初中数学苏科版八年级下册 9.4 矩形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·淮安期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．每条对角线平分一组对角 D．对角线相等
2．（2020八下·泉州期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝10，则AB的长为（ ）
A．5 B．5 C．4 D．3
3．（2019八下·海安月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（ ）
A．5厘米 B．10厘米 C．7.5厘米 D．不能确定
4．（2020八上·洛宁期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．（2019八下·邳州期中）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF＝ AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
6．（2020八下·沈河期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2020八下·迁西期末）如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，2）
C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，4）
8．（2019八下·香坊期末）如图，矩形纸片 ， ，将其折叠使点 与点 重合，点 的对应点为点 ，折痕为 ，那么 和 的长分别为（ ）
A．4和 B．4和 C．5和 D．5和
9．（2020八下·武汉期中）如图， ，矩形 在 的内部，顶点 ， 分别在射线 ， 上， ， ，则点 到点 的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019八下·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 的坐标分别为 ， ，点 是 的中点点 在 上运动，当 是腰长为 的等腰三角形时，点 的坐标不可能的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八下·洪泽期中）矩形ABCD，AB=2，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，则AC长是 .
12．（2021八上·阜新期末）如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝6，OC＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为 。
13．（2020八上·郑州月考）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= .
14．（2020八下·遂宁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
15．（2020八下·彭州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝ °．
16．（2020八下·新沂月考）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 .
17．（2020八上·温州月考）如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝6，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则AF长为 .
18．（2020八下·武汉月考）如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（3，4），直线 CD 分别交 OB、AB 于点 D、E，若 BD＝BE，则点 D 的坐标为 .
三、解答题
19．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
20．（2020八上·临泽期中）如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，将AD沿AF折叠，使点D落在BC上的点E处.求BE及CF的长.
21．（2020八上·耒阳期末）如图所示，将长方形 沿直线 折叠，使点 落在点 处， 交 于 ， ， ，求 的长.
22．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
23．（2018八下·龙岩期中）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE的长？
24．（2019八下·杭锦后旗期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点 上．若 ， ，求BF的长．
25．（2020八上·成都期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求重叠部分△AFC的面积．
26．（2020八下·姜堰期中）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，
（1）将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处（如图①），设DE与BC相交于点F，试说明△DBF是等腰三角形，并求出其周长．
（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图②），求折痕GH的长．
27．（2020八上·惠山月考）如图1，已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝6，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→B→C运动，设P运动的时间为t秒.
（1）当△APE是以EP为腰的等腰三角形时，求t的值；
（2）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
28．（2020八上·常州期中）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分,四个角都是直角；
菱形具有的性质：四边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，对角相等；
∴A、对角线互相垂直是菱形具有，矩形不一定具有的性质，不符合题意；
B、对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
C、每条对角线平分一组对角是菱形具有的，但矩形不一定具有，不符合题意；
D、对角相等是矩形和菱形都具有的性质，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分,四个角都是直角；菱形具有的性质：四边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，对角相等；即可一一判断求得答案.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝ BD＝5．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质得到△AOB是等边三角形即可求解.
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB+AO+BO，
又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，
∴AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC-（AB+AO+BO）=BC=10厘米，
∵AD=BC，
∴AD的长是10厘米。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的相等得出AO=CO=DO=BO，AD=BC，然后根据三角形的周长计算方法及△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米列出方程，求解即可。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折变换的性质可知， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
，
.
故答案为： .
【分析】已知 为 边上的高，要求 的面积，求得 即可，利用翻折的性质求证 ，得 ，设 ，则在 中，根据勾股定理求 ，于是得到 ，即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC.
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C.由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D.由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故答案为：B.
【分析】由已知条件用角角边可证△AFD≌△DCE，再根据矩形的性质和全等三角形的性质即可判断求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为 ，
故答案为：B.
【分析】由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：过C作CE⊥y轴与E，过A作AF⊥y轴于F．
∴∠CEO=∠AFB=90°
∵四边形ABCO为矩形
∴AB=OC，AB OC
∴∠ABF=∠COE
∴△OCE≌△BAF（AAS）
同理可得
∴△BCE≌△OAF（AAS）
∴CE=AF，OE=BF，BE=OF
∵A（2，1），B（0，5）
∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5
∴OE=4，
∴点C的坐标为（-2，4）
故答案为：D．
【分析】先分别过C和A作y轴的垂线，构造两组全等三角形，用矩形的相关性质即可证明，再利用两组三角形全等对应边相等CE=AF、BE=OF，结合已知坐标就能求得C点坐标．
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设BD与EF相交于点O，
由折叠得：ED＝EB，DO＝BO，EF⊥BD，
∵矩形ABCD，
∴AD＝BC＝9，CD＝AB＝3，∠A＝90°，
设DE＝x，则BE＝x，AE＝9 x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2，
即：（9 x）2＋32＝x2，解得：x＝5，即DE＝5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝ ，
∵∠DOE=∠BOF，∠EDO=∠FBO，DO=BO，
∴△DOE≌△BOF （AAS），
∴OE＝OF，
∵△DOE∽△DAB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴EF＝2OE＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据折叠将所求的问题转化到Rt△ABE中，由勾股定理建立方程可求，在求EF时，根据折叠和全等三角形可证OE＝OF，再借助三角形相似，求得OE进而求出EF，得出答案．
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取 中点 ，连接 、 、 ，
，
.
在 中，利用勾股定理可得 .
在 中，根据三角形三边关系可知 ，
当 、 、 三点共线时， 最大为 .
故答案为： .
【分析】取DC的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①.如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧.
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝3，
∴OE＝OD DE＝5 3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；②.如答图②所示，OP＝OD＝5.
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；③.如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧.
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝3，
∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）.
∴点P的坐标不可能是 ，
故答案为：A.
【分析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①PD＝OD＝5，点P在点D的左侧；②OP＝OD＝5，③PD＝OD＝5，点P在点D的右侧，分别根据勾股定理求解即可.
11．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AC=2OA=4，
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，利用邻补角的定义可得∠AOB=180°-∠AOD=60°，从而可得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质得OA=OB=AB=2，由AC=2OA即可求出结论.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由矩形的性质得：
由翻转变换的性质得：
在 中，
则
设 ，则
在 中， ，即
解得
故点E的坐标为 .
故答案为： .
【分析】由矩形的性质得 ，由翻转变换的性质得CD=OC=10，DE=OE，在 中，利用勾股定理求出BD=8，从而求出AD=2，设OE=x，可得DE=x，AE=6-x，在 中，利用勾股定理建立方程，解出x的值即可.
13．【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；
在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，
若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，
故BF=x﹣4=6.
故答案为：6.
【分析】由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得CF=4，设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得82+（x﹣4）2=x2，据此求出x的值即可.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短；矩形的性质
【解析】【解答】证明：如图，连接BP．
∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，
∴AC＝5，
∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，
∴四边形PEBF是矩形；
∴EF＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝ BC AB＝ AC CP，
即 ×4×3＝ ×5 CP，
解得CP＝ ．
故答案为： ．
【分析】连接BP，利用勾股定理列式求出AC，判断出四边形BFPE是矩形；根据矩形的对角线相等可得EF＝BP，再根据垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【分析】由已知条件可先求得 ，在Rt△ABE中可求得 ，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得 ，即可求得结果；
16．【答案】4.8
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝ ，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝ S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝ S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA PE＋ OD PF＝ ×5×PE＋ ×5×PF＝ （PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8.
故答案为：4.8.
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA PE＋ OD PF求得答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，
∴DC=DE=8，CP=EP，
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP，
设EF=BP=x，
DF=DE-EF=8-x，
∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=6-x，
∴AF=AB-BF=2+x，
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，
∴（2+x）2+62=（8-x）2，
∴x=,
∴AF=2+x=.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得DC=DE，CP=EP，由AAS证明△OEF≌△OBP，得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，把相关线段用含x的代数式表示，进而得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理求出x的值，即可求出AF的长.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（3,4），
∴BC=OA=3，OC=AB=4，OC∥AB,
∴C（0,4），
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
∵OC∥AB，
∴∠OCE=∠BED，又∠CDO=∠BDE，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC=4，
在RtΔOAB中，OA=3，AB=4，由勾股定理得
OB= =5，
∴BD=BE=1，
∴E（3,3），
∴直线CE的解析式： ，
直线OB的解析式： ，
联立方程组 ，解得： ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（3，4），求得BC=OA=3，OC=AB=4，根据等腰三角形的等边对等角，等角对等边，求得点E的坐标，用待定系数法求出直线CD和直线OB 的解析式，联立方程组解出D点的坐标.
19．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.
20．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADF≌Rt△AEF，
∴∠AEF=90°，AE=10cm，EF=DF，
设CF=xcm，则DF=EF=CD-CF=（8-x）cm，
在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即82+BE2=102，
∴BE=6cm，
∴CE=BC-BE=10-6=4（cm），
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即（8-x）2=x2+42，
∴64-16x+x2=x2+16，
∴x=3（cm），
即CF=3cm.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】要求CF的长，应先设CF的长为x，由将△ADF折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADF≌Rt△AEF，所以AE=10cm，FE=DF=8-x；在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，已知AB、AE的长可求出BE的长，又CE=BC-BE=10-BE，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CF2+CE2，即：（8-x）2=x2+（10-BE）2，将求出的BE的值代入该方程求出x的值，即求出了CF的长.
21．【答案】解：∵四边形 是矩形，
∴ ∥ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴
解得： ，
∴ ．
故 的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据矩形的性质，可得AD∥BC，可得∠2=∠3，由折叠的性质，可得∠1=∠2，从而可得∠3=∠1，利用等角对等边可得DE=BE，设，则
在中，由勾股定理得 即得，解出x的值即可.
22．【答案】解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∠BOE= =75°．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质和已知AE平分∠BAD，得到∠AEB=45°，AB=BE，再由∠CAE=15°和矩形的对角线相等，得到△BOA是等边三角形，得到OA=OB=AB，求出∠BOE的度数．
23．【答案】解：①、当B′EC为直角时，则∠BEB′也是直角，根据折叠的性质可得∠AEB=45°，则△ABE为等腰直角三角形，则BE=AE=6；②、当∠EB′C为直角时，根据折叠可得∠AB′E=∠ABE=90°，则点A、点B′、点C三点共线，则AB′=AB=6，AC=10，则B′C=10－6=4，设BE=x，则CE=8－x，B′E=x，根据Rt△B′EC的勾股定理可得： ，解得x=3，即BE=3.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况： ①当B′EC为直角时，结合正方形的性质，求解；②当∠EB′C为直角时，利用勾股定理，求解，进而即可得到答案．
24．【答案】解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上
∴BC'= AB=3，CF=C'F
在Rt△BC'F中，C'F2=BF2+C'B2，
∴CF2=（9-CF）2+9
∴CF=5
∴BF=4．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．
25．【答案】（1）证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′
∴△AD′F≌△CBF（AAS）
∴CF＝AF
（2）解：设AF＝CF＝x
∴BF＝8﹣x
在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2
即42+（8﹣x）2＝x2
解得x＝5．
∴S△AFC＝ AF BC＝ ×5×4＝10．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，证明△AD'F≌△CBF，即可得到AF=CF；
（2）根据勾股定理计算得到AF的值，求出三角形AFC的面积即可。
26．【答案】（1）解：由折叠得，∠ADB=∠EDB，
在矩形ABCD中：∠C=90°，CD=AB=6,AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
设BF=x，则CF=8 x，
在Rt△CDF中，
即
解得
∴
在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，
∴
∴△DBF的周长是：BF+DF+DB=
（2）解：由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，则CH=8 x，
在Rt△CDH中，
即
解得
连接BD、BG，
由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DH=DG，
∴BH=DH=DG=BG，
∴四边形BHDG是菱形，
在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，
∴
∴S菱形BHDG= BD GH=BH CD，
即 ×10 GH= ×6，
解得GH= ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求出BF的长度，再求出周长；（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得．
27．【答案】（1）当AE=EP时，
∵E点为DC的中点，DC=4，AD=6，
∴DE=EC=2，
∴ ，
∴EP= ,此时P点与B点重合，运动路程为AB=4，
∴t=4÷2=2（秒），
当AP=PE时，P点在线段BC上，
∵P点的运动路程为：AB+BP=2t，
∴BP=2t-4，PC=10-2t，
∵ ，
∴(2t-4)2+42=22+(10-2t)2
解得：t=3
综上所述：当t=2或t=3时，△APE是以EP为腰的等腰三角形，
（2）存在，
如图所示，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF与BC的交点为P，连接AE、PE
此时△APE的周长最小，
∴CF=CE=ED=2，
∴DF=6，
∵AD=6，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠F=45°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥DF，
∴∠BAP=∠F=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
故AB=BP=4，
∴运动时间为：（4+4）÷2=4（秒）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)当△APE是以EP为腰的等腰三角形时，分两种情况进行讨论，①当AE=EP时，②当AP=PE时即可得出结果；(2)存在，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF，与BC的交点为P，可证的△ADF是等腰直角三角形，进而证得△ABP是等腰直角三角形，即可得出结果.
28．【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.4 矩形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·淮安期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．每条对角线平分一组对角 D．对角线相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分,四个角都是直角；
菱形具有的性质：四边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，对角相等；
∴A、对角线互相垂直是菱形具有，矩形不一定具有的性质，不符合题意；
B、对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
C、每条对角线平分一组对角是菱形具有的，但矩形不一定具有，不符合题意；
D、对角相等是矩形和菱形都具有的性质，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分,四个角都是直角；菱形具有的性质：四边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，对角相等；即可一一判断求得答案.
2．（2020八下·泉州期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝10，则AB的长为（ ）
A．5 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝ BD＝5．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质得到△AOB是等边三角形即可求解.
3．（2019八下·海安月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（ ）
A．5厘米 B．10厘米 C．7.5厘米 D．不能确定
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB+AO+BO，
又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，
∴AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC-（AB+AO+BO）=BC=10厘米，
∵AD=BC，
∴AD的长是10厘米。
故答案为：B。
【分析】根据矩形的相等得出AO=CO=DO=BO，AD=BC，然后根据三角形的周长计算方法及△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米列出方程，求解即可。
4．（2020八上·洛宁期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折变换的性质可知， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
，
.
故答案为： .
【分析】已知 为 边上的高，要求 的面积，求得 即可，利用翻折的性质求证 ，得 ，设 ，则在 中，根据勾股定理求 ，于是得到 ，即可得到答案.
5．（2019八下·邳州期中）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．△AFD≌△DCE B．AF＝ AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A.由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC.
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B.∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C.由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D.由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故答案为：B.
【分析】由已知条件用角角边可证△AFD≌△DCE，再根据矩形的性质和全等三角形的性质即可判断求解.
6．（2020八下·沈河期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为 ，
故答案为：B.
【分析】由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解.
7．（2020八下·迁西期末）如图，四边形 OABC 是矩形，A（2，1），B（0，5），点 C 在第二象限，则点 C 的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，2）
C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，4）
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：过C作CE⊥y轴与E，过A作AF⊥y轴于F．
∴∠CEO=∠AFB=90°
∵四边形ABCO为矩形
∴AB=OC，AB OC
∴∠ABF=∠COE
∴△OCE≌△BAF（AAS）
同理可得
∴△BCE≌△OAF（AAS）
∴CE=AF，OE=BF，BE=OF
∵A（2，1），B（0，5）
∴AF=CE=2，BE=OF=1，OB=5
∴OE=4，
∴点C的坐标为（-2，4）
故答案为：D．
【分析】先分别过C和A作y轴的垂线，构造两组全等三角形，用矩形的相关性质即可证明，再利用两组三角形全等对应边相等CE=AF、BE=OF，结合已知坐标就能求得C点坐标．
8．（2019八下·香坊期末）如图，矩形纸片 ， ，将其折叠使点 与点 重合，点 的对应点为点 ，折痕为 ，那么 和 的长分别为（ ）
A．4和 B．4和 C．5和 D．5和
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设BD与EF相交于点O，
由折叠得：ED＝EB，DO＝BO，EF⊥BD，
∵矩形ABCD，
∴AD＝BC＝9，CD＝AB＝3，∠A＝90°，
设DE＝x，则BE＝x，AE＝9 x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2，
即：（9 x）2＋32＝x2，解得：x＝5，即DE＝5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝ ，
∵∠DOE=∠BOF，∠EDO=∠FBO，DO=BO，
∴△DOE≌△BOF （AAS），
∴OE＝OF，
∵△DOE∽△DAB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴EF＝2OE＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据折叠将所求的问题转化到Rt△ABE中，由勾股定理建立方程可求，在求EF时，根据折叠和全等三角形可证OE＝OF，再借助三角形相似，求得OE进而求出EF，得出答案．
9．（2020八下·武汉期中）如图， ，矩形 在 的内部，顶点 ， 分别在射线 ， 上， ， ，则点 到点 的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取 中点 ，连接 、 、 ，
，
.
在 中，利用勾股定理可得 .
在 中，根据三角形三边关系可知 ，
当 、 、 三点共线时， 最大为 .
故答案为： .
【分析】取DC的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.
10．（2019八下·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 、 的坐标分别为 ， ，点 是 的中点点 在 上运动，当 是腰长为 的等腰三角形时，点 的坐标不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①.如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧.
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝3，
∴OE＝OD DE＝5 3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；②.如答图②所示，OP＝OD＝5.
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；③.如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧.
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝3，
∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）.
∴点P的坐标不可能是 ，
故答案为：A.
【分析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：①PD＝OD＝5，点P在点D的左侧；②OP＝OD＝5，③PD＝OD＝5，点P在点D的右侧，分别根据勾股定理求解即可.
二、填空题
11．（2020八下·洪泽期中）矩形ABCD，AB=2，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，则AC长是 .
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AC=2OA=4，
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，利用邻补角的定义可得∠AOB=180°-∠AOD=60°，从而可得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质得OA=OB=AB=2，由AC=2OA即可求出结论.
12．（2021八上·阜新期末）如图，有一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA＝6，OC＝10，如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点处，则点E的坐标为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由矩形的性质得：
由翻转变换的性质得：
在 中，
则
设 ，则
在 中， ，即
解得
故点E的坐标为 .
故答案为： .
【分析】由矩形的性质得 ，由翻转变换的性质得CD=OC=10，DE=OE，在 中，利用勾股定理求出BD=8，从而求出AD=2，设OE=x，可得DE=x，AE=6-x，在 中，利用勾股定理建立方程，解出x的值即可.
13．（2020八上·郑州月考）如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= .
【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；
在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，
若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4；
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：
82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，
故BF=x﹣4=6.
故答案为：6.
【分析】由折叠的性质知：AD=AF，DE=EF，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得CF=4，设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得82+（x﹣4）2=x2，据此求出x的值即可.
14．（2020八下·遂宁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；矩形的性质
【解析】【解答】证明：如图，连接BP．
∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，
∴AC＝5，
∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，
∴四边形PEBF是矩形；
∴EF＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝ BC AB＝ AC CP，
即 ×4×3＝ ×5 CP，
解得CP＝ ．
故答案为： ．
【分析】连接BP，利用勾股定理列式求出AC，判断出四边形BFPE是矩形；根据矩形的对角线相等可得EF＝BP，再根据垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
15．（2020八下·彭州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝ °．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，OA=OB，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴ ，
∴ ，
∵AE⊥BD，
∴ ，
∴ ，
．
故答案是 ．
【分析】由已知条件可先求得 ，在Rt△ABE中可求得 ，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得 ，即可求得结果；
16．（2020八下·新沂月考）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是 .
【答案】4.8
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝ ，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝ S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝ S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA PE＋ OD PF＝ ×5×PE＋ ×5×PF＝ （PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.8.
故答案为：4.8.
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA PE＋ OD PF求得答案.
17．（2020八上·温州月考）如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝6，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则AF长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，
∴DC=DE=8，CP=EP，
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP，
设EF=BP=x，
DF=DE-EF=8-x，
∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=6-x，
∴AF=AB-BF=2+x，
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，
∴（2+x）2+62=（8-x）2，
∴x=,
∴AF=2+x=.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得DC=DE，CP=EP，由AAS证明△OEF≌△OBP，得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，把相关线段用含x的代数式表示，进而得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理求出x的值，即可求出AF的长.
18．（2020八下·武汉月考）如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（3，4），直线 CD 分别交 OB、AB 于点 D、E，若 BD＝BE，则点 D 的坐标为 .
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（3,4），
∴BC=OA=3，OC=AB=4，OC∥AB,
∴C（0,4），
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
∵OC∥AB，
∴∠OCE=∠BED，又∠CDO=∠BDE，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC=4，
在RtΔOAB中，OA=3，AB=4，由勾股定理得
OB= =5，
∴BD=BE=1，
∴E（3,3），
∴直线CE的解析式： ，
直线OB的解析式： ，
联立方程组 ，解得： ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（3，4），求得BC=OA=3，OC=AB=4，根据等腰三角形的等边对等角，等角对等边，求得点E的坐标，用待定系数法求出直线CD和直线OB 的解析式，联立方程组解出D点的坐标.
三、解答题
19．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.
20．（2020八上·临泽期中）如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，将AD沿AF折叠，使点D落在BC上的点E处.求BE及CF的长.
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADF≌Rt△AEF，
∴∠AEF=90°，AE=10cm，EF=DF，
设CF=xcm，则DF=EF=CD-CF=（8-x）cm，
在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，
即82+BE2=102，
∴BE=6cm，
∴CE=BC-BE=10-6=4（cm），
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即（8-x）2=x2+42，
∴64-16x+x2=x2+16，
∴x=3（cm），
即CF=3cm.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】要求CF的长，应先设CF的长为x，由将△ADF折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADF≌Rt△AEF，所以AE=10cm，FE=DF=8-x；在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，已知AB、AE的长可求出BE的长，又CE=BC-BE=10-BE，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CF2+CE2，即：（8-x）2=x2+（10-BE）2，将求出的BE的值代入该方程求出x的值，即求出了CF的长.
21．（2020八上·耒阳期末）如图所示，将长方形 沿直线 折叠，使点 落在点 处， 交 于 ， ， ，求 的长.
【答案】解：∵四边形 是矩形，
∴ ∥ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理得：
，
∴
解得： ，
∴ ．
故 的长为 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据矩形的性质，可得AD∥BC，可得∠2=∠3，由折叠的性质，可得∠1=∠2，从而可得∠3=∠1，利用等角对等边可得DE=BE，设，则
在中，由勾股定理得 即得，解出x的值即可.
22．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．
【答案】解：∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠AEB=45°，AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠ACB=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°，∴∠BAO=60°，又∵OA=OB，∴△BOA是等边三角形，∴OA=OB=AB，即OB=AB=BE，∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，∠BOE= =75°．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质和已知AE平分∠BAD，得到∠AEB=45°，AB=BE，再由∠CAE=15°和矩形的对角线相等，得到△BOA是等边三角形，得到OA=OB=AB，求出∠BOE的度数．
23．（2018八下·龙岩期中）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE的长？
【答案】解：①、当B′EC为直角时，则∠BEB′也是直角，根据折叠的性质可得∠AEB=45°，则△ABE为等腰直角三角形，则BE=AE=6；②、当∠EB′C为直角时，根据折叠可得∠AB′E=∠ABE=90°，则点A、点B′、点C三点共线，则AB′=AB=6，AC=10，则B′C=10－6=4，设BE=x，则CE=8－x，B′E=x，根据Rt△B′EC的勾股定理可得： ，解得x=3，即BE=3.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况： ①当B′EC为直角时，结合正方形的性质，求解；②当∠EB′C为直角时，利用勾股定理，求解，进而即可得到答案．
24．（2019八下·杭锦后旗期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点 上．若 ， ，求BF的长．
【答案】解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上
∴BC'= AB=3，CF=C'F
在Rt△BC'F中，C'F2=BF2+C'B2，
∴CF2=（9-CF）2+9
∴CF=5
∴BF=4．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．
25．（2020八上·成都期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求重叠部分△AFC的面积．
【答案】（1）证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′
∴△AD′F≌△CBF（AAS）
∴CF＝AF
（2）解：设AF＝CF＝x
∴BF＝8﹣x
在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2
即42+（8﹣x）2＝x2
解得x＝5．
∴S△AFC＝ AF BC＝ ×5×4＝10．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，证明△AD'F≌△CBF，即可得到AF=CF；
（2）根据勾股定理计算得到AF的值，求出三角形AFC的面积即可。
26．（2020八下·姜堰期中）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，
（1）将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处（如图①），设DE与BC相交于点F，试说明△DBF是等腰三角形，并求出其周长．
（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图②），求折痕GH的长．
【答案】（1）解：由折叠得，∠ADB=∠EDB，
在矩形ABCD中：∠C=90°，CD=AB=6,AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF，
设BF=x，则CF=8 x，
在Rt△CDF中，
即
解得
∴
在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，
∴
∴△DBF的周长是：BF+DF+DB=
（2）解：由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，则CH=8 x，
在Rt△CDH中，
即
解得
连接BD、BG，
由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵矩形ABCD的边AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DH=DG，
∴BH=DH=DG=BG，
∴四边形BHDG是菱形，
在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，
∴
∴S菱形BHDG= BD GH=BH CD，
即 ×10 GH= ×6，
解得GH= ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求出BF的长度，再求出周长；（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得．
27．（2020八上·惠山月考）如图1，已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝6，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→B→C运动，设P运动的时间为t秒.
（1）当△APE是以EP为腰的等腰三角形时，求t的值；
（2）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当AE=EP时，
∵E点为DC的中点，DC=4，AD=6，
∴DE=EC=2，
∴ ，
∴EP= ,此时P点与B点重合，运动路程为AB=4，
∴t=4÷2=2（秒），
当AP=PE时，P点在线段BC上，
∵P点的运动路程为：AB+BP=2t，
∴BP=2t-4，PC=10-2t，
∵ ，
∴(2t-4)2+42=22+(10-2t)2
解得：t=3
综上所述：当t=2或t=3时，△APE是以EP为腰的等腰三角形，
（2）存在，
如图所示，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF与BC的交点为P，连接AE、PE
此时△APE的周长最小，
∴CF=CE=ED=2，
∴DF=6，
∵AD=6，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠F=45°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥DF，
∴∠BAP=∠F=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
故AB=BP=4，
∴运动时间为：（4+4）÷2=4（秒）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)当△APE是以EP为腰的等腰三角形时，分两种情况进行讨论，①当AE=EP时，②当AP=PE时即可得出结果；(2)存在，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF，与BC的交点为P，可证的△ADF是等腰直角三角形，进而证得△ABP是等腰直角三角形，即可得出结果.
28．（2020八上·常州期中）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
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