第8章 整式的乘除 复习（4）因式分解 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
沪科版 七年级下册
第8章 整式的乘除 复习(3)
分解因式
1．因式分解
因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，
这种式子变形就是因式分解．
因式分解与整式乘法的关系
因式分解与整式乘法是互逆变形.
用式子可表示为:
2.因式分解的常用方法
(1)提公因式法
(2)公式法
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
提公因式法常用的变形：
b－a ＝－(a－b)，
(a－b)n＝(b－a)n (n为偶数);
(a－b)n＝－(b－a)n (n为奇数).
将乘法公式反过来对某些多项式因式分解，这种方法叫做公式法，
a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
3.因式分解的一般步骤
(1)一提：
(2)二用：
(4)查看：
如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
各项没有公因式，可以尝试运用公式来分解；
因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(3)分组：
一个多项式不少于四项，考虑分组分解.
例1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A．
B．
C．
D．
(a＋2 )(a－2)
=a2－4
y2－12y＋36=(y－6)2
x2＋1
=x(x＋ )
x2－2x＋3
= (x－1)2＋ 2
1
x
三.整式的乘除典型例析
例2.把下列各式分解因式：
(1) (x－4)2 － (4－x) ；
(2) ax2－4axy＋4ay2 .
(x－4)2＋(x－4)
=(x－4)(x－4＋1)
=(x－4)(x－3)
解：(1)原式=
a(x2－4xy＋4y2 )
=a(x－2y)2 .
(2)原式=
例2.把下列各式分解因式：
(3) (5a＋2b )2 － 9b2 ；
(4) 9x2－y2＋4y－4 .
解：(3)原式=
(5a＋2b＋3b)
(5a＋2b－3b)
=(5a＋5b)
(5a－b)
=5(a＋b)
(5a－b)
解：(4)原式=
9x2－(y2－4y＋4 )
=(3x)2－(y－2) 2
=(3x＋y－2)
(3x－y＋2)
例3.分解因式：
a4－a3 ＋a2－a
解：原式=
a(a3－a2 ＋a－1)
=a[(a3－a2 )＋(a－1)]
=a[a2(a－ 1)＋(a－1)]
=a (a－1) (a2＋1)
例4.试说明 (n＋7)2－(n－5)2
说明：
－n2＋10n－25
= n2＋14n＋49
=n2＋14n＋49
=24n＋24
(n是整数)能被24整除.
∵(n＋7)2－(n－5)2
－(n2－10n＋25)
=24(n＋1)
24(n＋1)包括24这个因数，
∴(n＋7)2－(n－5)2可以被24整除.
例5.已知 a=2022，b=2021，
求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9 的值.
解：
∵ a=2022，b=2021，
∴a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9
= (a－b)2 － 6(a－b)＋9
= (a－b－3)2
= (2022－2021－3)2
= (－2)2
= 4
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A．
B．
C．
D．
D
(y－ )2
1
2
=y2－y＋
1
4
(－x＋2y)(－x－2y) =
x2 －4y2
4a3＋a－5a2
=a(4a2－5a)
x2＋3x－10
= (x＋5)(x－2)
三.因式分解练习：
(一)选择题：
2.下列因式分解正确的是(　　)
A．x2－xy＋x＝x(x－y)
B．a3－2a2b＋ab2＝a(a－b)2
C．x2－2x＋4＝(x－1)2＋3
D．ax2－9＝a(x＋3)(x－3)
B
3.若x2 ＋ 2(m－3) x＋16是完全平方式
则m的值是(　 )
A．3 B．－5　 C．7 D．7或－1
D
∵x2＋2(m－3)x＋16
=x2 ＋2(m－3)x＋(±4)2，
=(x±4)2
∴ m－3= ±4，
∴ m= 7，
解：
或m=－1.
7.分解因式：
6p (p＋q)－4q(p＋q) = .
6.分解因式：
a3b－ab = .
4.分解因式：
4x2－9 = .
5.分解因式：
3x2－27 = .
(2x＋3)(2x－3)
3(x＋3)(x－3)
ab (a＋1)(a－1)
2 (p＋q)(3p－2q)
(二)填空题：
8.若x2 ＋ kx＋81是完全平方式，
则k的值是 .
18
或－18
∵x2＋kx＋81
=x2 ＋kx＋(±9)2
=(x±9)2
∴ kx= ±18x，
∴ k= ±18.
解：
9.如果x2＋ax－6可分解为 (x＋b)(x＋2)，
则a= ，b= ；
∵(x＋b)(x＋2)
解：
=x2＋2x ＋bx＋2b
=x2＋(2＋b)x＋2b
∴ 2b=－6，
(2＋b)=a
∴ b=－3，
a=－1.
－1
－3
10.如果x2－ax＋15在整数范围内可分解
因式，则整数a= ；
∵15=1×15
解：
∴ a=1＋15=16，
a=－3＋ (－5)=－8.
a=－1＋(－15)=－16，
或a=3＋5=8.
=－1×(－15)
=3×5
=－3×(－5)
±16
或±8
11.分解因式：
6xy2－9x2y－y3.
12.分解因式：
(a－2b)2＋8ab .
解：原式=
－9x2y＋6xy2－y3
=－(9x2y－6xy2＋y3)
=－y(9x2－6xy＋y2)
=－y(3x－y)2
解：原式=
a2－4ab＋4b2
＋8ab
=a2＋4ab＋4b2
= (a＋2b)2
(三)解答题：
13. 分解因式：
(1，3，4，；2)
(2)4a2－9b2＋c2－4ac
解：
(2)4a2－9b2＋c2－4ac
=(4a2＋c2－4ac)－9b2
=(2a－c) 2－(3b)2
=[(2a－c)＋(3b)]
[(2a－c) －(3b)]
=(2a－c＋3b)
(2a－c －3b)
14. 分解因式：
(ax＋by)2＋(bx－ay)2
解：
(ax＋by)2＋(bx－ay)2
=a2x2 ＋2abxy＋b2y2
＋b2x2 －2abxy＋a2y2
=a2x2 ＋b2y2
＋b2x2 ＋a2y2
=(a2x2 ＋b2x2)
＋(b2y2 ＋a2y2)
=x2 (a2 ＋b2)
＋ y2 (a2 ＋b2)
= (a2 ＋b2)
(x2 ＋y2)
15.观察下列等式：
① 32－12=8； ②52－32=16；
③72－52=24； ④92－72=32
(1) 用语言叙述所得的规律:
(2) 写出第n个等式:
(3) 说明所写等式的正确性.
…
两个连续的奇数的平方差是8的倍数.
(2n＋1)2－(2n－1)2=8n.
左边=(2n＋1)2－(2n－1)2
=8n
=4n2＋4n＋1
－4n2＋4n－1
=右边.
16.计算：
20213 －2×20212－2019
20213 ＋ 20212 － 2022
解:
设
2021=a，
则 2019=a－2，
2022=a＋1，
∴原式=
a3
＋
a2
－2a2
a3
=
－(a－2)
－( a＋1)
a2
=
=
673
674
(a－2)
－(a－2)
a2
(a＋1)
－(a＋1)
=
(a－2)
(a2－1)
(a＋1)
(a2－1)
a－2
a＋1
2021－2
2021＋1
=
2019
2022
=
17.已知 a－b=3，ab=4，
求a3b＋ ab3－ 2a2b2 的值.
解：
∵ a－b=3，ab=4，
∴ a3b＋ab3－2a2b2
=ab(a2＋b2－2ab)
=ab(a－b)2
=4×32
= 36
18.设n为某一自然数，代入代数式n3－n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A．5814 B．5841 C．8415 D．845l
n3－n
= n(n＋1)(n－1)
= (n＋1)n(n－1)
0，1，2
1，2，3
2，3，4
3，4，5
4，5，6
5，6，7
6，7，8
7，8，9
8，9，0
9，0，1
A
19.已知 2x2－3xy＋y2=0，
求 ＋ 的值.
y
x
y
x
∵ 2x2－3xy＋y2=0，
∴(2x－y)(x－y)=0
∴2x－y=0 ，或 x－y=0
∴y=2x ， 或x=y.
＋
2x
x
2x
x
=
＋
y
x
y
x
=2＋
1
2
=
5
2
=
＋
y
x
y
x
＋
x
x
x
x
= 1＋1=2
解：
当 y=2x时，
当 y=x时，
谢谢
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