初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题1 直角三角形的性质
一、单选题
1．（2020八上·桐城期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A-∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=3：4：7
C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A=9°，∠B=81°
2．（2018八上·龙湖期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
3．（2019八下·织金期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是 （ ）
A． B． C． D． .
4．（2019八上·阳信开学考）如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为（ ）
A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m
5．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
6．如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
7．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
8．（2020八下·临汾月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B． ， ，
C．6，8，10 D．1.5，2，2.5
9．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
10．（2018八上·衢州期中）如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则 BC 的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
11．（2020八下·西安月考）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=10cm，c=8cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．9cm2 B．18cm2 C．24cm D．36cm2
12．（2020八下·西安月考）将一根长为25厘米的筷子至于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子漏在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤12
二、填空题
13．（2019八上·鄞州期中）在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B= .
14．（2020八上·嘉兴期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=6cm，则CD的长为 cm.
15．（2020八上·乌拉特前旗期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，若AB=8，则BD= ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
17．（2017八上·深圳期中）如图，作一个长方形，以数轴的原点为中心，长方形对角线为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
18．如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为 cm．
三、计算题
19．（2019八上·成都开学考）在 Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c．若
a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
四、解答题
20．（2021八上·武汉期末）如图， 中， ，CD是 的高， ， ，求BD长．
21．（2017八上·大石桥期中）如图 ，小明在A处看见前面山上有个气象站，测得仰角为15°（即∠CAB=15°），当笔直向山行6千米时，小明看气象站测得仰角为30°（即∠CBD=30°）.你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
23．如图∠B=∠ACD=90°， AD=13，CD=12， BC=3，则AB的长是多少
五、综合题
24．（2017八上·江海月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等．
25．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
26．（2019八上·凤翔期中）如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A．∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠B+∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，∴∠C=180°× =90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠A=180°× ＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A=9°，∠B=81°，∴∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形有一个角等于90°，对每个选项一一判断即可作答。
2．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三条高的交点恰好为三角形的顶点
∴该三角形为直角三角形
故答案为：C。
【分析】根据直角三角形的性质即可进行判断：如果一个三角形的三条高的交点在三角形的一个顶点处，则此三角形为直角三角形，即可得出正确答案。
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6，进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点
∴DE=AD==1.85.
故答案为：C。
【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是5，
∴c2=5，
∴a2+b2=c2=5，
∵直角三角形的面积是 =1，
又∵直角三角形的面积是 ab=1，
∴ab=2，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=5+2×2=5+4=9．
故选：B．
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
【分析】将（a+b）2﹣c2=2ab转化为a2+b2=c2，可判断得出三角形的形状。
8．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.因为0.32+0.42=0.52，0.3，0.4，0.5能组成直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是正整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故A错误；
B.因为（）2+（）2 =（）2，，，能组成直角三角形，但，，不是正整数，所以，，不是勾股数，故B错误；
C.因为62+82=102，所以正整数6，8，10能组成直角三角形，所以6，8，10是勾股数，故C正确；
D.因为1.52+22=2.52，1.5，2，2.5能组成直角三角形，但1.5，2，2.5不是正整数，所以1.5，2，2.5不是勾股数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】勾股数是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数，据此判断即可。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在△ACD中，AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∵CD=4，AD=3，
∴由勾股定理得：AC=，
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，
∴由勾股定理得：BC=。
【分析】在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，然后在直角三角形ABC中，用勾股定理即可求得BC的长。
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，
∴a2+b2=c2=64，
∴（a+b）2-2ab=64
∴100-2ab=64
解之：ab=18.
∴S△ABC=ab=9.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理可求出a2+b2=64，再将等式的左边配方转化为（a+b）2-2ab=64，再整体代入求出ab的值，然后利用三角形的面积公式就可求出△ABC的面积。
12．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知AB=5cm，AE=BD=25cm，BC=12cm
∴CD=h=25-12=13，
AC=
∴CE=h=AE-AC=25-13=12
∴h的取值范围是：12≤h≤13.
故答案为：A
【分析】分两种情况：当筷子竖直放，底端和点B重合；当筷子倾斜放，底端和点A重合，利用勾股定理求出AC的长，再分别求出筷子漏在杯子外的长，然后求出h的取值范围。
13．【答案】25°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=65°，
则∠B=90°-∠A=25°（直角三角形中，两个锐角互余）.
故答案是：25°.
【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余即可算出∠B的度数.
14．【答案】3
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB-90°，AB=6cm，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=3（cm）.
故答案为：3.
【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，依此即可得出答案.
15．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
∴ BC= AB=4，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=60°,
∴∠DCB=30°,
在Rt△BDC中，∠DCB=30°,
∴BD= BC=2．
故答案为：2．
【分析】含30°的直角三角形中, 30°所对的直角边等于斜边的一半,由题, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，所以 BC= AB=4，因为CD是斜边AB上的高，所以∠ADC=∠BDC=90°，所以∠ACD=60°,所以∠DCB=30°,在Rt△BDC中，∠DCB=30°,所以BD= BC=2．
16．【答案】2＜AD＜8
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF= AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE=2AB=4AF，求出AD的取值范围.
17．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】长方形的对角线长==，
又∵点A在数轴的负半轴，∴点A表示的数是.
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出长方形的对角线长，再根据点A在数轴的负半轴，由此得出点A所表示的数即可.
18．【答案】3.4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得： ，解得：x=3.4
【分析】设AE=xcm，根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示，在直角三角形BCE中，由勾股定理可列方程求解。
19．【答案】解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，
解得，x=3，
则a=15x=45．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
20．【答案】解： 中， ， ， ，
，
是 的高，
，
，
故 ，
在 中， ，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形的性质可知 ，因为CD是 的高，所以 ，进而可证明 ， ．
21．【答案】解：∵∠A=15°，∠CBD=30°， ∴∠ACB=∠A=15°， ∴BC=AB=6千米 在直角△BCD中，则CD= BC=3千米．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】利用三角形的外角性质，可证∠ACB=∠A，再利用等角对等边，就可得出BC=AB，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD的长。
22．【答案】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，则∠A+∠ACD=90°，由三角形内角和及垂直定义可得结论．
23．【答案】解： ∵∠ACD=90°
AD=13， CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，直接利用勾股定理先求出AC的长，再一次利用勾股定理求出AB的长即可.
24．【答案】（1）解： ∠ACB＝90°，CD是高，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC.
（2）解：∠1＋∠A＝90°，∠2＝∠A，∠1＝∠B.
ACD，△BCD，△ABC是直角三角形，且∠ADC、∠BDC、∠ACB是直角，∴∠1＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠B＋∠A＝90°∴∠2＝∠A，∠1＝∠B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形得出图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得出∠1＋∠A＝90°，根据同角的余角相等得出∠2＝∠A，∠1＝∠B。
25．【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
26．【答案】（1）解：由题意可得，
在 中，∵ ，
∴
（2）解：∵
由题意可得 ，设 的长为 cm
则在 中，
解得
则 的长为
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由折叠可知AF的长为10cm，已知AB=8cm，即可利用勾股定理求出BF;(2)根据（1）可求得FC的长，由折叠知EF=DE，所以设EF=xcm可表示出CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得EC的长.
1 / 1初中数学湘教版八年级下学期期中复习专题1 直角三角形的性质
一、单选题
1．（2020八上·桐城期中）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A-∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=3：4：7
C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A=9°，∠B=81°
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A．∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠B+∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，∴∠C=180°× =90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠A=180°× ＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A=9°，∠B=81°，∴∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形有一个角等于90°，对每个选项一一判断即可作答。
2．（2018八上·龙湖期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三条高的交点恰好为三角形的顶点
∴该三角形为直角三角形
故答案为：C。
【分析】根据直角三角形的性质即可进行判断：如果一个三角形的三条高的交点在三角形的一个顶点处，则此三角形为直角三角形，即可得出正确答案。
3．（2019八下·织金期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是 （ ）
A． B． C． D． .
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6，进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。
4．（2019八上·阳信开学考）如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为（ ）
A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点
∴DE=AD==1.85.
故答案为：C。
【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。
5．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
6．如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积是5，
∴c2=5，
∴a2+b2=c2=5，
∵直角三角形的面积是 =1，
又∵直角三角形的面积是 ab=1，
∴ab=2，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=5+2×2=5+4=9．
故选：B．
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
7．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
【分析】将（a+b）2﹣c2=2ab转化为a2+b2=c2，可判断得出三角形的形状。
8．（2020八下·临汾月考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B． ， ，
C．6，8，10 D．1.5，2，2.5
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.因为0.32+0.42=0.52，0.3，0.4，0.5能组成直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是正整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故A错误；
B.因为（）2+（）2 =（）2，，，能组成直角三角形，但，，不是正整数，所以，，不是勾股数，故B错误；
C.因为62+82=102，所以正整数6，8，10能组成直角三角形，所以6，8，10是勾股数，故C正确；
D.因为1.52+22=2.52，1.5，2，2.5能组成直角三角形，但1.5，2，2.5不是正整数，所以1.5，2，2.5不是勾股数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】勾股数是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数，据此判断即可。
9．（2020八上·广元期末）我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：小正方形面积开方，得边长1，则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13，则在三角形中有 =13
将b-a=1两边平方，得 =1
将 =13代入，得13-2ab=1
故ab=6
由 =13与2ab=12两式相加，得
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的证明方法，结合正方形的面积即可得到答案.
10．（2018八上·衢州期中）如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则 BC 的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在△ACD中，AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∵CD=4，AD=3，
∴由勾股定理得：AC=，
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，
∴由勾股定理得：BC=。
【分析】在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，然后在直角三角形ABC中，用勾股定理即可求得BC的长。
11．（2020八下·西安月考）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=10cm，c=8cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．9cm2 B．18cm2 C．24cm D．36cm2
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，
∴a2+b2=c2=64，
∴（a+b）2-2ab=64
∴100-2ab=64
解之：ab=18.
∴S△ABC=ab=9.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理可求出a2+b2=64，再将等式的左边配方转化为（a+b）2-2ab=64，再整体代入求出ab的值，然后利用三角形的面积公式就可求出△ABC的面积。
12．（2020八下·西安月考）将一根长为25厘米的筷子至于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子漏在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（ ）
A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤12
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知AB=5cm，AE=BD=25cm，BC=12cm
∴CD=h=25-12=13，
AC=
∴CE=h=AE-AC=25-13=12
∴h的取值范围是：12≤h≤13.
故答案为：A
【分析】分两种情况：当筷子竖直放，底端和点B重合；当筷子倾斜放，底端和点A重合，利用勾股定理求出AC的长，再分别求出筷子漏在杯子外的长，然后求出h的取值范围。
二、填空题
13．（2019八上·鄞州期中）在Rt ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B= .
【答案】25°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=65°，
则∠B=90°-∠A=25°（直角三角形中，两个锐角互余）.
故答案是：25°.
【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余即可算出∠B的度数.
14．（2020八上·嘉兴期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=6cm，则CD的长为 cm.
【答案】3
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB-90°，AB=6cm，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=3（cm）.
故答案为：3.
【分析】直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，依此即可得出答案.
15．（2020八上·乌拉特前旗期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，若AB=8，则BD= ．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
∴ BC= AB=4，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=60°,
∴∠DCB=30°,
在Rt△BDC中，∠DCB=30°,
∴BD= BC=2．
故答案为：2．
【分析】含30°的直角三角形中, 30°所对的直角边等于斜边的一半,由题, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，所以 BC= AB=4，因为CD是斜边AB上的高，所以∠ADC=∠BDC=90°，所以∠ACD=60°,所以∠DCB=30°,在Rt△BDC中，∠DCB=30°,所以BD= BC=2．
16．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
【答案】2＜AD＜8
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF= AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到AE=2AB=4AF，求出AD的取值范围.
17．（2017八上·深圳期中）如图，作一个长方形，以数轴的原点为中心，长方形对角线为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】长方形的对角线长==，
又∵点A在数轴的负半轴，∴点A表示的数是.
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出长方形的对角线长，再根据点A在数轴的负半轴，由此得出点A所表示的数即可.
18．如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为 cm．
【答案】3.4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得： ，解得：x=3.4
【分析】设AE=xcm，根据矩形和折叠的性质可将BE和CE用含x的代数式表示，在直角三角形BCE中，由勾股定理可列方程求解。
三、计算题
19．（2019八上·成都开学考）在 Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c．若
a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
【答案】解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，
解得，x=3，
则a=15x=45．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
四、解答题
20．（2021八上·武汉期末）如图， 中， ，CD是 的高， ， ，求BD长．
【答案】解： 中， ， ， ，
，
是 的高，
，
，
故 ，
在 中， ，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形的性质可知 ，因为CD是 的高，所以 ，进而可证明 ， ．
21．（2017八上·大石桥期中）如图 ，小明在A处看见前面山上有个气象站，测得仰角为15°（即∠CAB=15°），当笔直向山行6千米时，小明看气象站测得仰角为30°（即∠CBD=30°）.你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少
【答案】解：∵∠A=15°，∠CBD=30°， ∴∠ACB=∠A=15°， ∴BC=AB=6千米 在直角△BCD中，则CD= BC=3千米．
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】利用三角形的外角性质，可证∠ACB=∠A，再利用等角对等边，就可得出BC=AB，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出CD的长。
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
【答案】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，则∠A+∠ACD=90°，由三角形内角和及垂直定义可得结论．
23．如图∠B=∠ACD=90°， AD=13，CD=12， BC=3，则AB的长是多少
【答案】解： ∵∠ACD=90°
AD=13， CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】本题较简单，直接利用勾股定理先求出AC的长，再一次利用勾股定理求出AB的长即可.
五、综合题
24．（2017八上·江海月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等．
【答案】（1）解： ∠ACB＝90°，CD是高，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC.
（2）解：∠1＋∠A＝90°，∠2＝∠A，∠1＝∠B.
ACD，△BCD，△ABC是直角三角形，且∠ADC、∠BDC、∠ACB是直角，∴∠1＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠B＋∠A＝90°∴∠2＝∠A，∠1＝∠B
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形得出图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得出∠1＋∠A＝90°，根据同角的余角相等得出∠2＝∠A，∠1＝∠B。
25．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
26．（2019八上·凤翔期中）如图，折叠长方形的一边 ，使点 落在 边上的点 处， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的长.
【答案】（1）解：由题意可得，
在 中，∵ ，
∴
（2）解：∵
由题意可得 ，设 的长为 cm
则在 中，
解得
则 的长为
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由折叠可知AF的长为10cm，已知AB=8cm，即可利用勾股定理求出BF;(2)根据（1）可求得FC的长，由折叠知EF=DE，所以设EF=xcm可表示出CE=（8-x）cm，就可运用勾股定理求得EC的长.
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