辽宁省辽南协作校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

辽南协作校2021-2022学年高二下学期期中考试
数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分 ．每小题只有一个选项符合要求）
1．已知数列的前n项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
2．用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的导数是（ ）
A． B． C． D．
4．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ）
A．2 B． C．e D．
5．做一个容积为立方米的圆柱形无盖（有底）水箱，为使用材料最省，它的底面半径r为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
6．已知数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足：，，若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）
9． 下列选项错误的有（ ）
A．两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近1．
B．若1，x，y，z，4成等比数列，则实数．
C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点．
D．函数没有极值点．
10．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为，极大值为．
B．函数存在3个不同的零点．
C．当时，函数的最大值为．
D．当时，方程恰有3个不等实根．
11．数列的前n项和为，且，，则下列选项正确的有（ ）
A．． B．数列是等比数列．
C．数列的通项公式为． D．数列的前10项和为1024．
12．已知函数，，则下列选项正确的有（ ）
A．函数在原点处的切线方程为．
B．存在实数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是．
C．当时，不等式恒成立．
D．设，且，若，则．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设偶函数在R上存在导函数，且在点处的切线方程为，则______．
14．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是______元．
15．已知定义在R上的函数，则______．
16．已知函数，则不等式的解集为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（本题10分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
18．（本题12分）2022年北京冬奥组委会发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约200家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该200家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对200家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 75 100
线上销售时间不足8小时
合计 200
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表，判断能否有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19．（本题12分）已知数列满足：且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，求数列的前n项和．
20．（本题12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度x（单位：℃）与反应结果y之间的关系如下表所示：
2 4 6 8
30 40 50 70
（1）求化学反应结果y与温度x之间的相关系数r（精确到0.01）；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到10℃时反应结果大约为多少．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．相关系数．
参考数据：．
21．（本题12分）已知数列满足，且．
（1）求，，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想结果；
（3）设数列满足，求数列的前n项和．
22．（本题12分）已知函数．
（1）试比较与2022的大小关系，并给出证明；
（2）设函数，若函数的图像恒在函数的图像上方，求实数a的取值范围；
（3）函数在上的最小值记为，求函数的值域．
辽南协作校2021-2022学年高二下学期期中考试数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1—5ADDCC 6—8BAD
二、多选题（每题5分，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多选和不选给0分）
9．BC； 10．AC； 11．AB； 12．AC．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．－3； 14．6250； 15．73； 16．．
四、解答题（共70分）
17．（本题10分）
解（1）函数的定义域为，
当时，
求导得，整理得：．
由得；由得
从而，函数减区间为，增区间为：
极小值为：，无极大值．
（注：单调区间如果写成全开区间，不扣分）
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，则．
令函数，由知在单调递增，
从而．
经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是．
（注：第（2）问结果为的，扣1分，未检验不扣分）
18．（本题12分）
解（1）由题意分析可得：签约企业共200家，线上销售时间不少于8小时的企业有100家，那么线上销售时间不足8小时的企业有100家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有家．
完成列联表如下：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 75 25 100
线上销售时间不足8小时 45 55 100
合计 120 80 200
（2）由题意，得，
计算得（结果写成假分数、近似为19、近似为18.8，以上情况只扣1分；其它情况按错误处理，本档3分不给）
由于
故有99.5%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
（注：如果卡方结果错误，最后的2分不给；如果临界值选错，最后的2分不给）
19．（本题12分）
解（1）由已知以及可知，
从而有，
根据累乘法得：
整理得：
由于该式对于也成立，于是数列的通项公式为：
（注：通项公式结果写成：的形式，不扣分）
（2）∵，
∴ 即
所以：
20．（本题12分）
解（1）由题意可得，，
所以相关系数．
根据参考数据可得是：
（2）根据（1）数据得
，
，
因此，回归直线方程为；
（3）∵，∴x与y之间是正相关，
当时，，∴当温度达到10℃时反应结果大约为80．
21．（本题12分）
（1），，猜得：
（2）证明：（i）时，猜想成立，
（ii）假设时猜想成立，即，
则时，由，
解得，
即时猜想成立，
综上，时，猜想成立，即．
（3）由已知得，
则记为①式
记为②式
①式与②式相减得：
整理得
所以
（注：由于第（3）问依赖于第（2）问，如果第（2）问没有证明、证明错误、证明不完整，第（3）问结果即使正确，也要扣1分）
22．（本题12分）
（1）．
证明：令函数
求导得，
由得，即函数在上单调递增；
由得，即函数在上单调递减，
所以，即，当且仅当时等号成立，
从而，即，即．
（注：如果结果正确，但未证明，给1分；如果结果写成民“”按错误处理）
（2）由已知，恒成立，
即：恒成立，
整理得：．
法1：令函数，
求导得：
①时，由于，即无法恒大于0．
所以不合题意．
②时，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
为使函数恒成立，只需，由此解得：；
综上：
法2：，
由（1）证明过程得知，即，
所以恒成立，
令函数，
则
整理得，
令函数，
则，
由得，即函数在区间上单调递减；
由得，即函数在区间上单调递增，
所以函数最小值为，
整理得，
由已证不等式知：，即函数恒大于0．
此时由得，即函数在区间上单调递减；
由得，，即函数在区间上单调递增，
所以函数最小值为，故，．
（3）由求导得
．
①当时，在区间上单调递增，
所以函数在区间上的最小值为；
②当时，
由得，即函数在区间和上分别单调递增；
由得，即函数在区间单调递减，
所以函数在区间上的最小值为；
③当时，函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上的最小值为．
即：．
易知当时；时；
当时，，
则，由（1）证明过程得知，即，
所以函数在上单调递减，此时，
综上，函数的值域为R．