15.4.2.1 公式法
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课件19张PPT。15.4.2 公式法（1）1、什么是因式分解？把一个多项式分解成几个
整式的积的形式。 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？ 2、什么是提公因式法分解因式在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 温故知新3、判断下列各式是因式分解的有
(1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x（2）1. 计算：（1）(x+1)(x-1) (2) (y+4)(y-4)
2. 根据1题的结果分解因式：
（1） （2） =(x+1)(x-1)=(y+4)(y-4) 合作探究平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a2 - b2 = (a+b)(a-b)
因式分解平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2整式乘法利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b)能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）一个二项式。
（2）每项都可以化成整式的平方。
（3）两项符号相反引例：
对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m2 - 16 2) 4x2 - 9y2m2 - 16= m2 - 42 =( m + 4)( m - 4) a2 - b2 = ( a + b)( a - b )4x2 - 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)注意：平方差公式中的字母a，b不仅可以代表数，而且可以代表代数式。例如，第（2）题中，利用a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )分解因式时，其中a表示2x,b表示3y.
1、下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2=(x+y)(x-y)=y2-x2=(y+x)(y-x)巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 X2-+（-y）2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
DD例1.把下列各式分解因式
（1）16a2- 1
( 2 ) 4x2- m2n2
( 3 ) — x2 - — y2
925116( 4 ) –9x2 + 4
解：1）16a2-1=(4a)2 - 1
=(4a+1)(4a-1)解：2） 4x2- m2n2
=(2x)2 - (mn)2
=（2x+mn)(2x-mn)(1) ( x + p )2 - ( x + q )2分析：（x+p)2-(x+q)2是x+p与x+q的平方差；，所以能够运用平方差公式分解因式。所以，原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)(3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )2根据平方差公式可以分解为：原式=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a(2b+2c)=4a(b+c)(2) 16(a-b)2-9(a+b)2分析：把式子16(a-b)2-9(a+b)2改写成[4(a-b)]2-[3(a+b)]2后，可以看出它是4(a-b）与3（a+b）的平方差,所以能够运用平方差公式分解因式。
所以，原式=[4(a–b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(7a-b)(a-7b) 例2:把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2 （2）2x3－8x解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2=[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n） （2）2x3－8x =2x（x2－4） =2x（x+2）（x－2） 有公因式时，先提公因式，再考虑用公式。2、判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解:（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中右边还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.3、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)②a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050 能力挑战1.利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b)
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,
然后考虑用公式法.
3.因式分解进行到每一个因式不能分解为止.
4.计算中应用因式分解,可使计算简便. 课堂小结
整式的积的形式。 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？ 2、什么是提公因式法分解因式在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 温故知新3、判断下列各式是因式分解的有
(1) (x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x（2）1. 计算：（1）(x+1)(x-1) (2) (y+4)(y-4)
2. 根据1题的结果分解因式：
（1） （2） =(x+1)(x-1)=(y+4)(y-4) 合作探究平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积a2 - b2 = (a+b)(a-b)
因式分解平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2 - b2整式乘法利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b)能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）一个二项式。
（2）每项都可以化成整式的平方。
（3）两项符号相反引例：
对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m2 - 16 2) 4x2 - 9y2m2 - 16= m2 - 42 =( m + 4)( m - 4) a2 - b2 = ( a + b)( a - b )4x2 - 9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)注意：平方差公式中的字母a，b不仅可以代表数，而且可以代表代数式。例如，第（2）题中，利用a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )分解因式时，其中a表示2x,b表示3y.
1、下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2=(x+y)(x-y)=y2-x2=(y+x)(y-x)巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
4X2+y2 B. 4 X2-+（-y）2 C. -4 X2-y3 D. - X2+ y2
-4a2 +1分解因式的结果应是 （ ）
-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
DD例1.把下列各式分解因式
（1）16a2- 1
( 2 ) 4x2- m2n2
( 3 ) — x2 - — y2
925116( 4 ) –9x2 + 4
解：1）16a2-1=(4a)2 - 1
=(4a+1)(4a-1)解：2） 4x2- m2n2
=(2x)2 - (mn)2
=（2x+mn)(2x-mn)(1) ( x + p )2 - ( x + q )2分析：（x+p)2-(x+q)2是x+p与x+q的平方差；，所以能够运用平方差公式分解因式。所以，原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)(3) ( a + b + c )2 - ( a – b – c )2根据平方差公式可以分解为：原式=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a(2b+2c)=4a(b+c)(2) 16(a-b)2-9(a+b)2分析：把式子16(a-b)2-9(a+b)2改写成[4(a-b)]2-[3(a+b)]2后，可以看出它是4(a-b）与3（a+b）的平方差,所以能够运用平方差公式分解因式。
所以，原式=[4(a–b)+3(a+b)][4(a-b)-3(a+b)]=(7a-b)(a-7b) 例2:把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2 （2）2x3－8x解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2=[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)] =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n） （2）2x3－8x =2x（x2－4） =2x（x+2）（x－2） 有公因式时，先提公因式，再考虑用公式。2、判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解:（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中右边还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.3、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)②a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +…
+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050 能力挑战1.利用平方差公式分解因式
a2－b2=（a+b)(a-b)
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,
然后考虑用公式法.
3.因式分解进行到每一个因式不能分解为止.
4.计算中应用因式分解,可使计算简便. 课堂小结