第八章 8.1.1　棱柱、棱锥、棱台Word学案

8.1.1　棱柱、棱锥、棱台
学习目标　1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
知识点一　多面体、旋转体的定义
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
思考　构成空间几何体的基本元素是什么？
答案　构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.
知识点二　棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
思考　棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
答案　棱柱的侧面一定是平行四边形.
知识点三　棱锥的结构特征
1.棱锥的概念
名称 定义 图形及表示 相关概念
棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
知识点四　棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
思考　棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
答案　一定相交于一点.
1.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(　×　)
2.棱柱的两个底面是全等的多边形.(　√　)
3.棱柱最多有两个面不是四边形.(　√　)
4.棱锥的所有面都可以是三角形.(　√　)
一、棱柱的结构特征
例1　(1)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的说法的序号是________.
答案　③④
解析　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解　①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
反思感悟　棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
跟踪训练1　下列命题中正确的是(　　)
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
答案　D
二、棱锥、棱台的结构特征
例2　(1)有下列三种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案　A
解析　①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.
(2)下列说法中，正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
答案　B
解析　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错.
反思感悟　判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
跟踪训练2　下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
答案　①②
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
空间几何体的表面展开图
典例　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
答案　A
解析　其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻.
(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
解　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把表面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
[素养提升]　多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
1.下面多面体中，是棱柱的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案　D
解析　根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
2.下面图形中，为棱锥的是(　　)
A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①②
答案　C
解析　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.故选C.
3.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　)
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
答案　B
解析　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
4.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.组合体
答案　B
解析　余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.
5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
答案　60°
1.知识清单：
(1)多面体、旋转体的定义.
(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.方法归纳：举反例法.
3.常见误区：棱台的结构特征认识不清.
1.有两个面平行的多面体不可能是(　　)
A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.以上都错
答案　B
解析　由棱锥的结构特征可得.
2.下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　)
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
答案　C
解析　显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确.
3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　)
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
答案　B
解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故B错误.
4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是(　　)
答案　C
解析　C无法将其折成三棱柱，故选C.
5.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)
答案　D
6.四棱柱有________条侧棱，________个顶点.
答案　4　8
7.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.
答案　5　6　9
8.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
答案　12
解析　该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.
9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解　(1)如图折起后的几何体是三棱锥.
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝a2.
10.一个长方体的容器里装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变成棱台成棱锥，对吗？
解　(1)不对，水面的形状始终是矩形.
(2)不对，水的形状只能是棱柱.
11.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
答案　C
解析　选项A中≠，故A不符合题意；选项B中≠，故B不符合题意；选项C中＝＝，故C符合题意；选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.
12.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
答案　D
解析　由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥.
13.下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)
答案　AC
解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
14.从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为________.
答案　4
解析　如图所示：
四边形ACC1A1为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件.故正确的结论有4个.
15.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是________.
答案　
解析　设长方体长、宽、高为x，y，z，则yz＝，xz＝，yx＝，
三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，
解得x＝，y＝，z＝1，所以＝＝.
16.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.
解　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4.
∴△AEF周长的最小值为4.