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【1.9.2】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第9章：二次根式
重难点知识
★☆★ 二次根式加减乘除运算
二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中
不含根号.
(2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广：
(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
2．二次根式的加减运算 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
3．二次根式的混合运算
(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括
号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
（3）二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．
二次根式运算基础练习
1．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
3．下列计算结果正确的是( )
A．＝3 B．＝±6
C．＋＝ D．3＋2＝5
4．下列计算或化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知m＝，n＝，则代数式的值为（ ）
A．3 B．3
C．5 D．9
7．计算÷×结果为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
8．下列各数中，与的积为无理数的是( )
A． B．
C． D．
9．下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．先化简，再求值：，其中.
11．(1)计算：﹣5 (2)计算：6
12．计算
（1）9+7﹣5+2 （2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2．
13．先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x=2．
14．计算：
15．先化简，再求值：(a－)(a＋)－a(a－6)，其中a＝＋.
16．计算：
17．计算：
18．计算6﹣10的结果是_____．
19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是_____．
20．已知，那么的值是_____．
21．已知，，则的值为__________.
22．若，则的值为______.
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【1.9.2】2021-2022学年初二数学下册同步系列（青岛版）
----初二数学下册第9章：二次根式
参考答案
1．C
【分析】
根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
【点睛】
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
2．D
【分析】
根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】
根据题意得，3a-8=17-2a，
移项合并，得5a=25，
系数化为1，得a=5．
故选D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
A、原式=|-3|=3，正确；
B、原式=6，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、原式不能合并，错误．
故选A．
【点睛】
考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．D
【解析】
解：A．不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B． ，故B错误；
C．，故C错误；
D．，正确．
故选D．
5．C
【解析】
根据二次根式的性质和化简，可知不能计算，故不正确；=，故不正确；根据分母有理化，可知=，故正确；根据二次根式的性质，可知=-2，故不正确.
故选C.
点睛：此题主要考查了最简二次根式，关键是明确最简二次根式的特点与化简方法，最简二次根式的被开方数不含开方开的尽的数，根号中不含有分母，分母中不含有二次根号，注意遇到带分数的问题先化为假分数.
6．B
【分析】
由已知可得：，=.
【详解】
由已知可得：，
原式=
故选B
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.配方是关键.
7．B
【解析】
===.
故选B.
8．B
【分析】
根据二次根式的乘法进行计算逐一判断即可．
【详解】
A、，不是无理数，错误；
B、，是无理数，正确；
C、，不是无理数，错误；
D、，不是无理数，错误；
故选B．
【点睛】
此题考查二次根式的乘法，关键是根据法则进行计算，再利用无理数的定义判断．
9．C
【分析】
本题主要考查二次根式的性质和二次根式乘法法则的逆用，根据二次根式的性质和乘法法则可得:，，，根据法则进行计算.
【详解】
A选项，因为被开方数是非负数，所以 错误，
B选项，，所以B计算错误，
C选项， 符合的性质，所以C正确，
D选项， =7，所以D错误，
故选C.
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质和乘法法则，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的性质及运算法则.
10． ．
【解析】
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
详解：原式=÷（﹣）
=÷
=
=﹣
=
当m=﹣2时，原式=﹣
=﹣
=﹣1+2
=．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
11．(1)﹣2﹣3；(2)9.
【解析】
【分析】
（1）先计算二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（2）先将各二次根式化为最简，有括号的去括号，再化简合并即可.
【详解】
解：(1)原式＝﹣﹣5
＝2﹣2﹣5
＝﹣2﹣3；
(2)原式＝2﹣+9﹣
＝9．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，注意运算中符号的变化.
12．（1）；（2）﹣11+4
【解析】
试题分析：（1）先进行二次根式的化简，然后再合并即可求得结果；
（2）分别运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得出结果.
试题解析：（1）9+7﹣5+2
=
=
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）2．
=3-1-（13-4）
=-11+4
13．，4-2.
【解析】
【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后把x的值代入进行计算即可得.
【详解】原式=（）÷
=
=
=，
当x=2时，原式===2（2-）=4-2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键.
14． ；
【分析】
（1）根据二次根式乘除法和减法可以解答本题；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】
原式
；
原式
．
15．6a-3，原式=6．
【解析】
【分析】
本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．
【详解】
原式＝a2﹣3﹣a2+6a＝6a﹣3
当a时，原式＝63﹣3＝6．
【点睛】
本题考查了整式的运算、平方差公式以及二次根式的混合运算等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．
16．﹣6．
【分析】
先根据二次根式的乘法法则算乘法, 化成最简二次根式, 再合并即可.
【详解】
原式=
=3－6
= －6
【点睛】
本题主要考查实数的运算.无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的． 在进行根式的运算时要先化简, 再计算.
17．（1）；（2）12；（3）；（4）0；（5）2
【分析】
（1）将原式展开，然后进行合并即可求解；
（2）将每项化为最简二次根式，然后约分合并即可求解；
（3）将每项化为最简二次根式，分母有理化，然后进行合并即可求解；
（4）将原式化为最简二次根式，然后根号二次根式加减法法则进行计算即可；
（5）首先将原式每一项化为最简二次根式，然后进行合并计算．
【详解】
（1）原式=
=
（2）原式=
=
=12
（3）原式=
=
=
（4）原式=
=
=
=0
（5）原式=
=
=2
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．
【解析】
分析：首先化简，然后再合并同类二次根式即可．
详解：原式=6-10×=6-2=4，
故答案为4．
点睛：此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
19．+4
【分析】
先将x的值分母有理化得出x=+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】
解：∵x===+1，
∴x2-x+1=（+1）2-（+1）+1
=4+2--1+1
=+4．
故答案为+4．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．
20．4
【解析】
【分析】
将所给等式变形为，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出答案．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.
21．
【解析】
【分析】
由，，计算可得a+b=4，ab=1，再把因式分解可得ab（a+b），整体代入求值即可.
【详解】
∵，，
∴a+b=4，ab=1
∴=ab（a+b）=4.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确把进行因式分解是解决问题的关键.
22．.
【分析】
由可得，化简即可得到，再计算，即可求得=.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴=.
故答案为：.
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