喀什第二高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
理科数学试卷
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（表示虚数单位）则z的共轭复数为（ ）
A．－1+2i B．1－2i C．1+2i D．2+i
2．“”是“方程”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的是（ ）
A．若为真命题，则为真命题
B．“若，则”的逆命题为真命题
C．已知，“”是“”的充分不必要条件
D．“、，若，则且”是真命题
4．已知函数 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在处的导数为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．．设是双曲线的左 右焦点.若双曲线C上存在点P满足且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ )
A．的极小值点为， B．的极大值点为
C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为
9．已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．已知椭圆上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率e为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数=____________.
14．的值为______
15．已知双曲线的左 右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点且，则______．
16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题10分)已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过原点的切线方程.
18（本小题12分）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值．
19.(本小题12分)已知函数在时有极值0.
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围
20．（本小题12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，求的面积.
21.（本小题12分）
已知椭圆，点是椭圆C上一点，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l：y=x+m与椭圆C相交于A,B两点，且在y轴上有一点M(0,2m)，当面积最大时，求m的值．
22、（本小题12分）设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的极大值点为，证明：.喀什第二高级中学校2021-2022学年高二下学期期中考试
理科数学试卷答案
1. 选择题: 1-5 BBCDC 6-10 ABDDD 11-12 BB
2. 填空题:13. -1 ; 14. ; 15. 3 ; 16.
3. 解答题:
17．解：（1）由求导得：，当时，，
由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程；
（2）由题意知，点不在曲线上，设切点为，由(1)知曲线在点B处切线斜率为，切线方程为，
即，而切线过点，即，
解得，于是得所求切线方程为，
所以曲线过原点的切线方程为.
18题（1），由题意得即
解得，，．所以，
，令，得或．
+ 0 - 0 +
↗ 2 ↘ ↗
所以，的单调递减区间是；单调递增区间是, .
（2）由（1）可知：，，而，，所以．
19解：(1)由可得，
因为在时有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.
所以常数a，b的值分别为.所以.
(2)由（1）可知，，
令，解得，
当或时，当时，，
的递增区间是和，单调递减区间为，
当有极大值，当有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得.
20.（1）抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，
由消去得， ………………………2分
所以，
由抛物线定义得，
即，所以. ………………………4分
所以抛物线的方程为. ………………………6分
（2）由知，方程，
可化为，
解得，，故，.
所以，. ………………………10分
则面积 ………………………12分
21. 【答案】 解：由题意可得，且，，
解得，，
则椭圆的方程为；
由直线l的方程为，则到直线l的距离，
将直线代入椭圆方程可得，
由判别式，解得，
设，，
则，，
由弦长公式可得，
，
当且仅当时取得等号．
即当面积最大时，m的值为．
22、解：（Ⅰ）的定义域为，，
当时，，则函数在区间单调递增；当时，由得，由得，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，由得，由得，∴函数在区间上单调递增，在区间单调递减.
综上所述，当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，要证，即证，即证：.
令，则.
令，易知函数在区间上单调递增.而，，所以在区间上存在唯一的实数，使得，即，且时，时.故在上递减，在上递增.
∴.
又，∴.
∴成立，即成立.
