∴当点P的坐标为（2，3）时，S取最大值，最大值为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标，代入抛物线关系式，可解出函数表达式。
（2）根据题意，可得知满足四边形周长最小值的条件 AH+CG=BH+C′H=BC′ ，求出AC、 BC′ 的长度，得出最小值即可。
（3）设出BC的函数表达式，利用待定系数法求出解析式，设出P、D的坐标，根据面积的表示方式，可得出S最大值时的P点坐标。
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册2.3确定二次函数的表达式 同步练习
一、单选题
1．（2018九上·前郭期末）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=
2．（2018九上·桐乡期中）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当 时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是
D．抛物线的对称轴是直线
3．（2019九上·北京期中）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·义乌）若抛物线 与 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A． B． C． D．
5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为 （ ）
A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m
6．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法 为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻 在一定条件下，直杆的太阳影子长度 单位：米 与时 单位：时 的关系满足函数关系 （a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A． B．13 C． D．
7．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为（ ）
A．y＝－x2＋2x＋4 B．y＝－ax2－2ax－3(a＞0)
C．y＝－2x2－4x－5 D．y＝ax2－2ax＋a－3(a＜0)
8．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华添加的条件是过点(3，0)；小彬添加的条件是过点(4，3)；小明添加的条件是a＝1；小颖添加的条件是抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人添加的条件中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2018·宣化模拟）已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（2018·宁晋模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
11．若二次函数y=x2+bx+5，配方后为y=（x﹣3）2+k，则b与k的值分别为（ ）
A．﹣6，﹣4 B．﹣6，4 C．6，4 D．6，﹣4
12．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y （x﹣2）2+3 B．y= （x﹣2）2﹣3
C．y=﹣ （x﹣2）2+3 D．y=﹣ （x﹣2）2﹣3
13．通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（ ）
A．y=a（x+ ）2+ B．y=a（x﹣ ）2+
C．y=a（x+ ）2+ D．y=a（x﹣ ）2+
14．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，12），（0，5）和（2，﹣3），则a+b+c的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．1
15．已知一个二次函数，当x=1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=﹣2x2相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4
C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6
二、填空题
16．（2018九上·杜尔伯特期末）抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为： ．
17．（2019九上·杭州月考）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与 轴的一个交点为 ，那么它对应的函数解析式是 ．
18．（2018九上·长兴月考）已知关于x的二次函数y=3x2+2x+m+1的图象经过点(1，6)，则m的值为 .
19．（2019九上·房山期中）请写出一个开口向上，且与y轴交于（0，-1）的二次函数的解析式 ．
20．（2018九上·黄冈月考）若抛物线 上有点 ，且当 时， 有最大值 ，则 ， ， ．
21．抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=1：2：3，y最小值为6，则此抛物线的解析式为 ．
三、解答题
22．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
23．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出 关于点O成中心对称的 ，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点B的二次函数关系式
24．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y= x2+bx﹣ 的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
26．（2018九上·柯桥月考）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，4），且经过点（4，-5）．
（1）求该二次函数表达式；
（2）直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）若二次函数的图象平移后经过原点，请直接写出两种不同的平移方案．
27．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，﹣5），B（1，﹣3），C（﹣1，11）三点，求抛物线的顶点坐标及对称轴．
28．（2018九上·大石桥期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
29．（2019九上·光明期中）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，在抛物线对称轴上取两个点G、H（G在H的上方），且满足GH=1，连接CG，AH，求四边形CGHA的周长的最小值；
（3）如图3，点P是抛物线第一象限的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点D，PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】如图，由题意可设抛物线的解析式为 ，
∵由题意可知点A、B的坐标分别为（-5，-4）、（5，-4），且抛物线过点A、B，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=x2
故答案为：C.
【分析】先设抛物线为 y=ax ，根据题意可得出A、B的坐标分别为 （-5，-4）、（5，-4），将A、B的坐标代入 y=ax ，解出a，即为所求解析式。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入二次函数y=ax2+bx+c中，
得：，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．
A.∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，故错误，A不符合题意；
B.∵ =- ，∴当x≥- 时，y随x的增大而增大，故错误，B不符合题意；
C.∵y=x2+5x+4= - ，∴二次函数的最小值是- ，故错误，C不符合题意；
D. ∵=- ，∴抛物线的对称轴是直线x=- ，故正确，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】由表中数据利用待定系数法可求得二次函数解析式为：y=x2+5x+4；由二次函数图象性质逐一分析即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：依题意设抛物线解析式y=ax2，
把B（5，-4）代入解析式，
得-4=a×52，
解得a=- ，
所以y=- x2．
故答案为：C．
【分析】由图可知，抛物线的解析式可以设为y=ax2，将建立的平面直角坐标系中点A（-5，-4）或是点B（5，-4）的坐标代入解析式即可求得抛物线的解析式。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故答案为：B．
【分析】根据定弦抛物线的对称轴及定弦抛物线的定义得出抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而利用交点式得出抛物线的解析式，并化为顶点式，再根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，然后观察四个答案的横坐标都是-3，故将x=-3代入新抛物线的解析式得出对应的函数值，从而得出答案。
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，由已知，函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，易求其解析式为y=- x2+ x+ ，∵丁头顶的横坐标为1.5，∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.故答案为：B
【分析】由题意可知抛物线过点（-1，2），（0，15），（3，1），所以用待定系数法即可求解。
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
，解得 ，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=- = ≈13.33时，该地影子最短；
故答案为：C
【分析】由题意将三个点的坐标代入解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解析式，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故不符合题意；
B、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a-3），故不符合题意；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故不符合题意；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意，可知所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下，因此求出各选项中的函数的顶点坐标，即可解答。
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线过(1，0)，对称轴是x=2，
∴ ，
解得a=1，b= 4，
∴y=x2 4x+3，
当x=3时，y=0，所以小华正确；
当x=4时，y=3，小彬也正确，
∵a=1，
∴小明也正确；
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1，0)，则可得另一点为( 1，0)或(3，0)，所以对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误.
故答案为：C.
【分析】先利用对称轴和点（1，0）求出抛物线的解析式，再将x=3、4分别代入函数解析式求出对应的函数值，就可判断四个人的说法是否正确。
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴ ，
解得：6≤c≤14，
故答案为：A．
【分析】根据图像过点A可列出关于b，c的二元一次方程，根据对称轴与线段BC与x轴交点的范围可列出关于b的不等式组，两者结合起来即可求得c的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵F(2，2)，G(4，2)，
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H(3，1)点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为
把E(0，10)代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为
故答案为：C.
【分析】先由点F，G的坐标确定抛物线的对称轴，再结合点H的坐标可知点H为抛物线的顶点，从而可设出抛物线的解析式，所以两点之中必有点H的坐标，即可选得C.
11．【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：∵y=（x﹣3）2+k=x2﹣6x+9+k=x2﹣6x+（9+k），
又∵y=x2+bx+5，
∴x2﹣6x+（9+k）=x2+bx+5，
∴b=﹣6，k=﹣4．
故选：A．
【分析】可将y=（x﹣3）2+k的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b、k的值．
12．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（2，3）
故二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+3
将点（0，1）代入可得，1=a（0﹣2）2+3，
解得，a=﹣ ，
∴这个二次函数的解析式为：y= （x﹣2）2+3．
故选C．
【分析】设解析式为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，代入顶点坐标和点（0，1）可得结果．
13．【答案】A
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：y=ax2+bx+c
=a（x2+ x）+c
=a（x2+ x+ ）+c﹣a
=a（x+ ）2+
故选：A．
【分析】先提取公因式a，然后再利用配方法将原式变形为y=a（x+ ）2+ ．
14．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
所以a+b+c=1﹣6+5=0
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，即可得出a+b+c的值。
15．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=﹣2x2相同，
故设该二次函数的解析为y=﹣2（x﹣h）2+k，
∴该函数的顶点坐标为：（h，k），
又∵当x=1时，y有最大值8，
∴该二次函数的顶点为（1，8），
∴h=1，k=8，
∴该二次函数的解析为y=﹣2（x﹣1）2+8，
即y=﹣2x+4x+6，
故答案为：D．
【分析】根据已知二次函数的图象的形状、开口方向与抛物线y=﹣2x2相同，可设该二次函数的解析为y=﹣2（x﹣h）2+k，再根据当x=1时，y有最大值8，得出其顶点坐标为（1，8），就可求出该二次函数解析式。
16．【答案】y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）
【知识点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】∵抛物线与x轴交于点（1，0），（-3，0），
∴设该抛物线解析式为：y=a（x-1）（x+3）（a≠0）．
故答案为：y=a（x-1）（x+3）（a≠0）．
【分析】根据所给的两个点的纵坐标都为零可设两根式二次函数的形式，代入横坐标即可确定得出结论.
17．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3，0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为：
【分析】由题意可将点（3，0）代入解析式得到关于b、c的方程，再根据对称轴x=1=可得关于b、c的方程，联立解方程组即可求解。
18．【答案】0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】二次函数y=3x2+2x+m+1的图像经过点（1,6）
∴3+2+m+1=6
解之：m=0
故答案为：0
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，建立关于m的方程，求解即可。
19．【答案】y=x2+2x-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意得：y=x2+2x-1，
故答案为：y=x2+2x-1.
【分析】根据题意，设出二次函数解析式，将坐标代入，可求出解析式中的系数。
20．【答案】；-2；3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】∵x=－2时，y有最大值3，
∴h=－2，k=3，
又∵抛物线过点A（2，1），
∴代入抛物线得1=a(2+2)2+3，求得a=－ ，
∴a=－ ，h=－2，k=3.
【分析】根据当 x= 2时，y 有最大值3，可得出h、k的值，再将点A代入函数解析式，就可得出a、h、k的值。
21．【答案】y=3x2+6x+9
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】因为a：b：c=1：2：3，则抛物线的解析式 ，根据顶点坐标公式可得：y的最值为 ，则可得： ，解得 (舍去)，所以抛物线的解析式为： ，故答案为：
【分析】由a：b：c=1：2：3，y最小值为6，可得出a＞0，b=2a，c=3a，利用顶点坐标公式，列方程求解即可。
22．【答案】（1）解：把点A（2，1）代入y=a（x﹣3）2﹣1，得
1=a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1=a﹣1，
解得 a=2．
则平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1
（2）解：由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x=0，则y=1．
故B（0，1），
∴BM=
∴S△BPM= BM yP= × ×1= ．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，求出a值，即可得出结果。
（2）利用平移后的函数解析式求出点M的坐标，再求出平移前的函数解析式，就可求出顶点P的坐标，然后求出点B的坐标及MB的长，再利用三角形的面积公式可求解。
23．【答案】（1）解：如图，点 ；
（2）解：设二次函数的关系式是 ，
把（4，2）代入得 ， ．
即：二次函数关系式是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得出点A1、B1的坐标，再描点连线，即可解答。
（2）已知点B1为顶点，因此设二次函数解析式为顶点式，再将点B的坐标代入可求出函数解析式。
24．【答案】（1）解: ∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴ x2+bx﹣ =1，解得：b=﹣ ，
∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x﹣
y= x2﹣ x﹣ = （x2﹣ x+ ﹣ ）﹣ = （x﹣ ）2﹣
（2）解: 作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC．
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAK=90°．
又∵∠CAK+∠ACK=90°，
∴∠BAO=∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA=∠AKC，∠BAO=∠ACK，AB=AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA=CK=1，OB=AK=2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2= m2﹣ m﹣ ，解得m=﹣3（舍去）或m= ．
∴AB= = ．
∴△ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH= ×2+ × × =9.5
（3）解: 当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，∠PBA=90°．
∴∠PBG+∠BAO=90°．
又∵∠PBG+∠BPG=90°，
∴∠BAO=∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA=∠PGB，∠BAO=∠BPG，AB=PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG=OB=2，AO=BG=1，
∴P（﹣2，1）．
当x=﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP=OA=1，AF=OB=2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x=﹣1时，y=﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意把
点C（3，1） 代入解析式可求得抛物线的解析式；再根据
可将解析式配成顶点式；
（2） 作CK⊥x轴，垂足为K． 由平移的性质和已知条件易证 △BAO≌△ACK ，所以 OA=CK，OB=AK，则点A、B的坐标可求解；平移的性质 D（m，2） ，点D在抛物线上，把点D的坐标代入抛物线的解析式可求得点D的坐标，用勾股定理可求得AB的长，所以由图知 △ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH可求解；
（3）由题意可分两种情况讨论求解：① 当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G． 由题意易证 △BPG≌△ABO，所以PG=OB，AO=BG ；则点P的坐标可求解；把求得的点P的坐标代入抛物线的解析式计算即可判断点P是否在抛物线上；
②当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．同理可证：△PAF≌△ABO，FP=OA，AF=OB ，可得点P的坐标，把求得的点P的坐标代入抛物线的解析式计算即可判断点P是否在抛物线上。
25．【答案】（1）解: ∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，
∴CD=AB=1、OA=OC=2，
则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+
（2）解: 如图，
∵OA=2，AB=1，
∴B（2，1），
∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，
∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D（﹣1，2），
∴点Q坐标为（ ， ），
设直线OP解析式为y=kx，
将点Q坐标代入，得： k= ，
解得：k=3，
∴直线OP的解析式为y=3x，
代入y=﹣ x2+ x+ ，得：﹣ x2+ x+ =3x，
解得：x=1或x=﹣4，
当x=1时，y=3，
当x=﹣4时，y=﹣12，
∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得
CD=AB=1、OA=OC=2 ；即B、D的坐标可求解为：
点B（2，1）、D（﹣1，2）；用待定系数法即可求二次函数的解析式；
（2）由（1）用勾股定理可求得OB=OD，若
直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，则BQ=DQ，即点Q为线段BD的中点，由中点坐标公式可求得点Q的坐标为（ ， ）；则直线OP的解析式可求解，再将直线OQ和抛物线的解析式联立解方程组即可求得点P的坐标。
26．【答案】（1）解： ∵ 二次函数图象的顶点坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4
∵二次函数图象经过点（4，-5）
∴a(4-1）2+4=-5
解之：a=-1
∴此函数解析式为：y=-（x-1）2+4
（2）解： 由（1）可知二次函数的对称轴为直线x=1
∵a=-1＜0
∴抛物线的开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小
∴当x≥1时y随x的增大而减小
（3）解： ∵二次函数y=-（x-1）2+4平移后经过原点
∴y=-（x-1+1）2+4-4，即y=x2
∴ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位 ；
∵y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
若平移后的函数解析式为：y=-x2+2x=-（x-1）2+1时，图像过原点
∴y=-（x-1）2+4-3=-（x-1）2+1
∴向下平移3个单位
∵y=-（x-1-1）2+4=x2+4x
∴ 向右平移1个单位
∵y=-（x-1+3）2+4=x2-4x
∴ 向左平移3个单位
∴ 二次函数的图象平移后经过原点 ，平移方案有： ①向左平移1个单位，再向下平移4个单位；②向下平移3个单位；③向右平移1个单位；④向左平移3个单位等等。
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标，因此设二次函数解析式为顶点式，再将点（4，-5）代入，即可求解。
（2）利用（1）中的函数解析式，可得出对称轴，再利用二次函数的增减性，就可得出答案。
（3）利用二次函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，要使平移后的图像经过原点，因此平移后的c的值一定为0，写出平移方案即可。
27．【答案】解：由题意得
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=9x2﹣7x﹣5；
∴，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】由题意用待定系数法即可求得抛物线的解析式；直接代入对称轴及顶点坐标公式可求解。
28．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a +9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5，
∴a=-1，y=- +9=-x2+4x+5，
（2）解：当y=0时，-x2+4x+5=0，∴x1=-1，x2=5，
∴E（-1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m=-1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=-x+5；
设P（x，-x2+4x+5），∴D（x，-x+5），
∴PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x，
∵AC=4，
∴S四边形APCD= ×AC×PD=2（-x2+5x）=-2x2+10x，
∴当x= 时，
∴S四边形APCD最大= ，
（3）解：如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（-1，0），
∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，
∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26
∵MN=AE
∴MN2=AE2，
∴MN2=（2-1）2+[8-（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N=M2N，
∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=-7，
∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
【知识点】二次函数的最值；二次函数的三种形式；三角形全等的判定；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先利用待定系数法求解出二次函数的顶点式，化简后，可得二次函数的一般式；
（2）根据图形可知，四边形APCD的面积为△APC和△ACD的面积之和，由题意可知AC可作为三角形的底边，PD为两个三角形的高的和，利用二次函数的性质和一次函数的相关知识，确定出AC、PD的长度，面积与AC、PD的关系，并根据函数的最值的确定，可解出答案。
（3）根据题意，MN∥AE，借助原二次函数对称轴与y轴平行，构建△HMN≌△OEA，借助全等三角形对应边相等，利用MH=OE，确定出M的坐标，根据MN与AE平行，列出MN对应的一次函数（含未知数），并确定N点的坐标（含未知数），再根据△HMN与△OEA均为直角三角形，结合勾股定理，求解出N点坐标中的未知数，即可得出答案。
29．【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+ x+2.
（2）解：∵y=- x2+ x+2=- （x- ）2+ ，
∴抛物线的对称轴为直线x= ．
如图2，
在y轴上截取CC′=GH（点C′在点C的下方），连接BC′交抛物线对称轴于点H．
∵CC′∥GH，
∴四边形CC′HG为平行四边形，
∴C′H=CG．
又∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴BH=AH，
∴AH+CG=BH+C′H=BC′，即此时四边形CGHA的周长取最小值．
∵点C的坐标为（0，2），GH=1，
∴点C′的坐标为（0，1）．
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AC= = ，BC′= = ，
∴四边形CGHA的周长的最小值=AC+BC′+GH= + +1．
（3）解：设直线BC的函数表达式为y=kx+d（k≠0），
将B（4，0），C（0，2）代入y=kx+d，得： ，
解得： ，
∴直线BC的函数表达式为y=- x+2．
设点P的坐标为（m，- m2+ m+2）（0＜m＜4），则点D的坐标为（m，- m+2），
∴PD=- m2+ m+2-（- m+2）=- m2+2m．
∵PE⊥BC，PQ⊥x轴，
∴∠PED=∠BQD=90°．
∵∠PDE=∠BDQ，
∴∠DPE=∠DBQ，
∴tan∠DPE= ，
∴PE=2DE，PD= DE，
∴S= DE PE= × PD× PD= PD2．
∵在PD=- m2+2m=- （m-2）2+2中，- ＜0，
∴当m=2时，PD取最大值，最大值为2，
∴当点P的坐标为（2，3）时，S取最大值，最大值为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标，代入抛物线关系式，可解出函数表达式。
（2）根据题意，可得知满足四边形周长最小值的条件 AH+CG=BH+C′H=BC′ ，求出AC、 BC′ 的长度，得出最小值即可。
（3）设出BC的函数表达式，利用待定系数法求出解析式，设出P、D的坐标，根据面积的表示方式，可得出S最大值时的P点坐标。
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