初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的判定 同步测试

初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的判定 同步测试
一、单选题
1．（2020八下·天府新期末）能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD,AB＝CD B．AB＝BC,AD＝CD
C．AC＝BD,AB＝CD D．AB∥CD,AD＝CB
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.∵AB//CD，AB＝CD，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A能判定四边形ABCD是平行四边形；
B.如图1，筝形ABCD中，满足AB＝BC，AD＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形；
C.如图2，等腰梯形ABCD中，满足AC＝BD，AB＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形；
D.如图3，等腰梯形ABCD中，满足AB∥CD，AD＝CB，但四边形ABCD不是平行四边形；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定方法，结合举反例即可判断．
2．（2020八下·丽水期末）如图，已知 ，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，
四边形 是平行四边形；故此选项不合题意；
B、 ， ，
变形 是平行四边形；故此选项不合题意；
C、 ， ，
四边形 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；故此选项符合题意；
D、 ，
，
，
四边形 是平行四边形；故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推理判断，即可得出结论.
3．（2020八下·兰州期末）在四边形ABCD中，下列说法正确的是（　　）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是平行四边形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A选项不正确；
B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B选项正确；
C、D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C、D选项不正确.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的判定定理判断即可.
4．（2020八下·南京期末）下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°
C． ，AD=BC
D． ，AD=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：A不合题意；
B、∵∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥CD
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：B不合题意；
C、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：C不合题意；
D、“AB∥CD且AD=BC”不可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的判定逐一验证.
5．（2020八下·防城港期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题.
6．（2020八下·下城期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A.在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
∴BO=DO
∵OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形.
此选项正确；
B.在△ABC和△CDA中，
AB＝CD，AC=CA，∠ABC＝∠ADC
∵SSA不能证明两三角形全等，
此选项错误；
C.∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA
∴BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形.
此选项正确；
D.在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB
∴∠ADB=∠CBD
∴
又∵∠ABD＝∠BDC
∴
∴四边形ABCD是平行四边形.
此选项正确.
故答案为：B.
【分析】A.证明△ABO≌△CDO，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；
B.条件不足无法判断；
C.证明△ABC≌△CDA，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
D.证明△ABD≌△CDB，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断.
7．（2019八下·灌阳期中）如图在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AO＝CO，BO＝DO
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A.由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C .由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D .由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， 据此作出判断即可.
8．（2020八下·南召期末）四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，给出下列四个条件：① AD∥BC；② AD=BC ；③ OA=OC ；④ OB=OD ．从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（　　）
A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：第一种组合：①②、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①②组合能使四边形ABCD是平行四边形；
第二种组合：③④、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③④组合能使四边形ABCD是平行四边形；
第三种组合：①③、∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，∵OA=OC，∴ AOD≌ CBO，∴OB=OD， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①③组合能使四边形ABCD是平行四边形；
第四种组合：①④、同理第三种组合，故①④组合能使四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法进行组合，即可求解.
9．（2020八下·济南期中）如图，在四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ， ．添加一个条件使四边形 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加A、 ，无法得到AD∥BC或CD=BA，故不符合题意；
添加B、 ，无法得到CD∥BA或 ，故不符合题意；
添加C、 ，无法得到 ，故不符合题意；
添加D、
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为符合题意选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．
10．（2020八下·东坡期中）在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为（　　）s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（　　）
A．2 B．3 C．6 D．2或6
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=6-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
二、填空题
11．以不共线的A、B、C三点为其中的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作　 　 个．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，
分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，
可构成的平行四边形有三个： ACBD， ACEB， ABCF．
故答案为：3．
【分析】不在同一直线上的三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．
12．把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成　 　种不同的四边形，其中有　 　个平行四边形．
【答案】6；3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2=6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形．因为按三角形的三边分别重合一次，查得三个四边形，通过旋转后可得三个，所以共同6个，其中有3个是平行四边形．
【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，三边不等，则有3个四边形；再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，且有3个四边形，这其中必有一次是平行四边形，所以共有6个四边形，其中有3个是平行四边形．
13．（2017八下·西城期中）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小红用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后告诉小明，纸板是标准的平行四边形，小红得出这个结论的依据是　 　．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定可得：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定定理可得：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
14．（2019八下·长兴月考）在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有　 　种．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，AB=CD ； ③AD∥BC，AD=BC ；④AB=CD，AD=BC ；共4种情况，可以判别四边形ABCD为平行四边形。
【分析】根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等；分别可以判定四边形ABCD是平行四边形。
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是　 　．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
【答案】AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°；
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°；
∴AD∥BC；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）．
【分析]可根据平行四边形判定定理；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；或一组对边平行相等的四边形是平行四边形；或两组对边分别平行的四边形是平行四边形来添加条件，所以答案不唯一。
16．（2018八上·长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点O，则图中共有　 　个平行四边形.
【答案】9
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
， .
所以是平行四边形的有： AEOG、 EOHB、 OFCH、 GDFO；
ADFE、 EFCB、 AGHB、 GDCH； ABCD；共9个.
故答案为：9.
【分析】根据平行四边形的判定，即可得出答案。
17．（2020八下·温州月考）在平面直角坐标系XOY中，有A（3，2），B（-1，-4），P是x轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是　 　。
【答案】（0，-6），（0，6），（0，-2）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
当AB
为边，①
即当四边形ABQ
2P
2是平行四边形，所以AB
=P
2Q
2，AP
2= BQ
2，
∴
Q
2
点的坐标是：(0, 6)
，
②
当四边形QPBA
是平行四边形，所以AB
=PQ，QA
=PB，
∴
Q
点的坐标是：(0,6)
，
当AB
为对角线，即当四边形P
1AQ
1B是平行四边形，所以AP
1= Q
1B，
AQ
1= BP
1，
∴
Q
1
点的坐标是：(0, 2)
．
故答案为：(0, 6)
或(0, 2)
或(0,6)
．
【分析】如图，当AB为边，①当四边形ABQ2 P 2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，结合图形分别得出即可
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动)，则　 　后四边形ABQP为平行四边形.
【答案】2s
【知识点】解一元一次方程；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
∴AP=tcm，QC=2tcm
则BQ=6-2t
∵四边形ABQP为平行四边形.
∴AP=BQ
∴t=6-2t
解之：t=2
∴t为2秒时，四边形ABQP为平行四边形.
【分析】设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出AP，BQ的长，再根据四边形ABQP为平行四边形，得出AP=BQ，建立关于t的方程求解即可。
三、解答题
19．（2020八下·无锡期中）如图，已知E，F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】解：∵ ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】首先根据平行四边形的对边平行且相等得出AF∥EC，BE=DF，根据等式的性质得出AF=CE，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可推出四边形AECF是平行四边形.
20．（2017八下·富顺期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
【答案】证明：∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE//BC
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴CE= AB=AE，
∴∠A=∠DCE，
又 ∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠DCE，
∴DF//EC，
∴四边形DECF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证.
21．（2020八下·大化期末）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF， .求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：∵E是BC边的中点，
∴CE=BE，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC=BF，∠C=∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC=AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可.
22．（2020八下·醴陵期末）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA
∵在△ADF和△CBE中， ，
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可.
23．（2020八下·杭州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连结BF，DE。
（1）求证：四边形BF DE是平行四边形；
（2）连结BD，若BE=3，BF=5，求BD的长。
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=90°=∠DF C， BE∥DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
（2）解：连结BD交AC于点O，
则OE=OF，OB=OD
∵BE⊥AC，BE=3，BF=5，
∴EF=4，OE=2
在Rt△OBE中，OB=
∴BD=2OB=2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】 (1) 本题考查平行四边形的判定，首先根据AAS证明△ABE≌△CDF，再根据同一对边平行且相等的四边形是平行四边形即得证；
(2) 首先根据根据勾股定理算出EF，再根据平行四边形对角线互相平分得到OE，最后再根据勾股定理即可算出BD.
24．（2020八上·岱岳期末）如图， 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连结 .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）当 时，若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）解：∵AB=BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∴
∵AB=2DB=4，BE=3，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得出DE∥BC，再根据已知CF∥AB即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质三线合一得出 ，然后利用勾股定理即可得到结论．
25．（2020八下·许昌期末）如图，在四边形 中， ， ， ，延长 到点 ，使 ，连接
（1）求证：四边形是 平行四边形
（2）若 ， ，求四边形 的面积
【答案】（1）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，
∴∠ADE＝∠DAB＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠DAE＝45°，
∴∠EAB＝135°，
∵∠B＝45°，
∴∠B＋∠EAB＝180°，
∴AE∥BC，又AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：由（1）知AB＝CE，
∵CD＝2，AB＝6，
∴DE＝4，
∵AD＝DE，
∴AD＝4，
∴S四边形ABCE＝AB×AD＝6×4＝24.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形ABCE是平行四边形；（2）根据AB＝6，CD＝2，结合（1）可得DE＝DA＝4，进而可求四边形ABCE的面积.
26．（2020八下·武川期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【答案】设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP=tcm，PD=（24-t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30-2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP=BQ，
∴t=30-2t， 解得：t=10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD=CQ，
∴24-t=2t， 解得：t=8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，进而求出t的值．
27．（2020八下·青羊期末）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中， ，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠CEB＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE＋EF＋CF＝3＋2＋3＝8．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．
求证：
（1）CF=CE
（2）四边形CFHE是平行四边形．
【答案】（1）证明：如图所示：∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠AE平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，
∴CF=CE
（2）证明：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，∴CE=EH，
由（1）CF=CE，
∴CF=EH，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，∴∠CDB=∠EB，
∴CD∥EH，
即CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理和已知，得到∠4=∠5，再根据等角对等边，得到CF=CE；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等；得到CE=EH；由（1）知道CF=CE，得到CF=EH，再由已知得到CF∥EH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形CFHE是平行四边形．
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的判定 同步测试
一、单选题
1．（2020八下·天府新期末）能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD,AB＝CD B．AB＝BC,AD＝CD
C．AC＝BD,AB＝CD D．AB∥CD,AD＝CB
2．（2020八下·丽水期末）如图，已知 ，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020八下·兰州期末）在四边形ABCD中，下列说法正确的是（　　）
A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是平行四边形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是平行四边形
4．（2020八下·南京期末）下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．∠A=∠C，∠B=∠D
B．∠A＋∠B=180°，∠B＋∠C=180°
C． ，AD=BC
D． ，AD=BC
5．（2020八下·防城港期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
6．（2020八下·下城期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
7．（2019八下·灌阳期中）如图在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AO＝CO，BO＝DO
8．（2020八下·南召期末）四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，给出下列四个条件：① AD∥BC；② AD=BC ；③ OA=OC ；④ OB=OD ．从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（　　）
A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（2020八下·济南期中）如图，在四边形 中， 是 边的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ， ．添加一个条件使四边形 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A． B． C． D．
10．（2020八下·东坡期中）在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为（　　）s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？（　　）
A．2 B．3 C．6 D．2或6
二、填空题
11．以不共线的A、B、C三点为其中的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作　 　 个．
12．把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成　 　种不同的四边形，其中有　 　个平行四边形．
13．（2017八下·西城期中）小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小红用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后告诉小明，纸板是标准的平行四边形，小红得出这个结论的依据是　 　．
14．（2019八下·长兴月考）在四边形ABCD中：①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有　 　种．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是　 　．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
16．（2018八上·长春期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点O，则图中共有　 　个平行四边形.
17．（2020八下·温州月考）在平面直角坐标系XOY中，有A（3，2），B（-1，-4），P是x轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A，B，P，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标是　 　。
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动)，则　 　后四边形ABQP为平行四边形.
三、解答题
19．（2020八下·无锡期中）如图，已知E，F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF
求证：四边形AECF是平行四边形.
20．（2017八下·富顺期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
21．（2020八下·大化期末）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF， .求证：四边形ABCD是平行四边形.
22．（2020八下·醴陵期末）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．
23．（2020八下·杭州期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连结BF，DE。
（1）求证：四边形BF DE是平行四边形；
（2）连结BD，若BE=3，BF=5，求BD的长。
24．（2020八上·岱岳期末）如图， 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连结 .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）当 时，若 ， ，求 的长.
25．（2020八下·许昌期末）如图，在四边形 中， ， ， ，延长 到点 ，使 ，连接
（1）求证：四边形是 平行四边形
（2）若 ， ，求四边形 的面积
26．（2020八下·武川期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
27．（2020八下·青羊期末）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．
求证：
（1）CF=CE
（2）四边形CFHE是平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.∵AB//CD，AB＝CD，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A能判定四边形ABCD是平行四边形；
B.如图1，筝形ABCD中，满足AB＝BC，AD＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形；
C.如图2，等腰梯形ABCD中，满足AC＝BD，AB＝CD，但四边形ABCD不是平行四边形；
D.如图3，等腰梯形ABCD中，满足AB∥CD，AD＝CB，但四边形ABCD不是平行四边形；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的判定方法，结合举反例即可判断．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，
四边形 是平行四边形；故此选项不合题意；
B、 ， ，
变形 是平行四边形；故此选项不合题意；
C、 ， ，
四边形 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；故此选项符合题意；
D、 ，
，
，
四边形 是平行四边形；故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行推理判断，即可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A选项不正确；
B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B选项正确；
C、D、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C、D选项不正确.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的判定定理判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：A不合题意；
B、∵∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∴AD∥BC，AB∥CD
由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：B不合题意；
C、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，故答案为：C不合题意；
D、“AB∥CD且AD=BC”不可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的判定逐一验证.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A.在△ABO和△CDO中
∴△ABO≌△CDO
∴BO=DO
∵OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形.
此选项正确；
B.在△ABC和△CDA中，
AB＝CD，AC=CA，∠ABC＝∠ADC
∵SSA不能证明两三角形全等，
此选项错误；
C.∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA
∴BC=AD
∴四边形ABCD是平行四边形.
此选项正确；
D.在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB
∴∠ADB=∠CBD
∴
又∵∠ABD＝∠BDC
∴
∴四边形ABCD是平行四边形.
此选项正确.
故答案为：B.
【分析】A.证明△ABO≌△CDO，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；
B.条件不足无法判断；
C.证明△ABC≌△CDA，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
D.证明△ABD≌△CDB，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A.由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C .由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D .由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， 据此作出判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：第一种组合：①②、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①②组合能使四边形ABCD是平行四边形；
第二种组合：③④、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③④组合能使四边形ABCD是平行四边形；
第三种组合：①③、∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，∵OA=OC，∴ AOD≌ CBO，∴OB=OD， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①③组合能使四边形ABCD是平行四边形；
第四种组合：①④、同理第三种组合，故①④组合能使四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法进行组合，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加A、 ，无法得到AD∥BC或CD=BA，故不符合题意；
添加B、 ，无法得到CD∥BA或 ，故不符合题意；
添加C、 ，无法得到 ，故不符合题意；
添加D、
∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为符合题意选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=6-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：D．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
11．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，
分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，
可构成的平行四边形有三个： ACBD， ACEB， ABCF．
故答案为：3．
【分析】不在同一直线上的三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．
12．【答案】6；3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】把相等的边重合后，得到一个四边形，再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，这其中必有一次是平行四边形，由于三边不同，故可组成3×2=6个不同的四边形，其中有3个是平行四边形．因为按三角形的三边分别重合一次，查得三个四边形，通过旋转后可得三个，所以共同6个，其中有3个是平行四边形．
【分析】把相等的边重合后，得到一个四边形，三边不等，则有3个四边形；再把一个翻转180度后，相同边再重合，就又能组成一个四边形，且有3个四边形，这其中必有一次是平行四边形，所以共有6个四边形，其中有3个是平行四边形．
13．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定可得：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的判定定理可得：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，AB=CD ； ③AD∥BC，AD=BC ；④AB=CD，AD=BC ；共4种情况，可以判别四边形ABCD为平行四边形。
【分析】根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行；一组对边平行且相等；两组对边分别相等；分别可以判定四边形ABCD是平行四边形。
15．【答案】AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°；
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°；
∴AD∥BC；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）．
【分析]可根据平行四边形判定定理；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；或一组对边平行相等的四边形是平行四边形；或两组对边分别平行的四边形是平行四边形来添加条件，所以答案不唯一。
16．【答案】9
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
， .
所以是平行四边形的有： AEOG、 EOHB、 OFCH、 GDFO；
ADFE、 EFCB、 AGHB、 GDCH； ABCD；共9个.
故答案为：9.
【分析】根据平行四边形的判定，即可得出答案。
17．【答案】（0，-6），（0，6），（0，-2）
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
当AB
为边，①
即当四边形ABQ
2P
2是平行四边形，所以AB
=P
2Q
2，AP
2= BQ
2，
∴
Q
2
点的坐标是：(0, 6)
，
②
当四边形QPBA
是平行四边形，所以AB
=PQ，QA
=PB，
∴
Q
点的坐标是：(0,6)
，
当AB
为对角线，即当四边形P
1AQ
1B是平行四边形，所以AP
1= Q
1B，
AQ
1= BP
1，
∴
Q
1
点的坐标是：(0, 2)
．
故答案为：(0, 6)
或(0, 2)
或(0,6)
．
【分析】如图，当AB为边，①当四边形ABQ2 P 2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，结合图形分别得出即可
18．【答案】2s
【知识点】解一元一次方程；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
∴AP=tcm，QC=2tcm
则BQ=6-2t
∵四边形ABQP为平行四边形.
∴AP=BQ
∴t=6-2t
解之：t=2
∴t为2秒时，四边形ABQP为平行四边形.
【分析】设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出AP，BQ的长，再根据四边形ABQP为平行四边形，得出AP=BQ，建立关于t的方程求解即可。
19．【答案】解：∵ ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】首先根据平行四边形的对边平行且相等得出AF∥EC，BE=DF，根据等式的性质得出AF=CE，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可推出四边形AECF是平行四边形.
20．【答案】证明：∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE//BC
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴CE= AB=AE，
∴∠A=∠DCE，
又 ∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠DCE，
∴DF//EC，
∴四边形DECF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证.
21．【答案】证明：∵E是BC边的中点，
∴CE=BE，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形ABCD为平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用边角边定理证得△DEC≌△FEB，从而得到DC=BF，∠C=∠EBF，进一步得到AB∥DC，然后得到DC=AB，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD为平行四边形即可.
22．【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA
∵在△ADF和△CBE中， ，
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】首先根据平行线的性质可得∠BEC=∠DFA，再加上条件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可证明△ADF≌△CBE，再根据全等三角形的性质可得BE=DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可.
23．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=90°=∠DF C， BE∥DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
（2）解：连结BD交AC于点O，
则OE=OF，OB=OD
∵BE⊥AC，BE=3，BF=5，
∴EF=4，OE=2
在Rt△OBE中，OB=
∴BD=2OB=2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】 (1) 本题考查平行四边形的判定，首先根据AAS证明△ABE≌△CDF，再根据同一对边平行且相等的四边形是平行四边形即得证；
(2) 首先根据根据勾股定理算出EF，再根据平行四边形对角线互相平分得到OE，最后再根据勾股定理即可算出BD.
24．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC．
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形；
（2）解：∵AB=BC，E为AC的中点，
∴BE⊥AC．
∴
∵AB=2DB=4，BE=3，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得出DE∥BC，再根据已知CF∥AB即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质三线合一得出 ，然后利用勾股定理即可得到结论．
25．【答案】（1）证明：∵AD⊥CD，AB∥CD，
∴∠ADE＝∠DAB＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠DAE＝45°，
∴∠EAB＝135°，
∵∠B＝45°，
∴∠B＋∠EAB＝180°，
∴AE∥BC，又AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：由（1）知AB＝CE，
∵CD＝2，AB＝6，
∴DE＝4，
∵AD＝DE，
∴AD＝4，
∴S四边形ABCE＝AB×AD＝6×4＝24.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形ABCE是平行四边形；（2）根据AB＝6，CD＝2，结合（1）可得DE＝DA＝4，进而可求四边形ABCE的面积.
26．【答案】设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP=tcm，PD=（24-t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30-2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP=BQ，
∴t=30-2t， 解得：t=10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD=CQ，
∴24-t=2t， 解得：t=8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，进而求出t的值．
27．【答案】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中， ，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠CEB＝∠EBA＋∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE＋EF＋CF＝3＋2＋3＝8．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
28．【答案】（1）证明：如图所示：∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠AE平分∠CAB，∴∠1=∠2，∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，
∴CF=CE
（2）证明：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，∴CE=EH，
由（1）CF=CE，
∴CF=EH，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，∴∠CDB=∠EB，
∴CD∥EH，
即CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理和已知，得到∠4=∠5，再根据等角对等边，得到CF=CE；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等；得到CE=EH；由（1）知道CF=CE，得到CF=EH，再由已知得到CF∥EH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形CFHE是平行四边形．
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