沪科版数学八年级下册 18.1 勾股定理-教案
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册 18.1 勾股定理-教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 170.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-10 11:55:45 | ||
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文档简介
课题：§18.1勾股定理
教学目标：
知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度与价值观：（1）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教材分析
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。
教学难点：理解勾股定理的演绎和推导过程。
教学方法：探讨法、发现法等。
教具准备：多媒体、网格纸。
学法指导: 自主探索，小组合作
教学过程
一、创设情境——观察探索——形成概念
引入 首先创设这样一个问题情境：蜗牛走路与小鸟飞行所走的路线如何求？
[设计意图及设想]问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点。
1、（用多媒体投影）如图是一个行距、列距都是1的方格网。问：
每一个最小格点正方形面积是多少？
然后，在方格网中投影显示出以格点为顶点等腰直角△ABC，并显示分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
问：1、三个正方形面积SⅠ、SⅡ和SⅢ分别是多少？它们之间有怎样的关系？如用它们的边长表示，能得到怎样的式子？（思考、与同伴交流）
[设计意图及设想] 从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们从中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程
2、在上一题的基础上，设置下列问题情境：
在行距、列距都是1的方格网中，再作一个格点不等腰直角△ABC，分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。让学生在课前备好的网格纸上画图，然后投影出图。根据上述我先后安排如下三个探究题
（1）、三个正方形面积SⅠ、SⅡ和SⅢ分别是多少？（思考、分组讨论、交流）（学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C面积）。
（2）、SⅠ、SⅡ和SⅢ是什么关系？（思考、分组讨论、交流）
（3）、如用它们的边长a,b,c表示，能得到怎样的式子？（思考、分组讨论、交流）
[设计意图及设想]
这样设计不仅渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.而且突破难点，为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。
根据上述的问题的探究，可安排如下面探究题：你们发现直角三角形三边的长有怎样的关系？能用简练的语言概括出来吗？（学生分组讨论、小组代表发言）
结论：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
二、创设情境——合作探究——推理论证
介绍全世界的数学家和数学爱好者都为勾股定理的证明付出过努力，使得这一定理至今有几百种证法并介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
1、设置下列问题情境：如图在直角△ABC中，∠C＝90°AB=C，BC=a, AC=b,
求证：a2+b2=c2
让学生按图示拼图。问：（1）所拼的图中，边长为C的四边形是正方形吗？为什么？[来网（2）让学生根据理解写出证明的推理过程。
[设计意图及设想]让学生亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.
由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.
2、可向学生介绍下列两种方法，激发学生的兴趣
方法二: “赵爽弦图”法.将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形,
方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所
形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90 ,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90 .
∴ ∠DEC = 180 ―90 = 90 .
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90 , ∠EBC = 90 ,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.
∴ .
∴ .
以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明。
[设计意图及设想]让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,体会探索的快乐。
3、（定理命名）.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里 .人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理.
西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
[设计意图及设想]对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.
三、即时训练——巩固新知
4．运用新知，体验成功
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
（示范格式，提醒学生注意边的位置，关键“直角所对的边是斜边”）
四、丰收园：本节课你学到了什么？
师生一起回顾本节知识，主要是让学生回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充.（1勾股定理.2利用勾股定理，可以解决“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题.3）数学思想：从特殊到一般和数形结合）
五、试一试：Rt△ABC的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？
（拓展拔高：让学生认识到Rt△ABC的两边长有可能都是直角边，也有可能一边是直角边，一边是斜边）
六、作业布置：同步
七、板书设计
八、教学反思
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
C
B
A
C
B
c
b
a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
B
C
a
c
b
c
c
c
c
a
b
B1
a
b
C1
F
a
b
D1
G
a
b
A1
E
H
教学目标：
知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度与价值观：（1）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教材分析
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。
教学难点：理解勾股定理的演绎和推导过程。
教学方法：探讨法、发现法等。
教具准备：多媒体、网格纸。
学法指导: 自主探索，小组合作
教学过程
一、创设情境——观察探索——形成概念
引入 首先创设这样一个问题情境：蜗牛走路与小鸟飞行所走的路线如何求？
[设计意图及设想]问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点。
1、（用多媒体投影）如图是一个行距、列距都是1的方格网。问：
每一个最小格点正方形面积是多少？
然后，在方格网中投影显示出以格点为顶点等腰直角△ABC，并显示分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
问：1、三个正方形面积SⅠ、SⅡ和SⅢ分别是多少？它们之间有怎样的关系？如用它们的边长表示，能得到怎样的式子？（思考、与同伴交流）
[设计意图及设想] 从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们从中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程
2、在上一题的基础上，设置下列问题情境：
在行距、列距都是1的方格网中，再作一个格点不等腰直角△ABC，分别以三角形的各边为边，向形外作正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。让学生在课前备好的网格纸上画图，然后投影出图。根据上述我先后安排如下三个探究题
（1）、三个正方形面积SⅠ、SⅡ和SⅢ分别是多少？（思考、分组讨论、交流）（学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C面积）。
（2）、SⅠ、SⅡ和SⅢ是什么关系？（思考、分组讨论、交流）
（3）、如用它们的边长a,b,c表示，能得到怎样的式子？（思考、分组讨论、交流）
[设计意图及设想]
这样设计不仅渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.而且突破难点，为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。
根据上述的问题的探究，可安排如下面探究题：你们发现直角三角形三边的长有怎样的关系？能用简练的语言概括出来吗？（学生分组讨论、小组代表发言）
结论：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
二、创设情境——合作探究——推理论证
介绍全世界的数学家和数学爱好者都为勾股定理的证明付出过努力，使得这一定理至今有几百种证法并介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
1、设置下列问题情境：如图在直角△ABC中，∠C＝90°AB=C，BC=a, AC=b,
求证：a2+b2=c2
让学生按图示拼图。问：（1）所拼的图中，边长为C的四边形是正方形吗？为什么？[来网（2）让学生根据理解写出证明的推理过程。
[设计意图及设想]让学生亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力.
由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.
2、可向学生介绍下列两种方法，激发学生的兴趣
方法二: “赵爽弦图”法.将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形,
方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所
形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90 ,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90 .
∴ ∠DEC = 180 ―90 = 90 .
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90 , ∠EBC = 90 ,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.
∴ .
∴ .
以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明。
[设计意图及设想]让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,体会探索的快乐。
3、（定理命名）.约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里 .人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.所以我国称它为勾股定理.
西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
[设计意图及设想]对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.
三、即时训练——巩固新知
4．运用新知，体验成功
例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
（示范格式，提醒学生注意边的位置，关键“直角所对的边是斜边”）
四、丰收园：本节课你学到了什么？
师生一起回顾本节知识，主要是让学生回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充.（1勾股定理.2利用勾股定理，可以解决“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题.3）数学思想：从特殊到一般和数形结合）
五、试一试：Rt△ABC的两边长分别是3和4，则第三边长的平方为多少？
（拓展拔高：让学生认识到Rt△ABC的两边长有可能都是直角边，也有可能一边是直角边，一边是斜边）
六、作业布置：同步
七、板书设计
八、教学反思
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
C
B
A
C
B
c
b
a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A
B
C
a
c
b
c
c
c
c
a
b
B1
a
b
C1
F
a
b
D1
G
a
b
A1
E
H